2025-2026学年安徽宿州市八年级数学下学期阶段测试（北师大版八年级下册第五章）

**基本信息** 聚焦八年级数学下册第五章分式与分式方程单元核心，通过基础巩固、能力提升与创新应用三层设计，融合数学抽象、运算能力及模型意识，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式概念（1）、性质（5）、运算（4）|基础概念辨析，强调分式有意义条件（6）| |填空题|5/20|分式化简（11）、无人机巡检应用（12）、新定义伴生和差数（15）|情境具时代性，创新题考查符号意识（15）| |解答题|5/50|分式方程纠错（16）、玩偶购进应用题（17）、原创和谐分式探究（19）|分层设计，综合题（17-19）体现模型意识与推理能力|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 3 分式的判断 0.85 2 单选题 3 分式值为零的条件 0.85 3 单选题 3 构造分式 0.65 4 单选题 3 分式变形成立的条件 0.8 5 单选题 3 根据分式基本性质判断分式值的变化 0.65 6 单选题 3 分式的知识点的综合运用 0.73 7 单选题 3 分式值为正或负时，末知数的取值范围 0.65 8 单选题 3 列分式方程，分式方程的工程实际问题 0.65 9 单选题 3 分式求值 0.65 10 单选题 3 分式方程解的情况求值 0.4 11 填空题 4 分式的除法 0.85 12 填空题 4 解分式方程（应用） 0.65 13 填空题 4 因式分解、分式求值 0.65 14 填空题 4 分式有意义的条件 0.85 15 填空题 4 异分母加减、规律题 0.4 16 解答题 8 解分式方程（计算） 0.65 17 解答题 8 解分式方程（经济利润应用问题） 0.65 18 解答题 10 分式混合运算，因式分解、约分综合题 0.52 19 解答题 12 根据分式方程解的情况求值 0.62 20 解答题 12 分式方程、一次函数与几何综合题 0.4 $ 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/ 宿州市八年级数学下学期阶段测试 第五章 分式与分式方程 （考试时间：90分钟，分值：100分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．2 C．0 D．2或 3．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 4．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 6．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 7．若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 8．某工厂新引进一批电子产品，乙工人比甲工人每小时少搬运件电子产品，已知甲工人搬运件电子产品所用的时间与乙工人搬运件电子产品所用的时间相同．若设甲工人每小时搬运件电子产品，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．化简__________． 12．无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 13．已知，则= ____． 14．要使式子有意义，则x的取值范围为________． 15．对于一个两位数，，记，将m的十位数字与个位数字的和、十位数字与个位数字的差分别作为的十位数字和个位数字，新形成的两位数叫做m的伴生和差数，把m放置于十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为________，若M能被7整除，则的最小值为_________. 三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）在解分式方程时，小明的解法如下： 解： 检验：当时， ∴原分式方程的解为 请判断小明的解答过程______（填选：正确/不正确），若不正确，请你写出正确的解答过程． 17．（8分）某玩具店决定购进A，B两种玩偶．已知一个B种玩偶比一个A种玩偶价格贵元，玩具店用元购进A种玩偶的数量是用元购进B种玩偶数量的2.5倍． (1)求购进A，B两种玩偶的单价各是多少元？ (2)六一将至，该玩具店决定用不超过元再次购进A，B两种玩偶（两种都要购进）共个进行销售，且将每个A种玩偶售价定为元，每个B种玩偶售价定为元，若设购进A种玩偶个， A、B两种玩偶全部售完所获利润为元，求w关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，A、B两种玩偶各购进多少个时获得的利润最大？最大利润是多少？ 18.（10分） (原创题)已知a, b为正整数，且满足a2 - b2 = 12 。 (1) 利用因式分解求a, b的值； (2) 在(1)的条件下，化简分式 ，并求值； 19．（12分）(原创题)（探究题）阅读下列材料并完成探究： 我们定义：若两个分式A和B满足(A + B = A•B = m)（k为常数，且(k≠0)），则称A与B是一对“和谐分式”，常数m称为它们的“和谐数”。 (1) 已知分式A =，B = ，判断A与B是否为“和谐分式”，并说明理由； (2) 若分式C =与D是一对“和谐分式”，其中D = （p,q为含a的整式，求D的表达式（用含a的代数式表示）； (3) 若分式E =与F = 是一对“和谐分式”， （k为常数，(k ≠0)）且它们的“和谐数”为4，求k的值。 20．（12分）如图1，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E为y轴负半轴上一点，且． (1)求直线AE的解析式； (2)如图2，直线交直线AB于点M，交直线AE于点N，当时，求m的值； (3)点P为直线AE上一点，若，请直接写出点P的坐标：______． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期阶段测试 第五章 分式与分式方程 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D A C D D A C 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 【详解】解：分母含字母，是分式； 分母为常数，不是分式； 分母为常数，不是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； 中分母是字母，属于分式； 分母含字母，是分式； 则分式共有个． 2．B 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解，得或， 由，得， ∴． 3．B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 4．D 【分析】根据相关知识，计算判定即可． 【详解】解：A. 不是同类项，无法计算，本选项错误；     B. ，本选项错误； C. ，本选项错误； D. ，本选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，二次根式的性质，分式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 5．A 【详解】解：由题意可知，新分式的值为，扩大为原来的4倍． 6．C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 7．D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 8．D 【分析】设甲工人每小时搬运件电子产品，由题意可得乙工人每小时搬运件电子产品，再根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：∵设甲工人每小时搬运件电子产品，乙工人比甲工人每小时少搬运件， ∴乙工人每小时搬运件电子产品， ∵甲工人搬运件所用时间与乙工人搬运件所用时间相同， ∴可列方程为． 9．A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 10．C 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，首先解分式方程，得到x关于a的表达式，注意分母不为零的条件；然后根据x为整数且，确定整数a的取值；最后验证每个a是否满足原方程有整数解且． 【详解】解：∵ 分式方程 ，且 ， 两边乘 得：， 整理得：， ∴ （其中 )． 设 （t为整数且 ）， 则 ， 变形得：． ∵ a为整数， ∴ 为整数， 即 是4的约数：， ， ． ∴ ， 对应 ． 但 ，排除 ， ∴ ． 代入求a： 时，； 时，； 时，； 时，； 时，． 当 时，原方程无解，无效． 验证各a值均使x为整数且， ∴ 整数a有5个：3， 1， ， ， 故选：C． 2、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11． 【详解】解： ． 12．60 【分析】设人工巡检速度为，列出方程解出后乘以即可得出无人机巡检速度． 【详解】解：设人工巡检速度为， ， 解得，， 经检验：是原方程的根且符合题意， 无人机速度为． 13． 【分析】将原式取倒数，再将分子进行变形求值即可． 【详解】解：对取倒数可得， ， ∴． 14．x≥﹣3且x≠1且x≠2 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意，得． 解得：x≥﹣3且x≠1且x≠2． 故答案是：x≥﹣3且x≠1且x≠2． 【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式与分式，零次幂有意义的条件是解题的关键． 15． 1101 /0.5 【分析】本题为新定义问题，考查了整式的加减，分数加减的逆用等知识，根据题意用、写出四位数的表达式，根据、的范围，可得最小的，因为能被7整除，所以可知和的取值，即得的最小值． 【详解】解：∵两位数的十位数字是，个位数字是，两位数的十位数字是，个位数字是， 四位数， ∴当，时，最小，， ∵能被7整除，， ，时，， ，时，， ，时，， ，时，， 由题意得，， ∴最小， 即最小， ，时，． 故答案为：1101， 三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．不正确； 【详解】解： -1-x+5=x-2 x=3 检验：当x=3时，x-5≠0 原方式方程的解为x=3 17. (1)20元；30元 (2)，自变量的取值范围为且是整数； (3)A种40个，B种80个；1680元 【分析】（1）设种玩偶的单价为元，则种玩偶的单价为元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）设购进A种玩偶个， A、B两种玩偶全部售完所获利润为元，再结合总利润等于A、B两种玩偶的利润之和建立关系式，进一步求解的范围即可； （3）运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设种玩偶的单价为元，则种玩偶的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种玩偶的单价为20元，则B种玩偶的单价为30元； （2）解：根据题意得：. ∵， 解得：， ∴自变量的取值范围为且是整数； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴w随的增大而减小， ∴当时，最大为元，此时， 答：购买A种玩偶40个，购买B种玩偶80个时，最大利润为1680元． 18. (1) a=4, b=2 （2）值为 【分析】（1）利用平方差公式 a2 - b2 = (a+b)(a-b)，将等式转化为两个正整数的乘积为12，再结合正整数的奇偶性分析因数对。 （2）先对分式的分子、分母因式分解，再对括号内的部分通分，最后将除法转化为乘法约分，代入 a=4,b=2 计算。 【详解】（1）a2 - b2 = 12 (a+b)(a-b) = 12 a+b 与 a-b 同奇偶（a、b 都需为整数） 12的正整数因数对：(1,12),(2,6),(3,4)，只有(2,6)同偶，因此： a+b = 6 ；a-b = 2 两式相加：2a = 8 ∴a=4 两式相减：2b = 4 ∴ b=2 ∴a=4, b=2 （2）原式=== 当a=4，b=2时 原式= 19．（1）x=时，A与B满足A+B=A•B，是一对“和谐分式”； (2)D= (3) k=2 【分析】（1）本问侧重考查分式的通分加法与分式乘法运算，核心是验证新定义。通过给定两个具体分式，要求学生严格按照“和谐分式”的定义，分别计算两分式的和与积，再建立等式求解自变量，最终验证在特定取值下满足条件。 （2）直接运用定义得到方程后，通过移项、提取公因式推导出和谐分式的通用变形公式 D=，再代入已知分式进行化简。 （3）结合定值和谐数，利用分式乘法化简、等量代换思想与一元一次方程求解。 【详解】（1）解：A+B= A•B= 令 A+B= A•B，则：9x-12=9 x= 代入得：A= ，B= A+B= A•B= 因此，当 x=时，A、B 是一对和谐分式。 （2）解:由 C+D=C• D，变形得：CD-D=C, D(C-1)=C D=代入 C=得 D== (3)解：得k= 代入 解得x=2 K=2◊(2-1)=2 20．(1)直线AE的解析式为y＝−x−4； (2)m＝2； (3)（，）或（－9，5）． 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后设E（0，t），由三角形面积求出E（0，−4），再由待定系数法求出直线AE的解析式； （2）联立解析式求出点M，N的坐标，然后根据列方程求解即可； （3）当点P在x轴下方时，过A点作AC⊥AB交BP的延长线于点C，过A点作MN⊥x轴，过B点作BM⊥MN交于M，过C作CN⊥MN交于N，通过证明△ABM≌△CAN（AAS），求出点C（−2，−4），利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝3x＋2，联立解析式可求P点坐标；当点P在x轴上方时，同理可求另外一个点P坐标． 【详解】（1）解：在中，令x＝0，则y＝2， ∴B（0，2）， 令y＝0，则x＝−4， ∴A（−4，0）， 设E（0，t）， ∴BE＝2−t， ∵＝12， ∴（2−t）×4＝12， ∴t＝−4， ∴E（0，−4）， 设直线AE的解析式为y＝kx＋b， 代入A（−4，0），E（0，−4）得：， 解得， ∴直线AE的解析式为y＝−x−4； （2）联立方程组， 解得， ∴M（，）， 联立方程组， 解得：， ∴N（，）， ∵，OB＝2，OE＝4， ∴， 整理得：， 解得：m＝2， 经检验m＝2是方程的根， ∴m＝2； （3）当点P在x轴下方时，过A点作AC⊥AB交BP的延长线于点C，过A点作MN⊥x轴，过B点作BM⊥MN交于M，过C作CN⊥MN交于N， ∠M＝∠N＝∠BAC＝90°， ∵∠BAM＋∠NAC＝90°，∠MAB＋∠MBA＝90°， ∴∠NAC＝∠MBA， ∵∠ABP＝∠ABC＝45°， ∴AC＝AB， ∴△ABM≌△CAN（AAS）， ∴BM＝AN，AM＝NC， ∵B（0，2），A（−4，0）， ∴AM＝NC＝2，BM＝AN＝4， ∴C（−2，−4）， 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 代入B（0，2），C（−2，−4）得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝3x＋2， 联立方程组， 解得， ∴P（，）， 当点P在x轴上方时，同理可得P（－9，5）， 故答案为：（，）或（－9，5）． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握待定系数法，一次函数的图象及性质，解分式方程，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $