精品解析：吉林长春市高新技术产业开发区慧谷学校2025-2026学年九年级下学期5月中考模拟数学试题

2025——2026学年度下学期九年级数学第十二周大练习试题 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 以下四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年5月25日，一汽红旗长春马拉松鸣枪开跑，来自34个国家和地区的35000名参赛者以奔腾的脚步奏响“激情长马”的乐章．将35000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 已知点和点都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 利用尺规作图在一个矩形内作菱形，则下列作法中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B在y轴正半轴上，点A在反比例函数的图象上，若顶点C和边的中点M都在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 因式分解：___________． 10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 11. 如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 12. 中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有元，则所列方程为：________． 13. 如图，等边在正五边形的内部，连接，则的大小是______度． 14. 如图所示，正方形的边长为6，E是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点F，交的延长线于点P，连接交于点M，连接．给出下面5个结论：①；②平分；③；④的周长为10；⑤的面积为15．上述结论中，结论正确的序号有________． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中. 16. 某校开展“强国学习”知识竞赛，现从一队，二队，三队，四队四个队中，随机抽取两个队进行第一轮的抢答PK环节比赛，请用列表或画树状图的方法求出抽到二队和三队比赛的概率． 17. 国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，已知“哪吒”纪念品每件35元，“敖丙”纪念品每件20元，若该商场计划用不超过2900元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件． 18. 如图，四边形内接于，是的直径，直线与相切于点，，连结． （1）求证：． （2）用圆规和无刻度的直尺，过点作的切线．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 东北师大附中初中部每年一次的“爱心义卖”活动，是由学校团委组织，号召七、八年级同学通过售卖物品筹得善款用于公益事业的公益活动．通过这样的活动让学生们体会传递一份爱，温暖身边人的快乐，培养学生成为有温情，有爱心，有担当的好少年．今年，七年级有1230名学生、八年级有1200名学生参与爱心义卖活动，现从每个年级各随机抽取15人对他们所筹善款进行调查，相关数据整理如下： 【数据收集】七年级15名同学所筹善款如下： 20，22，23，23，25，25，26，27，27，28，31，31，31，33，36． 八年级15名同学所筹善款如下： 15，18，20，20，23，25，27，28，28，30，30，34，34，34，42． 【数据分析】两组数据的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 27.2 27 a 八年级 27.2 b 34 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）_______，_______． （2）若所筹善款超过30元被评为“爱心公益小达人”，请估计该校七年级、八年级共有多少人能被评为“爱心公益小达人”． （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，每个年级又随机抽取5人进行统计，若八年级新抽取的5人所筹善款均为整数且互不相同，中位数为27，则八年级两次抽取的共20名同学所筹善款的中位数为_______． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． （3）在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 21. 图1为某公交车运行线路图（单位：米），甲从家出发匀速步行10分钟到达车站，3分钟后坐上公交车，5分钟后到达图书馆．若公交车全程速度保持不变，甲离家的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．请结合图象解答下列问题． （1）甲的步行速度为___________米/分；公交车的行驶速度为___________米/分； （2）求图2中线段的函数表达式； （3）甲下车后，这辆公交车继续行驶至终点站，休整30分钟，原路返回．若甲想搭上同一辆公交车回家，则甲最多在图书馆学习多长时间？（图书馆到图书馆站和各站点上下车时间均忽略不计） 22. 【模型认知】 如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图； （2）补全解题过程中缺失部分． 【模型应用】 如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 23. 如图，在中，．过点作于点，点是边上的动点（点不与点重合），连结，过点作，过点作于点，连结． （1）线段的长为_____； （2）当A、D、Q三点共线时，求线段的长： （3）连接，若经过边的中点．求证：四边形是矩形； （4）连接，线段的最大值是____，此时线段的长是_____． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）的对称轴为直线，点A在这个抛物线上，当点A不在y轴上时，过点A作轴于点B，作线段关于坐标原点O成中心对称的线段，设点A的横坐标为m. （1）求此抛物线对应的函数关系式： （2）当线段与线段在同一条直线上时，求线段的长度； （3）当点A在y轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围： （4）作平行四边形，当平行四边形的某条边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，直接写出m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度下学期九年级数学第十二周大练习试题 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 以下四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较有理数的大小，化简多重符号，绝对值．先化简各选项，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 因此四个选项中最小的数是， 故选D． 2. 2025年5月25日，一汽红旗长春马拉松鸣枪开跑，来自34个国家和地区的35000名参赛者以奔腾的脚步奏响“激情长马”的乐章．将35000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数字35000用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：将数字35000用科学记数法表示为． 故选：B 3. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了立体图形的三视图，掌握三视图的定义和画法是解题的关键． 根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：俯视图是从上面看，平面图形三列两行，中间列为两个小正方形，每行分别为两个小正方形，B图形符合． 故选B． 4. 如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 5. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为， ∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数． 故选：C． 6. 已知点和点都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得增减性，再由增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点和点都在直线上，且， ∴， 故选：A． 7. 利用尺规作图在一个矩形内作菱形，则下列作法中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，尺规作图等知识，根据矩形的性质和菱形的判定定理，平行四边形的判定与性质，且结合全等三角形的性质和判定进行逐项分析，证明即可． 【详解】解：A．依题意： 由作图可得，垂直平分线段， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∴， ∴ ∴四边形是菱形，故A选项不符合题意； B．如图， 根据作图可得是的垂直平分线，是的垂直平分线， 则，， 即， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理证明四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 同理得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；故B选项不符合题意； 如图所示： 结合作图过程得出平分，， ∴ 由矩形的性质得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；故C选项不符合题意； 如图所示： 由矩形的性质得，， 结合作图过程得分别平分， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， 则无法证明四边形是菱形， 故D选项符合题意； 故选：D 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B在y轴正半轴上，点A在反比例函数的图象上，若顶点C和边的中点M都在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标计算公式，解题的关键是根据平行四边形条件表示出点A，M的坐标． 先设，，再表示出点M，然后根据四边形为平行四边形，表示出点A，将点M，点A的坐标分别代入相应的反比例函数解析式中，得到关于的方程求解． 【详解】解：由题意，连接交于点， 设，， ∴点M的坐标为，． ∵以，为邻边作， ∴与互相平分， ∴， ∴， ∴点A的横坐标为，纵坐标为， ∴点A的坐标为． ∴点C和的中点M都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11. 如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据证明，得到，根据矩形与矩形位似得，再求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 矩形与矩形位似， ， 矩形的周长为4， 矩形的周长为． 12. 中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有元，则所列方程为：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．设甲有钱x枚，根据甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等可得乙有钱枚，由“乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍”列出方程即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，则乙有钱枚， 由题意得：，即． 故答案为：． 13. 如图，等边在正五边形的内部，连接，则的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，正多边形的内角和问题，由是等边三角形，则，，又正五边形，则，，所以，然后通过三角形内角和定理和等边对等角即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图所示，正方形的边长为6，E是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点F，交的延长线于点P，连接交于点M，连接．给出下面5个结论：①；②平分；③；④的周长为10；⑤的面积为15．上述结论中，结论正确的序号有________． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可判断①，由，得到，由正方形的性质得到，，进而得到，可判断②，过点作于点，证明，得到，，，证明，得到，设，则，根据勾股定理得到，得到，，即可判断④，证明，得到，，即可判断⑤，连接，在中，根据勾股定理求出，然后根据正切的定义求解，即可判断③． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题可知，是的垂直平分线， ∴，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； 如图，过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴的周长，故④错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，故⑤正确； 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴，故③正确， 故答案为∶①②③⑤． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中. 【答案】原式=，值为4. 【解析】 【分析】根据完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式=， ∵， ∴原式==4 【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法． 16. 某校开展“强国学习”知识竞赛，现从一队，二队，三队，四队四个队中，随机抽取两个队进行第一轮的抢答PK环节比赛，请用列表或画树状图的方法求出抽到二队和三队比赛的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出含二队和三队的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设一队，二队，三队，四队四个队分别用A，B，C，D表示，根据题意，画出树状图，如下： 共有12种等可能结果，其中抽到二队和三队比赛的有2种， ∴抽到二队和三队比赛的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 17. 国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，已知“哪吒”纪念品每件35元，“敖丙”纪念品每件20元，若该商场计划用不超过2900元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件． 【答案】33件 【解析】 【分析】设购进“哪吒”纪念品的数量为件，得出“敖丙”纪念品数量为件，再依据资金限制条件列出不等式，求解得出的取值范围，结合为整数确定最大值 ．本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据题意列出不等式并求解是解题的关键． 【详解】解：设购进“哪吒”纪念品m件，则“敖丙”纪念品件， 根据题意得：． 解得：， m为整数， m的最大值为33． 答：最多购进“哪吒”纪念品33件． 18. 如图，四边形内接于，是的直径，直线与相切于点，，连结． （1）求证：． （2）用圆规和无刻度的直尺，过点作的切线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 证明：是圆的直径． ， ． 直线是圆的切线． ， ， ， ． ，， ， ． （2） 解：连接 ，用直尺过点 作直线 垂直于 ，直线 即为所求切线． 【解析】 【分析】（1）通过证明它们所对的弧相等，利用圆的切线性质、圆周角定理及等量代换推出弧相等即可． （2）根据圆的切线性质，圆心与切点的连线垂直于切线，利用直尺和圆规构造过点 与 垂直的直线 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了圆的切线性质、圆周角定理、等弧对等弦以及圆的切线作图，熟练掌握圆的相关性质和定理是解题的关键． 19. 东北师大附中初中部每年一次的“爱心义卖”活动，是由学校团委组织，号召七、八年级同学通过售卖物品筹得善款用于公益事业的公益活动．通过这样的活动让学生们体会传递一份爱，温暖身边人的快乐，培养学生成为有温情，有爱心，有担当的好少年．今年，七年级有1230名学生、八年级有1200名学生参与爱心义卖活动，现从每个年级各随机抽取15人对他们所筹善款进行调查，相关数据整理如下： 【数据收集】七年级15名同学所筹善款如下： 20，22，23，23，25，25，26，27，27，28，31，31，31，33，36． 八年级15名同学所筹善款如下： 15，18，20，20，23，25，27，28，28，30，30，34，34，34，42． 【数据分析】两组数据的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 27.2 27 a 八年级 27.2 b 34 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）_______，_______． （2）若所筹善款超过30元被评为“爱心公益小达人”，请估计该校七年级、八年级共有多少人能被评为“爱心公益小达人”． （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，每个年级又随机抽取5人进行统计，若八年级新抽取的5人所筹善款均为整数且互不相同，中位数为27，则八年级两次抽取的共20名同学所筹善款的中位数为_______． 【答案】（1）， （2）约有730人 （3）27.5 【解析】 【分析】（1）分别依据众数、中位数的定义，对七年级、八年级数据进行分析计算即可． （2）先分别算出七年级、八年级抽取样本中善款超过元的人数占比，再用各年级总人数乘对应占比，最后求和得到两年级“爱心公益小达人”总人数． （3）先明确八年级新抽取人数据特征（整数、互不相同、中位数 ），再将两次抽取的人数据排序，依据中位数定义确定最终中位数． 本题主要考查了统计中的平均数、中位数、众数的概念及用样本估计总体的知识，熟练掌握这些统计量的定义和计算方法，以及样本估计总体的思路是解题的关键． 【小问1详解】 解：七年级数据：，，，，，，，，，，，，，， 出现的次数最多（次 ） 七年级众数 八年级数据：，，，，，，，，，，，，，， 数据共个，排序后第个是 八年级中位数 【小问2详解】 ； 解：七年级、八年级能被评为“爱心公益小达人”的人数：（人）； 【小问3详解】 解：八年级第一次抽取人，数据排序：，，，，，，，，，，，，，，； 新抽取人，中位数，则这人数据排序后中间数是，且数据为整数、互不相同，可设为，，，，（ ）， 两次共人，将所有数据排序，第、个数分别是27 、 ， 中位数为， 八年级两次抽取名同学所筹善款的中位数为. 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． （3）在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 【答案】（1） 如图①，四边形即为所求． （2） 如图②，四边形即为所求． （3） 如图③，点G即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为4的等腰梯形即可； （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为5的平行四边形即可； （3）取格点H，使，过点H利用平移的性质作的平行线，在平行线上取不是格点的点G即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 图1为某公交车运行线路图（单位：米），甲从家出发匀速步行10分钟到达车站，3分钟后坐上公交车，5分钟后到达图书馆．若公交车全程速度保持不变，甲离家的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．请结合图象解答下列问题． （1）甲的步行速度为___________米/分；公交车的行驶速度为___________米/分； （2）求图2中线段的函数表达式； （3）甲下车后，这辆公交车继续行驶至终点站，休整30分钟，原路返回．若甲想搭上同一辆公交车回家，则甲最多在图书馆学习多长时间？（图书馆到图书馆站和各站点上下车时间均忽略不计） 【答案】（1）60；600 （2）； （3）甲最多在图书馆学习90分钟． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据图形利用速度等于路程除以时间即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求得公交车从图书馆站到终点站用时，根据题意列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：甲的步行速度为米/分； 公交车的行驶速度为米/分； 故答案为：60；600； 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为， 把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：公交车从图书馆站到终点站用时分， 则同一辆公交车到达图书馆站需要时间分， 答：甲最多在图书馆学习90分钟． 22. 【模型认知】 如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图； （2）补全解题过程中缺失部分． 【模型应用】 如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】模型认知：垂线段最短；模型探究：（1）见解析；（2）；模型应用：6 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确理解题意是解题的关键． 模型认知：根据题意可得依据为垂线段最短； 模型探究：（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）可证明是等腰直角三角形，则，据此可得答案； 模型应用：作，过点C作于D，则；由一次函数解析式可求得，则可证明，，故，；可证明，则当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线，据此求解即可． 【详解】解：模型认知：由题意得，“▲”处应填写的推理依据为垂线段最短； 模型探究：（1）如图所示，即为所求； （2）过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当最小时，有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴此时是等腰直角三角形， ∴，， ∴的最小值为； 模型应用：如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，， ∴的最小值为6． 23. 如图，在中，．过点作于点，点是边上的动点（点不与点重合），连结，过点作，过点作于点，连结． （1）线段的长为_____； （2）当A、D、Q三点共线时，求线段的长： （3）连接，若经过边的中点．求证：四边形是矩形； （4）连接，线段的最大值是____，此时线段的长是_____． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4）4 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定、平行四边形的性质、勾股定理等知识点，灵活应用所学知识并确定点Q的轨迹是解题的关键． （1）直接在中解直角三角形即可； （2）由勾股定理可得，即；再根据题意画出图形，易得，然后在中解直角三角形即可； （3）先根据题意画出图形易证可得，再证四边形是平行四边形，然后结合即可证明结论； （4）由平行四边形的性质可得，，再说明点Q在以的中点为圆心，以为半径的圆上运动，则当三点共线时，有最大值；如图：过O作，则四边形是矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求得即可；如图：设圆O与相交于点G，过G作，则；然后根据平行线的性质、正弦的定义、余弦的定义得到，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ∵， ∴，解得：． 故答案为4． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 如图：当A、D、Q三点共线时， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图： ∵，， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形． 【小问4详解】 解：∵在中，， ∴，， 如图： ∵， ∴点Q在以的中点为圆心，以为半径的圆上运动， 当三点共线时，有最大值， 如图：过O作，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最大值是13； 如图：设圆O与相交于点G，过G作，则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，解得：，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）的对称轴为直线，点A在这个抛物线上，当点A不在y轴上时，过点A作轴于点B，作线段关于坐标原点O成中心对称的线段，设点A的横坐标为m. （1）求此抛物线对应的函数关系式： （2）当线段与线段在同一条直线上时，求线段的长度； （3）当点A在y轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围： （4）作平行四边形，当平行四边形的某条边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，直接写出m的值. 【答案】（1） （2）的长度为或 （3）m的取值范围为或 （4）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据对称轴先求出，即可求得函数关系式； （2）由和关于原点对称且在同一条直线上可得和在轴上且关于原点对称，将代入表达式中即可求出； （3）用含有的式子表示点 ，根据与原点对称表示出，根据作图的三种情况（见详解）求出的范围； （4）见详解三种情况，解出的值即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是， 根据对称轴的公式得：，即， 函数的关系式为． 【小问2详解】 和关于原点对称且在同一条直线上， 和在轴上， 点的坐标为， 将代入函数关系式得：，， 或 【小问3详解】 如图，图一和图三之间是只有一个交点，图二这个时刻只有一个交点， 由题可知，，，函数与轴交点为，顶点为， 在轴左侧， ． 由图一得：， 解得（舍），． 由图二可得： 解得（舍），． 由图三得： 解得（舍），． 线段与此抛物线有且只有一个公共点时， m的取值范围为或． 【小问4详解】 有题可知，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，则两个交点的距离恰好是这条边的一半， 如图，为的中点，即恰好是抛物线与轴两个交点， ， 解得： ，． 是中点， ， 或即，， 如图与抛物线交于两个点、，即， 先计算、， 即， 由根与系数关系得： ， 整理得， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $