期末复习必考点7：二次根式（分层练习）2025-2026学年八年级下册苏科版数学

**基本信息** 以分层练习构建二次根式知识网络，融合概念辨析、运算技巧与实际应用，突出从具体到抽象的思维进阶。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-4、填空11-12|定义辨析法|从最简二次根式定义到有意义条件，构建概念认知基础| |运算技巧|选择5、填空10、解答17|二次根式运算法则|整合化简、加减乘除运算，强化运算能力与推理意识| |规律探究|填空16、解答23|从特殊到一般归纳法|通过等式观察提炼规律，发展抽象能力与创新意识| |实际应用|选择8、解答21-22、24|数学建模法|结合几何、物理情境应用公式，培养模型意识与应用意识|

苏科版数学2025-2026学年八年级下册 期末复习必考点7：二次根式 （分层练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2.把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3.已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 4.若，则化简为（  ） A． B． C． D． 5.计算结果的整数部分是（    ） A． B． C． D． 6.已知，则代数式的值为（   ） A．12 B．16 C． D．4 7.已知，则（   ） A． B． C． D．2a 8.海伦--秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.化简：______． 10.计算：_____． 11.若二次根式有意义，则x的取值范围为________． 12.若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 13.已知的整数部分是，的小数部分是b，则的值为_______． 14.已知，，则代数式的值为______． 15.对于任意不相等的两个实数、，定义运算¤如下：，那么 ． 16.小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.计算： (1)； (2) 18.先化简，再求值： ，其中，． 19.已知，． (1)求的值； (2)求的值． 20.已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 21.如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 22.近年来，因为高空抛物导致的人员伤亡和经济损失越来越严重．为了弄清楚高空抛物的危害，小临请教了科学老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式：（不考虑风速的影响，，已知小临所住小区楼层高度规律为第楼高度． (1)小临家在2楼，即，假如一个物品从小临家坠落，求该物品落地时的速度； (2)计算当从楼坠落时，物品落地时的速度． 23.小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程： 具体运算，发现规律． 等式1：． 等式2：． 等式3：． （1）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______． （2）应用运算规律． 小丽写出一个等式（），若该等式符合上述规律，则的值为______． 24.已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2.把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3.已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 4.若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 5.计算结果的整数部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 6.已知，则代数式的值为（   ） A．12 B．16 C． D．4 【答案】D 7.已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 8.海伦--秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.化简：______． 【答案】 10.计算：_____． 【答案】 11.若二次根式有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 12.若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【答案】2 13.已知的整数部分是，的小数部分是b，则的值为_______． 【答案】 14.已知，，则代数式的值为______． 【答案】 15.对于任意不相等的两个实数、，定义运算¤如下：，那么 ． 【答案】 16.小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 【答案】 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.计算： (1)； (2) 【答案】（1）解： ； （2）解： ． 18.先化简，再求值： ，其中，． 【答案】在中，由二次根式定义可知， ， 当，时，原式． 19.已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 20.已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 21.如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】（1）解：∵长为，宽为， ∴周长为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 22.近年来，因为高空抛物导致的人员伤亡和经济损失越来越严重．为了弄清楚高空抛物的危害，小临请教了科学老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式：（不考虑风速的影响，，已知小临所住小区楼层高度规律为第楼高度． (1)小临家在2楼，即，假如一个物品从小临家坠落，求该物品落地时的速度； (2)计算当从楼坠落时，物品落地时的速度． 【答案】（1）解：当时，， 可得； 答：该物品落地时的速度为． （2）， ． ． 答：当从楼坠落时，物品落地时的速度为． 23.小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程： 具体运算，发现规律． 等式1：． 等式2：． 等式3：． （1）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______． （2）应用运算规律． 小丽写出一个等式（），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】 （1）观察已知等式： 等式：时，， 等式：时，， 等式：时，， 归纳可得，为正整数时，猜想等式为： （2）等式 符合上述规律， ， ， 对 变形得 ， 开平方得 ， 解得或， 当时， ， 当时， 综上所述：的值为或． 24.已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【答案】（1）解：∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积； （2）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ； （3）解：方法一：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积 ， ∴． 方法二：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时， 则，根据公式①，得该三角形的面积 = = = =， ∴． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $