2025-2026学年苏科版数学八年级下册期末仿真模拟卷（提优卷）

**基本信息** 苏科版八年级下学期数学期末提优卷，以社区便民服务调查、全运会纪念品等真实情境为载体，通过统计估计、几何折叠等问题设计，考查数据意识、几何直观与推理能力，适配期末提优训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|统计抽样、分式性质、概率估计|社区居民满意度调查（第1题）考查抽样合理性，体现数据意识| |填空题|10/30|分解因式、梯形距离、菱形角度|赵爽弦图概率计算（第9题）融合文化传承与几何直观| |解答题|10/96|几何折叠、动点问题、经济应用|全运会纪念品购买方案（22题）结合社会热点，几何折叠综合题（27题）考查推理能力|

2025-2026学年苏科版八年级下学期数学 期末仿真模拟卷（提优卷） （考试形式：闭卷 满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 1．（2026•小店区模拟）为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（　　） A．只抽取社区内60岁以上的老年居民 B．随机抽取社区内某一栋楼的全体居民 C．在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民 D．将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民 【分析】根据抽样调查和全面调查的定义进行分析即可． 【解答】解：根据抽样调查和全面调查的定义进行分析如下： A、不具有普遍性，故本选项不符合题意； B、不具有普遍性，故本选项不符合题意； C、不具有普遍性，故本选项不符合题意； D、该抽样调查的方式合适，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（2026•高港区一模）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【分析】根据题意，由x＝﹣1时，y＝0，则可判断A、C、D不符合题意，再根据x＝1时，y无意义，则可判断分母为0，由此可判断出结果． 【解答】解：观察表格可知，当x＝﹣1时，y＝0， 所以选项B符合题意， 当x＝1时，y无意义，即分母为0， 所以只有选项B符合题意． 故选：B． 3．（2026•朝阳区校级模拟）为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况： 实验总次数 80 150 300 500 800 1200 有效催化频数 74 131 271 453 727 1093 有效催化频率 0.925 0.873 0.903 0.906 0.909 0.911 由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（　　）（结果精确到0.01） A．0.87 B．0.90 C．0.91 D．0.92 【分析】利用频率估计概率即可． 【解答】解：由表格可知，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定在0.91附近， 因此，可估计该新型催化剂的有效催化概率约为0.91， 故选：C． 4．（2026春•惠山区校级月考）已知ab＞0，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【解答】解：∵ab＞0， ∴a，b同号， ∵﹣a2b＞0，且a2＞0， ∴﹣b＞0， ∴﹣a＞0， ∴． 故选：D． 5．（2026•奎文区二模）如图，两个等宽的矩形纸带交叉叠合能得到四边形ABCD，连接BD．若∠DCF＝46°，则∠BDE的度数为（　　） A．120° B．143° C．157° D．162° 【分析】过A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，由平行四边形的面积公式推出BC＝CD，得到∠CBD＝∠CDB，由三角形的外角性质求出∠CBD＝23°，由平行线的性质即可求出∠BDE的度数． 【解答】解：过A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N， ∵两个纸带是等宽的矩形， ∴AM＝AN，AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵▱ABCD的面积＝BC•AM＝CD•AN， ∴BC＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠CBD+∠CDB＝∠DCF＝46°， ∴∠CBD∠DCF＝23°， ∵AD∥BC， ∴∠BDE+∠CBD＝180°， ∴∠BDE＝157°． 故选：C． 6．（2025秋•平原县月考）若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【解答】解：（3m+2）2﹣9m2＝（3m+2+3m）（3m+2﹣3m）＝2（6m+2）＝4（3m+1）， 4（3m+1）的值总能被4整除， 因此（3m+2）2﹣9m2的值总能被4整除， 故选：A． 7．（2025秋•市中区校级月考）二次根式除法可以这样解：如7+4．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　） ①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算1； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或7﹣2，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足（x）（y）＝2022，则（x+y）2+2022＝2022； ⑥若x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n＝2． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【分析】①a1，把直接分母有理化即可判断； ②把和分别分母有理化比较大小即可； ③把的各项先分母有理化，再裂成两项计算即可； ④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断； ⑤先化简成xy和yx两个式子，把两个式子相加即可求出x+y＝0，再判断即可； ⑥分别把x和y分母有理化，求出x+y和xy的值，代入19x2+123+19y2＝1985，求出x2+y2＝98，再求出x+y的值即可． 【解答】解：①若a是的小数部分，则33， 故①错误，不符合题意； ②∵，，， ∴， 故②正确，符合题意； ③ ... ＝1... ＝1 ＝1， 故③错误； ④， ， ， ∴均不能对其分母有理化， 故④正确； ⑤∵（x）（y）＝2022， ∴（x）， ∴xy， 同理yx， 两式相加得，x+y＝0， ∴（x+y）2+2022＝2022， 故⑤正确； ⑥x2n+1﹣2， y2n+1+2， ∴x+y＝4n+2，xy＝1，x＞0，y＞0， ∴19x2+123+19y2＝1985， ∴x2+y2＝98， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝100， ∴x+y＝10， ∴n＝2， 故⑥正确； 故选：C． 8．（2026•鄂州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在AB和AD上分别有点M、N，连CM、CN、CA．点B关于CM的对称点H，点D关于CN的对称点G，若H、G刚好邻落在对角线AC上，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用矩形性质和轴对称性质，先求出对角线AC的长度，再根据对称得到对应线段相等，结合勾股定理列方程求出AM、AN的长度，最后在Rt△AMN中用勾股定理计算MN的长度． 【解答】解：连接MH、GN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝8，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°， ∴， ∵点D关于CN的对称点为G，点B关于CM的对称点为H， ∴MH＝MB，NG＝ND，∠CHM＝∠B＝90°，∠CGN＝∠D＝90°，CH＝CB＝6，CG＝CD＝8， ∴AG＝AC﹣CG＝10﹣8＝2，∠AHM＝∠AGN＝90°，AH＝AC﹣CH＝10﹣6＝4， 设MB＝MH＝x，则AM＝AB﹣MB＝8﹣x， ∵∠AHM＝90°， ∵AM2＝AH2+MH2， ∴（8﹣x）2＝42+x2， 解得x＝3， ∴AM＝8﹣3＝5， 设ND＝NG＝y，则AN＝AD﹣ND＝6﹣y， 在Rt△ANG中，∠AGN＝90°， ∵AN2＝AG2+NG2， ∴（6﹣y）2＝22+y2， 解得， ∴， 在Rt△AMN中，∠MAN＝90°， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（2026•高要区二模）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比为1：3．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为　　 ． 【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比． 【解答】解：设两直角边分别为x，3x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为2x， 所以S大正方形＝10x2，S小正方形＝4x2， 则针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 10．（2026•哈尔滨模拟）分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　（x﹣y）（a+3）（a﹣3）　 ． 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：a2（x﹣y）+9（y﹣x） ＝（x﹣y）（a2﹣9） ＝（x﹣y）（a+3）（a﹣3）， 故答案为：（x﹣y）（a+3）（a﹣3）， 11．（2026•洛阳模拟）外卖员小李2026年3月送餐1500单的统计数据如表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 70% 30% 送餐费 2元/单 3元/单 则小李2026年3月份的送餐收入为　3450　 元． 【分析】用乘法计算出两种单的收入，再相加即可． 【解答】解：1500×70%×2+1500×30%×3＝3450（元）， 故答案为：3450． 12．（2026•北碚区校级模拟）若实数x，y同时满足，|x|﹣y＝4，则xy的值为　　 ． 【分析】先根据二次根式的性质得|y|，再根据绝对值的非负性，得到x＝|y|+2＞0，|x|＝y+4≥0，进而得到y≥﹣4，进而得到关于y的一元一次方程，求出y的值，进而求出x的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【解答】解：∵|y|， ∴x＝|y|+2＞0，|x|＝y+4≥0， ∴y≥﹣4， ∴|x|＝x＝|y|+2＝y+4， 当y≥0时，方程无解， 当﹣4≤y＜0时，﹣y+2＝y+4， ∴y＝﹣1， ∴x＝|y|+2＝3， ∴xy＝3﹣1． 故答案为：． 13．（2026春•朝阳区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，则AD与BC之间的距离为　2　 ． 【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据矩形的性质求出EC，进而求出BE，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E， ∵AD∥BC，∠C＝90°，AE⊥BC， ∴四边形AECD为矩形， ∴EC＝AD＝3， ∴BE＝BC﹣EC＝5﹣3＝2， 由勾股定理得：AE2， ∴AD与BC之间的距离为2， 故答案为：2． 14．（2025秋•芝罘区期末）已知a+b＝﹣4，ab＝﹣21，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为 　88　 ． 【分析】题中给了a+b，ab的值，那么应该把所求的代数式进行因式分解，整理成包含a+b，ab的形式．所求的代数式有四项，应采用分组分解法：“三、一”分组或“两、两”分组．题中没有符合完全平方式的三项，适合“两、两”分组：前两项为一组，后两项为一组．分解到底后，代入求值即可． 【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b+ab2）﹣（a+b）＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）． ∵a+b＝﹣4，ab＝﹣21， ∴原式＝（﹣21﹣1）×（﹣4）＝88． 故答案为：88． 15．（2026春•武汉月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是BD上一点，EA＝EB，EF⊥BC于点F，则∠AEF的度数为　150°　 ． 【分析】由菱形的性质得∠ABE∠ABC＝40°，再由等腰三角形的性质得∠BAE＝∠ABE＝40°，然后求出∠EFB＝90°，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°， ∴∠ABE∠ABC＝40°， ∵EA＝EB， ∴∠BAE＝∠ABE＝40°， ∵EF⊥BC， ∴∠EFB＝90°， ∴∠AEF＝360°﹣∠ABC﹣∠EFB﹣∠BAE＝360°﹣80°﹣90°﹣40°＝150°， 故答案为：150°． 16．（2026春•金牛区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且代数式的值是整数，则符合条件的所有整数a的值的和为　﹣2　 ． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出a的取值范围，再结合代数式的值是整数，求出所有符合条件的整数a的值的和即可． 【解答】解：由2x﹣1≤3（x﹣2）得，x≥5， 由得，x＞a+2． 因为该不等式组的解集为x≥5， 所以a+2＜5， 解得a＜3． 又因为代数式的值是整数， 所以符合条件的所有整数a为2，0，﹣1，﹣3， 则2+0+（﹣1）+（﹣3）＝﹣2， 所有符合条件的所有整数a的值的和为﹣2． 故答案为：﹣2． 17．（2026•寒亭区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E为矩形ABCD内一动点，连接AE，DE，BE，∠AED＝90°，点M，N分别为BE，BC的中点，连接MN，则MN的最小值为 　　 ． 【分析】设AD的中点为O，连接OB，OC，CE，则OD＝OA＝2，再由勾股定理求出OC，依题意得点E在以O为圆心，以2为半径的圆上（正方形ABCD内部的半圆上），则OE＝OD＝2，证明MN是△BCE的中位线得MNCE，由此得当CE为最小时，MN为最小，MN的最小值为CE，根据“两点之间线段最短”得CE≥OC﹣OE，据此可得MN的最小值． 【解答】解：设AD的中点为O，连接OB，OC，CE，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4， ∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠OCD＝90°， ∴△OCD是直角三角形， ∵点O是AD的中点， ∴OD＝OAAD＝2， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC， ∵点E为矩形ABCD内一动点，且∠AED＝90°， ∴点E在以O为圆心，以2为半径的圆上（正方形ABCD内部的半圆上）， ∴OE＝OD＝2， ∵点M，N分别为BE，BC的中点， ∴MN是△BCE的中位线， ∴MNCE， ∴当CE为最小时，MN为最小，MN的最小值为1/2CE， 根据“两点之间线段最短”得：CE+OE≥OC， ∴CE≥OC﹣OE， ∴MN的最小值为． 18．（2026•临川区二模）如图，正方形ABCD的边长为8，对角线AC，BD交于点O，点M在边AD上，且DM＝1，点P是边AD上的动点，连接OP，OM，当△OPM是等腰三角形时，OP的长为　5或或　 ． 【分析】过点O作OE⊥AD于点E，由题意易得，则有EM＝DE﹣DM＝3，然后根据勾股定理可得，进而可分当OP＝OM时，当PO＝PM时，当MO＝MP时，最后分类进行求解即可． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AD于点E， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为8， ∴， ∵DM＝1， ∴EM＝DE﹣DM＝3． 在Rt△OEM中，． 当OP＝OM时，OP＝5； 当MO＝MP时， ∵MP＝MO＝5， ∴PE＝MP﹣ME＝2， ∴在Rt△OPE中，． 当PO＝PM时，设PO＝PM＝x， ∴PE＝x﹣3， 在Rt△OPE中，OE2+PE2＝OP2，即42+（x﹣3）2＝x2， 解得， ∴； 综上所述，OP的长为5或或． 故答案为：5或或． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2026春•玄武区校级月考）化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先进行因式分解、变除法为乘法，再进行约分化简，最后进行通分、加减运算； （2）先化简二次根式、去括号，再合并同类二次根式． 【解答】解：（1） ＝1 ＝1 ； （2） 2 ＝2． 20．（2026•绵阳二模）联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 10≤x＜20 5 第2组 20≤x＜30 a 第3组 30≤x＜40 35 第4组 40≤x＜50 20 第5组 50≤x＜60 15 （1）请直接写出a＝　25　 ，m＝　20　 ，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　126　 度； （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 【分析】（1）用100乘以第2组的百分比即可求a，求出第4组所占百分比即得m，用360°乘以第3组人所占百分比即得圆心角； （2）根据（1）所得a的值，画图即可； （3）用1800乘以周末阅读时长达到30分钟的百分比即可． 【解答】解：（1）a＝100×25%＝25， 第4组所占百分比为：，则m＝20， 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角为：； （2）由（1）得a＝25，则频数分布直方图如图， （3）周末阅读时长达到30分钟所占百分比为， 若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有：1800×70%＝1260（人）， 答：若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人． 21．（2026•丰台区二模）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点（不与点B，C重合），E是边AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝6，AD＝BD，求DF的长． 【分析】（1）由E是边AC的中点，得到AE＝CE，根据平行线的性质得到∠AFE＝∠CDE，根据全等三角形的性质得到AF＝CD，根据平行四边形的判定定理得到四边形ADCF是平行四边形； （2）根据直角三角形的性质得到ACAB，BCAB＝3，根据勾股定理得到DE，根据平行四边形的性质得到结论． 【解答】（1）证明：∵E是边AC的中点， ∴AE＝CE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠CDE， 在△AEF与△CED中， ， ∴△AEF≌△CED（AAS）， ∴AF＝CD， ∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝6， ∴ACAB，BCAB＝3， ∵AD＝BD，AD2＝AC2+CD2， ∴（3CD）2＝32+CD2， ∴CD， ∴DE， ∵四边形ADCF是平行四边形， ∴DF＝2DE． 22．（2026•南山区三模）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【分析】（1）设B型号纪念品的单价是x元，则A型号纪念品的单价是（x+20）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型号纪念品的单价），再将其代入（x+20）中，即可求出A型号纪念品的单价； （2）设购买y个A型号纪念品，则购买（70﹣y）个B型号纪念品，根据“购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设B型号纪念品的单价是x元，则A型号纪念品的单价是（x+20）元， 根据题意得：2， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意， ∴x+20＝80+20＝100（元）． 答：A型号纪念品的单价是100元，B型号纪念品的单价是80元； （2）设购买y个A型号纪念品，则购买（70﹣y）个B型号纪念品， 根据题意得：， 解得：42≤y≤44， 又∵y为正整数， ∴y可以为42，43，44， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买42个A型号纪念品，28个B型号纪念品； 方案2：购买43个A型号纪念品，27个B型号纪念品； 方案3：购买44个A型号纪念品，26个B型号纪念品． 23．（2026春•雁塔区校级月考）某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开紫色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 【试验设计】由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 试验的植株总数 255 229 20 300 287 开紫花的植株数量 74 71 1 91 86 出现紫花的频率（保留两位小数） 0.29 0.31 a b 0.30 （1）表中a＝　0.05　 ，b＝　30　 ； （2）【理论分析】我们知道，在大量重复的试验中，可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第　三　 组的数据不适合用频率估计概率，理由是　试验的植株数量太少　 ．经过对数据的分析，对你认为一株该植物开出紫花的概率是　0.30　 ．（结果保留两位小数） （3）【实际应用】某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开紫花的该植株有1080棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【分析】（1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【解答】解：（1）表中，； （2）第三组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数量太少； 利用频率估计概率可知一株该植物开出紫花的概率是0.30； （3）1080÷0.30＝3600（棵）， 答：估计该公园此植物植株的总数量为3600棵． 24．（2026春•成武县期中）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． （1）　　 ； （2）　2　 ； （3）计算：； （4）比较的大小，并说明理由． 【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可； （4）利用分子有理化，即可比较大小． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：2； （3）原式 ； （4）．理由如下， ， ， ∵， ∴． 25．（2026春•天山区校级期中）如图①，在▱ABCD中，AD＝12．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发在AD上往返运动；同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿BC运动，到C点停止．当点P、点Q中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点P运动的时间为t（t＞0）秒． （1）当点P从A向D运动时，PD＝　12﹣5t或36﹣5t ，QC＝　12﹣2t ；当点P从D向A运动时，PA＝　24﹣5t （用含t的代数式表示）． （2）如图②，点M、N分别为AD、BC的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有满足条件的t的值． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）分三种情况：当点P第一次从点A向点D运动时，四边形MPNQ为平行四边形，当点P从点D向点A运动时，四边形PNQM为平行四边形，当点P第二次从点A向点D运动时，四边形PNQM为平行四边形，分别画出图形，列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）当点P第一次从A向D运动时，PA＝5t，则PD＝12﹣5t， 当点P第二次从A向D运动时，PA＝5t﹣24，则PD＝12﹣（5t﹣24）＝36﹣5t， ∵BQ＝2t， ∴QC＝12﹣2t； 当点P从D向A运动时，PA＝24﹣5t． （2）点M、N分别为AD、BC的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时， ∵AD＝BC＝12，由题意可得： ∴， 当点P第一次从点A向点D运动时，四边形MPNQ为平行四边形， 则此时PM＝QN， 即5t﹣6＝6﹣2t， 解得：； 当点P从点D向点A运动时，四边形PNQM为平行四边形， 则此时PM＝QN， 即5t﹣12﹣6＝2t﹣6， 解得：t＝4； 当点P第二次从点A向点D运动时，四边形PNQM为平行四边形， 则此时PM＝QN， 即30﹣5t＝2t﹣6， 解得：； 综上，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或4或． 26．（2026春•天府新区校级期中）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，可得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分面积的值为　　 ； （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值； （3）观察图3，可得到乘法公式：（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc ； （4）根据以上知识，解决问题：已知a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3，求代数式a2+4b2+c2的值． 【分析】（1）先由2a+b＝6平方得4a2+4ab+b2＝36，结合4a2+b2＝24求出ab＝3；阴影面积为ab，求出结果即可； （2）设m＝2025﹣y，n＝y﹣2024，则m+n＝1，2mn＝﹣2；利用m2+n2＝（m+n）2﹣2mn计算得5． （3）图3正方形边长为a+2b+c，分割成小图形后面积相加，得展开式a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc； （4）由a+2b+c＝5平方得a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc＝25；将2ab+2bc+ac＝3乘2得4ab+4bc+2ac＝6，代入得a2+4b2+c2＝19． 【解答】解：（1）因为2a+b＝6，4a2+b2＝24， 所以（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝62＝36， 4ab＝36﹣（4a2+b2） ＝36﹣24 ＝12， ab＝3， 阴影面积ab． 故答案为：； （2）设m＝2025﹣y，n＝y﹣2024 （2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2， 即（2025﹣y）×2（y﹣2024）＝﹣2， 所以2mn＝﹣2， m+n＝2025﹣y+y﹣2024＝1， 因为（2025﹣y）2+（y﹣2024）2 ＝m2+n2 ＝（m+n）2﹣2mn ＝12﹣（﹣2） ＝3； （3）（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc； （4）因为a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3， 所以（a+2b+c）2＝52＝25， 因为（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc 4ab+2ac+4bc＝2×（2ab+2bc+ac）＝2×3＝6， a2+4b2+c2＝25﹣6＝19． 27．（2025春•海陵区期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．将三角形纸片沿过点C的直线折叠，使△ACD翻折至△ECD处，折痕为CD，CE交AB于点F． （1）如图1，当DE∥BC时， ①求证：CE⊥AB； ②求BD的长； （2）如图2，连接BE，四边形CBED能否为菱形？若能，试确定点D的位置；若不能，请说明理由； （3）如图3，当DE⊥AB时，仅用圆规在图3中作出点F（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出AF：BF的值． 【分析】（1）①如图1，由折叠得：∠A＝∠E，由平行线的性质得：∠E＝∠ECB，再由直角三角形的性质即可解答； ②先由勾股定理得AB＝5，由三角形的面积法可得CF的长，设AD＝x，则DE＝x，由勾股定理列方程即可解答； （2）根据菱形的判定，结合（1）可知：当DE∥BC时，DE≠BC，四边形CDEB不可能是菱形； （3）如图3，过点C作CP⊥AB于P，再作PB＝FP，即可得点F；如图4，设∠CAD＝α，证明△BCP≌△FCP（ASA），即可得AF和BF的长，即可解答． 【解答】（1）①证明：如图1，由折叠得：∠A＝∠E， ∵DE∥BC， ∴∠E＝∠ECB， ∴∠A＝∠ECB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠ECB+∠B＝90°， ∴∠CFB＝90°， ∴CE⊥AB； ②解：由勾股定理得：AB5， ∵S△ABC3×45×CF， ∴CF， ∴BF， 由折叠得：CE＝AC＝4， ∴EF＝CE﹣CF＝4， 设AD＝x，则DE＝x， ∴DF＝5﹣xx， 在Rt△DEF中，DF2+EF2＝DE2， ∴（x）2+（）2＝x2， ∴x＝2， ∴BD＝5﹣2＝3； （2）解：如图2，四边形CBED不可能是菱形，理由如下： 若四边形CBED为菱形，则DE∥BC，CE⊥BD， 由（1）可知：DE＝2，BC＝3， ∴DE≠BC， ∴四边形CBED不可能是菱形； （3）解：如图3，过点C作CP⊥AB于P，以P为圆心，以PB为半径画弧，交AB于点F，则点F即为所求； 如图4，设∠CAD＝α， 由折叠得：∠CAD＝∠CED＝α， ∵CP⊥AB，DE⊥AB， ∴DE∥CP， ∴∠DEF＝∠FCP＝α， ∵∠BCP+∠B＝∠A+∠B＝90°， ∴∠BCP＝∠CAD＝α， ∵CP＝CP，∠BPC＝∠FPC＝90°， ∴△BCP≌△FCP（ASA）， ∴PB＝FP， ∴BF， ∴AF＝5， ∴． 28．（2024春•靖江市校级期末）在平面直角坐标系中，点A（0，a）、点B（b，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，并且|a﹣3|+（b﹣5）2＝0．点P在第一象限，PA＝PB，且PA⊥PB． （1）如图1，直接写出点P的坐标； （2）如图2，若点A运动到A1的位置，点B运动到B1的位置，保持PA1⊥PB1，求OB1﹣OA1的值； （3）如图3，若点P不变，点A，点B分别运动至AP⊥y轴，BP⊥x轴，点A关于x轴的对称点为点H，点A关于直线PB的对称点为点C，点Q是直线AB上的动点，作PR＝PQ，PR⊥PQ，连接CP、CB、RH、CQ，当CQ+RH取最小值时，求R点坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质得到a﹣3＝0，b﹣5＝0，求得a＝3，b＝5，得到OA＝3，OB＝5，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥y轴于N，如图1所示：根据全等三角形的性质得到PN＝PM，BM＝AN，得到ON＝OM＝4，于是得到P（4，4）； （2）由（1）得PA＝PB，求得∠APA1＝∠BPB1，得到∠PAO＝∠PBB1，根据全等三角形的性质得到AA1＝BB1，求得OB1﹣OA1＝OB+BB1﹣（AA1﹣OA）＝OB+OA＝5+3＝8； （3）连接RB，如图3所示：由点A关于x轴的对称点为点H，点A关于直线PB的对称点为点C，得到H（0，﹣4），C（8，0），CP＝PB，∠CPB＝90°，推出∠QPC＝∠RPB，根据全等三角形的性质得到RB＝QC，如图4，作直线AR于x轴交于点D，推出∠QPB＝∠APR，根据全等三角形的性质得到∠RAP＝∠QBP＝45°，求得∠DAO＝∠ADO＝45°，得到AO＝DO＝4，D（﹣4，0），如图5，作H关于RD的对称点K，连接AK，KR，RH，得到∠KAO＝∠AOB＝90°，根据平行线的判定定理得到KA∥OB，根据轴对称的性质得到KR＝RH，求得QC+RH＝BR+RH＝BR+KR，如图6，当B、R、K三点共线时，BR+KR取得最小值为BK，根据平行线的性质得到∠K＝∠RBD，根据全等三角形的性质得到AR＝RD，即点R是AD的中点，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣5|＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣5＝0， ∴a＝3，b＝5， ∴A（0，3），B（5，0）， ∴OA＝3，OB＝5， 过点P作PM⊥OB于M，PN⊥y轴于N，如图1所示： 则四边形PMON是矩形， ∴∠ANP＝∠BMP＝∠MPN＝90°， ∴∠APN+∠APM＝∠BPM+∠APM， ∴∠APN＝∠BPM， 在△PAN和△PBM中， ∴△PAN≌△PBM（AAS）， ∴PN＝PM，BM＝AN， ∴3+AN＝5﹣BM＝5﹣AN， ∴AN＝1， ∴ON＝OM＝4， ∴P（4，4）； （2）由（1）得PA＝PB， 又∵∠APB＝∠A1PB1＝90°， ∴∠APA1＝∠BPB1， ∵∠PAO+∠PBO＝360°﹣∠AOB﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∠PBB1+∠PBO＝180°， ∴∠PAO＝∠PBB1， 在△PAA1和△PBB1中， ， ∴△PAA1≌△PBB1（ASA）， ∴AA1＝BB1， ∴OB1﹣OA1＝OB+BB1﹣（AA1﹣OA）＝OB+OA＝5+3＝8； （3）连接RB，如图3所示： ∵点A，点B分别运动至AP⊥y轴，BP⊥x轴，P（4，4）， ∴A（0，4），B（4，0）， ∵点A关于x轴的对称点为点H，点A关于直线PB的对称点为点C， ∴H（0，﹣4），C（8，0），CP＝PB，∠CPB＝90°， ∴∠CPB+∠QPB＝∠CPB+∠QPB， ∴∠QPC＝∠RPB， 在△QPC和△RPB中， ， ∴△QPC≌△RPB（SAS）， ∴RB＝QC， 如图4，作直线AR于x轴交于点D， ∵∠APB＝∠RPQ＝90°， ∴∠APB﹣∠APC＝∠RPQ﹣∠APC， ∴∠QPB＝∠APR， 在△APR和△BPQ中， ， ∴△APR≌△BPQ（SAS）， ∴∠RAP＝∠QBP＝45°， ∴点R在直线AR上运动， ∵∠RAP＝45°，∠HAP＝90°， ∴∠DAO＝45°， ∵∠AOD＝90°， ∴∠DAO＝∠ADO＝45°， ∴AO＝DO＝4，D（﹣4，0）， 如图5，作H关于RD的对称点K，连接AK，KR，RH， ∴∠DAK＝∠DAO＝45°，AK＝AH＝DB＝8， ∴∠KAO＝∠AOB＝90°， ∴KA∥OB， 又∵H关于RD的对称点K， ∴KR＝RH， ∴QC+RH＝BR+RH＝BR+KR， 如图6，当B、R、K三点共线时，BR+KR取得最小值为BK， ∵KA∥OB， ∴∠K＝∠RBD， ∴△ARK≌△DRB（AAS）， ∴AR＝RD，即点R是AD的中点， ∴R（﹣2，2）， ∴当CQ+RH取最小值时，R点坐标为（﹣2，2）． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级下学期数学 期末仿真模拟卷（提优卷） （考试形式：闭卷 满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 1．（2026•小店区模拟）为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（　　） A．只抽取社区内60岁以上的老年居民 B．随机抽取社区内某一栋楼的全体居民 C．在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民 D．将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民 2．（2026•高港区一模）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 3．（2026•朝阳区校级模拟）为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况： 实验总次数 80 150 300 500 800 1200 有效催化频数 74 131 271 453 727 1093 有效催化频率 0.925 0.873 0.903 0.906 0.909 0.911 由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（　　）（结果精确到0.01） A．0.87 B．0.90 C．0.91 D．0.92 4．（2026春•惠山区校级月考）已知ab＞0，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 5．（2026•奎文区二模）如图，两个等宽的矩形纸带交叉叠合能得到四边形ABCD，连接BD．若∠DCF＝46°，则∠BDE的度数为（　　） A．120° B．143° C．157° D．162° 6．（2025秋•平原县月考）若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 7．（2025秋•市中区校级月考）二次根式除法可以这样解：如7+4．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　） ①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算1； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或7﹣2，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足（x）（y）＝2022，则（x+y）2+2022＝2022； ⑥若x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n＝2． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 8．（2026•鄂州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在AB和AD上分别有点M、N，连CM、CN、CA．点B关于CM的对称点H，点D关于CN的对称点G，若H、G刚好邻落在对角线AC上，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（2026•高要区二模）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比为1：3．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为　 　 ． 10．（2026•哈尔滨模拟）分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　 　 ． 11．（2026•洛阳模拟）外卖员小李2026年3月送餐1500单的统计数据如表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 70% 30% 送餐费 2元/单 3元/单 则小李2026年3月份的送餐收入为　 　 元． 12．（2026•北碚区校级模拟）若实数x，y同时满足，|x|﹣y＝4，则xy的值为　 　 ． 13．（2026春•朝阳区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，则AD与BC之间的距离为　 　 ． 14．（2025秋•芝罘区期末）已知a+b＝﹣4，ab＝﹣21，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为 　 　 ． 15．（2026春•武汉月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是BD上一点，EA＝EB，EF⊥BC于点F，则∠AEF的度数为　 　 ． 16．（2026春•金牛区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且代数式的值是整数，则符合条件的所有整数a的值的和为　 　 ． 17．（2026•寒亭区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E为矩形ABCD内一动点，连接AE，DE，BE，∠AED＝90°，点M，N分别为BE，BC的中点，连接MN，则MN的最小值为 　 　 ． 18．（2026•临川区二模）如图，正方形ABCD的边长为8，对角线AC，BD交于点O，点M在边AD上，且DM＝1，点P是边AD上的动点，连接OP，OM，当△OPM是等腰三角形时，OP的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2026春•玄武区校级月考）化简： （1）； （2）． 20．（2026•绵阳二模）联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 10≤x＜20 5 第2组 20≤x＜30 a 第3组 30≤x＜40 35 第4组 40≤x＜50 20 第5组 50≤x＜60 15 （1）请直接写出a＝　 　 ，m＝　 　 ，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　 　 度； （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 21．（2026•丰台区二模）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点（不与点B，C重合），E是边AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝6，AD＝BD，求DF的长． 22．（2026•南山区三模）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 23．（2026春•雁塔区校级月考）某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开紫色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 【试验设计】由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 试验的植株总数 255 229 20 300 287 开紫花的植株数量 74 71 1 91 86 出现紫花的频率（保留两位小数） 0.29 0.31 a b 0.30 （1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）【理论分析】我们知道，在大量重复的试验中，可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第　 　 组的数据不适合用频率估计概率，理由是　 　 ．经过对数据的分析，对你认为一株该植物开出紫花的概率是　 　 ．（结果保留两位小数） （3）【实际应用】某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开紫花的该植株有1080棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 24．（2026春•成武县期中）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． （1）　 　 ； （2）　 　 ； （3）计算：； （4）比较的大小，并说明理由． 25．（2026春•天山区校级期中）如图①，在▱ABCD中，AD＝12．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发在AD上往返运动；同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿BC运动，到C点停止．当点P、点Q中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点P运动的时间为t（t＞0）秒． （1）当点P从A向D运动时，PD＝　 　 ，QC＝　 　 ；当点P从D向A运动时，PA＝　 　 （用含t的代数式表示）． （2）如图②，点M、N分别为AD、BC的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有满足条件的t的值． 26．（2026春•天府新区校级期中）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，可得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分面积的值为　 　 ； （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值； （3）观察图3，可得到乘法公式：（a+2b+c）2＝　 　 ； （4）根据以上知识，解决问题：已知a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3，求代数式a2+4b2+c2的值． 27．（2025春•海陵区期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．将三角形纸片沿过点C的直线折叠，使△ACD翻折至△ECD处，折痕为CD，CE交AB于点F． （1）如图1，当DE∥BC时， ①求证：CE⊥AB； ②求BD的长； （2）如图2，连接BE，四边形CBED能否为菱形？若能，试确定点D的位置；若不能，请说明理由； （3）如图3，当DE⊥AB时，仅用圆规在图3中作出点F（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出AF：BF的值． 28．（2024春•靖江市校级期末）在平面直角坐标系中，点A（0，a）、点B（b，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，并且|a﹣3|+（b﹣5）2＝0．点P在第一象限，PA＝PB，且PA⊥PB． （1）如图1，直接写出点P的坐标； （2）如图2，若点A运动到A1的位置，点B运动到B1的位置，保持PA1⊥PB1，求OB1﹣OA1的值； （3）如图3，若点P不变，点A，点B分别运动至AP⊥y轴，BP⊥x轴，点A关于x轴的对称点为点H，点A关于直线PB的对称点为点C，点Q是直线AB上的动点，作PR＝PQ，PR⊥PQ，连接CP、CB、RH、CQ，当CQ+RH取最小值时，求R点坐标． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $