命卷大赛 2026届福建省晋江市高考数学自编模拟卷

**基本信息** 原创题占比高，情境融合科技（如新型机床质量评估）与数学文化（如奔驰定理），梯度覆盖基础（集合、复数）与综合（函数周期证明、椭圆定点问题），注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、三角函数、椭圆|原创“等比角三角形”概念，结合几何直观| |多选|3/18|立体几何、命题判断、奔驰定理|引入数学文化结论，考查推理能力| |填空|3/15|直线方程、等比数列、概率分布|含开放性截距问题，结合比赛概率模型| |解答|5/77|独立性检验、数列、立体几何、椭圆、函数|科技情境（机床质量）与数学探究（函数周期充要条件），综合考查数据观念与逻辑推理|

Sheet1 题号 题型 分值 核心考点 考查内容 难度系数 1 单选题 5 复数 求复数的实部与虚部、求复数的模、复数的除法运算 0.88 2 单选题 5 集合 交并补混合运算 0.9 3 单选题 5 数列与解三角形 等比中项，解三角形 0.8 4 单选题 5 圆锥曲线 根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 0.85 5 单选题 5 三角函数 用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正、余弦齐次式的计算 0.75 6 单选题 5 导数与函数 求分段函数解析式或求函数的值 0.7 7 单选题 5 立体几何 求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 0.45 8 单选题 5 导数与函数 判断指数函数的单调性、对数的运算 0.4 9 多选题 6 立体几何 证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、证明线面平行、判断面面平行 0.85 10 多选题 6 导数与函数 求曲线切线的斜率（倾斜角）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 0.65 11 多选题 6 平面向量与解三角形 三角形面积公式及其应用、向量新定义、向量在几何中的其他应用、根据向量关系判断三角形的心 0.42 12 填空题 5 直线方程 直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 0.7 13 填空题 5 等比数列 等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的其他性质 0.65 14 填空题 5 概率与统计 求离散型随机变量的均值、方差的期望表示 0.4 15 解答题 13 概率与统计 卡方的计算、独立性检验解决实际问题、用频率估计概率 0.87 16 解答题 15 等差数列 等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、等差数列前n项和的基本量计算 0.8 17 解答题 15 立体几何 空间线段点的存在性问题、证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 0.55 18 解答题 17 圆锥曲线 根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题 0.34 19 解答题 17 函数与导数 函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数、已知f（g（x））求解析式、求二次函数的值域或最值 0.3 $ 公式章 1 节 .2026年福建省命卷比赛作品 2026年福建省高考数学自编模拟卷 参考答案 1．【参考答案】A 【解题思路】因为，所以，所以的共轭复数虚部为． 2．【参考答案】A 【解题思路】由于或，， 所以， 所以. 3．【参考答案】A 【解题思路】角A为等比中项，即 因为b=c，故B=C，即A=B=C，三角形为等边三角形，= 4．【参考答案】C 【解题思路】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则. 因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即. 所以.解得. 因为，所以. 5．【参考答案】C 【解题思路】由，得，解得， 所以. 6．【参考答案】D 【解题思路】当时，， 则 当时，，则 当时，，所以，即 7．【参考答案】C 【解题思路】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则 解得即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故选：C. 8．【参考答案】A 【解题思路】易知在上为增函数. . 因为，，所以， 故，当且仅当等号成立. 所以的最大值为. 9．【参考答案】ABC 【解题思路】A选项：如图1，若平面，则， 又因为平面，平面， 则，连接，又， 所以平面，平面，则， 只有当时，才成立，故A不正确； B选项：如图2，连接AC，因为点P，Q分别是棱AB，BC的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 若平面，则平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，显然不正确，故B不正确； C选项：如图3，若平面，平面， 则，又易知平面，平面， 则，又， 所以平面，平面则， 显然不正确，故C不正确； D选项：如图4，连接AC，CN，因为点P，Q分别是棱AB，BC的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 因为Q，N分别是BC，的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，则， 平面，平面， 所以平面，且， 因此平面平面，平面， 所以平面，故D正确． 故选:ABC. 10．【参考答案】BC 【解题思路】选项A：是常数，常函数的导数为0，故A错误。 选项B：由复合函数求导法则得，令，即，故B正确。 选项C：对求导得，故C正确。 选项D：求导得，即切线斜率，结合倾斜角， 得，故D错误。 11．【参考答案】BCD 【解题思路】由奔驰定理可知，若，则，故A错误； 若，则，即. 因为和有相同的公共边，且面积相等， 所以可得两点到直线的距离相等，所以的延长线一定过中点， 同理，的延长线一定过中点，的延长线一定过中点， 所以为三条边中点的交点，即O为的重心，故B正确； 由，可得. 若，则， 所以，即，所以故C正确； 由，可得. 设内切圆半径为，则，，， 即，因为，所以，故D正确. 12．【参考答案】或 【解题思路】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 13．【参考答案】3 【解题思路】设正项等比数列的公比为，则， 由等比数列通项的性质， 可得，，，， 则，（1） ，（2） （1）（2）得， 因为数列为正项等比数列，故，解得 14．【参考答案】 ； ； 【解题思路】随机变量可能的取值为. . ， 故的分布列为： 2 3 故 因为，故，故. 而， 令，因为， 故，此时， 故答案为：，. 15．【参考答案】(1) (2)认为产品的质量与使用机床的类型有关 【解题思路】（1）样品中，新型国产机床的次品频率为， 利用样本估计总体，得新型国产机床的次品率约为． 5′ （2）零假设为：产品的质量与使用机床的类型无关． 由列联表可得，， 依据的独立性检验，推断不成立， 即认为产品的质量与使用机床的类型有关． 13′ 16．【参考答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以. 7′ （2）由（1）可得， 所以. 15′ 17．【参考答案】(1) 取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； 5′ (2)（i）（ii）存在， 【解题思路】（1）同上 （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； 10′ （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 15′ 18．【参考答案】(1) (2)（i） 不为定值.证明见解析.（ii）证明见解析. 【解题思路】（1）因为直线被椭圆所截得的线段的长为3， 所以在椭圆上，代入得， 又，解得：. 4′ （2）设点， 设 ， 由 得， 由 ，得 ，解得 或 ， 又点 ， 在 轴下方，则 ， 由韦达定理得    得 ，即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 不是定值. 12′ （ii）证明： 由（i）得    则直线 的方程为 ， 即 ， 当 时，得 ， 所以必过定点. 17′ 19．【参考答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）当时， ， 1′ 所以 故零点集合为 2′ （2）由 ，知 ， 3′ 对，有，所以， 4′ 令，则， 5′ 因此 ， 则， 6′ 因，故当时，取得最小值； 7′ （3）先证必要性： 若有正整数周期，则， 于是， 9′ 所以也有正整数周期； 再证充分性： 若有正整数周期，则， 即， 11′ 整理得， 12′ 设，则， 13′ 所以对任意整数平移都不变． 假设存在某个使，设，即, 14′ 则,, 于是对任意正整数，， 当时,，这与矛盾． 故假设不成立，即，都有，故， 16′ 所以也有正整数周期． 综上，“有正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”． 17′ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年福建省命卷比赛作品 2026年福建省高考数学自编模拟卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（原创）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C．4 D． 2．（原创）已知全集为，集合或，，则（    ） A． B． C． D． 3．（原创）定义在中，若一个内角的弧度数是另外两个内角弧度数的等比中项，则称为等比角三角形。已知是等比角三角形，角A为等比中项，且b=c，求=（） A． B． C． D． 4．已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 5．（原创）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（原创）已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（   ） A．1 B．5 C．3 D．2 7．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．已知长方体中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，，的中点，则下列结论不正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 10．下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．已知函数，若，则 C．若，则 D．曲线的一条切线的倾斜角的取值范围是 11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（）的很相似，故形象地称其为“奔驰定理.”奔驰定理：已知O是内一点，的面积分别为则.设O是内的一点，则以下命题正确的有（     ） A．若，则 B．若，则O为的重心 C．若，且，则 D．若为的内心，，则 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 13．在正项等比数列中，若，则___________． 14．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若，则的最大值是_________；的取值范围是___________． 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表： 机床类型 产品质量 合计 良品 次品 新型国产机床 175 75 250 原有进口机床 150 100 250 合计 325 175 500 (1)以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3． (1)求的方程： (2)已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点． （i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ii）证明：直线ME过定点． 19．（17分）已知函数的定义域为， (1)若，求函数的零点构成的集合； (2)若，且当时，求函数在上的最小值； (3)已知对一切恒成立， 求证：“函数存在正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $