山西忻州市第一中学校2026届高三下学期考前预测卷（一）数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 忻州一中2026届高三考前终极猜想卷（一） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号． 3．选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知复数z满足，，且z的虚部为正，则的虚部为 A． B． C．4 D．5 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，2，…，n，则样本数据，，…，的方差为 A．4 B．6 C．8 D．10 4．已知向量，满足，，，则 A．1 B． C． D．2 5．已知，且，则 A． B． C． D． 6．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为 A． B． C．1 D． 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为 A． B． C． D．1 8．若正实数x，y，z满足，则下列大小关系中不可能成立的是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，满足，，．对实数t，设，．则下列说法正确的是 A．的最小值为 B．存在两个实数t，使得 C．若，则 D．以，为邻边的平行四边形面积的最小值为 10．设，，则下列说法正确的是 A．是偶函数 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有 11．在棱长为1的正方体中，点P在线段上，且，．过点P作平面，使．设平面截正方体所得截面的面积为，则下列说法正确的是 A．当时，截面面积为 B．当时，截面为等边三角形 C．的最大值在处取得 D．当时，截面周长为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知一组数据1，2，3，4，a的方差为2，且，则__________． 13．一个圆锥的底面半径为2，母线长为4．点A，B在底面圆周上，且底面圆中的弦长，则沿圆锥侧面从A到B的最短路径长为__________． 14．已知实数x，y满足，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某种产品出厂前需经过甲、乙两套检测系统．设产品实际合格的概率为r，其中．若产品实际合格，则甲系统判为合格的概率为0.95，乙系统判为合格的概率为0.90；若产品实际不合格，则甲系统误判为合格的概率为0.10，乙系统误判为合格的概率为0.05．两套系统的判断相互独立． 规定：只有当甲、乙两套系统均判为合格时，产品才允许出厂． （1）若，求允许出厂的产品实际合格的概率； （2）若要求允许出厂的产品实际合格的概率不低于0.98，求r的取值范围． 16．（本小题满分15分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其内切圆半径为r，半周长为s．已知，，． （1）求； （2）求a和的面积． 17．（本小题满分15分） 如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆C：．过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，设M为线段的中点． （1）求点M的轨迹方程； （2）求面积的最大值，其中O为坐标原点． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）若，证明：； （2）讨论函数在上零点的个数； （3）求实数的最大值，使得对任意，都有． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案与详解 2026届高三考前终极猜想卷（- 一、 单项选择题 题号 1 2 3 4 6 答案 D 二、多项选择题 题号 10 11 答案 ABD ABC ABC 三、填空题 题号 12 13 14 答案 5 2+V2 四、解答题 684 49 15.答案：(1)685： (2) 220 记事件G表示“产品实际合格”，事件H表示“产品允许出厂”. 由题意， P(G)=r P(G)=1-r 若产品实际合格，则甲、乙均判为合格的概率为 P(HG=0.95×0.90=0.855 若产品实际不合格，则甲、乙均误判为合格的概率为 P(HG=0.10×0.05=0.005 (1)当r=0.8时， …数学 P(GH)= P(G)P(HG) P(G)P(HG)+P(GP(HG) 代入得 P(GH)= 0.8×0.855 0.684 .8×0.855+0.2×0.0050.685 (2)一般地， P(G)= 0.855r .855r+0.005(1-r) 用分数表示为 PGH)=170r+1. 171r 由题意要求 171r ≥0.98= 49 170r+1 50 因为 170r+1>0, 所以 50.171r≥49(170r+1) 即 8550r≥8330r+49 因此 220r≥49， 所以 r49 220 又0<r<1,故 49 r∈ 220 16.答案：(1)bc=9;(2)a=3: 设 bc=p. 因为 A=60°，b+C=6, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2 bc cos60° 所以 a2=b2+c2-bc. 又 b2+c2=(b+c2-2bc=36-2p 因此 a2=36-3p 三角形面积为 SA4BcE,bcsin60°=V3 另一方面，由内切圆半径公式 S=rs. 又 r=V3 s=atb+c_a+6 2 2 2 所以 93 △ABC的面积为4. s=5.a+6 -(a+6) 224 比较两种面积表达式，得 p=a+6 于是 a=p-6 代入 a2=36-3p, 得 (p-6)}=36-3p 展开整理： p2-12p+36=36-3p, 即 p2-9p=0 由于p=bc>0,所以 p=9 故 bc=9 又 a=p-6=3 面积为 √5 S△ABC= 9-95 √70 17.答案：(1)证明见下；(2)所求二面角的正弦值为10. 以A为原点，分别以AB，AD,A4所在方向建立空间直角坐标系。 A(0,0,0).B(2,00).D(0,5,0）.cl5,0 4(0,0,2).B(2,02).D(05,2.C1,3,2） 因为M为AD的中点，N为BB的中点，所以 N(2,0,1) (1)有 平面ABD中， AB=(2,0,0).AD=(0,5,2) 取平面ABD的一个法向量为 i=(0,-2,v5) 则 万：AB=0,i:AD=0 故元是平面MBD的法向量。 万--235小5-8-0 所以 由题意可取 MN∥平面ABD (2)平面ABCD即平面z=0,其一个法向量为 元。=(0,0,1) 在平面CMN中， c=(,-3, 取平面CMN的一个法向量为 元=CM xCN 计算得 可取其同向向量 =(N3,2,5) 设平面CMN与平面ABCD所成二面角为B,则 c0s0=尾元 3 5 V3+4+3V10 因此 3 7√70 -V1010 18.答案：(1)点M的轨迹方程为x2-3x+4y2=( 1. (1)设 4 ≤x ,其中 3:(2)△OAB面积的最大值为 M(xo o) 椭圆 x2 +y2=1 4 可写为 (1 0 A= xTAx=1, 01 对中心在原点的二次曲线，若弦AB的中点为M(x,) ox+yoy= 4 + 4 由于弦AB过点 T(3,0) 代入得 3x-至+乃 44 两边同乘4，得 3x0=xo+4yo 因此点M的轨迹方程为 x2-3x+4y2=0 由直线与椭圆相交可知实际轨迹对应 0≤x3 (2)设过点T(3,0)的直线为 则弦所在直线满足 y=k(x-3) 代入椭圆方程 x2 +y2=1 4 得 +k2(x-3)=1 4 整理为 (1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0 设交点A,B的横坐标分别为，X2,则 k-= V1-5k2 1+4k2, 其中 0ss线 又 y=k(x-3)(i=1,2), 所以 x2-x2y=3kx- 于是 5.ow 代入得 6kv1-5k2 1+4k2 令 M=2, 0sus1 则 SAOAB 36u(1-5u) (1+4u)1 记 p(u)=u-5w) (（1+4u)月 求导可得 p(u) 1-14u (1+4u)月 所以当 w=1 14 时， p(0)取得最大值. 此时 6,1-5 V1414 SAOAB =1 4 1+ 14 故△OAB面积的最大值为1. 1 .a≤ 19.答案：(1)证明见下：(2)当2时无零点， (1)当 1 a2 1 a> 2时有且仅有-个零点；3) 2 时， fx)=e*-1=x7r2 记 g(x)=e*-1-x- 2 则 g'(x)=e-1-x g"(x)=e-1 当 x>0 时， g"(x)>0 又 g'(0)=0 所以 g'(x)>0(x>0). 再由 g(0)=0 可知 g(x)>0(x>0). 1 d= 因此当2时， f(x)>0 (2)设 G(x)=e*-1-x x2,x>0. 则 f(x)=x2(G(x)-a) 所以f()=0等价于 G(x)=a 下面研究G()的单调性。 Gy=re-小2xe-1- x 整理得 G'(x)-(x-2)e'+x+2 记 y(x)=(x-2)e+x+2 则 (0)=0 '(x)=(x-1)e+1 w"(x)=e>0(x>0). 又 y'(0)=0 所以 y'(x)>0(x>0), 从而 (x)>0(x>0). 因此 G'(x)>0(x>0), 即G()在(0，+o)上单调递增. 又 lim G(x)=lim G()= x->0* 故当 时，方程G()=a无正根，即f()在(0，+0)上无零点. 当 91 2 时，方程G()=0有且仅有一个正根，即f(冈在(0，+0)上有且仅有 (3)要使对任意x>0,都有 e≥1+x+x2, 等价于 Ase'-l-x x2 对任意x>0成立. 个零点. 因此 Asinfe-1-x x>0 x2. 由(2)知 G(x)=e*-1-x x2 在(0，+∞)上单调递增，且 () x-0* 所以 rc(- x>0 因此实数九的最大值为 1