精品解析：山西太原市第四十八中学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题-

太原四十八中高二年级10月月考数学学科试题 考试范围：选择性必修一1.1-2.4；考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 直线与直线之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，曲线围成的图形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当时，半径 C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为 10. 以下四个命题为真命题的是（ ） A. 若、、三点共线，则m的值为2 B. 直线的倾斜角的范围是 C. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是 D. 直线与直线平行，则 11. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A. ，，，四点共面 B. 在方向上的投影向量为 C. D. 直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为___________. 13. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 14. 棱长为4的正方体中，分别是平面和平面内动点，，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 16. 如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． （1）用向量表示向量，并求的模长； （2）用向量方法证明：． 17. 已知圆过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 18. 如图，在直三棱柱中，已知，，，，是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面夹角的余弦值. 19. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原四十八中高二年级10月月考数学学科试题 考试范围：选择性必修一1.1-2.4；考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系可直接求解. 【详解】由题得直线AB的斜率，设直线的倾斜角为，则， ∵，所以． 故选：B. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称的性质直接得到结果. 【详解】依题意，点关于平面的对称点坐标为， 故选： 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，易知，不满足题意， 所以，所以，，所以. 故选：B. 4. 直线与直线之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式即可求解. 【详解】由平行线间的距离公式可得：， 故选：C 5. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 6. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线所过定点，再由点到定点的距离为，点到直线的距离的最大值求解. 【详解】解：直线可化为：， 由，解得，所以直线过定点， 点到直线的距离的最大值为： ， 故选：B 7. 平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，曲线围成的图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用曲线关于轴、轴对称的性质，先求解第一象限内图形的面积，再乘以4得到总面积。 【详解】由，得曲线关于轴、轴对称，故只需计算第一象限（）内的图形面积再乘以4即可. 当时，方程可化为，配方得：， 表示圆心为、半径的圆在第一象限的部分. 则第一象限的面积. 故曲线围成的图形的面积为. 8. 在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利用转化向量的方法求数量积，再代入坐标运算，即可求解. 【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点， ，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为，，则， ， ， ，，， ，， ， 所以， 当时，取得最大值. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三棱锥与外接球组合体的几何关系，以正方体为桥梁，建立空间直角坐标系，转化为数量积问题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当时，半径 C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 10. 以下四个命题为真命题的是（ ） A. 若、、三点共线，则m的值为2 B. 直线的倾斜角的范围是 C. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是 D. 直线与直线平行，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由点的坐标写出向量，根据题意可得向量共线，建立方程，可得答案；对于B，由直线方程可得直线斜率，根据余弦函数的值域，利用正切函数的性质，可得答案；对于C，由题意作图，利用两点斜率公式求得边界直线斜率，可得答案；对于D，由直线平行建立方程，验根，可得答案. 【详解】对于A，取，，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，由直线方程，则斜率， 由，则，设直线的倾斜角为，则， 由，解得，故B正确； 对于C，设，由题意可作图如下： 直线的斜率，直线的斜率， 由图可知直线绕点按逆时针旋转到直线，则，解得，故C正确； 对于D，由题意可得，则，，解得或， 当时，，不合题意；当时，，符合题意，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A. ，，，四点共面 B. 在方向上的投影向量为 C. D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D. 【详解】对于A，在上取点，使得，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，， 因为， 则， 则， ，故B正确； 对于C，， ， 则，故C不正确； 对于D，故 ， 故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为___________. 【答案】或. 【解析】 【分析】 按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果. 【详解】当直线在两坐标轴上截距相等且为0时，直线的方程为； 当直线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线的方程为， 又直线过点，则，解得，所以直线的方程为； 所以直线l的方程为或. 故答案为：或. 【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式，只适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题. 13. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 14. 棱长为4的正方体中，分别是平面和平面内动点，，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取点关于平面的对称点为，设点到平面的距离为，可得，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离即可求解. 【详解】取点关于平面的对称点为， 设点到平面的距离为，则， 所以， 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为4，且， 所以， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 所以点到平面的距离. 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：处理空间几何体中的距离之和的最值问题的方法： （1）借助参数表达，转化为函数最值求解； （2）利用展开图，将空间距离之和转化为平面距离之和，再利用两点之间线段最短求解； （3）借助对称，化线（面）的同侧为线（面）的异侧，转化为两点间的距离（点线距、点面距）求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，从而求出边上的高所在直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程即可； （2）先求出的中点坐标，然后求出边上的中线所在直线的斜率，利用点斜式先表示出直线方程，然后化为一般方程即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的点斜式方程为， 则其斜截式方程为． 【小问2详解】 设是边的中点， 则，即， 则， 所以边上的中线的方程为，即：， 所以边上的中线的一般式方程为：． 16. 如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． （1）用向量表示向量，并求的模长； （2）用向量方法证明：． 【答案】（1）， （2） 由（1）得， ， ，． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算表示，然后根据数量积的运算求出，可得； （2）用表示，然后根据数量积的运算证明即可. 【小问1详解】 由题意得； ， . 【小问2详解】 略 17. 已知圆过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【小问1详解】 线段的中点的坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 由，解得，所以， , 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，，由于是线段的中点，已知， 则，即，所以， 将点的坐标代入圆的方程得， 整理得点的轨迹方程为：. 18. 如图，在直三棱柱中，已知，，，，是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法求解即可； （2）根据面面角向量法求解即可. 【小问1详解】 因为在直三棱柱中，，所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，所以， 因为， 设平面的法向量， 则，即，取， 所以平面的一个法向量为，而， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量， 则，即， 取，平面的一个法向量为， 所以， 所以平面夹角的余弦值为． 19. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在中，因为，，， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得的值，再由勾股定理逆定理可得，由面面垂直的性质定理可得平面，即可证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果； （3）由空间向量的坐标运算以及二面角的公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，，又，所以，，两两垂直，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量，则，即， 令，则，，所以， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 假设存在，设，则， 所以， 设平面DHP的一个法向量，因为， 所以，即， 令，则，， 所以， 设平面的一个法向量，因为，， 所以，即， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $