精品解析：2026年浙江省杭州市西湖区中考二模考试数学试题

2026年初中毕业生学业水平练习 数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学中有很多精美的方程曲线，以下曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子里装有个红球和个白球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个球，要使摸到红球的概率为，以下方法可行的是（ ） A. 往袋中放入个红球 B. 往袋中放入个白球 C. 从袋中取出个红球 D. 从袋中取出个白球 5. 如图，直线，分别被，所截，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的两名选手的单项成绩如下表所示，则两人的综合成绩（ ） 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 80 90 90 乙 85 85 90 A. 甲高 B. 乙高 C. 一样高 D. 无法比较 7. 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多3钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？小玲说：若设合伙人数为人，根据题意可得：；小丽说：若设羊的总价钱为钱，根据题意可得：，则（ ） A. 两人都对 B. 两人都错 C. 小玲对，小丽错 D. 小玲错，小丽对 10. 如图是某条公共汽车线路收支差额与乘客人数的函数图象（收支差额车票收入固定支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变固定支出费用，提高车票价格；建议（2）是不改变车票价格，减少固定支出费用．如图，给出四个图象，则（ ） A. ①反映了建议（1），③反映了建议（2） B. ②反映了建议（1），④反映了建议（2） C. ③反映了建议（1），①反映了建议（2） D. ④反映了建议（1），②反映了建议（2） 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算___________． 12. 分式方程的解为______． 13. 二维码已经成为人们生活中不可或缺的一部分．如图，一个正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积为_____． 14. 摩天轮是一种大型垂直转轮式机械游乐设施，由巨大转轮、悬挂座舱与支撑结构组成，供游客高空观景．如图，某摩天轮半径长，小慧从摩天轮的上客点（即最低点）进入座舱，当摩天轮匀速旋转时座舱运动至点处，即，则小慧在竖直方向上升了______m．（参考数据：，，） 15. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 16. 如图，在平行四边形中，为对角线，，，．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N；②连接交于点，交于点，连接；③以点为圆心，以的长为半径画弧，交延长线于点，连接，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组与化简． （1）解不等式组：． （2）化简：． 18. 杭州交通借助“城市大脑”实现了精准的智慧治理，其中“潮汐可变车道”就是典型代表．为了探究其运行原理，某数学兴趣小组将复杂的真实路况进行数学抽象，提取“流量大小（平均数）”与“波动程度（方差）”这两个核心指标来模拟“智慧交通”的决策过程． 【背景素材】 杭州某路段存在明显的“潮汐交通”现象．为了科学设置“潮汐可变车道”（即根据早晚高峰车流方向的不同，动态改变车道行驶方向），该兴趣小组对路口早、晚两个高峰时段的车流量进行了调查统计． 【数据收集与整理】 兴趣小组收集了早高峰和晚高峰各6个时间点的“进城方向车流量”（单位：辆分钟）的数据，并整理成如下折线统计图和统计表： 早、晚高峰6个时间点“进城方向车流量”统计表 车流量 平均数 众数 中位数 方差 早高峰 49 51 51 晚高峰 53 【潮汐可变车道设置规则】（满足任意一条便要启用）： 1．流量大原则：该时段的平均车流量大于等于52辆分钟； 2．波动大原则：该时段的车流量方差（说明车流忽高忽低，急需启用可变车道）． 【计算分析】 （1）请计算表格中a，b，c的值． （2）结合上述计算结果，根据“潮汐可变车道设置规则”，分别判断早高峰和晚高峰的进城方向是否需要启用潮汐可变车道，并说明理由． 19. 如图，在中，，，垂足为点，点，分别为，中点，连接，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 20. 如图，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与一次函数的图象交于点，设点的横坐标为． （1）当时，求的值和点的坐标． （2）当时，求的取值范围． 21. 综合与实践 【新知理解】 对于任意实数x，y，都有． 证明方法如下： 因为，所以． 【类比发现】 小聪提出猜想：对于正实数x，y，可能存在的关系．对此，小亮和小敏都想到用作差法进行探究： 小亮： 小敏： （1）请你选择其中一人的方法完成探究，并判断小聪的猜想是否正确． （2）【简单应用】已知正实数x，y满足，求证：． 22. 如图，在正方形中，为对角线，点为的中点，垂直平分线段，分别交，，于点F，P，G．已知． （1）求线段的长． （2）求的值． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（m为常数），已知函数图象的对称轴为直线，点，都在函数图象上，． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标． （2）当，始终有，直接写出的取值范围． （3）若点在一次函数的图象上，过点的直线平行于轴，且与二次函数的图象交于点P，Q，若，求的取值范围． 24. 如图①，在中，（），点D在上，平分，为的外接圆． （1）求证：． （2）求证：为的切线． （3）过点B作的切线，切点为E，如图②，连接，，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业生学业水平练习 数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】比较每个数的绝对值，结合绝对值的意义进行判断即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ ∵ ， ∴ 对应的点与原点距离最近． 2. 数学中有很多精美的方程曲线，以下曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.，A错误； B.，B错误； C.，C正确； D.，D错误． 4. 一个不透明的袋子里装有个红球和个白球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个球，要使摸到红球的概率为，以下方法可行的是（ ） A. 往袋中放入个红球 B. 往袋中放入个白球 C. 从袋中取出个红球 D. 从袋中取出个白球 【答案】A 【解析】 【分析】先计算调整后的红球数量和总球数量，再根据概率公式分别计算各选项操作后摸到红球的概率，判断是否等于即可得解． 【详解】A、放入个红球后，红球数为，总球数为，摸到红球的概率为，方法可行； B、放入个白球后，红球数为，总球数为，摸到红球的概率为，方法不可行； C、取出个红球后，红球数为，总球数为，摸到红球的概率为，方法不可行； D、取出个白球后，红球数为，总球数为，摸到红球的概率为，方法不可行． 5. 如图，直线，分别被，所截，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角、邻补角的定义计算各角的度数，然后同位角相等判定两直线平行，即由推出；然后利用平行线的性质，判断选项正误． 【详解】解：∵， ∴，（邻补角定义） 故选项A错误； ∵（对顶角相等） 故选项B错误； ∵， ∴， （两直线平行，内错角相等）， 故选项C错误； ∴（邻补角定义）， 故选项D正确． 6. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的两名选手的单项成绩如下表所示，则两人的综合成绩（ ） 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 80 90 90 乙 85 85 90 A. 甲高 B. 乙高 C. 一样高 D. 无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定权重分别计算两名选手的综合成绩，比较大小即可得到结果． 【详解】解：甲的综合成绩： 乙的综合成绩： ∵ ∴乙的综合成绩更高． 7. 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∴， 由勾股定理得， ∴． 8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据比例系数判断函数图象所在象限，再结合各点横坐标的范围比较函数值大小． 【详解】解：反比例函数为，比例系数， 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内， 随 的增大而增大， 点，的横坐标都小于， ，都在第二象限，可得，， 又， ， 点满足， 在第四象限，可得， 综上可得：． 9. 《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多3钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？小玲说：若设合伙人数为人，根据题意可得：；小丽说：若设羊的总价钱为钱，根据题意可得：，则（ ） A. 两人都对 B. 两人都错 C. 小玲对，小丽错 D. 小玲错，小丽对 【答案】D 【解析】 【分析】根据两种不同设未知数方式，分别利用羊价不变、人数不变的等量关系推导方程，即可判断两人说法的正误． 【详解】解：若设合伙人数为人， 每人出钱，还差钱， 羊的总价钱为， 每人出钱，多钱， 羊的总价钱为， 根据羊价相等，可得方程：， 与小玲所列方程不符， 因此小玲错误， 若设羊的总价钱为钱， 每人出钱，还差钱， 合伙人数为， 每人出钱，多钱， 合伙人数为， 根据人数相等，可得方程：， 与小丽所列方程一致， 因此，小丽正确， 综上所述，小玲错，小丽对． 10. 如图是某条公共汽车线路收支差额与乘客人数的函数图象（收支差额车票收入固定支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变固定支出费用，提高车票价格；建议（2）是不改变车票价格，减少固定支出费用．如图，给出四个图象，则（ ） A. ①反映了建议（1），③反映了建议（2） B. ②反映了建议（1），④反映了建议（2） C. ③反映了建议（1），①反映了建议（2） D. ④反映了建议（1），②反映了建议（2） 【答案】A 【解析】 【分析】设车票价格为，固定支出费用为，列出函数关系式，根据和的变化判断图像斜率与截距的变化情况． 【详解】解：设车票价格为，固定支出费用为，则收支差额与乘客人数的函数关系式为， 建议（1），不改变固定支出费用，提高车票价格，即不变，增大，  图像与轴的交点不变，直线的倾斜程度变大（更陡），故图①反映了建议（1）； 建议（2），不改变车票价格，减少固定支出费用，即不变，减小，增大， 图像与轴的交点向上移动，且两直线平行，故图③反映了建议（2）； 本题选A． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程. 求出整式方程的解后. 进行检验. 即可得到分式方程的解. 【详解】解：方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 13. 二维码已经成为人们生活中不可或缺的一部分．如图，一个正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积为_____． 【答案】50 【解析】 【分析】根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的 0.5，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵ 经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 左右，  ∴ 黑色部分的面积占正方形二维码面积的，  ∴ 估计黑色部分的面积约为 ． 14. 摩天轮是一种大型垂直转轮式机械游乐设施，由巨大转轮、悬挂座舱与支撑结构组成，供游客高空观景．如图，某摩天轮半径长，小慧从摩天轮的上客点（即最低点）进入座舱，当摩天轮匀速旋转时座舱运动至点处，即，则小慧在竖直方向上升了______m．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于点C，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出的长，再根据计算即可． 【详解】解：过点B作于点C， ， 在中，，， ， 点A为最低点， 为竖直方向半径， 小慧在竖直方向上升的高度为：． 15. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法得到和关于的表达式，再利用平方差公式分解得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】， ，得 ， 等式两边同除以，得 ，  ，得 ，  ，  ， 整理得 ， 即， 解得． 16. 如图，在平行四边形中，为对角线，，，．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N；②连接交于点，交于点，连接；③以点为圆心，以的长为半径画弧，交延长线于点，连接，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交的延长线于点H，过点A作于点P，求出，，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， 过点B作交的延长线于点H，过点A作于点P， ∴， 在中， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 ∴，， 由作图可知，， ∴， 设则， 在和中， ， ∴， 解得， ∴， ∵在的延长线上， ∴， 在中，． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组与化简． （1）解不等式组：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得每个不等式的解集，找出它们的公共部分即可得到不等式组的解集； （2）先利用多项式乘多项式展开，再合并同类项即可解答． 【小问1详解】 解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： ． 18. 杭州交通借助“城市大脑”实现了精准的智慧治理，其中“潮汐可变车道”就是典型代表．为了探究其运行原理，某数学兴趣小组将复杂的真实路况进行数学抽象，提取“流量大小（平均数）”与“波动程度（方差）”这两个核心指标来模拟“智慧交通”的决策过程． 【背景素材】 杭州某路段存在明显的“潮汐交通”现象．为了科学设置“潮汐可变车道”（即根据早晚高峰车流方向的不同，动态改变车道行驶方向），该兴趣小组对路口早、晚两个高峰时段的车流量进行了调查统计． 【数据收集与整理】 兴趣小组收集了早高峰和晚高峰各6个时间点的“进城方向车流量”（单位：辆分钟）的数据，并整理成如下折线统计图和统计表： 早、晚高峰6个时间点“进城方向车流量”统计表 车流量 平均数 众数 中位数 方差 早高峰 49 51 51 晚高峰 53 【潮汐可变车道设置规则】（满足任意一条便要启用）： 1．流量大原则：该时段的平均车流量大于等于52辆分钟； 2．波动大原则：该时段的车流量方差（说明车流忽高忽低，急需启用可变车道）． 【计算分析】 （1）请计算表格中a，b，c的值． （2）结合上述计算结果，根据“潮汐可变车道设置规则”，分别判断早高峰和晚高峰的进城方向是否需要启用潮汐可变车道，并说明理由． 【答案】（1）a，b，c的值分别为53，53，； （2）解：早高峰和晚高峰的进城方向需要启用潮汐可变车道，理由如下： 早高峰：平均车流量：，不满足流量大原则； 方差：，满足波动大原则， ∴早高峰需要启用潮汐可变车道； 晚高峰：平均车流量：，满足流量大原则； 方差：，不满足波动大原则， ∴晚高峰需要启用潮汐可变车道． 【解析】 【分析】（1）先将晚高峰6个时间点的车流量从小到大排列，再根据平均数和中位数的定义即可求出a，b，再根据方差的定义在早高峰中求出c即可． （2）根据潮汐可变车道设置规则判断即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得，将晚高峰6个时间点的车流量从小到大排列为：43、48、53、53、60、61， ∴，， ∵早高峰平均数49， ∴由统计图可得， ； 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，，垂足为点，点，分别为，中点，连接，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即是直角三角形， 又∵点是的中点， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）由，为中点，得；E，F是，中点，则，结合，等量代换，即可证； （2）先由得，利用内角和算出；由，进而可得；最后根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ， 由（1）知，且是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 20. 如图，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与一次函数的图象交于点，设点的横坐标为． （1）当时，求的值和点的坐标． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将  代入  得 ，代入  解得 ，令  得 ； （2）联立  与  得交点横坐标 ，由  得 ，解得 . 【小问1详解】 解：由题意，点是一次函数上的点，且横坐标为， 将代入，可得， 点的坐标为； 将  代入  ，可得，解得． 点是一次函数与轴的交点，此时， 代入，可得，解得， ． 【小问2详解】 联立两个一次函数：， 令，解得， 即交点的横坐标， ， ， ， 的取值范围为． 21. 综合与实践 【新知理解】 对于任意实数x，y，都有． 证明方法如下： 因为，所以． 【类比发现】 小聪提出猜想：对于正实数x，y，可能存在的关系．对此，小亮和小敏都想到用作差法进行探究： 小亮： 小敏： （1）请你选择其中一人的方法完成探究，并判断小聪的猜想是否正确． （2）【简单应用】已知正实数x，y满足，求证：． 【答案】（1）解：选择小亮的方法探究，过程如下： ∵x、y为正实数， ∴，且， ∴， 即， ∴，小聪的猜想正确． 选择小敏的方法探究，过程如下： ， ∵x、y为正实数， ∴，且， ∴， 即， ∴，小聪的猜想正确． （2）证明：由（1）可知，任意正实数x、y都满足， 不等式两边同时除以正实数，不等号方向不变，可得： 化简左边得， 化简右边得， 即， ∵正实数x、y满足， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先因式分解得到，然后利用非负数性质得到，进而可判断小聪的猜想正确； （2）根据不等式的性质得到，进而推导出，利用得到，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在正方形中，为对角线，点为的中点，垂直平分线段，分别交，，于点F，P，G．已知． （1）求线段的长． （2）求的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，因为垂直平分，所以，在中，根据勾股定理求出，即求出的长． （2）作于H，根据直角三角形两个锐角互余，得到，所以，根据三角形相似的性质，得出，，根据，得出结论． 【小问1详解】 解：连接，设， 垂直平分 为的中点 在中，由勾股定理： 【小问2详解】 解：作于H，则 ， 则， 又∵， ， ∵， ， 又 又， 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（m为常数），已知函数图象的对称轴为直线，点，都在函数图象上，． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标． （2）当，始终有，直接写出的取值范围． （3）若点在一次函数的图象上，过点的直线平行于轴，且与二次函数的图象交于点P，Q，若，求的取值范围． 【答案】（1）二次函数解析式为，顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将原函数解析式变为，根据函数图象的对称轴为直线，得出，求出m的值，即可得出函数解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据二次函数解析式得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数增减性得出当时，y随x的增大而减小，根据，得出当时，对任意都有；再求出当时，使得对任意都有成立的的取值范围，即可得出答案； （3）根据对称性得出，根据在一次函数的图象上，且，得出，根据，求出的范围，再根据求出的范围，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：， ∵函数图象的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为： ， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵函数解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，对任意都有， 当时，要使得对任意都有， ∴小于的最小值， ∵当时，y随x的增大而减小，且， ∴当时，取最小值，且最小值为， ∴， ∴， 解得：， 又∵， ∴此时； 综上，当时，对任意都有； 【小问3详解】 解：根据题意，直线l的方程为， ∵，在直线l上， ∴， ∴点P、Q关于直线对称， ∴， ∵在一次函数的图象上， ∴， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：或， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 24. 如图①，在中，（），点D在上，平分，为的外接圆． （1）求证：． （2）求证：为的切线． （3）过点B作的切线，切点为E，如图②，连接，，，若，求的值． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵是和的公共角， ∴； （2）证明：连接、， ∵弧所对的圆心角为，所对圆周角为， ∴． ∵（都是半径）， ∴， 结合（1）知， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，进而可证； （2）连接、，先求出，然后可求出，进而可证为的切线； （3）连接并延长交于点F，由得，可证．在中，求出，进而可证．证明得．设，，则，代入求出，然后代入化简即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，连接并延长交于点F， 由（1）， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵、都是的切线， ∴， ∴． ∵切于， ∴， ∴． ∵是直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵公共， ∴， ∴． 设，，则， 代入得：， 整理为， 解得（负值舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $