精品解析：2025年浙江省杭州市西湖区九年级中考二模数学试卷

2025年初中数学毕业生学业水平练习 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 世界上陆地海拔最低的四个地方主要分布在极端干旱或地质活动频繁的洼地、湖泊及盆地中，以下是具体信息： 地区 阿萨勒湖 艾丁湖 盖塔拉洼地 死海 最低海拔（m） 其中海拔最低的是（ ） A. 阿萨勒湖 B. 艾丁湖 C. 盖塔拉洼地 D. 死海 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小的比较． 直接比较各个数据大小即可． 【详解】解：∵， ∴ 其中海拔最低是死海， 故答案为∶D． 2. 以下图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，则A符合题意； B、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则B不符合题意； C、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则D不符合题意； 故选：A． 3. 2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．据悉，神舟十九号载人飞船在绕地球轨道飞行时的动能大约为228000000000焦耳．数据228000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式为的形式，解题的关键要正确确定的值以及的值．数据228000000000用的形式表示出来，其中，为整数． 【详解】解：数据228000000000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列各式中，运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘单项式，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘单项式法则逐项排除即可， 【详解】解： A、与不可以合并，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 5. 据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（ ） A. 6，14 B. 22.5，14 C. 22.5，23 D. 22，23 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现最多的数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【详解】解：根据图表可知：23出现次数最多，则众数为23； 共有30双鞋， 中位数是地15、16个数的平均数， 中位数是． 故答案为：C． 6. 如图，在中，点D在边上，，分别交于点E，F，G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由可得出得出，，再利用相似三角形的性质可得出，，进而判断解答．牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键． 详解】解：， ，， ，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误， 故选：B． 7. 如图，为的直径，点C在上，若，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键． 先确定为等边三角形，则求出度数，再由弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴长为：， 故选：C． 8. 反比例函数的图象在第二、四象限，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，二次函数图象与性质，首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案，掌握反比例函数的性质与二次函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴二次函数的开口方向向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在轴右侧， ∴选项符合题意， 故选：． 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，完全平方公式，熟练掌握定理和灵活进行公式变形是解题的关键． 根据根与系数关系得出，，再根据，代入求解即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得： 故选：A． 10. 已知中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由已知可得，延长至，使得，连接，即可得，进而可得，得到，由等腰三角形的性质可得，即可由三角形外角性质得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 如图，延长至，使得，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故答案为：． 13. 一个不透明的袋子中有4个白球，2个红球和个黑球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸一个球，摸到黑球的概率为，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，解分式方程，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 由概率公式，根据摸到黑球的概率为，得，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得： 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 故答案为：4． 14. 如图，为的两条切线，点A，B为切点，点C在劣弧上．若，则的度数为_____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆内接四边形，圆周角定理，在优弧上取点，连接，根据圆内接四边形的对角互补，求出的度数，圆周角定理求出的度数，再根据切线的性质，推出，进行求解即可． 【详解】解：优弧上取点，连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∵为的两条切线，点A，B为切点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为，若同款的7个碗叠放在一起总高度为，则一个碗的高度为____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设一个碗的高度为，每增加一个水杯，增加的高度为，根据“4个碗叠放在一起总高度为，若同款的7个碗叠放在一起总高度为”列出二元一次方程组，计算即可求解． 【详解】解：设一个碗的高度为，每增加一个水杯，增加的高度为， 根据题意得， 解得， ∴一个碗的高度为， 故答案为：7． 16. 如图，在中，，，点O为中点，连接，正方形在内部，边交于点G，连接，．若点G为中点，，，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及解直角三角形的相关计算，三角形全等的性质及判定，正确作出辅助线，运用相关性质定理是正确解答此题的关键． 连接，作于，于，交于，证明四边形是平行四边形，得，证明，得，根据勾股定理求得，根据及，可求，，同理可求，，在 中，，在中，用勾股定理即可求的长． 【详解】解：连接，作于，于，交于， ，，为中点， ，， ，， 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，点G为中点，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 同理可求，， ， 中，， ， 中，， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，分式的化简． （1）先化简绝对值并计算乘方，再算乘法，最后算减法即可； （2）先根据同分母的减法运算法则计算，再变形约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 某中学举行“垃圾分类投放和分类处理”知识竞赛，随机抽取部分学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图．（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值） 抽取的学生的成绩频数表 组别/分 频数 频率 60～70 5 70～80 10 80～90 90～100 18 请根据所给信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，_______． （2）补全频数分布直方图． （3）若成绩在80分以上为优秀，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有多少名？ 【答案】（1），； （2）见解析 （3）560名 【解析】 【分析】本题主要考查了频数与频率分布表，频数分布直方图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）用70～80这一组的频数除以频率求出参与调查的学生数，进而求出a、b、c的值即可； （2）根据（1）所求补全统计图即可； （3）用800乘以样本中成绩在80分以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：名， ∴一共抽取了50名学生， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：补全统计图如下所示： 【小问3详解】 解：名， 答：估计参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有560名． 19. 如图，在中，，，． （1）求线段的长； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，正切函数的定义． （1）过点作于点，则，在中，由勾股定理求解即可； （2）在中，利用正切函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴． 20. 在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2． （1）求k的值和点B的坐标． （2）若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D． ①求m的值． ②求的面积， 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再联立两函数解析式求出点B坐标即可； （2）①先表示出平移后的直线解析式，进而利用待定系数法求出平移后的解析式，即m的值；②求出点D坐标，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， 把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴； 【小问2详解】 解：①函数的图象向下平移个单位后的函数解析式为， ∵函数的图象经过， ∴， ∴； ②由①可得平移后的函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴． 21. 老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则． （1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由． （2）连接，交点为，若，，求点P到直线的距离． 【答案】（1）正确，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据作图可证明四边形是菱形，则； （2）根据菱形得到对角线互相垂直，对角线互相平分，由勾股定理求出，即可得到，设点P到直线的距离为，然后由面积法得到，即可求解． 【小问1详解】 解：小亮的作法正确，理由如下： 连接， 由题意可得：， ∴四边形是菱形， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P到直线的距离为， 则， ∴， ∴点P到直线的距离为． 22. 小敏和小慧去西湖风景区游玩，约好在少年宫广场见面．如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上．小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场．同时，小慧从B地出发，骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟．两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图2所示．（公交车的停车时间忽略不计） （1）求公交车的平均速度． （2）求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧． （3）在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求的值． 【答案】（1）400米/分钟 （2）分钟 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数在行程问题中的应用．解题关键是从函数图象获取路程、时间等关键信息，结合行程问题基本公式通过待定系数法确定函数表达式，再根据不同情境建立方程求解． （1）根据图象得出坐公交车行驶的路程和坐公交车的时间，即可解答； （2）先求出小慧出发时距离地的距离，小慧的速度已知为200米/分钟，可得到小慧距离地的路程与时间的函数关系式；再求出小敏坐公交车时距离地的路程与时间的函数关系式，然后联立两个函数关系式求解交点的横坐标，即为小敏追上小慧的时间． （3）分两种情况讨论，即小敏在小慧后面400米和小敏在小慧前面400米，根据两人的路程关系列方程求解． 【小问1详解】 解：从图象可知，小敏坐公交车行驶的路程为米，坐公交车的时间是分钟． ∴公交车的平均速度米/分钟． 【小问2详解】 小慧出发时距离地1800米，则有． 小敏坐公交车时，设，把，代入可得： 解得 所以小敏坐公交车时（）． 联立得， 解得：， 所以同时出发后，经过25分钟小敏追上小慧． 【小问3详解】 情况一：小敏在小慧后面400米， 解得． 情况二：小敏在小慧前面400米 此时 解得， 综上，t的值 为23或27． 23. 在直角坐标系中，设函数（m是常数）． （1）当时，求该函数图象与x轴的交点坐标． （2）若点，，都在该函数图象上，点A不与点B，C重合． ①比较，的大小． ②若，，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②当时，或；当时，或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）当时，代入函数解析式，进而可求顶点坐标即可； （2）①根据题意确定点B为顶点坐标，函数值最小，即可求解；②将点C代入函数解析式得出或，然后分情况分析即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 解得：， ∴与x轴的交点坐标为； 【小问2详解】 ①， ∴对称轴为：， ∵抛物线开口向上， ∴点B为顶点坐标，函数值最小， ∴； ②当时，， 将点C代入函数解析式为：， 解得：或， 当时，， ∴，解得：或； 当时，， ∴，解得：或； ∴当时，或；当时，或． 24. 综合与实践 我们已经学过，在中，若，则三角形三边满足勾股定理：． 【知识应用】 （）如图，在中，于点D，若，则，请说明理由． 【拓展探究】 （）如图，在中，于点，点是的中点，连接． 求证：． 【拓展应用】 （）如图，在中，点在边上（不与点重合），点在边上（不与点重合），连接，，点为的外心，连接，求证：． 【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）证明见解析 【解析】 【分析】（）利用勾股定理可得，，进而相减即可求证； （）过点作于点，由勾股定理得，，又由点是的中点得，进而相减可得，再根据平行线等分线段定理可得，进而即可求证； （）连接，延长交于点，由三角形外心可得，即可得，得到，利用补角性质可得，即得，即得到，再利用勾股定理解答即可求证． 【详解】（）证明：∵， ∴， ∴，， ∴ ； （）证明：如图，过点作于点，则， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴； （）证明：如图，连接，延长交于点， ∵点为的外心， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外心，补角性质，平行线等分线段定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中数学毕业生学业水平练习 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 世界上陆地海拔最低的四个地方主要分布在极端干旱或地质活动频繁的洼地、湖泊及盆地中，以下是具体信息： 地区 阿萨勒湖 艾丁湖 盖塔拉洼地 死海 最低海拔（m） 其中海拔最低的是（ ） A. 阿萨勒湖 B. 艾丁湖 C. 盖塔拉洼地 D. 死海 2. 以下图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．据悉，神舟十九号载人飞船在绕地球轨道飞行时的动能大约为228000000000焦耳．数据228000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，运算结果为是（ ） A. B. C. D. 5. 据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（ ） A. 6，14 B. 22.5，14 C. 22.5，23 D. 22，23 6. 如图，在中，点D在边上，，分别交于点E，F，G，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，点C在上，若，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数的图象在第二、四象限，则二次函数的大致图象是（ ） A B. C. D. 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（ ） A B. 8 C. D. 10. 已知中，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：__________． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 13. 一个不透明的袋子中有4个白球，2个红球和个黑球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸一个球，摸到黑球的概率为，则的值为_____． 14. 如图，为的两条切线，点A，B为切点，点C在劣弧上．若，则的度数为_____． 15. 如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为，若同款的7个碗叠放在一起总高度为，则一个碗的高度为____． 16. 如图，在中，，，点O为中点，连接，正方形在内部，边交于点G，连接，．若点G为中点，，，则线段的长为_____． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 某中学举行“垃圾分类投放和分类处理”知识竞赛，随机抽取部分学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图．（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值） 抽取的学生的成绩频数表 组别/分 频数 频率 60～70 5 70～80 10 80～90 90～100 18 请根据所给信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，_______． （2）补全频数分布直方图． （3）若成绩在80分以上为优秀，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的800名学生中成绩优秀的学生约有多少名？ 19. 如图，在中，，，． （1）求线段的长； （2）求的值． 20. 在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2． （1）求k的值和点B的坐标． （2）若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D． ①求m的值． ②求的面积， 21. 老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则． （1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由． （2）连接，交点为，若，，求点P到直线的距离． 22. 小敏和小慧去西湖风景区游玩，约好在少年宫广场见面．如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上．小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场．同时，小慧从B地出发，骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟．两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图2所示．（公交车的停车时间忽略不计） （1）求公交车的平均速度． （2）求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧． （3）在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求的值． 23. 在直角坐标系中，设函数（m是常数）． （1）当时，求该函数图象与x轴的交点坐标． （2）若点，，都在该函数图象上，点A不与点B，C重合． ①比较，的大小． ②若，，直接写出n的取值范围． 24. 综合与实践 我们已经学过，中，若，则三角形三边满足勾股定理：． 【知识应用】 （）如图，在中，于点D，若，则，请说明理由． 【拓展探究】 （）如图，在中，于点，点是的中点，连接． 求证：． 【拓展应用】 （）如图，在中，点在边上（不与点重合），点在边上（不与点重合），连接，，点为的外心，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$