精品解析：山西忻州市第一中学校2026届高三下学期考前预测卷（二）数学试题

忻州一中2026届高三考前终极猜想卷（二） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号. 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设，，由条件结合复数相等的性质列方程求，再求即可. 【详解】设，，则 得到，所以， 故，故，， 所以，，所以，故. 2. 已知命题：，，：，，则下列命题为真的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断命题与命题的真假即可得. 【详解】对，有，故该方程无解，故命题为假命题； 由，则，当且仅当时，等号成立，故命题为真命题； 故、、都为假命题，为真命题. 3. 从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取3张，则取出的3个数中最大数为5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由古典概型求解即可. 【详解】由题意可得总的选法有， 要使选出的3个数中，最大的为5， 则其余2个数只能从1，2，3，4中选取，共有种， 故所求概率为. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】由于，代入，且， 得，解得，故B正确. 5. 已知函数，.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. 6. 在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的性质，找线面所成角，直接用公式求出正弦值. 【详解】分别作线段，的中点，，连接，，， 在正方体中，，分别为，的中点， 所以 平面，所以与平面所成角为， 因为，，，所以， 所以，所以. 7. 已知双曲线：（，）的离心率为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离心率的定义可求出. 【详解】由的离心率为，可得，解得. 8. 已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数正负得出函数单调性进而得出极值，再结合边界值应用实根的个数求解. 【详解】函数，， 当单调递增，当单调递减，当单调递增， 所以的极大值为，的极小值为，且，， 所以的最大值为2，的最小值为， 所以若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则或. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，且.设，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部为0 B. C. 若，则有且仅有两个可能值 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，，，则有，求出的实部，即可判断A；求出的值，即可判断B；求出当时，的值，即可判断C；举反例判断D. 【详解】设，， 因为，所以， 对于A，因为 ， 其实部为，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由A可知， 当时，则有， 所以或， 即或， 解得或（舍，理由为）或， 所以或，故C正确； 对于D，取，则其实部为， 则， 所以， 所以，故D错误. 10. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意，都有，且单调递增 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，首先利用数学归纳法，结合递推公式，证明对所有都有，再通过作差法比较与的大小，判断数列单调性；对于B选项，将代入，通分后对分子因式分解，验证等式是否成立；对于C选项，先根据递推公式写出的表达式，再代入，化简后与​对比；对于D选项，直接根据已知依次递推计算验证结果. 【详解】对于A,时， 成立， 假设 时 成立，由均值不等式得（，等号不成立）， 因此归纳成立， 因为 ， 由 得，故， 单调递增，A正确； 对应B，  B正确； 对于C，因为​​，则 ， C正确； 对于C,​，可得 ，，，D错误. 11. 在三棱锥中，，，，且.点在三角形及其内部运动，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的点的轨迹是三角形内的一条线段 C. 满足的点的轨迹线段长为 D. 存在点，使得 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A，由题可易得，又因为， 则三棱锥为平面为底面的正三棱锥，且两两垂直， 当与平面垂直时最小，由等体积有， 即，左边，右边， 解得，A正确； 选项B，因为，所以P在线段的垂直平分线上， 因为点在三角形及其内部运动，所以点的轨迹是三角形内的一条线段，B正确； 选项C，因为，所以P在线段的垂直平分线上， 分别作，，的中点，在平面中，，，所以， 同理，，因为平面，所以平面，且O，A分别在平面两侧并到平面的距离相等， 所以点P在线段上，，C正确； 选项D，因为，所以P为的外心， 由题可知，为等边三角形，所以也为重心，所以， 由A选项可知，为重心时， 所以不成立，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的最小值为4，则实数的所有取值之和为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据多个绝对值和的最小值在绝对值零点的中位数位置取得的性质，按、、三种情况分类讨论，分别求出函数最小值并令其等于4，解出符合条件的后计算所有的取值之和. 【详解】表示数轴上动点到定点、、的距离之和， 对于奇数个绝对值相加，距离和的最小值在中间点（中位数）处取得， 分情况讨论： 当时，三个点排序为，最小距离和为， 令，解得； 当时，三个点排序为，最小距离和，不合题意，舍去； 当时，三个点排序为，最小距离和为， 令，解得； 的所有取值为和，取值之和为. 13. 已知函数的最大值为2，且其图象的一条对称轴为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式结合三角函数最大值的性质得到的可能取值，再利用对称轴处函数取最值的性质，代入计算验证得到符合条件的值. 【详解】对于 ，其中，其最大值为， 又最大值为2，所以，解得. 又， 因为是的一条对称轴，所以， 若，则，舍去； 若 ，则 ，符合； 所以. 14. 已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由圆外一点的切点弦方程得直线，计算弦长及到距离，表示出三角形面积；代入已知值后简化求解. 【详解】圆，外点，根据切点弦方程公式，得的方程为. 与交于，，点到的距离为. 的面积， 代入，得，两边平方得. 令，则，展开得 ，即. 二次式判别式，故，即，（负根舍去）. 因此 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某种产品出厂前需经过甲、乙两套检测系统．设产品实际合格的概率为r，其中．若产品实际合格，则甲系统判为合格的概率为0.95，乙系统判为合格的概率为0.90；若产品实际不合格，则甲系统误判为合格的概率为0.10，乙系统误判为合格的概率为0.05．两套系统的判断相互独立． 规定：只有当甲、乙两套系统均判为合格时，产品才允许出厂． （1）若，求允许出厂的产品实际合格的概率； （2）若要求允许出厂的产品实际合格的概率不低于0.98，求r的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件表示“产品实际合格”，事件表示“产品允许出厂”，则，，，，再由贝叶斯及 全概率公式计算求解； （2）由（1）知，再结合题意解不等式即可． 【小问1详解】 记事件表示“产品实际合格”，事件表示“产品允许出厂”， 由题意，，， 若产品实际合格，则甲、乙均判为合格的概率为， 若产品实际不合格，则甲、乙均误判为合格的概率为， 当时，， 代入得． 【小问2详解】 由（1）知． 用分数表示为． 由题意要求． 因为， 所以． 即． 因此， 所以． 又，故． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． （1）求； （2）求和的面积． 【答案】（1） （2），的面积为 【解析】 【分析】（1）利用面积公式建立与的关系，再结合余弦定理得到关于的方程，求解得和的值. （2）根据和的值求出半周长，结合已知，用面积公式算出面积. 【小问1详解】 已知，半周长​， 由面积公式可得： ，​ 又因为，由面积公式可得：  ，因为两式相等，所以约去得：  ①，由余弦定理可得：， 又因为，， 所以 ② 将①代入②得：，整理得， 解得正根（负根舍去），因此. 【小问2详解】 由(1)已得，面积，代入可得：​，，  所以. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系． 则，，，， ，，，． 因为M为的中点，N为的中点，所以，． 有． 平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则， 又，则， 而平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量证明线面平行即可； （2）求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求平面与平面的夹角即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得平面的一个法向量为． 在平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则． 设平面与平面所成角为， 则， 因此， 即平面与平面所成二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆：，点，其中.过点作椭圆的两条切线，切点分别为，. （1）求直线的方程，并用表示； （2）若，求点的坐标及两条切线的方程. 【答案】（1）， （2）；和 【解析】 【分析】（1）首先利用直线与椭圆相切，联立方程，根据求出切点坐标，即可求解； （2）根据（1）的结果，将的面积表示为关于的方程，即可求解 【小问1详解】 设过点的切线方程为，与椭圆方程联立， 得①，整理为， 其中，得， 代回①得，即，得， 因此两个切点，的横坐标均为，故切点弦的方程为．又切点在椭圆上，所以． 即．故．因为，所以． 【小问2详解】 点到直线：的距离为．所以． 即． 由题意． 当时，． 又函数在上为正数，且是增函数，为正数，且是增函数，所以单调递增，所以解唯一． 故．当时，切点横坐标为．代入椭圆方程得， 所以．当切点为时，切线方程为，即． 当切点为时，切线方程为， 即． 19. 已知函数，. （1）证明：； （2）设，证明在上单调递增； （3）求实数的最大值，使得对任意，都有. 【答案】（1）由得． 由基本不等式，，且当时等号不成立，所以． 所以函数是增函数. 又，因此对任意，． （2）设．则． 记，则， 设，则， 设，则． 当时， 因为是增函数，且， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，，所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求导证明导函数大于0，结合在0处的极限为0，得； （2）多次构造辅助函数，利用导数判断相应函数的单调性，进而证明，在上单调递增； （3）分离参数转化为恒成立，由（2）的结论，结合洛必达法则可得；或构造函数，利用导数分析其最小值，即可求得实数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：要使对任意，都有，等价于对任意成立， 即对任意成立．由（2）知，在上单调递增，因此． 用洛必达法则计算极限得．因此． 法二：令函数，则． 令，则． 令，则． 时，； 时，. 因为是增函数，且， 当，即时，恒成立， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 即使得对任意，都有. 当，即时，在上有解，记为， 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 即存在，使得，不合题意. 综上所述，，所以实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忻州一中2026届高三考前终极猜想卷（二） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号. 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 5 2. 已知命题：，，：，，则下列命题为真的是（ ） A. B. C. D. 3. 从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取3张，则取出的3个数中最大数为5的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：（，）的离心率为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 或2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，且.设，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部为0 B. C. 若，则有且仅有两个可能值 D. 10. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意，都有，且单调递增 B. C. 若，则 D. 若，则 11. 在三棱锥中，，，，且.点在三角形及其内部运动，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的点的轨迹是三角形内的一条线段 C. 满足的点的轨迹线段长为 D. 存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的最小值为4，则实数的所有取值之和为__________. 13. 已知函数的最大值为2，且其图象的一条对称轴为，则__________. 14. 已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某种产品出厂前需经过甲、乙两套检测系统．设产品实际合格的概率为r，其中．若产品实际合格，则甲系统判为合格的概率为0.95，乙系统判为合格的概率为0.90；若产品实际不合格，则甲系统误判为合格的概率为0.10，乙系统误判为合格的概率为0.05．两套系统的判断相互独立． 规定：只有当甲、乙两套系统均判为合格时，产品才允许出厂． （1）若，求允许出厂的产品实际合格的概率； （2）若要求允许出厂的产品实际合格的概率不低于0.98，求r的取值范围． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． （1）求； （2）求和的面积． 17. 如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 18. 已知椭圆：，点，其中.过点作椭圆的两条切线，切点分别为，. （1）求直线的方程，并用表示； （2）若，求点的坐标及两条切线的方程. 19. 已知函数，. （1）证明：； （2）设，证明在上单调递增； （3）求实数的最大值，使得对任意，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $