精品解析：2026年浙江省杭州市滨江区中考二模考试数学试题

2026初中学业水平模拟测试（二） 数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸指定位置写上学校、班级、姓名、座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 试题卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、选错均不得分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与相交于点，根据三角形的外角性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点，   是的外角，  ，  ，  （两直线平行，同位角相等）． 3. 2026年春运期间，全国跨区域人员流动量日均达人次，比2025年同期增长，再创历史新高．其中可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 4. 已知一次函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数图象经过 B. 随的增大而减少 C. 直线平行于直线 D. 函数图象在第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用一次函数的点坐标特征，增减性，两直线平行的判定，象限分布规律逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，∵将代入，得 ，∴函数图象不经过点，A错误． 选项B，∵一次函数中，，∴随的增大而增大，B错误． 选项C，∵直线与直线的值相等，截距不相等，∴两直线平行，C正确． 选项D，∵，，∴函数图象经过第一，二，三象限，D错误． 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是 ， ∴，即 ， 由图可知，点与点在位似中心的同侧 ， ∴点的横、纵坐标均为点横、纵坐标的2倍 ， ∵，  ∴点的坐标为，即． 6. 为了考察甲、乙两地小麦的长势情况，小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（ ） A. 甲、乙两地小麦高度的平均值相等 B. 甲、乙两地都随机抽取了10株小麦的高度 C. 若，则甲地小麦长得比较整齐 D. 甲、乙两地小麦高度的中位数相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差公式 ，结合方差的意义判断各选项即可． 【详解】解：∵方差公式中是样本容量，是样本平均数，对比题中和 ∴甲、乙两组的样本容量均为，平均数均为，因此A、B选项表述正确； ∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐 ∴若，则甲地小麦长得比较整齐，C选项表述正确； ∵两组数据平均数相等，不能推出中位数一定相等，存在平均数相同但中位数不同的两组数据，因此D选项表述不一定正确． 7. 某校乐队193人准备乘车外出参加文艺汇演．现已预备了大客车和中巴车共8辆，其中大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐满．设学校预备大客车辆，中巴车共辆，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，找出两个等量关系即可列出方程组，核心等量关系为车辆总数关系、总载客人数关系． 【详解】解：∵设大客车辆，中巴车辆，已知大客车和中巴车共辆， ∴， ∵总人数为人，大客车每辆可坐人，中巴车每辆可坐人，刚好坐满， ∴大客车总载客量为 ，中巴车总载客量为，可得 ， ∴可列方程组为，对应选项A． 8. 如图是一个几何体的三视图，则可求得该几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图判断该几何体为圆锥，由主视图和俯视图得出圆锥的高和底面直径，利用勾股定理求出母线长，最后根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥． 由图可知，圆锥的高，底面直径． ∴底面半径 ． ∴圆锥的母线长 ． ∴该几何体的侧面积． 9. 若点，，(其中)都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的符号判断函数图象所在象限和增减性，再结合的范围确定三个点横坐标的范围，进而比较的大小． 【详解】解：∵反比例函数中 ∴函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大 ∵ ∴可得 ∴点，在第二象限，点在第四象限 ∴，， 又∵在第二象限内，随的增大而增大 ∴ 综上可得． 10. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，，，满足，则面积的最小值是（ ）． A. 24 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用相似得到关于的代数式，再构建面积函数求最小值． 【详解】解：， ，相似比， 设，由相似：，，， 在上：， 在上：，， 综合得， ， ， ， 是开口向下的二次函数，越大，越小， 可取的最大值为，代入： ． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. ________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，去括号得 ， 移项、合并同类项得， 系数化为得， 解不等式②，移项得 ， 合并同类项得， 系数化为得， 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为． 13. 把一枚均匀的骰子（各个面上的点数分别是1～6）连续抛掷两次，则骰子两次朝上面的点数积是6的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，解题思路为先求出连续抛掷两次骰子所有等可能结果的总数，再找出两次点数积为6的结果数，最后利用概率公式计算概率． 【详解】解：连续抛掷一枚均匀骰子两次，每次抛掷都有种等可能的结果，因此所有等可能结果的总数为． 设两次朝上面的点数分别为，，满足的整数对为：，，，，共种． 根据概率公式，可得所求概率为． 14. 小滨在参观摄影作品时发现艺术家常用错位摄影技巧创造出脑洞大开、充满趣味的“照骗”（如图1），通过思考分析他发现其中蕴含了丰富的数学知识和方法，小滨决定尝试拍摄一张自己拥抱挂在教学楼墙上的圆形校徽雕像的照片．为实现构想需要测量出校徽的直径，为此他在教学楼正前方距墙角点3米的点处，测得，（如图2），其中于点，点在线段上，那么直径________米．（结果精确到0.1．参考数据，，，．） 【答案】1.2 【解析】 【分析】利用得到，，分别用正切求出、，线段差． 【详解】解：已知，米， 在中，， ， 米， 在中，， ， 米， 米． 15. 黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中．若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形中依次裁去以宽为边长的正方形，设第次裁去后剩余矩形的长为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设原黄金矩形长为、宽为，由黄金分割定义得．结合题意，是为第一次裁剪剩余矩形的宽，是为第二次裁剪剩余矩形的宽，利用黄金矩形自相似性，剩余矩形依然是黄金矩形，因此新矩形宽与长的比值仍为黄金分割比，直接推出的值． 【详解】解：设原黄金矩形的长为，宽为， 根据黄金矩形定义：宽:长=，即. 从原矩形裁去边长为宽的正方形后，剩余新矩形的长为原矩形的宽，宽为， 由题意，第一次裁剪后剩余矩形的长，宽为， 剩余矩形仍是黄金矩形，它的宽与长之比依旧等于黄金分割比， 即：， 第二次裁剪后剩余矩形的长为第一次裁剪后剩余矩形的宽，宽为， 即：， 第三次裁剪后剩余矩形的长为第二次裁剪后剩余矩形的宽， ． 16. 如图，过平行四边形的，，三点作圆，交于点．若，，且与相切于点，则平行四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，，证明，得到，求出，延长交于点，连接，求出四边形中以为底的高，即可求面积． 【详解】解：连接，，，， 设，则， ， ， 是切线， ， ， 又， ， ，即， ， 交于点，连接， ，在上， ， 是等腰三角形， 又与相切于点， ， 是四边形中以为底的高， 又四边形是平行四边形， ，， 根据等腰三角形性质，， 根据勾股定理，， ． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项化简，最后代入计算求值即可． 【详解】解：       ， 当时 ，原式 ． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解∶， 方程两边同时乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 19. 2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造书香校园氛围，某校开展“经典诵读”知识竞赛．全校七年级共10个班，每班选派8名选手参赛．其中701班选手的得分整理如下：85，92，85，90，85，88，92，91． （1）求701班参赛选手成绩的众数和中位数． （2）若91分及以上为“优秀”，小滨在统计时发现全校七年级参赛选手的优秀率与701班相同，请求出全校七年级参赛选手中“优秀”的总人数． 【答案】（1）众数为，中位数为 （2）全校七年级参赛选手中“优秀”的总人数为人 【解析】 【分析】（1）众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数需要先将数据从小到大排序，数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数； （2）先算出701班的优秀率，全校优秀率和701班相同，先求出全校参赛总人数，再用总人数优秀率得到优秀总人数． 【小问1详解】 解：先把701班选手成绩从小到大排序： 85，85，85，88，90，91，92，92， 数字85出现了3次，出现次数最多，因此众数为85； 一共8个数据，中间两个是第4个88和第5个90， 中位数． 【小问2详解】 解：701班优秀人数：成绩里91、92、92满足91分及以上，共3人． 701班参赛总人数：8人， 701班优秀率， 共10个班，每班8人，总人数（人）， 全校优秀率和701班相同，因此优秀总人数：， 综上，全校七年级参赛选手中“优秀”总人数为30人． 20. 已知是的一次函数，其图象经过点，． （1）求这个函数的表达式． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）分别求出时和时的函数值，根据函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的一次函数， ∴设该函数的表达式为， ∵其图象经过点，， ∴，解得， ∴这个函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∵函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，． 21. 在正方形中，点为的中点，射线交的延长线于点． （1）请判别四边形的形状，并说明理由． （2）求的值． 【答案】（1）四边形是平行四边形； ∵四边形是正方形， ∴ ∴ 又∵点为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，结合正方形的性质，即可得证； （2）设，则，根据正方形的性质，以及勾股定理求得，进而代入三角形的周长公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 22. 【问题背景】 风筝，古称“纸鸢”，是中国传统手工艺瑰宝，其经典骨架结构的平面图如图1所示．某校开展“传统工艺中的数学”探究活动，对风筝骨架展开证明与计算． 【数学理解】 如图2，在风筝骨架中，，，分别是两个等圆和的弧，且． （1）求证：． （2）在制作好风筝骨架结构后，需贴上如图1所示的风筝纸，其中，，，求所需风筝纸的面积（点，，三处的装饰物不计）． 【答案】（1）证明：∵，分别是两个等圆和的弧，且， ∴， 又∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等弧对等弦得出，进而根据证明； （2）连接，设交于点，证明四边形是菱形，进而求得其面积，再求得扇形的面积，进而求得风筝的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴所需风筝纸的面积为． 23. 已知二次函数（为常数，且）．它的图象经过，两点． （1）求二次函数的顶点坐标（用含的代数式表示）． （2）若，当，时，请比较，的大小． （3）若，，当时，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将二次函数一般式通过配方法化为顶点式，即为顶点坐标； （2）由（1）得抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，抛物线上点到对称轴距离越远，函数值越大，分别计算到对称轴的距离范围，对比距离大小即可判断； （3）把代入解析式求，把代入解析式求；将代入分式，化简得到只含的代数式；根据自变量范围，结合二次函数的性质求最大值． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为直线， ∵，故开口向上． ∵二次函数的图象经过，两点 ∴到对称轴的距离，到对称轴的距离 ∵， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∴到对称轴的距离， ∴， ∵开口向上时，距离对称轴越近函数值越小， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴将代入得，， 将代入得，， ∴， ∴， 令， ∵，故抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当取最小值时，取最大值， 即当时，取最大值，此时． 24. 如图，是的直径，延长至点，切于点，点在劣弧上，且，连接，，． （1）求证：． （2）求证：． （3）已知，，求线段的长． 【答案】（1）∵是的切线， ∴，即 ∵是的直径， ∴，即 ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据等角的余角相等得出； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据已知可得，，设，则得出，根据得出，，过作于点，令，根据勾股定理求得，进而得出，求得，，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∴ 设，则， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴ 解得 ∴， 过作于点，令， ∵ ∴ 在中， ∴ ∴， 在中， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026初中学业水平模拟测试（二） 数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸指定位置写上学校、班级、姓名、座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 试题卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、选错均不得分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 2026年春运期间，全国跨区域人员流动量日均达人次，比2025年同期增长，再创历史新高．其中可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一次函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数图象经过 B. 随的增大而减少 C. 直线平行于直线 D. 函数图象在第一、三、四象限 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 为了考察甲、乙两地小麦的长势情况，小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（ ） A. 甲、乙两地小麦高度的平均值相等 B. 甲、乙两地都随机抽取了10株小麦的高度 C. 若，则甲地小麦长得比较整齐 D. 甲、乙两地小麦高度的中位数相等 7. 某校乐队193人准备乘车外出参加文艺汇演．现已预备了大客车和中巴车共8辆，其中大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐满．设学校预备大客车辆，中巴车共辆，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 8. 如图是一个几何体的三视图，则可求得该几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，(其中)都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，，，满足，则面积的最小值是（ ）． A. 24 B. C. D. 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. ________． 12. 不等式组的解集是________． 13. 把一枚均匀的骰子（各个面上的点数分别是1～6）连续抛掷两次，则骰子两次朝上面的点数积是6的概率是________． 14. 小滨在参观摄影作品时发现艺术家常用错位摄影技巧创造出脑洞大开、充满趣味的“照骗”（如图1），通过思考分析他发现其中蕴含了丰富的数学知识和方法，小滨决定尝试拍摄一张自己拥抱挂在教学楼墙上的圆形校徽雕像的照片．为实现构想需要测量出校徽的直径，为此他在教学楼正前方距墙角点3米的点处，测得，（如图2），其中于点，点在线段上，那么直径________米．（结果精确到0.1．参考数据，，，．） 15. 黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中．若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形中依次裁去以宽为边长的正方形，设第次裁去后剩余矩形的长为，则的值为________． 16. 如图，过平行四边形的，，三点作圆，交于点．若，，且与相切于点，则平行四边形的面积为________． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解分式方程：． 19. 2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造书香校园氛围，某校开展“经典诵读”知识竞赛．全校七年级共10个班，每班选派8名选手参赛．其中701班选手的得分整理如下：85，92，85，90，85，88，92，91． （1）求701班参赛选手成绩的众数和中位数． （2）若91分及以上为“优秀”，小滨在统计时发现全校七年级参赛选手的优秀率与701班相同，请求出全校七年级参赛选手中“优秀”的总人数． 20. 已知是的一次函数，其图象经过点，． （1）求这个函数的表达式． （2）当时，求的取值范围． 21. 在正方形中，点为的中点，射线交的延长线于点． （1）请判别四边形的形状，并说明理由． （2）求的值． 22. 【问题背景】 风筝，古称“纸鸢”，是中国传统手工艺瑰宝，其经典骨架结构的平面图如图1所示．某校开展“传统工艺中的数学”探究活动，对风筝骨架展开证明与计算． 【数学理解】 如图2，在风筝骨架中，，，分别是两个等圆和的弧，且． （1）求证：． （2）在制作好风筝骨架结构后，需贴上如图1所示的风筝纸，其中，，，求所需风筝纸的面积（点，，三处的装饰物不计）． 23. 已知二次函数（为常数，且）．它的图象经过，两点． （1）求二次函数的顶点坐标（用含的代数式表示）． （2）若，当，时，请比较，的大小． （3）若，，当时，求的最大值． 24. 如图，是的直径，延长至点，切于点，点在劣弧上，且，连接，，． （1）求证：． （2）求证：． （3）已知，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $