黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

哈三中2025一2026学年度下学期 高一学年6月月考数学试卷 考试说明：(1)本试卷分第1卷（选择题）和第1卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时间为120分钟： (2)第1卷，第川卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知复数z=1+i,则三= 1 A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 2.如图，△OAB是水平放置的△OAB的直观图，O'A'=4,O'B'=3,则原平面图形 △OAB的面积为 B A.3√2 B.32 C.12 D.6 4 3.已知四面体S-ABC的4个顶点都在球O的表面上，若SA⊥平面ABC, AC⊥BC,SA=AC=3,BC=4,则球O的表面积为 A.17π B.25π C.34π D.50π 4.己知两条不同的直线a,b,两个不同的平面，B，下列说法正确的是 A.若u⊥a,b⊥a,则b∥o B.若a∥a,b⊥a,则b⊥ C.若a∥，b∥B,o∥B,则a∥b D.若a⊥，b⊥B,a⊥b,则a⊥B 高一数学第1页共6页 5.△4BC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,若a=10,A=元且 6 b sinC=5csin2B,则c= A.14 B.15 C.16 D.17 6.某圆台的轴截面ABCD是一个上底CD为2，下底AB为4，腰长为2的等腰梯形， M为圆台下底面圆周上一点，且AM=2,则二面角C-AM-B的余弦值为 A.213 B. 3V13 13 13 D.5 3 M 7.直三棱柱ABC-AB,C,中，AB=AA=BC=2,AB⊥BC,E为线段CB,上 动点，则AE+C,的最小值为 A.√2+√6 B.22 C.25 D.5+5 双。日如-a6-1,李向量洗起(a6小-0，则a的大道为 C.1+ 5 A.1+ B.2 2 2 D.2 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且3 bcos C+3 ccos B=a, 下列说法正确的是 A.a=3 B.若b=5,c=6,则三角形ABC为锐角三角形 c若B=胥b-35.则4= 6 D.若A=元，且三角形ABC有两解，则b∈(3,3W5] 高一数学第2页共6页 10.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，BC与B,C相交于点O, ∠AAB=∠AAC=∠BAC=60°，AA=2,AB=AC=1,则下列说法正确的是 A.AO⊥BC A B.A0= B 2 C.AO与AB所成角的余弦值为 3v11 22 D.AO·AA,=3 11.已知正方体ABCD-AB,C1D棱长为2，E为边AD中点，P为空间内一动点， 下列说法中正确的有 A.当P在线段B,C上运动时，三棱锥P-ADE体积为定值 B.当P在线段AC上运动时，存在点P使直线DP与AD成角为60° C.当P在底面ABCD内运动时，若B,E⊥CP,则P轨迹长度为√2 D.当P在三角形△4BC内运动，且DP=2W4时，则P轨迹长度为22 第Ⅱ卷（非选择题，共2分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位 置上 12.已知向量云、6满足a+bFa-2b,若6为单位向量，则a.b= 13.已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则此三棱台的体积 为 14.己知四面体ABCD外接球半径为2V3,AB=BC=2W5,AC=4√5，BD=26, 则该四面体体积最大值为 高一数学第3页共6页 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤。 15.(13分) 已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tanA=sinB+sinC cos B+cosC (1)求A: (2)若a=6√3，△4BC的面积为16V3,求△4BC的周长. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,AB⊥AD, 侧面PAB为等边三角形，AD=2BC=2AB=4,E为PD中点. (1)求证：CE//平面PAB; (2)设F为AB中点，PC=2√2，求直线CF与PA所成角的余弦值. B 高一数学第4页共6页 17.(15分) 如图，在平面四边形ABDC中，BD=1,△ABC为等边三角形. D B 1)若4-55,4B上Bn,求mBCD (2)若CD=3,求四边形ABDC面积S的取值范围. 18.(17分) 在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O.将△ABD沿BD 折起，使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥P-BCD,M为线段PC上 一点 (1)证明：平面BDM⊥平面POC: (2)若二面角P-BD-C的大小为120°，直线DM与平面PBC所成角的正弦值为 2,PM>MC. 7 ①求u 的值： ②求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值. 高一数学第5页共6页 19.(17分) 如图，直角梯形ABCD中，BC/AD,AB⊥AD,BC=6,AD=12,AB=4, 点E为线段BC(不含端点B)上的一点，过E作AB的平行线交AD于F,将矩形 ABEF翻折至与梯形ECDF垂直，得到六面体ABCDEF. F A D D B E C C (1)若CF⊥BD,求BE的长： (2)求异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值； (3)若BE=4,点Q在△BCD内部（含边界）运动，满足四棱锥2-FECD与三 棱锥Q-BEF的体积相等，求点Q轨迹长度. 高一数学第6页共6页2026年高一下6月月考数学试题答案 一、单选题 1-8 BCCDABAC 二、多选题 9.AC 10.ABD 11.ABD 三、填空题 13.14V 14. 4W6+12√2 3 3 四、解答题 15. (1)由已知simA-smB+sinC cosA cos B+cos C 交叉相乘，整理得sin(A-B)=sin(C-A) 所以A-B=C-A或(A-B)+(C-A)=π（舍） 故A=乃 2)已知S=bcn4=5c=165,行c=64.0 4 由余弦定理，a2=b2+c2-2bcc0SA (63=(b+c'-3bc② 由①.②可得b+c=10√5 所以三角形ABC的周长L=a+b+c=16V5 16. (I)证明：取PA中点G,连接BG,GE,EC EG//AD,EG=-AD,BC//AD,BC=-AD 2 .∴.BC/1GE,BC=GE ∴.GBCE为平行四边形 .GB/ICE、 又.CE丈平面PAB,BGC平面PAB ∴.CE//平面PAB (2)取PB中点H,连接FH,则∠HFC即为所求角 :PF2+FC2=PC2.PF⊥FC 又.PF⊥AB,ABOCF=F .PF⊥平面ABCD 又·PFc平面PAB ∴.平面PAB⊥L平面ABCD 又：BC⊥AB .BC⊥面PAB.BC⊥PB :CH=√5 .CF=5,HF=1 √5 ∴.cos∠FHC= 10 17. 1在cD中，c0V21 3x cos30=7 CD BD 又因 sim∠CBDsin.∠BcD,即_2 1,解得sin∠BCD= 7 sin30°sin∠BCD (2)设∠BDC=0 在△BCD中，BC2=12+32-2×1×3×c0s0=10-6c0s0, s5Bc-50-6cs1-5y53 -cos0, 4 4 22 BD.CD.sin0-x1x3xsin-simn0, 3 2 .S=S.ABC+S.BCD= /533W3 220 :6∈(0，π)， Se(5,3+5 18. (1)在菱形ABCD中，AC⊥BD,O为BD中点， 由题可知PB=PD,所以OP⊥BD, 因为OC∩OP=O,OC,OPc平面POC, 所以BD⊥平面POC 又BDC平面BDM,所以平面BDM⊥平面POC. (2)①以O为原点，OB,OC所在直线分别为x,y轴，过点O且垂直于平面BCD的 直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 二面角P-BD-C的大小为120°，即∠POC=120° 因为PB=PD=4,∠BPD=60°，所以BD=4,OP=OC=2√3， 则P(0,-√3,3)，B(2,0,0),D(-2,0,0),C(0,23,0), 所以PC=(0,3W5,-3,PD=（-2,3,-3), 设PM=tPC=(0,33,-）,则M(0,3W3t-5,3-3),所以DM=(2,3W3t-5,3-3t） P℃.i=3W3y-3z=0 设平面PBC的法向量为i=(化，y,),则 PB.=2x+3y-3z=0' 取y=1,得x=V3,z=5,则n=(5l,3) 设直线DM与平面PBC所成角为O, DM.i 4v5 42 则sin0=cos<DMi DM元4+33-E列+g-P.万 7 整理得9r2-9t+2=0,解得t= 或t= 3 3 当1=号时.i-}c,则 当1=时，M-元，则兴=2 MC 因为PM>MC,所以P =2 MC ②设平面BDM的法向量为元=(：，片，)，则=(0，-1，V5) 设平面cDM的法向量为元=(6，乃，)，则元=（W5,-1,-√3) 直线DW与平面P8C所成角为，eas6=水o元元-号 19. (1)连接DE,平面ABEF⊥平面ECDF,交线为EF, 由BE⊥EF,有BE⊥平面ECDF,又CFC平面ECDF,所以BE⊥CF, 当CF⊥BD,BEBD=B,所以CF⊥平面BDE, 又DEC平面BDE,所以CF⊥DE, 此时△FEC与△DFE相似，故DF.EC=EF2, 设BE=t(0<t≤6)，由(12-t)(6-t)=16,解得t=4或t=14(舍)，所以BE=4. (2)过C作EF的平行线交DF于点G,连接AG,由CG/IEF//BA,且CG=EF=BA, 得四边形CGAB是平行四边形，故BCI1AG,所以∠DAG即为异面直线BC与AD所成 的角， 设BE=t(0<t≤6)， tan∠D1G=tan(∠DAF-∠GAF=,tan∠DAF-tan∠GAF 1+tan∠DAF tan∠GAF 12-t6-t =-t t 3 1 且， 1】+工2-6—t, +36-92W36-9 tt t 当且仅当t=6取等 所以锐角∠D1G正切值的最大值为1，此时余弦值有最小值 2 所以异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值为 2 (3)BC=2W5,CD=2V13,BF=4N2,BD=4V6 易知点Q轨迹为两平面的交线，所以轨迹为线段，设轨迹与线段BC相交于点O与BD相 交于点Q。 Ve-cmr= Sg因为a如=g-r,所必 V-ca=1」 Vo-FCD RECD Ve-Cms Voor= ce Ve-ar VB-e,即 O 所以BO=2BC= 6 3 同理， 'g-28n= Ve:-FD Vo-5cV -87-4 SFECD Ve-BER 5 Ve-DR D22 Ve-BEE V- .所以0，-5D-206 CoS∠CBD= BC2+BD2-CD220+96-524 2BC·BD 2×√20xV96V30 eC,=VBg+BO;-2Bg·B吧，cos/CBD=5y5