精品解析：山西忻州市第一中学校2026届高三下学期考前猜题卷（二）数学试题

忻州一中2026届高三考前猜题卷（二） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号． 3．选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组样本数据的方差为2，令，，则样本数据的方差为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 设，若函数在上恰有一个零点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有两枚外形完全相同的硬币，甲硬币正面朝上的概率为，乙硬币正面朝上的概率为，随机取出其中一枚硬币，连续抛掷3次，记正面朝上的次数为，事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在事件发生的条件下，取到乙硬币的概率为 C. 在事件发生的条件下，三次均为正面的概率为 D. 在事件发生后，若继续用同一枚硬币再抛一次，则正面朝上的概率为 10. 设函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 是的最小值点 B. 方程有且仅有一个实根 C. 若，则方程有三个实根 D. 在R上有最大值 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，．点在椭圆的第一象限部分，且．过点作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 的面积为 D. 该切线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为_____． 13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 14. 已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为研究学生每周体育锻炼时间（单位：小时）与体测成绩提高分的关系，随机抽取5名学生，得到如下数据．已知经验回归方程为，其中，． 1 2 3 4 5 2 6 6 7 9 （1）求经验回归方程； （2）根据该回归方程，估计每周锻炼6小时时体测成绩的提高分；若把“体测成绩提高分不少于10”记为训练效果明显，按该模型估计每周锻炼时间至少应为多少整数小时？ 16. 在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． （1）求； （2）求的面积和． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点在线段上． （1）若，求； （2）在（1）的条件下，求平面与平面所成二面角的正弦值． 18. 已知抛物线：，点，其中．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，． （1）求切点弦的方程； （2）若的面积为4，求点的坐标及两条切线的方程． 19. 已知函数，． （1）证明：； （2）设，证明在上单调递减，并求，； （3）若方程存在正根，求实数的取值范围；当正根记为时，证明随的增大而减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忻州一中2026届高三考前猜题卷（二） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号． 3．选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】，所以的虚部为2. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，即， 集合，即， 所以， 因此. 3. 已知一组样本数据的方差为2，令，，则样本数据的方差为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】设样本数据的方差为，则， 又， 所以样本数据的方差. 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方法，结合同角三角函数关系式中的平方和关系、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】 . 6. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，连接交于点，则为正方形的中心. 连接，则平面，所以. 取的中点，连接， 则，且. 因为平面，所以. 由，得； 所以为侧面与底面所成二面角的平面角. 所以. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以. 所以. 8. 设，若函数在上恰有一个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导，根据导函数确定函数的单调性即可求解. 【详解】已知，函数，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以在处取到最小值， 因为函数在上恰有一个零点，则必有，解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有两枚外形完全相同的硬币，甲硬币正面朝上的概率为，乙硬币正面朝上的概率为，随机取出其中一枚硬币，连续抛掷3次，记正面朝上的次数为，事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在事件发生的条件下，取到乙硬币的概率为 C. 在事件发生的条件下，三次均为正面的概率为 D. 在事件发生后，若继续用同一枚硬币再抛一次，则正面朝上的概率为 【答案】ABC 【解析】 【详解】设抽到甲硬币为事件甲，设抽到乙硬币为事件乙， 抽到甲硬币且的概率：， 抽到甲硬币且的概率：， ， 抽到乙硬币且的概率：， 抽到乙硬币且的概率：， . 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确. 对于D，在事件发生后，取得甲硬币的概率：， 在事件发生后，取得乙硬币的概率：，在事件发生后，若继续用同一枚硬币再抛一次，则正面朝上的概率为，D错误. 10. 设函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 是的最小值点 B. 方程有且仅有一个实根 C. 若，则方程有三个实根 D. 在R上有最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出函数的导数，确定单调区间及对应的函数值集合，再逐项分析判断即可. 【详解】函数，求导得，当或时，； 当时，，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 对于A，，因此是的最小值点，A正确； 对于B，，直线与函数的图象仅有一个交点，方程有且仅有一个实根，B正确； 对于C，当时，直线与函数的图象有三个交点，则方程有三个实根，C正确； 对于D，当时，，函数在R上无最大值，D错误. 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，．点在椭圆的第一象限部分，且．过点作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 的面积为 D. 该切线的斜率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用椭圆的性质求出点到焦点的距离，从而结合两点间距离公式求出点的坐标，设出切线方程与椭圆方程联立，利用根的判别式等于零求出切线的斜率，从而求出切线和坐标轴的交点，并计算出三角形的面积. 【详解】 选项A、B：椭圆，则椭圆的焦点，， 点在椭圆的第一象限部分，设， 因为，且根据椭圆的性质可知， 所以，即，故选项B正确； ，化简可得， 因为，所以代入可得，解得， 所以，即点的坐标为，故选项A正确； 选项C、D：设过点与椭圆相切的直线为，的斜率为， 则的直线方程为，即， 直线方程与椭圆方程联立可得， 化简可得， 则， 化简可得，即， 解得，故选项D错误； 因此的直线方程为， 令，则，即， 令，则，即， 所以，故选项C正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先写出的展开式，再将每一项与组合即可求得的系数. 【详解】， 则的系数为. 13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可求解 【详解】 已知椭圆，则，， 由椭圆的定义得，， 由于，所以， 则. 14. 已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，将多层复合方程拆解为外层和内层方程，通过分析外层方程根的分布，反推参数的取值范围. 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 设该方程的两根为（），要使有4个不同实根，需满足： 有两个不同的实根，这两个根均大于. 即有两个不同实根，则 设，要使的两根均大于，需满足： 其中 . 同时，当时，， 若，则是方程的一个根，此时仅有1个根， 有2个根，总根个数为3，不符合题意. 当时， （二重根），此时有2个不同实根，总根个数为2，不符合题意. 综上，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为研究学生每周体育锻炼时间（单位：小时）与体测成绩提高分的关系，随机抽取5名学生，得到如下数据．已知经验回归方程为，其中，． 1 2 3 4 5 2 6 6 7 9 （1）求经验回归方程； （2）根据该回归方程，估计每周锻炼6小时时体测成绩的提高分；若把“体测成绩提高分不少于10”记为训练效果明显，按该模型估计每周锻炼时间至少应为多少整数小时？ 【答案】（1）； （2）估计提高分为10.5，至少应为6小时 【解析】 【分析】（1）先求出，代入公式计算，进而求，即得经验回归方程； （2）根据经验回归方程估计出时的体测成绩的提高分，再由规定列不等式计算即得. 【小问1详解】 由数据得，． 于是． 又． 所以． 从而． 故经验回归方程为． 【小问2详解】 当时，． 所以估计每周锻炼6小时时体测成绩提高分为10.5． 若训练效果明显，则，由，解得． 由于每周锻炼时间按整数小时估计，所以至少应为6小时． 16. 在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． （1）求； （2）求的面积和． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式列方程求解； （2）由三角形面积公式求解即可；由余弦定理求即可. 【小问1详解】 设，．则， 又， 由余弦定理，． 记，则， 因为为的平分线， 所以， 所以，又， 故，因此． 【小问2详解】 三角形面积：； 由（1）可知：． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点在线段上． （1）若，求； （2）在（1）的条件下，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴， 建立空间直角坐标系，设，根据已知求得，计算即可求得结果； （2）分别求得平面与平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系． 由题意可取，，，，． 设，，， 则． 于是，． 由可得． 即． 整理得， 所以． 因此． 【小问2详解】 由（1）可知． 平面中，，． 取平面的一个法向量为． 平面中，，． 取平面的一个法向量为 设平面与平面所成二面角为，则． 所以． 18. 已知抛物线：，点，其中．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，． （1）求切点弦的方程； （2）若的面积为4，求点的坐标及两条切线的方程． 【答案】（1）切点弦的方程为 （2），两条切线方程为和 【解析】 【分析】（1）设切点为，求导得出抛物线的切线方程，利用切线经过，推得，求出点的坐标，即得切点弦的方程； （2）利用（1）的结论和的面积列方程求出，进而求出或，回代入切线方程即得答案. 【小问1详解】 因抛物线方程为，可设切点为． 由求导得，则切线斜率为， 故该点处切线方程为，即． 因为切线经过，所以，则． 由于，则． 对应的两个切点分别为，． 所以切点弦的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知． 又点到直线的距离为． 由题意，． 令，则，即．所以，从而，故． 当时， 或． 代入方程，即得两条切线分别为和． 19. 已知函数，． （1）证明：； （2）设，证明在上单调递减，并求，； （3）若方程存在正根，求实数的取值范围；当正根记为时，证明随的增大而减小． 【答案】（1）由 得． 因为，所以． 又，因此对任意，． （2） 由得． 即， ，则 ， 整理得， 因为，所以且，且， 所以对于所有的，都有，即在区间上单调递减， 所以， 所以恒成立， 因此恒成立，即在上单调递减， 设，则， 因为，所以，即在上单调递增， 所以，即， 设， 则， 因为，所以，即在上单调递增， 所以，即， 代入得 ， ， 即， 当时，，， 所以， 设，， 因为，所以，即在上单调递增， 所以，即， 则， 当时，显然， 即，且， 则. （3）方程存在正根，等价于存在，使得． 由（2）知，在上单调递减，且，． 因此方程存在正根，当且仅当． 当时，由的严格单调性，方程有唯一正根，记为． 若， 则． 由于严格单调递减，所以． 因此随的增大而减小． 【解析】 【分析】（1）通过求导利用判定导函数恒为正，从而证明原函数严格单调递增，结合端点值 即可得证; （2）由分子构造出函数，通过二次求导判定的单调性以证实；构造函数，通过放缩法与导数逼近求出端点极限; （3）将原方程转化为，使用（2）中结论确定实数的取值范围，再利用单调函数的定义即可求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $