精品解析：2026年河北省沧州市东光县中考二模考试数学试题

2026年河北省初中学业水平考试 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（ ） A. 周二 B. 周四 C. 周五 D. 周日 【答案】B 【解析】 【分析】设上周日水位为初始值，根据每天的水位变化量依次计算出本周每天的水位，再比较大小即可得出水位最低的一天． 【详解】解：设上周日的水位为， 依次计算本周每天的水位： 周一水位：， 周二水位：， 周三水位：， 周四水位：， 周五水位：， 周六水位：， 周日水位：， ∵ ∴， ∴周四的水位最低． 2. 关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，先将已知根代入方程求出参数的值，再由根与系数的关系计算两根之积即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， 解得， 关于的一元二次方程为， ∴两根之积为． 3. 如图是一个由6个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图是从正面看得到的平面图形，根据几何体的排列确定每一列小正方形的个数． 【详解】从正面看，该几何体共有3列，从左到右每列小正方形的个数分别为1，1，2， ∴主视图底层有3个小正方形，最右侧上层有1个小正方形， ∴主视图是A项． 4. 在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特征“关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数”得到点P的横纵坐标，再运用平方差公式计算的值即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点是， ∴，， ∴， 由平方差公式得． 5. 七巧板又称“七巧图”、“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具．现在由七巧板拼成一个飞镖盘，任意投掷飞镖一次且击中飞镖盘，则击中1号板块的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了几何概率计算．注意面积之比=几何概率．击中1号板块的概率等于1号板块面积与正方形总面积之比． 【详解】解：由图可知：1号板块面积等于正方形面积的， 所以击中1号板块的概率是． 6. 已知点，且，在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用点在反比例函数图象上时坐标满足函数解析式，分别求出和，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∴． 7. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定条件，已知，判断两个三角形是否相似，需满足两角对应相等或两边成比例且夹角相等，据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有：①或是的平分线；②， ∴不能判定和相似的是C， 故选：C． 8. 在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图）．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两直线平行，内错角相等得到，根据对顶角相等得到，即可求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 已知m、n满足，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对已知等式通分化简，得到与的关系，再对所求式子变形，利用完全平方公式变形后代入求值，最后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴原等式变形为，， 移项得，， 交叉相乘得，，即， 整理得，， ， 两边平方得：， 将代入得：， ∴． 10. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵点是的黄金分割点， ， ∵点是的黄金分割点， ， ， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为， 故选：B． 11. 如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，取的中点，连接，若，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由矩形的判定与性质、旋转性质得到相关角度与线段，再由勾股定理及三角形中位线的判定与性质求解即可． 【详解】解：连接，延长交于点，如图所示： 四边形是矩形， ，，， 将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置， ，， 则， 在中，，由勾股定理可得， 在矩形中，，且；在矩形中，，且， 是的中位线， 则． 12. 如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由菱形的性质求出，由位似变换得，根据点得平移方式为先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，设菱形内任意一点，经过操作后对应点，由点与重合可得，，从而可求出点的坐标为． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴点是对角线的中点， ∵， ∴， ∵以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍， ∴点经过位似变换后，坐标变为， 又点平移后得到， ∴平移的方式为：先向左平移2个单位，再向下平移2个单位， 设菱形内任意一点，则经过操作后，对应点， ∵点与重合， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据已知等式求出的值，再将所求代数式变形为含的形式，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 14. 如图，在平行四边形中，点在边上，与交于点，若，则的长度为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】由已知条件结合平行四边形的性质可得，易证，利用相似三角形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出对应的方程组求解是解题的关键．根据内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等列出方程组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 两式相加得： ， 故答案为：3． 16. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），线段的长度为_________．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】21.8 【解析】 【分析】本题考查三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，过点作于点，于点，利用三角函数可解得的值，即可求得的值；过点作于点，再证明为等腰三角形，并解得，然后由求解即可． 【详解】解：过点作于点，于点，如图： 由题可得： 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，则四边形为矩形， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①一；②解答过程见详解 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 18. 定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 （1）三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 （2）设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； （3）任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 【答案】（1）不是 （2） （3）任意一个“和倍数”都能被整除，见解析 【解析】 【分析】（1）计算是否为的倍即可判断； （2）根据“和倍数”的定义即可得出结果； （3）由，可得，符合的倍数的特征，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， 故三位数不是“和倍数”． 【小问2详解】 解：根据“和倍数”的定义， 即三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍， 可得． 【小问3详解】 解：令为“和倍数”设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，， ∴， ∵，符合的倍数的特征， 故任意一个“和倍数”都能被整除． 19. 如图，在中，将沿对角线BD翻折得到，与交于点E． （1）求证：； （2）点为中点，连接，．求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形和折叠的性质得，，利用证明； （2）由（1）得，得，结合点O为中点，根据等腰三角形三线合一得，进而计算即可得的度数． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠可得：，， ∴，， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴， ∴． 20. 书法是我国优秀传统文化瑰宝，一般分为行书、草书、隶书、篆书和楷书五大类，在每一大类中又细分若干小的门类．为了丰富学生课后服务课程，某校打算根据学生最喜爱的书法门类设置课程数量．计划设置行书、草书、隶书、篆书、楷书五个课程，现随机从全校的学生中抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与问卷调查的学生共有______人，并将条形统计图补充完整； （2）已知该校共有名学生，请根据统计数据，判断该校大约需要准备多少本篆书字帖才能满足学生使用；（注：选择篆书的同学每人一本篆书字帖） （3）假如你是校领导，请根据该校学生有意向学习书法的情况给出一条合理化建议． （4）李磊和王明分别从这五个课程里任选一种，请利用树状图或表格求他俩选同一种课程的概率．（行书、草书、隶书、篆书、楷书分别用、、、、表示） 【答案】（1），补全统计图见解析 （2）本 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）用草书的人数除以草书所占百分比即可求出调查的总人数，进而求出选择隶书的人数，补全统计图即可； （2）先求出样本中喜欢篆书的学生人数所占的百分比，即可估计出该校需要准备的篆书字帖满足名学生使用； （3）根据调查结果绘制的统计图得到一条合理建议即可； （4）画出树状图，求出所有的等可能情况数和他俩选同一种课程的情况数，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵选择草书的学生有人，占调查总人数的， ∴调查的总人数为（人）， ∴选择隶书的学生有（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：由条形统计图可知，选择篆书的学生有人， ∴（本）， 答：该校大约需要准备本篆书字帖才能满足学生使用． 【小问3详解】 解：根据调查结果显示的统计图可知，学生喜欢书法的人数分布不均衡， 所以应考虑增加隶书教师的人数，减少篆书教师的人数． 【小问4详解】 解：列树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中他俩选同一种课程的情况有种， ∴他俩选同一种课程的概率为． 21. 某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． （1）若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； （2）设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解； ②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． 【小问2详解】 解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， 设水杯中水的温度为，由题意， ∴， ∴当时． 解得： ②∵饮水适宜温度是， ∴， 解得． 22. 如图，是的外接圆，为的直径，，连接，，的延长线交于点E，交于点F，若． （1）求证：是的切线； （2）若，． ①求的半径； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①的半径为5；②． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可证明是的切线； （2）①根据正切函数的定义求得，得到，再利用勾股定理即可求解； ②设，，由勾股定理求得，再利用平行线分线段成比例即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：①∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为5； ②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴． 23. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_____． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，______°，_____°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）①15，15；②，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据折叠的性质，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，则可证是等边三角形，结合矩形的性质即可求解； （2）①、②根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设分别表示出，，，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：连接， 折叠 ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：（或）． 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ， ①，， ∴， ， ， ， 故答案为：，． ②，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得，， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：当点在点的下方时，如图， ， ，， 由（2）可知，， 设 ， 即， 解得：， ∴； 当点在点的上方时，如图， ， ，， 由（2）可知，， 设， ， 即， 解得：， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 24. 如图1，抛物线与x轴交于A、B（点A在B的左边）两点，点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，求y的取值范围； （3）请证明：直线与抛物线一定有两个交点； （4）如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G，点P是在对称轴右侧且位于第四象限的抛物线上的一点，连接，交对称轴于点M，连接并延长，交对称轴于点N，试求的值． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）先求出，再将、代入列方程计算即可； （2），则抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y最小为，当时，，当时，，结合函数图象可得当时，y的取值范围； （3）联立，整理得，则，即可得到直线与抛物线一定有两个交点； （4）先求出，，设，，，，则，求出直线解析式为，与抛物线联立解得，同理求出直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得， 即可得到，则，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且， ∴， 将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y最小为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为：； 【小问3详解】 证明：联立 则 整理得，， ∴， ∴直线与抛物线一定有两个交点； 【小问4详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 设，，，， ∴，， ∴， 令， 解得或， ∴， 设直线解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵连接，交对称轴于点M， ∴联立， 即， 解得， 同理直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得， ∴， 整理得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平考试 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（ ） A. 周二 B. 周四 C. 周五 D. 周日 2. 关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个由6个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 5. 七巧板又称“七巧图”、“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具．现在由七巧板拼成一个飞镖盘，任意投掷飞镖一次且击中飞镖盘，则击中1号板块的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，且，在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 7. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 8. 在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图）．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知m、n满足，则的值为（） A. B. C. D. 10. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A. B. C. D. 11. 如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，取的中点，连接，若，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 12. 如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则______． 14. 如图，在平行四边形中，点在边上，与交于点，若，则的长度为_____． 15. 我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则______． 16. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），线段的长度为_________．（结果精确到0.1，参考数据：） 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 18. 定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 （1）三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 （2）设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； （3）任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 19. 如图，在中，将沿对角线BD翻折得到，与交于点E． （1）求证：； （2）点为中点，连接，．求的度数． 20. 书法是我国优秀传统文化瑰宝，一般分为行书、草书、隶书、篆书和楷书五大类，在每一大类中又细分若干小的门类．为了丰富学生课后服务课程，某校打算根据学生最喜爱的书法门类设置课程数量．计划设置行书、草书、隶书、篆书、楷书五个课程，现随机从全校的学生中抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与问卷调查的学生共有______人，并将条形统计图补充完整； （2）已知该校共有名学生，请根据统计数据，判断该校大约需要准备多少本篆书字帖才能满足学生使用；（注：选择篆书的同学每人一本篆书字帖） （3）假如你是校领导，请根据该校学生有意向学习书法的情况给出一条合理化建议． （4）李磊和王明分别从这五个课程里任选一种，请利用树状图或表格求他俩选同一种课程的概率．（行书、草书、隶书、篆书、楷书分别用、、、、表示） 21. 某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． （1）若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； （2）设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 22. 如图，是的外接圆，为的直径，，连接，，的延长线交于点E，交于点F，若． （1）求证：是的切线； （2）若，． ①求的半径； ②求的长． 23. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_____． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，______°，_____°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 24. 如图1，抛物线与x轴交于A、B（点A在B的左边）两点，点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，求y的取值范围； （3）请证明：直线与抛物线一定有两个交点； （4）如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G，点P是在对称轴右侧且位于第四象限的抛物线上的一点，连接，交对称轴于点M，连接并延长，交对称轴于点N，试求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $