专题14 【期末复习冲刺】解答题压轴题集中训练（南通专用）-2025-2026学年度八年级数学人教版下册专题提优训练及压轴题易错题专项训练

**基本信息** 南通八年级数学期末压轴题专项训练，按含参一次函数、一次函数与几何综合、一次函数应用、四边形综合四大考点分类，精选15道区域真题，聚焦高分突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |含参一次函数|2题|单调性分析/最值求解/交点判定|从函数参数对性质的影响切入，构建代数推理基础| |一次函数与几何综合|8题|动点轨迹/面积计算/特殊三角形存在性|函数与几何动态结合，培养几何直观与空间观念| |一次函数的应用|2题|分段函数模型/行程问题|实际问题数学化，发展模型意识与应用意识| |四边形综合题|11题|图形变换/全等证明/动态几何探究|以特殊四边形为载体，深化推理能力与运算能力|

专题14 【期末复习冲刺】解答题压轴题集中训练南通专用 专题解读：本专题精选南通2025八年级数学下期末试题和2026期中试题的解答题的第24和第25题，属于解答题压轴题。现按考点进行分类，可以让学生在复习时更容易抓住考试的重点，更容易突破考试的难点，使复习更高效，本专题适合学霸和中等偏上的同学期末冲刺高分。 考点一 含参一次函数 1．（2025春•通州区期末）已知一次函数y＝ax﹣2a+3（a为常数，且a≠0）． （1）若a＝1，且A（﹣2，m），B（3，n）两点均在该函数的图象上，试比较m，n的大小； （2）若﹣2≤x≤3时，y有最小值﹣5，求a的值； （3）已知C（﹣1，0），D（0，5），若该函数的图象与线段CD没有公共点，求a的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由a＝1，则一次函数为y＝x+1，故该函数y随x的增大而增大，又A（﹣2，m），B（3，n）两点均在该函数的图象上，且﹣2＜3，进而可以判断得解； （2）依据题意，由当﹣2≤x≤3时，y有最小值﹣5，从而可分①当a＞0时和②当a＜0时，分别进行分析计算可以得解； （3）依据题意，由y＝ax﹣2a+3，可得一次函数y＝ax﹣2a+3必过（2，3），然后作出图象进行分析即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，a＝1， ∴一次函数为y＝x+1． ∴该函数y随x的增大而增大． 又∵A（﹣2，m），B（3，n）两点均在该函数的图象上，且﹣2＜3， ∴m＜n． （2）由题意，∵当﹣2≤x≤3时，y有最小值﹣5， ∴①当a＞0时，当x＝﹣2时，y取最小值，即y＝﹣2a﹣2a+3＝﹣5． ∴a＝2，符合题意． ②当a＜0时，当x＝3时，y取最小值，即y＝3a﹣2a+3＝﹣5． ∴a＝﹣8，符合题意． 综上，a＝2或﹣8． （3）由题意，∵y＝ax﹣2a+3， ∴y＝a（x﹣2）+3． ∴当x＝2时，y＝3． ∴一次函数y＝ax﹣2a+3必过（2，3）． ∴作图如下． 由题意，当一次函数y＝ax﹣2a+3过C（﹣1，0）时，则﹣a﹣2a+3＝0，可得a＝1；当一次函数y＝ax﹣2a+3过D（0，5）时，则﹣2a+3＝5，可得a＝﹣1， ∵该函数的图象与线段CD没有公共点， ∴结合图象可得，a＞1或a＜﹣1． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 2．（2025春•海安市校级期中）已知y关于x的一次函数y＝kx﹣2k+1（k≠0）的图象为直线l1． （1）试说明：无论k为何值，直线l1总经过点（2，1）； （2）当a≤x≤a+2时，函数最大值与最小值的差为4，求l1的解析式； （3）已知y关于x的一次函数y＝mx+m﹣2图象为直线l2，点E为l1上任意一点，过点E作y轴的平行线交l2于点F．若点E始终在点F的上方，试探究k与m的数量关系，并求出k的取值范围． 【分析】（1）根据当x＝2时，y＝1，即可求解； （2）分两种情况：当k＞0时，y随x增大而增大，当k＜0时，y随x增大而减小，根据增减性求得最大值与最小值，即可求解； （3）设点E的坐标为（t，kt﹣2k+1），根据题意可知yE＞yF，即kt﹣2k+1＞mx+m﹣2恒成立，即（k﹣m）x﹣2k﹣m+3＞0，对于任意x都成立，可得k﹣m＝0，即k＝m，此时﹣2k﹣m+3＞0，即﹣2k﹣k+3＞0，可求得k的取值范围． 【解答】（1）证明：已知y关于x的一次函数y＝kx﹣2k+1（k≠0）的图象为直线l1， ∵y＝kx﹣2k+1＝k（x﹣2）+1， ∴当x＝2时，y＝1， ∴无论k为何值，直线l1总经过点（2，1）； （2）解：y＝kx﹣2k+1＝k（x﹣2）+1， 当k＞0时，y随x增大而增大， 则当a≤x≤a+2时，当x＝a时，函数有最小值，最小值为ka﹣2k+1， 当x＝a+2时，函数有最大值，最大值为k（a+2）﹣2k+1＝ak+1， ∵函数最大值与最小值的差为4， ∴ak+1﹣（ak﹣2k+1）＝4， 解得：k＝2， ∴此时l1的解析式为y＝2x﹣3； 当k＜0时，y随x增大而减小， 则当a≤x≤a+2时，当x＝a时，函数有最大值，最大值为ka﹣2k+1， x＝a+2时，函数有最小值，最小值为k（a+2）﹣2k+1＝ak+1， ∵函数最大值与最小值的差为 4， ∴ak﹣2k+1﹣（ak+1）＝4，解得：k＝﹣2， 此时，l1的解析式为y＝﹣2x+5； 综上，l1的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣2x+5； （3）已知y关于x的一次函数y＝mx+m﹣2图象为直线l2，点E为l1上任意一点，过点E作y轴的平行线交l2于点F． 设点E的坐标为（t，kt﹣2k+1），y＝mx+m﹣2， ∵过点E作y轴的平行线，交l2于点F， ∴点F的坐标为（t，mt+m﹣2）， ∵点E始终在点F的上方， ∴yE＞yF， ∴kt﹣2k+1＞mt+m﹣2恒成立， ∴（k﹣m）x﹣2k﹣m+3＞0，对于任意x都成立， ∴k﹣m＝0，即k＝m， 此时﹣2k﹣m+3＞0，即﹣2k﹣k+3＞0， 解得：k＜1， 综上，k＝m，k＜1且k≠0． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，不等式等知识点，理解题意，列出方程及不等式是解决问题的关键． 考点二 一次函数与几何综合 3．（2026•模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点B．动点M从点A出发，沿x轴以2个单位长度/秒的速度向左运动，同时动点N从点B出发，沿y轴以3个单位长度/秒的速度向上运动，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P． （1）点A的坐标为　（6，0）　 ，点B的坐标为　（0，﹣6）　 ； （2）我们发现点P一直在一条直线上运动，请求出这条直线的解析式； （3）若点P在y轴上，点H是直线AB上的动点，请直接写出PH+OH的最小值． 【分析】（1）令y＝0、x＝0分别求直线与x轴、y轴交点坐标； （2）设运动时间为t，表示M、N坐标，进而得到P点坐标，消去t求直线解析式； （3）由P在y轴上确定P点坐标，利用轴对称求PH+OH的最小值． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点B． 令y＝0，则x﹣6＝0，解得x＝6， ∴A（6，0）． 令x＝0，则y＝0﹣6＝﹣6， ∴B（0，﹣6）． 故答案为：（6，0），（0，﹣6）； （2）若点P在y轴上，点H是直线AB上的动点， 设运动时间为t秒， 则M点坐标为（6﹣2t，0），N点坐标为（0，﹣6+3t）， ∴P点坐标为（6﹣2t，﹣6+3t）． 令x＝6﹣2t，y＝﹣6+3t， 由x＝6﹣2t得：，代入y＝﹣6+3t得 ． 故点P运动的直线解析式为． （3）当点P在y轴上时，x＝0，代入，得y＝3， ∴P（0，3）． 作点O关于直线AB的对称点O′，连接PO′， ∵A（6，0），B（0，﹣6）． ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴点O关于AB的对称点O′（6，﹣6）， 则PH+OH的最小值为PO′的长度（即当点H运动到与点P、O′在同一条直线上时）， ． ∴PH+OH的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、动点问题的坐标表示、一次函数解析式的求法及最短路径问题，解题的关键是用时间参数t表示动点P的坐标，消参得到其运动轨迹；利用轴对称解决最短路径问题． 4．（2025秋•天桥区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l1与y轴相交于点E，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB． （1）求出直线l2的函数表达式； （2）P是y轴上一点，若S△ABC＝S△APC，求点P的坐标； （3）在x轴负半轴上是否存在点Q，使得2∠DQO+∠ODB＝90°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出B点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出S△ABC＝12，再由S△ABC＝S△APC，可得EP×8＝12，求出EP＝3，即可求P点坐标； （3）作B点关于x轴的对称点G，则G（﹣2，0），在x轴上取点Q使GQ＝GD＝2，此时Q点即为所求． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2， ∴E（0，2）， 当y＝0时，x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， ∴OA＝4， ∵OA＝2OB＝4， 解得x＝2， ∴B（2，0）， 设直线l2的函数表达为y＝kx﹣4， ∴2k﹣4＝0， 解得k＝2， ∴y＝2x﹣4； （2）当2x﹣4x+2时，解得x＝4， ∴C（4，4）， ∴S△ABC6×4＝12， ∵S△ABC＝S△APC， ∴EP×8＝12， ∴EP＝3， ∴P（0，5）或（0，﹣1）； （3）存在点Q，使得2∠DQO+∠ODB＝90°，理由如下： 作B点关于x轴的对称点G，则G（﹣2，0）， ∴∠OBD＝∠OGD， 在x轴上取点Q使GQ＝GD＝2， ∴∠GQD＝∠GDQ， ∴∠OGD＝2∠OQD， ∴Q（﹣2﹣2，0）． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（2024春•如皋市期末）已知一次函数y＝2x+b的图象经过点A，B．点A的坐标为（1，5），点B的横坐标为m． （1）求b的值； （2）若线段AB的最高点与最低点的纵坐标差为6，求m的值； （3）已知点C（m+1，2m+2），以坐标原点O为中心构造矩形CDEF，且CD⊥x轴，若线段AB与矩形CDEF只有一个公共点，求m的取值范围． 【分析】（1）把A（1，5）代入y＝2x+b即可求出b的值； （2）由（1）得一次函数解析式为y＝2x+3，则B（m，2m+3），根据题意得2m+3﹣3＝6或3﹣（2m+3）＝6，解方程即可求得； （3）由题可知E（﹣m﹣1，﹣2m﹣2），D（m+1，﹣2m﹣2），F（﹣m﹣1，2m+2），将D、F分别代入表达式，求出m即可． 【解答】解：（1）把点A的坐标为（1，5）代入y＝2x+b得，5＝2+b， ∴b＝3， 即b的值为3； （2）∵点B的横坐标为m， ∴y＝2m+3， ∴点B（m，2m+3）， ∵线段AB的最高点与最低点的纵坐标差为6， ∴5﹣（2m+3）＝6或2m+3﹣5＝6， ∴m＝﹣2或m＝4； （3）∵点C（m+1，2m+2）， ∴点C在直线y＝2x的图象上， 以坐标原点O为中心构造矩形CDEF，且CD⊥x轴，且与线段AB只有一个交点，则作图如上， ∴E（﹣m﹣1，﹣2m﹣2），D（m+1，﹣2m﹣2），F（﹣m﹣1，2m+2）， 当直线AB与矩形CDEF只有一个交点时， 若m＜0，D在y＝2x+3上，将D（m+1，﹣2m﹣2）代入表达式， ∴﹣2m﹣2＝2（m+1）+3， ∴m； 若m＞0，F在y＝2x+3上，将F（﹣m﹣1，2m+2）代入表达式， ∴2m+2＝﹣2（m+1）+3， ∴m（舍）； 当直线AB与矩形CDEF有两个交点时， 若m＜0，则DE和CD与直线AB有交点M，N， 则M（，﹣2m﹣2），N（m+1，2m+5）， ∵B一定在CD的左侧， ∴当M不在线段AB上时，只有一个交点， ∴1， ∴m； 若m＞0，则CF和EF与直线AB有交点R，S， 则R（，2m+2），S（﹣m﹣1，1﹣2m）， ∵S在y轴左侧，A，B都在y轴右侧，R在B点左侧， ∴当R在线段AB上时，只有一个交点， ∴1， ∴m； 综上所述：m或m或m． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，根据题意列出不等式组是解题的关键． 6．（2025春•如皋市期末）在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（4+n，1），直线l：y＝nx+n﹣1． （1）直接写出点C的坐标（用含n的式子表示）； （2）当时，求直线l与▱OABC的边的公共点的坐标； （3）若直线l与▱OABC的边有公共点，请直接写出n的取值范围． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，AO＝BC＝4，可得C点坐标； （2）直线与x轴的交点为（3，0）在A（4，0）点左侧，所以直线l与平行四边形的边OA有一个交点（3，0）；直线与y＝1的交点在B点的下方，所以直线x与平行四边形的边AB有交点，求出交点即可； （3）当n＞0时，直线经过点A时，直线经过原点时是直线与▱OABC的边有公共点的临界情况；当n＜0时，当直线经过点C时是直线l与▱OABC的边有公共点的临界情况． 【解答】解：（1）∵A（4，0）， ∴OA＝4， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA＝BC＝4， ∴C（n，1）； （2）当时，yx， ∴直线与x轴的交点为（3，0）， ∵A（4，0）， ∴直线l与平行四边形的边OA有一个交点（3，0）； ∵当y＝1时，1x，解得x＝7， 又∵B（，1）， ∴直线x与平行四边形的边AB有交点， 直线AB的解析式为y＝4x﹣16， 当4x﹣16x时，解得x， ∴与AB边的交点为（，）； 综上所述：直线l与▱OABC的边的公共点的坐标为（3，0）或（，）； （3）当n＞0时，直线经过点A时，4n+n﹣1＝0，解得n； 当直线经过原点时，n＝1； ∴n≤1时，直线l与▱OABC的边有公共点； 当n＜0时， 当直线经过点C时，n2+n﹣1＝1，解得n＝1（舍）或n＝﹣2； ∴n≤﹣2时，直线l与▱OABC的边有公共点； 综上所述：n≤﹣2或n≤1时，直线l与▱OABC的边有公共点． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，找到直线与平行四边形边的交点的临界情况是解题的关键． 7．（2025春•海安市期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣4，0），B（0，2），点C在线段AB上． （1）求直线AB的解析式； （2）若△AOC的面积是△AOB面积的三分之一，求点C的坐标； （3）若一次函数y＝kx+k+2（k为常数，k≠0）的图象经过点C，且当﹣2≤x≤2，该一次函数对应的函数值始终大于0，求点C的横坐标x0的取值范围． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，设，由此得到，解方程即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时，则；当0＜k＜2时，则2＜k+2＜4时；根据一次函数图象的性质求解即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣4，0），B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A、点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为； （2）∵A（﹣4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， ∴， ∴， ∵点C在线段AB上， 设， ∴， ∴， 当时， 解得：， ∴； 当时， 解得：， ∴； ∵点C在线段AB上，即﹣4≤c≤0， ∴，不符合题意，舍去， 综上所述，点C的坐标为； （3）如图， ∵y＝kx+k+2＝k（x+1）+2， ∴一次函数y＝kx+k+2恒过（﹣1，2）， 直线y＝k（x+1）+2过（2，0）时，代入得： （2+1）k+2＝0， 解得：k； ∴y（x+1）+2， 联立AB：得：（x+1）+2x+2， 解得：x， ∴x0＜0； 直线y＝k（x+1）+2过（﹣2，0）时，代入得： （﹣2+1）k+2＝0， 解得：k＝2， ∴y＝2（x+1）+2， 联立AB：得：2（x+1）+2x+2， 解得：x， ∴﹣4≤x0； 综上所述，点C的横坐标x0的取值范围为﹣4≤x0或x0＜0． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法，增减性，一次函数与几何图形面积的计算是解答本题的关键． 8．（2025春•南通期中）【综合探究】在学习函数的探索之旅中，我们常常借助列表、描点、连线来画出函数图象，并通过图象洞察函数的特性．当函数依据自变量的取值范围呈现不同表达式时，便形成了分段函数．现在，我们一同探究分段函数的图象与性质． 【绘制图象】 （1）请在所给图1的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； 【解决问题】 （2）结合函数图象，回答下列问题： ①点，，C（x1，2），D（x2，﹣4）均在函数图象上，则y1　＝　 y2，x1　＞　 x2（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②在直线x＝1右侧的函数图象上有两个不同的点E（x3，y3），F（x4，y4），且y3＝y4，则x3+x4的值为 　6　 ； ③当2≤x≤10时，y的取值范围是 　0≤y≤7　 ； 【迁移拓展】 （3）设该分段函数的图象与直线x＝﹣2交于点G，点H为（0，5），动点P为（m，﹣2），点Q是函数图象上的一点，且横坐标为m．现以点Q为直角顶点，向左作等腰直角三角形PQM．当m＜3时，若等腰直角三角形PQM的两边与线段GH只有两个交点，请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据函数解析式作图即可； （2）①结合图形及解析式观察或者求出对应的值比较即可； ②根据当1≤x≤5时，图象关于直线x＝3对称，进而即可得解； ③根据增减性，结合图象即可求解； （3）根据图象画出符合题意的图形，找出临界值，进而即可得解． 【解答】解：（1）如图所示，即为所求； （2）①结合图形及解析式可知， 当时，， 当时，， 则y1＝y2； 当y＝2时，x1＝1或5， 当y＝﹣4时，x2＝﹣2， 则x1＞x2， 故答案为：＝，＞； ②由图象可知，当1≤x≤5时，图象关于直线x＝3对称， ∵直线x＝1右侧的函数图象上有两个不同的点E（x3，y3），F（x4，y4），且y3＝y4， ∴，即x3+x4＝6， 故答案为：6； ③由图象可知，当2≤x≤3时，y随x增大而减小， 当x＞3时，y随x增大而增大， 当x＝2时，y＝1， 当x＝10时，y＝7， 当x＝3时，y＝0， ∴当2≤x≤10时，y的取值范围是0≤y≤7； 故答案为：0≤y≤7； （3）当x＝﹣2时，y＝﹣4，即点G的坐标为（﹣2，﹣4）， 设GH的解析式为y＝kx+b， 将G（﹣2，﹣4），H（0，5）代入y＝kx+b， 得， 解得： ∴直线GH的解析式为， 当m＜1时，点Q的坐标为（m，2m）， 若m＝2m，即m＝﹣1时，点Q于点P重合，不符合题意， 若m＜﹣1，则点P在点Q上方，则PQ＝﹣2﹣2m＝QM，则点M的坐标为（m+2+2m，2m）， 若点Q在点G下方时，即m≤﹣2时，此时等腰直角三角形PQM的两边与线段GH无交点，不符合题意； 当M（m+2+2m，2m）在GH上时， 即， 解得：； ∴当时，等腰直角三角形PQM的两边与线段GH有两个交点； 若m＞﹣1，则点Q在点P上方，则PQ＝2m+2＝QM，则点M的坐标为（m﹣2﹣2m，2m）， 当M（m﹣2﹣2m，2m）在GH上时， 即， 解得：， ∴当时，等腰直角三角形PQM的两边与线段GH有两个交点； 当1≤m＜3时，点Q的坐标为（m，﹣m+3）， 此时点Q在点P上方，则PQ＝﹣m+3+2＝QM，则点M的坐标为（m+m﹣3﹣2，﹣m+3）， 当M（m+m﹣3﹣2，﹣m+3）在GH上时， 即， 解得：， ∴当时，等腰直角三角形PQM的两边与线段GH有两个交点； 综上，当或时，等腰直角三角形PQM的两边与线段GH有两个交点． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质等内容，数形结合是解题的关键． 9．（2024春•大祥区期末）如图①，直线y＝2x﹣8与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（2，﹣4）． （1）直接写出点A，B的坐标：A（ 　4　 ，　0　 ），B（ 　0　 ，　﹣8　 ）； （2）点P是y轴上一点，若△PBC的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值． 【分析】（1）把y＝0代入y＝2x﹣8求点A的坐标，把x＝0代入y＝2x﹣8求点B的坐标； （2）过点C作CE⊥y轴，垂足为E，由△PBC的面积为6，求PB的长度，从而得到点P的坐标； （3）由条件分①BC＝CQ，∠BCQ＝90°，②BC＝BQ，∠CBQ＝90°，③CQ＝BQ，∠BQC＝90°，再通过全等三角形的判定和性质求出边的长度，从而得到m的值． 【解答】解：（1）把y＝0代入y＝2x﹣8，解得x＝4， ∴点A的坐标为（4，0）， 把x＝0代入y＝2x﹣8，解得y＝﹣8， ∴点B的坐标为（0，﹣8）， 故答案为：A（4，0），B（0，﹣8）； （2）过点C作CE⊥y轴，垂足为E， ∵△PBC的面积为6， ∴，即， 解得PB＝6， ∵点B（0，﹣8），PB＝6， ∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）； （3）存在以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， ①当BC＝CQ，∠BCQ＝90°时，过点C作MN⊥y轴，垂足为M，交直线l于点N， ∵MN⊥y轴，直线l⊥x轴， ∴MN⊥直线l， ∴∠BMC＝∠CNQ＝∠BCQ＝90°， ∵∠MBC+∠BCM＝90°，∠NCQ+∠BCM＝90°， ∴∠MBC＝∠NCQ， ∵∠BMC＝∠CNQ，BC＝CQ， ∴△BCM≌△CQN（AAS）， ∴BM＝CN， ∵B（0，﹣8），C（2，﹣4）， ∴BM＝CN＝4，CM＝2， ∴MN＝CM+CN＝2+4＝6， ∴m＝6， ②当BC＝BQ，∠CBQ＝90°时，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，过点Q作QN⊥y轴，垂足为N， 同理易证△BCM≌△QBN（AAS）， ∴QN＝BM， ∵B（0，﹣8），C（2，﹣4）， ∴BM＝QN＝4， ∴m＝4， ③当CQ＝BQ，∠BQC＝90°时，过点C作CM⊥直线l，垂足为M，过点B作BN⊥直线l，垂足为N， 同理易证△BNQ≌△QMC（AAS）， ∴CM＝QN，QM＝BN， 设CM＝QN＝t， ∵B（0，﹣8），C（2，﹣4）， ∴MN＝4， ∴MQ＝MN﹣QN＝4﹣t，BN＝2+t， ∴，解得， ∴m＝3， 综上所述，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，m＝6或4或3． 【点睛】本题考查求一次函数与坐标轴的交点坐标，通过三角形的面积求坐标，全等三角形的性质与判定等知识，第（3）题需要运用分类讨论思想解决问题． 10．（2025春•崇川区期末）已知函数y＝k|x|+b（k，b为常数，k≠0），矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣1，1），C（5，1），D（5，5）． （1）点M（m，5）在函数y＝|x|+1的图象上，则m＝ 　±4　 ； （2）①如图1，若3k+b＝2，且函数y＝k|x|+b（k，b为常数，k≠0）图象与矩形ABCD交于E，F，G，H四点．请问函数图象是否经过定点？若经过，请求出定点坐标，若不经过，请说明理由； ②在①的条件下，若GH平分矩形ABCD的面积，求该函数的解析式； ③若3k+b＝2且b≤5时，函数图象与矩形ABCD恰好有两个公共点，直接写出b的取值范围． 【分析】（1）把M带你代入函数解析式，进而得出结果； （2）①当x＝±3时，y＝2，故函数图象经过定点（3，2）和（﹣3，2）； ②先求得矩形ABCD的对称中心是（2，3），从而得出函数图象过（2，3），将其坐标代入，进一步得出结果； ②根据图象观察得出结果． 【解答】解：（1）由题意得， 5＝|m|+1， ∴m＝±4， 故答案为：±4； （2）①函数图象经过定点（3，2）和（﹣3，2）； ②∵A（﹣1，5），C（5，1）， ∴矩形ABCD的对称中心是（2，3）， ∵GH平分矩形ABCD的面积， ∴函数图象过（2，3）， ∴3＝2k+b， 有3k+b＝2， ∴k＝﹣1，b＝5， 当b＝5时， 函数图象与矩形只有三个公共点， ∴此时函数不存在； ②如图， 当2＜b＜5时，函数图象与矩形恰好有两个公共点， 当1＜b＜2时，函数图象与矩形恰好有两个公共点， 当函数图象经过点B时， 1＝k+b， 又3k+b＝2， ∴k，b， ∴当b时，函数图象与矩形恰好有两个公共点， 综上所述：2＜b＜5或1＜b＜2或b． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，数形结合的思想等知识，解决问题的关键是数形结合． 考点三 一次函数的应用 11．（2026春•通州区期中）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热至100℃后自动进入保温模式．现有一壶18℃的水经过10分钟烧至100℃后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温y（℃）与时间x（分）的关系如图所示． 该款电热水壶保温模式说明： 1．智能控制：当水温降至：80℃时，控制电路启动微加热元件短暂工作，将水重新加热至目标温度：85℃后，关闭； 2．循环启停：以上过程周期性重复，保持水温在设定范围内． （1）a的值为　85　 ； （2）已知x＝24时，y＝82，求当20≤x≤n时水温y与时间x之间的函数关系式，并求出n的值； （3）当x＝40时，请直接写出此时电热水壶中水的温度． 【分析】（1）由题意可得a的值； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出第一次降温时y与x的函数解析式，然后根据降温升温的周期性求出第二次升温时y与x的函数解析式，然后把x＝40代入解析式求出y的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，a＝85， 故答案为：85； （2）设当20⩽x⩽n时水温y与时间x之间的函数关系式y＝kx+b ∴ ∴ ∴当20⩽x⩽n时水温y与时间x之间的函数关系； 当y＝85时，， 解得x＝30． ∴n＝30； （3）设第一次降温时y与x的函数解析式为y＝mx+a（m≠0）， 把（10，100），（20，80）代入解析式得：， ∴， ∴第一次降温时y与x的函数解析式为y＝﹣2x+120（10≤x≤20）， 当y＝85时，﹣2x+120＝85， ∴x＝17.5， ∴20﹣17.5＝2.5（分钟），30﹣20＝10（分钟）， ∴第二次降温时y与x的函数解析式为y＝﹣2（x﹣12.5）+120＝﹣2x+145（30≤x≤32.5）， 第二次保温时y与x的函数解析式为y（x﹣12.5）+7063.75（32.5≤x≤42.5）， ∴当x＝40时，y40+63.75＝83.75， 答：当x＝40时，求此时电热水壶中水的温度是83.75℃． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是求出每段线段所对应的函数解析式． 12．（2026春•启东市期中）甲乙两个机器人在赛道上进行“行走稳定性”测试，赛道总长600米，均从赛道一端A向另一端B匀速前进，乙机器人出发1分钟后甲机器人再出发，先到的机器人在B端停止，设两机器人之间的赛道距离为y米，乙机器人出发的时间为x分钟，它们之间的关系如图所示． （1）甲机器人的速度为　100　 米/分，乙机器人的速度为　60　 米/分； （2）其中一个机器人先到达B端，求此时两机器人之间的赛道距离； （3）若两机器人之间的赛道距离不小于10米属于“安全区间”，在乙机器人从出发到停止的过程中，求“安全区间”的累计时间． 【分析】（1）先由乙先出发1分钟领先60米求乙速，再由甲7分钟到终点（实际跑6分钟）求甲的速度； （2）比较甲乙到终点时间，甲先到，算此时乙走的路程，用总长减乙路程得距离； （3）用总时间﹣各段赛道距离为10米的时间． 【解答】解：（1）∵乙先出发1分钟，领先60米， ∴乙的速度：60÷1＝60（米/分）， 甲在乙出发后1分钟开始追，到第7分钟时甲到达终点，此时甲用时7﹣1＝6（分钟），跑完600米， ∴甲的速度：600÷6＝100（米/分）， 故答案为：100，60； （2）甲到达B端用时：6分钟，对应乙出发后第6+1＝7分钟； 乙到达B端用时：10分钟； 所以甲先到达B端，此时乙已经走了7分钟，路程为：60×7＝420米， ∵600﹣420＝180（米）， 答：此时两机器人之间的赛道距离为180米； （3）①当甲机器人还未出发时，两者相距10米时，用时（分）， 由对称性，当甲机器人已到达终点，乙机器人从距离终点10米至到达终点也用了分， ②当甲机器人出发后在乙机器人后面相距10米时到追上反超10米，用时（分）， ∵总时间10（分） ∴安全区间持续时间为10﹣2（分）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． 考点四 四边形综合题 13．（2025•石峰区三模）四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F． （1）如图1，若点F在边BC上，求证DE＝EF； （2）以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①如图2，若AB＝4，CE＝3，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD一边的夹角是35°时，直接写出∠EFC的度数． 【分析】（1）连接BE，由正方形的对称性得∠EBF＝∠EDC，再根据四边形的内角和定理可证明∠CDE+∠CFE＝180°，进而证得∠EBF＝∠EFB，得BE＝EF，便可得DE＝EF； （2）①证明△ADE≌△CDG得CG＝AE，求出AE的长度便可； ②分两种情况：∠ADE＝35°或∠CDE＝35°，分别根据四边形的内角和，三角形的内角和求得结果便可． 【解答】（1）证明：连接BE，如图， ∵四边形ABCD是正方形，直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∴∠EBF＝∠EDC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCF＝90°， ∵DE⊥EF， ∴∠DEF＝90°， ∴∠CDE+∠CFE＝360°﹣（∠DCF+∠DEF）＝180°， ∵∠CFE+∠EFB＝180°， ∴∠EBF＝∠EFB， ∴BE＝EF， ∴DE＝EF； （2）解：①∵四边形DEFG为矩形，DE＝EF， ∴四边形DEFG为正方形， ∴DE＝DG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°＝∠EDC， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∵AB＝4， ∴ACAB＝4， ∵CE＝3， ∴CG＝AE＝AC﹣CE； ②当∠AED＝35°时，如图， ∠CDE＝90°﹣∠AED＝55°， ∵∠CDE+∠EFC＝180°， ∴∠EFC＝125°， 当∠CDE＝35°时，如图， ∵∠DEH＝∠HCF＝90°，∠DHE＝∠CHF， ∴∠EFC＝∠CDE＝35°， 综上，∠EFC＝125°或35°． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是作辅助线和证明全等三角形． 14．（2025春•海安市期中）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°． （1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°． 【分析】（1）作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM，易证△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5．又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°； （2）延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，得出△EBC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠BEC＝∠BCE＝45°，证出∠BCE+∠MCN＝180°，得出E、C、N，三点共线，由SAS证明△ABM≌△EBM得出AM＝EM，∠1＝∠2，得出EM＝MN，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论． 【解答】证明：（1）点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM， 易证△ABM≌△EBM（SAS）， ∴AM＝EM，∠1＝∠2； ∵AM＝MN， ∴EM＝MN， ∴∠3＝∠4； ∵∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°， ∴∠1＝∠2＝∠5． ∵∠2+∠6＝120， ∴∠5+∠6＝120°， ∴∠AMN＝60°； （2）拓展：延长AB至E，使EB＝AB，连接EM、EC，如图所示： 则EB＝BC，∠EBM＝90°＝∠ABM， ∴△EBC是等腰直角三角形， ∴∠BEC＝∠BCE＝45°， ∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点， ∴∠MCN＝90°+45°＝135°， ∴∠BCE+∠MCN＝180°， ∴E、C、N，三点共线， 在△ABM和△EBM中， ， ∴△ABM≌△EBM（SAS）， ∴AM＝EM，∠1＝∠2， ∵AM＝MN， ∴EM＝MN， ∴∠3＝∠4， ∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°， ∴∠1＝∠2＝∠5， ∵∠1+∠6＝90°， ∴∠5+∠6＝90°， ∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键． 15．（2025春•日照期末）实践操作矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝4，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为MN（点M，N是折痕与矩形的边的交点），再将纸片展平． 初步思考 （1）如图1，当点N在AB上，点M和点P在DC上，AP与MN交于点O．求证：四边形AMPN为菱形； 继续探究 （2）如图2，在（1）的条件下，当点P与点C重合时，求AM的长； 拓展延伸 （3）如图3，当点N和点B重合，点M在AD上运动时（点M不与点A重合），作∠CBP的平分线，与MP的延长线交于点Q．求出点Q到CD的距离，并直接写出在点M运动过程中，点Q到直线AD的最大距离． 【分析】（1）证明△AON≌△POM（ASA），得出AN＝PM，由菱形的判定可得出结论； （2）设菱形AMPN的边长为x，则AM＝CM＝x，由勾股定理可得出答案； （3）过点Q作QG⊥BC，交BC的延长线于点G，延长GQ交AD的延长线于点H，点Q到CD的距离等于CG＝2，在DA延长线上截取AT＝GQ，连接DT，则∠BAT＝∠G＝90°．由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【解答】（1）证明：∵将纸片折叠，点A的对应点记为点P， ∴AO＝PO，MN⊥AP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC， ∴∠NAO＝∠MPO， 又∵∠AON＝∠POM， ∴△AON≌△POM（ASA）， ∴AN＝PM， ∵AN∥PM， ∴四边形AMPN是平行四边形， ∵MN⊥AP， ∴四边形AMPN为菱形； （2）解：设菱形AMPN的边长为x，则AM＝CM＝x， ∴DM＝6﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∴AD2+DM2＝AM2， ∴42+（6﹣x）2＝x2， 解得：， ∴； （3）解：①如图，过点Q作QG⊥BC，交BC的延长线于点G，延长GQ交AD的延长线于点H， ∵四边形ABCD为矩形，QG⊥BC， ∴四边形ABGH，DCGH均为矩形， ∴GH＝AB＝6， 由折叠知△PBM≌△ABM， ∴∠BPM＝∠A＝90°，BP＝AB＝6， ∴∠G＝∠BPQ＝90°， ∵BQ为∠CBP的角平分线， ∴QP＝QG， ∴RtΔBPQ≌RtΔBGQ（HL）， ∴BG＝BP＝6， ∵BC＝AD＝4， ∴CG＝2， ∴点Q到CD的距离等于CG＝2， 即点Q在GH上运动； ②如图：在DA延长线上截取AT＝GQ，连接DT，则∠BAT＝∠G＝90°． ∵Rt△BPQ≌Rt△BGQ，△PBM≌△ABM， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，BA＝BP＝BG， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°， ∴△BAT≌△BGQ（SAS）， ∴∠1+∠4＝45°，∠2＝∠ABT，BT＝BQ， ∴∠2+∠3＝∠ABT+∠3＝45°， ∴∠TBM＝∠QBM＝45°， ∵BM＝BM， ∴△BMT≌△BMQ（SAS）， ∴MT＝MQ，∠MBQ＝45°， ∴Q在GH上运动，当点M，D重合时，QH最大，如图： 设QH＝y，则AT＝GQ＝6﹣y， ∴DQ＝DT＝AD+AT＝4+6﹣y＝10﹣y， ∵四边形ABGH，DCGH均为矩形， ∴∠H＝90°，DH＝CG＝2， ∴DH2+HQ2＝DQ2， ∴22+y2＝（10﹣y）2， 解得：， ∴点Q到直线AD的最大距离为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16．（2024春•宽城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上．将矩形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC相交于点E．边OA、OC的长满足式子． （1）直接写出OA、OC的长； （2）求证：OE＝BE； （3）求点E的坐标； （4）若点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质求出OA，OC的长即可解决问题； （2）由折叠，得∠1＝∠2，根据矩形OABC的性质，进而证明即可； （3）设CE＝m，则 OE＝BE＝6﹣m，在Rt△COE中，OC2+CE2＝OE2，即可求出点E的坐标； （4）分三种情形，根据菱形的性质分别求解即可解决问题． 【解答】（1）解：∵OA，OC的长满足式子， ∴OA﹣6＝0，OC2﹣9＝0， ∴OA＝6，OC＝3， ∴A（6，0），C（0，3）； （2）证明：由折叠，得∠1＝∠2， 在矩形OABC中，CB∥OA， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴OE＝BE； （3）解：在矩形OABC中，∠OCB＝90°，CB＝OA＝6， 设CE＝m，则 OE＝BE＝6﹣m， 在Rt△COE中，OC2+CE2＝OE2， ∴32+m2＝（6﹣m）2， 解得m， ∴点E的坐标为（，3）； （4）解：如图， ∵OA＝6，OC＝3， ∴OB3， ①当OB为菱形的边时， OP1＝OB＝BQ1＝3， 故Q1（6﹣3，3）， OP3＝Q3P3＝BQ3＝3， 故P3（6+3，3）； ②当OB为菱形的对角线时，Q2O＝Q2B， 设Q2O＝Q2B＝a， 则Q2C＝6﹣a， 在Rt△Q2OC中， Q2O2＝OC2， ∴а2＝32+（6﹣а）2， 解得a， ∴CE＝BC﹣Q2B＝6， ∴Q2（，3）； ③当OP4为对角线时，可得Q4（6，﹣3）， 综上所述，存在，满足条件的点Q坐标为（6﹣3，3）或（6+3，3）或（，3）或（6，﹣3）． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，折叠的性质，菱形的性质R，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 17．（2025春•崇川区期末）如图1，正方形ABCD的边长为4，连接BD，点E为线段BD上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作HF∥AB分别交AD，BC于点H，F．点G为DE的中点，连接HG． （1）若BF＝1，则BE＝ 　　 ，HG＝ 　　 ； （2）如图2，连接AG，FG．求证：AG＝GF且AG⊥GF； （3）如图3，在（2）的条件下，设AG交HF于点K，延长AG交CD于点M，连接MF． ①探究DM，MF，BF之间的数量关系，并说明理由； ②若DM＝3，则FK＝ 　　 ． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出BEBF，HGDH； （2）可证得△AHG≌△FEG，从而∠AGH＝∠FGE，AG＝FG，进而得出结论； （3）①连接AF，延长CD至W，使DW＝BF，可证得△ADW≌△ABF，从而∠DAW＝∠BAF，AW＝AF，进而证得△WAM≌△FAM，从而WM＝FM，进一步得出结论； ②设FM＝x，则BF＝FM﹣DM＝x﹣3，CF＝BC﹣BF＝7﹣x，CM＝CD﹣DM＝1，在Rt△CFM中，由勾股定理得方程（7﹣x）2+12＝x2，求得x的值，可证得FK＝FM． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝4，∠A＝∠ABC＝90°，∠CBD＝∠ADE＝45°， ∵HF∥AB， ∴∠DHF＝∠BFH＝90°， ∴四边形ABFH是矩形，BEBF， ∴AH＝BF＝1， ∴DH＝HE＝AD﹣AH＝3， ∵G为DE的中点， ∴HG⊥DE， ∴HGDH， 故答案为：，； （2）证明：在正方形ABCD和矩形ABFH中， ∴∠DBC＝45°，∠BFE＝∠AHF＝90°，AH＝BF， ∴∠FEB＝45°＝∠BEF， ∴∠FEG＝135°，EF＝BF＝AH， ∵HG⊥DE，HGDE＝EG， ∴∠BGH＝90°，∠EHG＝45°， ∴∠AHG＝∠AHF+∠EHG＝135°， ∴∠AHG＝∠FEG， 又∵AH＝EF，HG＝EG， ∴△AHG≌△FEG（SAS）， ∴∠AGH＝∠FGE，AG＝FG， ∴∠AGF＝∠BGH＝90°， ∴AG⊥FG； （3）解①：如图， MF＝BF+DM，理由如下： 连接AF，延长CD至W，使DW＝BF， 由（2）知， ∠AGF＝90°，AG＝GF， ∴∠MAF＝∠AFG＝45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADW＝∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AB， ∴∠DAM+∠BAF＝∠BAD﹣∠MAF＝45°，△ADW≌△ABF（SAS）， ∴∠DAW＝∠BAF，AW＝AF， ∴∠DAW+∠DAM＝45°， ∴∠WAM＝45°， ∴∠WAM＝∠MAF， ∵AM＝AM， ∴△WAM≌△FAM（SAS）， ∴WM＝FM， ∵WM＝DW+DM＝BF+DM， ∴MF＝BF+DM； ②设FM＝x，则BF＝FM﹣DM＝x﹣3，CF＝BC﹣BF＝7﹣x，CM＝CD﹣DM＝1， 在Rt△CFM中，由勾股定理得， CF2+CM2＝FM2， ∴（7﹣x）2+12＝x2 ∴x， ∴FM， 由①知， △WAM≌△FAM， ∴∠AMD＝∠AMF， ∵FH∥CD， ∴∠FKM＝∠AMD， ∴∠FKM＝∠AMF， ∴FK＝FM， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 18．（2025春•启东市期末）【问题情境】 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜α＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F． 【猜想证明】 （1）当α＝90°时，判断四边形ABFE的形状并说明理由； （2）如图2，当α＝45°时，连接DE，求此时△ADE的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在α，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出此时BF的长度；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得∠B＝∠EAB＝∠AEF＝90°，AE＝AB，即可； （2）作EG⊥AD于G，可得∠AEG＝∠EAG，从而得到AG＝EG，再根据勾股定理可得EG＝2，即可； （3）分两种情况讨论：当点E在DF上时；当点E在DF的延长线上时，根据三角形全等可得BF＝EF，然后根据勾股定理列出方程即可求解． 【解答】解：（1）如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜α＜180°）得到线段AE， ∴AE＝AB，∠EAB＝90°，∠AEF＝90°， ∴∠B＝∠EAB＝∠AEF＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∵AE＝AB， ∴四边形ABFE是正方形； （2）如图2，作EG⊥AD于G， ∵∠BAD＝90°，∠BAE＝45°， ∴∠EAG＝45°， ∴∠AEG＝90°﹣∠EAG＝45°， ∴∠AEG＝∠EAG， ∴AG＝EG， ∵EG2+AG2＝AE2， ∴2EG2＝42， ∴EG＝2， ∴S△ADEAD•EG6×26； （3）如图3，当点E在DF上时，连接AF， ∵∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB，AF＝AF， ∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL）， ∴BF＝EF， 设BF＝EF＝x，则CF＝6﹣x， 根据旋转的性质得：AE＝AB＝4， ∵EF⊥AE， ∴∠AED＝∠AEF＝90°， ∵AD＝6， ∴DE2， 在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF2+CD2＝DF2， （6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得：x＝6﹣2； 如图4，当点E在DF的延长线上时， 同理EF＝BF，DE＝2， 设EF＝BF＝b，则DF＝b﹣2，CF＝b﹣6， ∴（b﹣6）2+42＝（b﹣2）2， 解得：b＝6+2， 综上所述，BF＝6﹣2或6+2． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 19．（2026春•南通期中）八年级数学课上孙老师带同学们一起以“矩形的折叠”为主题，开展数学实践活动．工具与材料：直尺，圆规，矩形纸片ABCD，AB＝4cm，BC＝6cm． （1）【操作发现】 操作一：如图1，沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，EC交AD于点F．则线段DF的长度为　　 cm； （2）【实践探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交BC于点G，连接AG． ①判断直线MN是否经过点F，并说明理由； ②计算四边形AFCG的面积； （3）【拓展进阶】 操作三：如图3，先折叠矩形ABCD，使AD与BC重合．折痕分别与AB，CD交于P，Q两点，连接PD． 如图4，再次折叠矩形ABCD，使P，D两点重合．折痕与BC交于H，连接PH，DH．最后将△PHD沿PD向上翻折，点H落在点T处，PT交AD于点S．请直接写出线段CH和ST的长度． 【分析】（1）利用矩形与折叠性质证等腰三角形，设未知数列勾股定理方程求DF； （2）①证F在AC的垂直平分线上，判断MN经过点F；②设未知数列勾股定理方程求CG，用梯形面积公式求四边形AFCG的面积； （3）由折叠性质确定P为AB中点，设未知数列勾股定理方程求CH，再利用相似三角形求ST的长度． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，，AB＝CD＝4cm， ∴∠FAC＝∠ACB． 由折叠的性质得：∠ACB＝∠ACE， ∴∠FAC＝∠ACE， ∴AF＝CF 设，则 在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF2＝DF2+CD2，（6﹣x）2＝x2+42，36﹣12x+x2＝x2+16，12x＝20，． 故答案为：； （2）①直线MN经过点F，理由如下：由操作二的作法可知，直线MN是线段AC的垂直平分线， 由（1）知AF＝CF， ∴点F在AC的垂直平分线上， ∴直线MN经过点F． ②∵直线MN是线段AC的垂直平分线， ∴AG＝CG 设，则， 在Rt△ABG中，由勾股定理得：AG2＝AB2+BG2，y2＝42+（6﹣y）2，y2＝16+36﹣12y+y2，12y＝52，． ∴， 由（1）知，且AF∥CG， ∴四边形AFCG是梯形，． 即四边形AFCG的面积为． （3）由折叠性质得：P为AB的中点， ∴． 设，则，由折叠得PH＝DH． 在Rt△PBH和Rt△DCH中，由勾股定理得：PH2＝PB2+BH2＝22+（6﹣x）2，DH2＝CD2+CH2＝42+x2． ∵PH＝DH，22+（6﹣x）2＝42+x2，4+36﹣12x+x2＝16+x2，12x＝24，x＝2． ∴． 此时，，由折叠性质得：， 在△PBH与△HCD中， ， ∴△PBH≌△HCD（SSS）． ∴∠PHB＝∠HDC， 又∠HDC+∠CHD＝90°， ∴∠PHB+∠CHD＝90°， ∴∠PHD＝180°﹣（∠PHB+∠CHD）＝90°． 又∵由折叠性质知PT＝PH＝DH＝DT， ∴四边形DTPH是正方形，∠SPH＝90°， ∴∠APS+∠BPH＝180°﹣∠SPH＝90°， ∵∠APS+∠ASP＝90°， ∴∠BPH＝∠ASP＝∠TSD， 根据折叠的性质可知：∠T＝∠PHD＝90°． 又∵∠B＝90°． ∴在△BPH与△TSD中， ， ∴△BPH∽△TSD， ∴，即 ∴． 故，． 【点睛】本题考查矩形的折叠性质、垂直平分线的性质、勾股定理及相似三角形的应用，解题的关键是利用折叠的对称性、矩形的性质，结合勾股定理、垂直平分线的性质与相似三角形的判定与性质，求解线段长度和图形面积． 20．（2026春•通州区期中）菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，且BE＝CF，连接AF，CE． （1）如图1，连接AC，求证△ACF≌△CBE； （2）如图2，若E是AB的中点，AF，CE相交于点P，求证：点P在BD上； （3）若AB＝3BE＝6，M，N分别是CE，AF的中点，连接MN，求MN的长． 【分析】（1）易得△ABC是等边三角形，证△ACF≌△CBE（SAS），即可得证； （2）连接AC，易证△AEP≌△CFP（AAS），可得PE＝PF，再证点P在∠ABC的平分线上，即可得证； （3）连接AC，取AC的中点O，连接ON，OM，MN，过点N作NG⊥OM，垂直为G，利用中位线可得∠AON＝∠ACB＝60°，ON＝1，∠COM＝60°，OM＝2，据此求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC． 又∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∴∠ACB＝60°． ∴∠ACB＝∠B． 在△ACF和△CBE中， ， ∴△ACF≌△CBE（SAS）． ∴AF＝CE． （2）证明：连接AC． ∵△ABC是等边三角形，E是AB的中点， ∴CE⊥AB． ∴由（1）可知CF＝AE，AF⊥BC． ∴∠AEP＝∠CFP＝90°． 在△AEP和△CFP中， ， ∴△AEP≌△CFP（AAS）， ∴PE＝PF． 又∵CE⊥AB，AF⊥BC， ∴点P在∠ABC的平分线上． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ABC． ∴点P在BD上． （3）解：连接AC，取AC的中点O，连接ON，OM，MN，过点N作NG⊥OM，垂直为G． ∵O，N分别为AC，AF的中点， ∴ON是△ACF的中位线． ∴ON∥CF，ONCF， ∴∠AON＝∠ACB＝60°，ON＝1． 同理可得：∠COM＝60°，OM＝2． ∴∠NOM＝60°． 在Rt△ONG中，∠NOM＝60°，ON＝1， ∴OGON，NG， ∴MG＝OM﹣OG＝2， 在Rt△MNG中，MN． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、含有30°直角三角形、中位线定理、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21．（2025•如皋市模拟）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝6，BC＝2，点M、N分别在边AB、CD上，CN＝1．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B、C分别落在点B'、C'上，在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E， （1）当点B'恰好落在边CD上时，求线段BM的长； （2）运动过程中，△EMN的面积有没有最小值，若有，求此时线段BM的长，若无，请说明理由； （3）求点E相应运动的路径长． 【分析】（1）运用矩形性质和翻折性质得出：MB′＝NB′，再利用勾股定理即可求得答案； （2）由S△EMNEN•BC＝EN，可知当EN∥B′C′，即B′M⊥AB时，EN＝B′C′＝2，S△EMN取得最小值2，再利用矩形性质即可求出答案； （3）探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可． 【解答】解：（1）如图1中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠3， 由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′， ∴∠2＝∠3， ∴MB′＝NB′， ∵NB′， ∴BM＝NB′； （2）△EMN的面积有最小值2，此时BM＝3． 如图2，S△EMNEN•BC＝EN， 当EN∥B′C′，即B′M⊥AB时，EN＝B′C′＝2， S△EMN取得最小值2， 此时，∠BME＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形BCEM是矩形， ∴BM＝CE＝EN+CN＝2+1＝3； （3）如图3，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝x， 则DE＝CD﹣EN﹣CN＝6﹣x﹣1＝5﹣x， 在Rt△ADE中，则有x2＝22+（5﹣x）2，解得x， ∴DE＝5， 如图4中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝6﹣1﹣2＝3， 如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′（即DE″）＝6﹣15， ∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝33﹣（5）． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，解题的关键是探究出点E的运动轨迹，运用勾股定理解决问题． 22．（2025春•昌平区期末）正方形ABCD，点E是线段CD上一点，作射线BE，交AC于点F，∠CBE＝α（0°＜α＜45°）．点A关于射线BE的对称点为点G，连接BG，CG，线段AG与BE，BC分别交于点P，Q． （1）①补全图形； ②求∠AGC的度数； （2）延长GC交射线BF于点H，连接AH，若PF＝CF，用等式表示BQ，CH，AG的数量关系，并证明． 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②由点A，G关于射线BE对称，得到AG⊥BE，AP＝GP，根据等腰三角形的性质得到∠BAP＝∠BGP，求得∠CBE+∠ABE＝90°，得到∠BGP＝∠BAP＝α，推出BC＝AB＝BG，于是得到∠AGC＝∠BGC﹣∠BGP＝45°； （2）连接BD交AC于点O，连接OP，求得PO∥GC，GC＝2PO，得到∠APO＝∠AGC＝45°，求得∠OPF＝∠ACD，根据全等三角形的性质得到PO＝EC，BQ＝CE，得到BQ＝PO，求得GC＝2BQ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）①补全图形如下； ②∵点A，G关于射线BE对称， ∴AG⊥BE，AP＝GP， ∴AB＝BG， ∴∠BAP＝∠BGP， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CBE+∠ABE＝90°， ∵∠BAP+∠ABE＝180°﹣∠APB＝90°， ∴∠BAP＝∠CBE＝α， ∴∠BGP＝∠BAP＝α， ∴∠CBG＝180°﹣∠BPG﹣∠BGP﹣∠CBE＝90°﹣2α， ∵BC＝AB＝BG， ∴∠BGC＝∠BCG＝（180°﹣∠CBG）÷2＝α+45°， ∴∠AGC＝∠BGC﹣∠BGP＝45°； （2）． 理由：连接BD交AC于点O，连接OP， ∵AP＝PG，AO＝OC， ∴PO∥GC，GC＝2PO， ∴∠APO＝∠AGC＝45°， ∴∠OPF＝90°﹣∠APO＝45°， ∵， ∴∠OPF＝∠ACD， 在△OFP与△EFC中， ， ∴△OFP≌△EFC（ASA）， ∴PO＝EC， ∵AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAQ＝∠CBE， ∴△BAQ≌△CBE（ASA）， ∴BQ＝CE， ∴BQ＝PO， ∴GC＝2BQ， ∵AH＝GH，∠AGC＝45°， ∴∠GAH＝∠AGC＝45°，∠AHG＝90°， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． 23．（2025春•海安市校级期中）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝6cm，BC＝8cm．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上．点E从点B出发向点A运动，速度为4cm/s，点F从点B出发向点C运动，速度为3cm/s，点G从点C出发向点D运动，速度为4cm/s．当点E到达点A（即点E与点A重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F，设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． （1）四边形EBFB′　不能　 （填“能”或“不能”）是正方形； （2）若M、N分别是EF、FG的中点，连接BM，问：当t为何值时，四边形BMNF是平行四边形？ （3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意得BE≠BF，则四边形EBFB′不能是正方形； （2）连接EG，证明四边形BCEG是矩形，求得，推出当MN＝BF时，四边形BMNF是平行四边形，据此求解即可； （3）由对称的性质知EF是线段B′B的垂直平分线，当点B′与点O重合时，，利用等积法求解即可． 【解答】解：（1）由题意得BE＝4t，CG＝4t，BF＝3t， ∵BE≠BF， ∴四边形EBFB′不能是正方形， 故答案为：不能； （2）点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝6cm，BC＝8cm．如图1，连接EG， ∴BE∥CG，∠ABC＝∠C＝90°， ∵BE＝CG＝4t， ∴四边形BCEG是平行四边形， ∵∠C＝90°， ∴平行四边形BCEG是矩形， ∴EG＝BC，EG∥BC， ∵M、N分别是EF、FG的中点， ∴，EG∥MN∥BC， ∴MN∥BF， 当MN＝BF时，四边形BMNF是平行四边形， 此时，即， 解得； （3）存在实数t，使得点B′与点O重合；理由如下： 点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝6cm，BC＝8cm．如图2，连接B′B交EF于点H，连接AC，BD， ∴， ∴， ∵△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F， ∴EF是线段B′B的垂直平分线， ∴BH＝B′H， 当点B′与点O重合时，， 在Rt△BEF中，BH⊥EF，BE＝4t，BF＝3t， ∴， ∵， ∴，即， 解得t． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查的是翻折变换的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 【期末复习冲刺】解答题压轴题集中训练南通专用 专题解读：本专题精选南通2025八年级数学下期末试题和2026期中试题的解答题的第24和第25题，属于解答题压轴题。现按考点进行分类，可以让学生在复习时更容易抓住考试的重点，更容易突破考试的难点，使复习更高效，本专题适合学霸和中等偏上的同学期末冲刺高分。 考点一 含参一次函数 1．（2025春•通州区期末）已知一次函数y＝ax﹣2a+3（a为常数，且a≠0）． （1）若a＝1，且A（﹣2，m），B（3，n）两点均在该函数的图象上，试比较m，n的大小； （2）若﹣2≤x≤3时，y有最小值﹣5，求a的值； （3）已知C（﹣1，0），D（0，5），若该函数的图象与线段CD没有公共点，求a的取值范围． 2．（2025春•海安市校级期中）已知y关于x的一次函数y＝kx﹣2k+1（k≠0）的图象为直线l1． （1）试说明：无论k为何值，直线l1总经过点（2，1）； （2）当a≤x≤a+2时，函数最大值与最小值的差为4，求l1的解析式； （3）已知y关于x的一次函数y＝mx+m﹣2图象为直线l2，点E为l1上任意一点，过点E作y轴的平行线交l2于点F．若点E始终在点F的上方，试探究k与m的数量关系，并求出k的取值范围． 考点二 一次函数与几何综合 3．（2026•模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点B．动点M从点A出发，沿x轴以2个单位长度/秒的速度向左运动，同时动点N从点B出发，沿y轴以3个单位长度/秒的速度向上运动，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P． （1）点A的坐标为　 　 ，点B的坐标为　 ； （2）我们发现点P一直在一条直线上运动，请求出这条直线的解析式； （3）若点P在y轴上，点H是直线AB上的动点，请直接写出PH+OH的最小值． 4．（2025秋•天桥区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l1与y轴相交于点E，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB． （1）求出直线l2的函数表达式； （2）P是y轴上一点，若S△ABC＝S△APC，求点P的坐标； （3）在x轴负半轴上是否存在点Q，使得2∠DQO+∠ODB＝90°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024春•如皋市期末）已知一次函数y＝2x+b的图象经过点A，B．点A的坐标为（1，5），点B的横坐标为m． （1）求b的值； （2）若线段AB的最高点与最低点的纵坐标差为6，求m的值； （3）已知点C（m+1，2m+2），以坐标原点O为中心构造矩形CDEF，且CD⊥x轴，若线段AB与矩形CDEF只有一个公共点，求m的取值范围． 6．（2025春•如皋市期末）在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（4+n，1），直线l：y＝nx+n﹣1． （1）直接写出点C的坐标（用含n的式子表示）； （2）当时，求直线l与▱OABC的边的公共点的坐标； （3）若直线l与▱OABC的边有公共点，请直接写出n的取值范围． 7．（2025春•海安市期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣4，0），B（0，2），点C在线段AB上． （1）求直线AB的解析式； （2）若△AOC的面积是△AOB面积的三分之一，求点C的坐标； （3）若一次函数y＝kx+k+2（k为常数，k≠0）的图象经过点C，且当﹣2≤x≤2，该一次函数对应的函数值始终大于0，求点C的横坐标x0的取值范围． 8．（2025春•南通期中）【综合探究】在学习函数的探索之旅中，我们常常借助列表、描点、连线来画出函数图象，并通过图象洞察函数的特性．当函数依据自变量的取值范围呈现不同表达式时，便形成了分段函数．现在，我们一同探究分段函数的图象与性质． 【绘制图象】 （1）请在所给图1的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； 【解决问题】 （2）结合函数图象，回答下列问题： ①点，，C（x1，2），D（x2，﹣4）均在函数图象上，则y1　 y2，x1　 　 x2（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②在直线x＝1右侧的函数图象上有两个不同的点E（x3，y3），F（x4，y4），且y3＝y4，则x3+x4的值为 　 　 ； ③当2≤x≤10时，y的取值范围是 　 　 ； 【迁移拓展】 （3）设该分段函数的图象与直线x＝﹣2交于点G，点H为（0，5），动点P为（m，﹣2），点Q是函数图象上的一点，且横坐标为m．现以点Q为直角顶点，向左作等腰直角三角形PQM．当m＜3时，若等腰直角三角形PQM的两边与线段GH只有两个交点，请直接写出m的取值范围． 9．（2024春•大祥区期末）如图①，直线y＝2x﹣8与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（2，﹣4）． （1）直接写出点A，B的坐标：A（ 　 　 ，　 　 ），B（ 　 ，　 　 ）； （2）点P是y轴上一点，若△PBC的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值． 10．（2025春•崇川区期末）已知函数y＝k|x|+b（k，b为常数，k≠0），矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣1，1），C（5，1），D（5，5）． （1）点M（m，5）在函数y＝|x|+1的图象上，则m 　 ； （2）①如图1，若3k+b＝2，且函数y＝k|x|+b（k，b为常数，k≠0）图象与矩形ABCD交于E，F，G，H四点．请问函数图象是否经过定点？若经过，请求出定点坐标，若不经过，请说明理由； ②在①的条件下，若GH平分矩形ABCD的面积，求该函数的解析式； ③若3k+b＝2且b≤5时，函数图象与矩形ABCD恰好有两个公共点，直接写出b的取值范围． 考点三 一次函数的应用 11．（2026春•通州区期中）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热至100℃后自动进入保温模式．现有一壶18℃的水经过10分钟烧至100℃后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温y（℃）与时间x（分）的关系如图所示． 该款电热水壶保温模式说明： 1．智能控制：当水温降至：80℃时，控制电路启动微加热元件短暂工作，将水重新加热至目标温度：85℃后，关闭； 2．循环启停：以上过程周期性重复，保持水温在设定范围内． （1）a的值为　85　 ； （2）已知x＝24时，y＝82，求当20≤x≤n时水温y与时间x之间的函数关系式，并求出n的值； （3）当x＝40时，请直接写出此时电热水壶中水的温度． 12．（2026春•启东市期中）甲乙两个机器人在赛道上进行“行走稳定性”测试，赛道总长600米，均从赛道一端A向另一端B匀速前进，乙机器人出发1分钟后甲机器人再出发，先到的机器人在B端停止，设两机器人之间的赛道距离为y米，乙机器人出发的时间为x分钟，它们之间的关系如图所示． （1）甲机器人的速度为　100　 米/分，乙机器人的速度为　60　 米/分； （2）其中一个机器人先到达B端，求此时两机器人之间的赛道距离； （3）若两机器人之间的赛道距离不小于10米属于“安全区间”，在乙机器人从出发到停止的过程中，求“安全区间”的累计时间． 考点四 四边形综合题 13．（2025•石峰区三模）四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F． （1）如图1，若点F在边BC上，求证DE＝EF； （2）以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①如图2，若AB＝4，CE＝3，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD一边的夹角是35°时，直接写出∠EFC的度数． 14．（2025•海安期中）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°． （1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°． 15．（2025春•日照期末）实践操作矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝4，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为MN（点M，N是折痕与矩形的边的交点），再将纸片展平． 初步思考 （1）如图1，当点N在AB上，点M和点P在DC上，AP与MN交于点O．求证：四边形AMPN为菱形； 继续探究 （2）如图2，在（1）的条件下，当点P与点C重合时，求AM的长； 拓展延伸 （3）如图3，当点N和点B重合，点M在AD上运动时（点M不与点A重合），作∠CBP的平分线，与MP的延长线交于点Q．求出点Q到CD的距离，并直接写出在点M运动过程中，点Q到直线AD的最大距离． 16．（2024春•宽城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上．将矩形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC相交于点E．边OA、OC的长满足式子． （1）直接写出OA、OC的长； （2）求证：OE＝BE； （3）求点E的坐标； （4）若点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 17．（2025春•崇川区期末）如图1，正方形ABCD的边长为4，连接BD，点E为线段BD上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作HF∥AB分别交AD，BC于点H，F．点G为DE的中点，连接HG． （1）若BF＝1，则BE＝ 　 ，HG＝ 　 ； （2）如图2，连接AG，FG．求证：AG＝GF且AG⊥GF； （3）如图3，在（2）的条件下，设AG交HF于点K，延长AG交CD于点M，连接MF． ①探究DM，MF，BF之间的数量关系，并说明理由； ②若DM＝3，则FK＝ 　 ． 18．（2025春•启东市期末）【问题情境】 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜α＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F． 【猜想证明】 （1）当α＝90°时，判断四边形ABFE的形状并说明理由； （2）如图2，当α＝45°时，连接DE，求此时△ADE的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在α，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出此时BF的长度；若不存在，请说明理由． 19．（2026春•南通期中）八年级数学课上孙老师带同学们一起以“矩形的折叠”为主题，开展数学实践活动．工具与材料：直尺，圆规，矩形纸片ABCD，AB＝4cm，BC＝6cm． （1）【操作发现】 操作一：如图1，沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，EC交AD于点F．则线段DF的长度为　　 cm； （2）【实践探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交BC于点G，连接AG． ①判断直线MN是否经过点F，并说明理由； ②计算四边形AFCG的面积； （3）【拓展进阶】 操作三：如图3，先折叠矩形ABCD，使AD与BC重合．折痕分别与AB，CD交于P，Q两点，连接PD． 如图4，再次折叠矩形ABCD，使P，D两点重合．折痕与BC交于H，连接PH，DH．最后将△PHD沿PD向上翻折，点H落在点T处，PT交AD于点S．请直接写出线段CH和ST的长度． 20．（2026•通州期中）菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF，连接AF，CE． （1）如图1，连接AC，求证△ACF≌△CBE； （2）如图2，若E是AB的中点，AF，CE相交于点P，求证：点P在BD上； （3）若AB＝3BE＝6，M，N分别是CE，AF的中点，连接MN，求MN的长． 21．（2025•如皋市模拟）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝6，BC＝2，点M、N分别在边AB、CD上，CN＝1．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B、C分别落在点B'、C'上，在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E， （1）当点B'恰好落在边CD上时，求线段BM的长； （2）运动过程中，△EMN的面积有没有最小值，若有，求此时线段BM的长，若无，请说明理由； （3）求点E相应运动的路径长． 22．（2025春•昌平区期末）正方形ABCD，点E是线段CD上一点，作射线BE，交AC于点F，∠CBE＝α（0°＜α＜45°）．点A关于射线BE的对称点为点G，连接BG，CG，线段AG与BE，BC分别交于点P，Q． （1）①补全图形； ②求∠AGC的度数； （2）延长GC交射线BF于点H，连接AH，若PF＝CF，用等式表示BQ，CH，AG的数量关系，并证明． 23．（2025春•海安市校级期中）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝6cm，BC＝8cm．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上．点E从点B出发向点A运动，速度为4cm/s，点F从点B出发向点C运动，速度为3cm/s，点G从点C出发向点D运动，速度为4cm/s．当点E到达点A（即点E与点A重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F，设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． （1）四边形EBFB′　 　 （填“能”或“不能”）是正方形； （2）若M、N分别是EF、FG的中点，连接BM，问：当t为何值时，四边形BMNF是平行四边形？ （3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $