第五章《分式与分式方程》章节复习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式与分式方程单元核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|分式概念、化简、方程解、最简分式|基础辨识，如分式定义（第1题）、增根问题（第6题）| |填空题|6题|分式运算、有意义条件、无解问题|细节考查，如最简公分母（第11题）、含参方程无解（第13题）| |解答题|7题|方程求解、实际应用、规律探究|综合应用，如商场购进利润（第18题）、校庆伴手礼建模（第19题）；规律探究（第20-21题）培养创新意识|

第五章《分式与分式方程》章节复习题 一、单选题 1．下列各式中，不属于分式的是（    ） A． B． C． D． 2．化简分式的结果为（    ） A． B． C． D． 3．分式方程的解是（） A． B． C． D． 4.下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 5.下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 6.若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 7.某书店购进一批教辅资料，用3000元购进第一批，用3600元购进第二批，第二批每本进价是第一批的倍，购进数量比第一批少10本．设第一批每本进价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8.定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9.计算：_______ 10.计算的结果是__________． 11.分式，，的最简公分母是____________． 12.若式子有意义，则的取值范围是______． 13.关于的方程无解，则的值为___________． 14.若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为______． 三、解答题 15.解下列分式方程： (1) (2) （3）； 16.先化简，再求值：，并从、0、1、3中选一个合适的数代入求值． 17.下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 任务一： (1)以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______． (2)第______步开始出现错误，出现错误的原因是______． 任务二： (3)请直接写出该分式化简后的正确结果：______． 18.今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销．根据预测，每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元，节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？ 19．“百年弦歌，薪火相传；鼎山毓秀，几水涵芳”，在某中学迎来建校周年华诞之际，七年级一班学生自发定制画册与文化衫两类伴手礼，赠予返校校友留念．已知定制本画册和件文化衫共需元，定制本画册和件文化衫共需元． (1)定制一本画册、一件文化衫的单价分别为多少元？ (2)该伴手礼广受校友好评，学校决定加大定制规模以回馈校友．因对内容与品质提出更高要求，画册与文化衫的定制单价均有上调，其中每本画册增加的费用是每件文化衫增加费用的倍．最终，学校花费元定制的画册数量，是花费元定制的文化衫数的，求每件文化衫增加的费用． 20.根据发现的规律回答问题 (1)解下列方程 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； (2)根据上述规律和形式继续写出： ________________；_____________； (3)请根据上述规律写出第个（为正整数）方程及它的解，并写出解题过程． 21.（1）【探索规律】 观察下面的式子，探索它们的规律． 用含正整数n的等式表示这个规律： ； （2）【问题解决】 一容器装有水，按照如下方式把水倒出：第一次倒出水，第二次倒出的水量是水的，第三次倒出的水量是水的，第四次倒出的水量是水的，……，第n次倒出的水量是水的．这水能否倒完？请说明理由； （3）【拓展探究】 解方程：． 参考答案 一、单选题 1．C 解：A．由分母含有字母，即选项A是分式，不符合题意； B．分母含有字母，即选项B是分式，不符合题意； C．分母是，是常数，不含字母，即选项C不是分式，符合题意； D．分母含有字母，即选项D是分式，不符合题意． 2．C 解：原式 ． 3．A 解：， ， ， 检验：当时，， ∴分式方程的解是． 4.C 解：选项A、，分子分母含有公因式，不是最简分式； 选项B、，分子分母含有公因式，不是最简分式； 选项C、，分子为，分母为，二者没有公因式，因此是最简分式； 选项D、，分子分母含有公因式，不是最简分式． 5.C 解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 6.B 解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 7.A 解：设第一批每本进价为元，则第二批每本进价为元 ∴第一批购进数量为本，第二批购进数量为本 又∵第二批购进数量比第一批少本 ∴ 8.D 解：∵ ∴ 二、填空题 9. 解：． 10. 解： ． 11. 解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 12.且 解：要使有意义，需满足且 ∴且， 因此的取值范围是． 13. 解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 原分式方程无解， ∴是原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入得， 解得． 14. 解：解，得， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数， ∴且，能被2整除， ∴且， ∴且， 又∵能被2整除， ∴满足条件的负整数， ∴． 三、解答题 15.（1）解： ∴x ∴ 解得： 经检验，是原方程的解； （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． （3）解：将原方程整理得 方程两边同乘，去分母得 展开括号得 移项合并同类项得 解得 检验：当时，，原分式的分母为0，分式无意义 因此是原方程的增根，原分式方程无解． 16.解： ， 要使原式有意义，则分母不能为0，即，， ∴，， ∴当时，原式． 17.（1）解：化简步骤中，第一步是通分，依据是分式的基本性质； （2）解：第二步中，分子去括号出现错误， 错误原因是括号前面是负号，去括号时括号中各项符号没有全部变号； （3）解： ． 18.（1）解：设该商场节后每千克枣粽的进价是元，则节前每千克枣粽的进价是元， 由题意得： 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则节前进价为 （元）， 答：该商场节前每千克枣粽的进价是10元． （2）解：设该商场节前购进千克枣粽，则节后购进千克枣粽， 由题意得： 解得， 设总利润为元， 由题意得： ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为 （元）， 答：该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元． 19.（1）解：设定制一本画册的单价为元，一件文化衫的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：定制一本画册单价为元，一件文化衫单价为元； （2）解：设每件文化衫增加的费用为元，则每本画册增加的费用为元，调整单价后画册单价为 元，文化衫单价为 元， 由题意得，， 整理得，， 解得， 经检验是原分式方程的解， 答：每件文化衫增加的费用为元． 20.（1）解： ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； （2）解：根据上述规律和形式可得 ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； （3）解：根据上述规律得第个（为正整数）方程为 ， 经检验：是原方程的解， ∴原分式方程的解为：． 21.解：（1）根据题意得：规律为； （2）这水不能倒完． 理由如下： 前n次倒出的总水量为 ． 因为，所以这水不能倒完． （3）整理方程，得， 所以，即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为． 学科网（北京）股份有限公司 $