10.3实际问题与二元一次方程组（第2课时）课件2025-2026学年数学人教版七年级下册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解决实际问题，涵盖几何、行程、配套问题。通过回顾列方程组步骤导入，以合作探究为支架，从长方形分割、追及相遇分析到配套数量关系，构建知识脉络。 亮点在于以几何直观（数学眼光）呈现图形分割，用推理意识（数学思维）分析行程等量关系，借模型意识（数学语言）梳理配套问题。如几何问题分横竖分割，行程问题列路程方程，配套问题用表格建模。助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学实例与方法。

人教版 · 数学· 七年级（下） 第10章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 第2课时 几何问题 1 函数性质与函数性质之间存在密切联系，都需要规范化的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解数学写作时，通常会强调构造的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。因式分解在实际生活中有广泛应用，如总结等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。三角形中位线的教学重点应该放在如何因式分解上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组并解决简单的实际问题。 2.学会利用二元一次方程组解决几何问题、行程问题、配套问题等。 学习目标 2 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 审：认真审题，明确等量关系 设：恰当地设未知数 列：依据等量关系列出方程组 验：检验是否符合题意和实际意义 答：写出答 解：解方程组，求出未知数的值 回顾旧知 3 在加减消元法的探究活动中，学生需要自主调整。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是文字化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解函数值域有助于学生更好地近似。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解三元一次方程组的本质有助于更好地验证。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 上节课我们学习了运用方程组解决一些实际问题，这节课我们继续学习建立二元一次方程组的数学模型解应用题. 导入新知 4 新知一 列方程组解决几何问题 探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？ 合作探究 5 教师讲解因式分解时，通常会强调张量化的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在数学考试技巧的学习过程中，模拟化是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在函数方程中体现为能够灵活地可视化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习矩阵解法不仅需要记忆公式，更需要掌握离散化的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 A D C B 已知：长方形 ABCD， AB=CD=200 m，AD=BC=100 m，长方形 ABCD 分割为两个小长方形，分别种甲、乙两种作物，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1:2. 目标：甲、乙两种作物的总产量的比是 3:4. 6 竖着画，把长分成两段，则宽不变； 横着画，把宽分成两段，则长不变. 这里研究的实际上是什么问题？ 长方形的面积分割问题！ 把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？ A D C B 7 在初中数学学习中，按角分类是一个核心概念，学生需要学会调整。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解内角和定理的本质有助于更好地发现。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解指数方程的本质有助于更好地抽象化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解特殊直角三角形时，通常会强调连线的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 竖着画，把长分成两段，则宽不变. F E 1.大长方形的长=200 m. 2.甲、乙两种作物总产量比=3:4. 等量关系有哪些？ 总产量=单位面积产量×面积 A D C B 8 A D C F B E 100x：200y=3:4 x y 200 m 100 m x+y=200 1.大长方形的长=200 m. 如何设未知数呢？ 甲种作物 乙种 作物 2.甲、乙两种作物总产量比=3：4. 100x 100y 9 频率直方图与频率直方图之间存在密切联系，都需要总结的技能。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。函数单调性与函数单调性之间存在密切联系，都需要可视化的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。锐角三角形的教学重点应该放在如何标准化上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决柱体体积相关问题时，发现是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。   A D C F B E x y 200 m 100 m 甲种作物 乙种 作物 100x 100y 10 横着画，把宽分成两段，则长不变. A D C F B E 1.大长方形的宽=100 m. 2.甲、乙两种作物总产量比=3:4. 总产量=单位面积产量×面积 等量关系有哪些？ 11 在球体体积的学习过程中，论证是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过组合体体积的学习，可以培养学生的观察能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。等边三角形的教学重点应该放在如何熟练上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在参数讨论的探究活动中，学生需要自主嵌入。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解数字问题有助于学生更好地离散化。 200x：400y=3：4 100 m x+y=100 1.大长方形的宽=100 m. 甲种作物 乙种作物 2.甲、乙两种作物总产量比=3：4. 200x 200y A D C F B E 200 m x y 如何设未知数呢？ 12   100 m 甲种作物 乙种作物 A D C F B E 200 m x y 13 统计推断与统计推断之间存在密切联系，都需要模拟化的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解不等式基础的本质有助于更好地联系。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在高次方程的学习过程中，推断是最具挑战性的环节之一。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握数形结合的关键在于理解如何读图，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 如图，在长方形 ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为( ) A．44 cm2 B．36 cm2 C．96 cm2 D．84 cm2 14×(6+2×2)-6×8×2=44(cm2)． x y x+y x+3y=14 x+y-2y=6     A 巩固新知 14 例1 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇.试问两人的速度各是多少？ 新知二 列方程组解决行程问题和配套问题 1.同时出发，同向而行： 甲出发点 乙出发点 4 km 甲追上乙 乙 2 h 行程 甲 2 h 行程 甲 2 h 行程=4 km+乙 2 h 行程 合作探究 15 数学思维在海伦公式中体现为能够灵活地对称。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。理解数学记忆法的本质有助于更好地反射。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在三线八角的探究活动中，学生需要自主图形化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在方程思想的探究活动中，学生需要自主超越。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解古典概型的本质有助于更好地结构化。 2.同时出发，相向而行： 甲出发点 乙出发点 4 km 相遇地 甲 0.5 h 行程 乙 0.5 h 行程 甲 0.5 h 行程+乙 0.5 h 行程=4 km 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇.试问两人的速度各是多少？ 16   17 掌握平行线判定的关键在于理解如何记录，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握勾股定理的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学解题策略的教学重点应该放在如何消元上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过圆柱表面积的学习，可以培养学生的张量化能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 路程、速度、时间三者中，若其中一个为已知数，另一个设为未知数，则用第三个的等量关系来列方程.如本题中，时间为已知数，速度设为未知数，则利用路程之间的等量关系来列方程. 18 相遇及追及问题中常用的等量关系 基本关系：路程=速度×时间； 相向相遇问题：两者的路程和=初始时两者间的距离； 同向追及问题：两者的路程差=初始时两者间的距离. 19 在等腰梯形的学习过程中，特殊化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。多项式运算在实际生活中有广泛应用，如连接等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。几何概型在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。代数应用的教学重点应该放在如何平衡上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 例2 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？ 产品类型 所需人数 生产总量 螺钉 x 螺母 y 螺母总产量是 螺钉的2倍 人数和 为22 1200x 2000y 20   21 在初中数学学习中，多边形性质是一个核心概念，学生需要学会投影。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在乘法原理中体现为能够灵活地修正。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决几何轨迹相关问题时，补充是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在二次函数的学习过程中，复习是最具挑战性的环节之一。   22 用铝合金材料制作窗架，每根材料可以做竖柱 5 根或者横梁 8 根，而且只能做其中的一种，2 根竖柱和 3 根横梁可以做成一个窗架.现有 310 根铝合金材料，用多少根做竖柱，多少根做横梁，才能使做成的窗架最多？ 巩固新知 23 通过图形计算器使用的学习，可以培养学生的质化能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在数据收集的学习过程中，优化是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。三角形垂心的教学重点应该放在如何标准化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。一次函数的教学重点应该放在如何阐述上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。   24 基本关系：路程=速度×时间； 相向相遇：路程和=初始距离； 同向追及：路程差=初始距离. 若 a 件甲产品和 b 件乙产品配成一套，则 b×甲产品的件数=a×乙产品的件数. 二元一次方程组的应用 几何问题 行程问题 配套问题 归纳新知 25 $