精品解析：2026年内蒙古自治区赤峰市松山区中考第三次学情自测数学试题

2026年中考模拟测试（三） 数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 6. 图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 8. 如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9. 分解因式：_________． 10. 如图，与位似，点为位似中心，．若的面积为4，则的面积是________． 11. 如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为________． 12. 如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为________． 三、解答题（本大题共6题，计64分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 计算化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中是由你选择最喜欢的整数． 14. 为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查样本容量是 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 ； （2）直接写出平均每周劳动时间的中位数在哪一组； （3）该校共有1500名学生，请你估计其中平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 15. 随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）： 线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元） 第一批 第二批 （1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少元； （2）若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？ 16. 如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，． （1）求的度数． （2）求证：是切线． （3）连接，过点E作于点H，若，，求的长． 17. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 18. 如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且． （1）如图1，若是边中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； （2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟测试（三） 数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 【详解】解：∵，是正数， ∴ A不符合题意． ∵，是正数， ∴ B不符合题意． ∵，是正数， ∴ C不符合题意． ∵，是负数， ∴ D符合题意． 2. 由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查三视图，根据左视图的定义画出左视图即可． 【详解】解：组合体的左视图为： 左视图的面积为， 故选：C． 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：∵表示9的算术平方根，结果为非负数，∴，A错误． 选项B：，结果不为，B错误． 选项C：，结果不为，C错误． 选项D：，运算正确． 5. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】此题考直的是垂径定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌据垂径定理和利用勾股定理列方程， 拫据垂径定理倡出（寸），在中，的长为寸，则，据此列方程求出答案即可， 【详解】解：1尺寸． 根据题意可得（寸）． 设圆的半径为R寸， 在，的长为寸， 则 ∴这块圆柱形木材的直径是：（寸）． 故选：D． 6. 图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用树状图法求概率．画树状图，共有种等可能的情况，其中小宣最后进入“科技与生活”展厅的结果有种，再由概率公式求解即可．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：如图，设入口之后的三条道路分别为左，中，右，并用A表示“科技与生活”展厅，用B表示“挑战与未来”展厅，画出如下树状图： ∴由图可知，嘉嘉通过入口后一共有种不同的可能路线，嘉嘉是任选一条道路，则走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A展厅的有种可能，进入B展厅的有种可能， ∴进入B展厅（“科技与生活”展厅）的概率是：． 故选：C． 7. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 8. 如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，首先求出，然后证明出，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N ∵正方形的边长为3， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形和平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是作出辅助线构造平行四边形． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9. 分解因式：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，与位似，点为位似中心，．若的面积为4，则的面积是________． 【答案】9 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴， ∴． 11. 如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合，作轴与，连接，证明是等边三角形，得出，设，则，，得出，，根据平移的性质可得点在双曲线上，代入计算即可得解． 【详解】解：如图，作轴与，连接， ∵原点O为正六边形的中心， ∴，, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， ∵点也在双曲线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与相似三角形的应用，掌握通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的比例关系求解线段比值是解题的关键． 通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的性质和线段关系求出的值． 【详解】解：如图所示，延长与的延长线相交于点F， ，平分，则是等腰三角形，， ，， ， 和是对顶角， ， ，则， 设． ． ， ， ，则， ，得， 则． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6题，计64分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 计算化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中是由你选择的最喜欢的整数． 【答案】（1） （2），，当时，原式 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ； 由分式的分母不为零及除式不为零得 即， 故可选， 当时，． 14. 为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 ； （2）直接写出平均每周劳动时间的中位数在哪一组； （3）该校共有1500名学生，请你估计其中平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 【答案】（1）100， （2）B组 （3）600(人) 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握统计数据的意义． （1）根据统计图中D组的数据，可以求得本次抽取的人数；用C组人数所占百分比乘以即可得到C组所在扇形的圆心角的大小； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而根据中位数的定义求解即可； （3）用1500乘以不少于的学生人数的占比，即可计算出该校平均每周劳动时间不少于的学生人数． 【小问1详解】 解：这次调查活动共抽取（人）， ∴这次抽样调查的样本容量是100， C组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：100；； 【小问2详解】 解：B组的学生有：（人）， 样本的最中间的2个数据是第50和51个， 而， 故平均每周劳动时间的中位数在B组； 【小问3详解】 解：（人）． ∴估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600人． 15. 随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）： 线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元） 第一批 第二批 （1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少元； （2）若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？ 【答案】（1）该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元 （2）当线下采购该水果时最省钱 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，利用总收入销售单价销售数量，结合第一、二两批该水果的销售量和总收入，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，根据线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该公司采购该水果共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元； 【小问2详解】 解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果， 根据题意得：， 解得：． 设该公司采购该水果共花费元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值． ∴ ∴当线下采购100kg时，该水果时最省钱． 答：当线下采购该水果时最省钱． 16. 如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，． （1）求的度数． （2）求证：是的切线． （3）连接，过点E作于点H，若，，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角即可求解； （2）如图，连接，，由圆周角定理得，再由，，得，，进而求得，即可证明结论； （3）先证是等腰直角三角形，得，由勾股定理求得，结合，得，可得，，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴． ∵是的平分线， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，连接，． ∵， ∴ ∵，， ∴，， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问3详解】 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，利用正切值求线段长度等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 17. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）抛物线表达式为 （2）①（）；②存在，是等腰三角形时，或或 （3）线段长度的最小值 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①用待定系数法求出直线解析式，根据点D的横坐标则可得点D、E的坐标，即可用含有的代数式表示线段的长度； ②由勾股定理表示出，考虑、及三种情况，即可求解； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，则可证明，得 ，从而得点在线段上运动（不包括端点），则当时，最小；再证明，得，即可求得，再利用等面积关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于， ，，， ， 解得：， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：①设直线解析式为，代入，， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ，， ， （）， ②存在： ， 而， 当时，， 解得：或（舍）， ， ； 当时，， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ； 当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ； 综上：是等腰三角形时，或或； 【小问3详解】 解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：，， ， ， ， ， ， ， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ，，， ， ， ， ∴当时，， ， ， ∴线段长度的最小值． 18. 如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且． （1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； （2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）①见解析；② （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据，得出为的中点，证明出即可；②先证明出得到，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解； （2）连接交于点，证明，进一步证明出四边形为平行四边形，得出为的中位线，得到，再证明出得到，再通过等量代换即可求解． 【小问1详解】 解：①， 为的中点， ， 是边的中点， ， ， 在中， ∴， 又∵， ， ， 是的中点； ②， 四边形为平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：线段与线段之间的数量关系为：，理由如下： 连接交于点，如下图： 由题意，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点， ， 又， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 为的中点， ， ， 为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，三角线相似的判定及性质，三角形的中位线等知识，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $