10.3实际问题与二元一次方程组（第2课时）课件2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 （第2课时） 素养目标 经历探究实际问题的过程，能结合图形挖掘隐含的数量关系，发现问题中隐含的未知数和相等关系，列方程组并求解，得到实际问题的答案．进一步发展模型观念，感悟数形结合思想． 2 观察思考，探究新知 问题1：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1 ∶ 2．现要:把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4？ 追问1：这里研究的问题实际上是长方形面积的分割问题，把一个长方形土地划分为两块小长方形土地，有哪些分割方式？ 2.横着画，把宽分成两段，则长不变. 1.竖着画，把长分成两段，则宽不变. 问题1：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1 ∶ 2．现要:把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3 ∶ 4 ？ 观察思考，探究新知 追问 2：问题中的已知数、未知数分别是什么？ AB=CD=200 AD=BC=100 甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1∶2 甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 未知数：两个小长方形的其中一边长 AE、EB. 设 AE＝x m，EB＝y m． 已知数: 观察思考，探究新知 追问 3：怎么找出相等关系并列方程？ （1）AE+BE=200 总产量=单位面积产量×面积 S长方形AEFD =100x 3∶4 先求出种植两种作物的面积 x + y=200 （2）甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 S长方形BCFE =100y 再写出两种作物的总产量的比 100x ：2 × 100y=3：4 1∶2 甲： 乙： ？ 观察思考，梳理过程 解：方程组整理得： x + y=200 3y= 2x 100x ：200y= 3：4 100x ：2×100y= 3：4 600y= 400x 追问 4：怎么解这个方程组？ 2x－ 3y =0 x + y=200 ① ② 解：由① ×2 ，得 2x + 2y = 400 ③ ③ － ② ，得 5y =400 y= 80 把y = 80代入①，得 x+ 80 = 200 x= 120 所以这个方程组的解是 x=120 y=80 2x－ 3y =0 问题1：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1∶2．现要:把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4？ 观察思考，规范步骤 解这个方程组，得 解：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形DAEF和FEBC,设 AE＝x m，EB＝y m． x + y=200 x=120 y=80 答：过长方形土地的长边上离一端 80 m 处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种植甲种作物，较小一块土地种植乙种作物． 100x ：2×100y= 3：4 问题1：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1∶2．现要:把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 ？ 观察思考，规范步骤 解这个方程组，得 解：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形DMNC和MABN, 设CN＝x m，BN＝y m． x + y=100 200x ：2×200y= 3：4 x=60 y=40 答：过长方形土地的短边上离一端 40 m 处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种植甲种作物，较小一块土地种植乙种作物． 方法2： 练习 1.如图，学校规划在一块长 18 m、宽 13 m 的长方形场地 ABCD 上，分别设计与 AD，AB 平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边 AM∶AN＝8∶9，那么通道的宽是多少？ 经典练习，巩固新知 AD＝BC＝18，AB＝CD＝13，AM∶AN ＝ 8∶9 相等关系： 未知数： 所以：设 AM，AN 的长分别为 8x m 和 9x m，通道的宽为 y m． 已知数: 2AN ＋ 一条通道的宽＝AB＝13 3AM ＋ 两条通道的宽＝AD＝18 通道的宽，AM，AN 的长. 3×8x + 2y=18 2×9x + y=13 方法1： 练习 1.如图，学校规划在一块长 18 m、宽 13 m 的长方形场地 ABCD 上，分别设计与 AD，AB 平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边 AM∶AN＝8∶9，那么通道的宽是多少？ 经典练习，巩固新知 解这个方程组，得 答：通道的宽是 1 m． 解：设 AM，AN 的长分别为 8x m 和 9x m，通道的宽为 y m． 3×8x + 2y=18 2×9x + y=13 y=1 方法1： 练习 1.如图，学校规划在一块长 18 m、宽 13 m 的长方形场地 ABCD 上，分别设计与 AD，AB 平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边 AM∶AN＝8∶9，那么通道的宽是多少？ 经典练习，巩固新知 AM∶AN ＝ 8∶9 相等关系： 未知数： 设通道的宽为 x m． 已知数: 通道的宽 方法2： AD＝BC＝18，AB＝CD＝13，AM∶AN ＝ 8∶9 练习 1.如图，学校规划在一块长 18 m、宽 13 m 的长方形场地 ABCD 上，分别设计与 AD，AB 平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边 AM∶AN＝8∶9，那么通道的宽是多少？ 经典练习，巩固新知 解这个方程，得 答：通道的宽是 1 m． 解：通道的宽为 x m． 方法2： x=1 2. 如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，x， y各应取什么值？？ 经典练习，巩固新知 解这个方程组，得 答： x， y各应取﹣1和1． 解：根据题意，列方程组 2x +3+2 =2－3 + 4y 2x +x+ 2y+ 4y =2－3+ 4y x=﹣1 y=1 3.幻方的起源与中国古代的“河图” 和“洛书” 的紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式.如图，将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的之和都相等，则a和b的值分别是？ 经典练习，巩固新知 解这个方程组，得 答： a， b的值分别是4和3． 解：根据题意，列方程组 4b －2 +2a + 1+ 2a =2a + 7 + 12 3b － 3 +2a +1 + 12 = 2a + 7 + 12 a=4 b=3 4.如图，若用12块完全相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，求每个小长方形长和宽分别是多少？ 经典练习，巩固新知 解这个方程组，得 答：x， y的值分别是30和10． 解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm. x + y =40 4y =40 x=30 y=10 5.如图，10块完全相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，设小长方形瓷砖的长和宽分别为x cm和y cm，则下列方程组中，不符合题意得是( ) 经典练习，巩固新知 x + y =50 2x = x +4y A. x + y =50 x = 4y B. 5y =50 x = 4y C. x +4y =50 x = 4y D. D 6.将8块相同的小长方形放在一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求小长方形的长和宽各是多少？ 经典练习，巩固新知 解这个方程组，得 答：小长方形的长是10，宽是3． 解：设小长方形的长为a ，宽为b. 2(7－b + a)－2(3b+b) =4 a=10 b=3 3b + 7 = 2b+a 7. 某地为打造运河风光带，雇用 A，B两个工程队共同完成一段长为180m的河道的清理任务．已知A工程队每天清理12m，B工程队每天清理8m，两个工程队工作天数之和为20天，A，B工程队分别清理了多长的河道？ 解这个方程组，得 解：A工程队清理x m 河道，B工程队清理y m的河道． x=60 y=120 答：A工程队清理了60 m 河道，B工程队清理120 m的河道． 经典练习，巩固新知 x + y=180 课堂小结 2.由实际问题列出的方程组，有时系数较为复杂，先化简再求解，由此简化运算. 实际问题 数学问题 （二元一次方程组） 数学问题的解 （二元一次方程组得解） 实际问题的答案 设未知数，列方程组 表格梳理 解方程组 代入法 加减法 消元 检验 1.利用二元一次方程组解决问题的基本过程： 课堂小结 2.你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问 题有哪些相同点和不同点？ 相同点： 运用方程（组）解决实际问题的基本过程相同，这一过程就是建模的过程． 二元一次方程组解决实际问题时需要设两个未知数，找到两个相等关系． 不同点： 一元一次方程解决实际问题时只需设一个未知数，用它表示另一个未知数，选择一个相等关系列方程． 作业 教科书103页第 1题. $