精品解析：四川泸州市三校联盟2025-2026学年高二下学期期中联合考试数学试题

泸州市三校联盟2025—2026学年高二下学期期中联合考试 数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至4页．试卷满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、班级、准考证号准确填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0．5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为直线的方程为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 2. 已知，，且，则（ ） A. 9 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以，解得. 4. 已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项的性质计算即得. 【详解】因为，为方程的两根，所以， 又因为，的等比中项，所以， 因，故. 5. 已知函数在处取得最小值1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“极值点处导数为0和函数值为1”联立方程组，求解参数后通过单调性验证极值类型，最后代入参数值即可求解. 【详解】因为函数在处取得最小值1， 所以在处取得极值，故. 又，所以， 解得. 将代入导数得， 令，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此是的最小值点，也是极小值点，符合题意，所以. 6. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出16钱，则公士出的钱数为（ ） A. 12 B. 23 C. 24 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】依题意利用等差数列通项公式及其前项和公式的基本量运算即得. 【详解】设大夫、不更、簪袅、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列， 由题意可知，等差数列中，前项和为， 设公差为，前项和为，则有，解得， 故，故， 即公士出的钱数为. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 8. 已知数列满足，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系求得，进而得，再利用裂项相消法求得，通过函数的单调性和有界性得到，即可求得的最小值. 【详解】， ∴，又， 所以， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，则． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等差数列的前项和，为的公差，若，则（ ） A. B. C. 当或6时，取得最小值 D. 当时，的最小值为11 【答案】AC 【解析】 【分析】利用已知可求得等差数列的首项与公差，利用等差数列的性质与前项和公式逐项计算判断即可. 【详解】因为，所以两式相减得，解得，故A正确； 由，得，所以， 所以，解得，所以， 所以，故B错误； 令，即，解得， 即数列前项为负，第项为0，第起为正， 所以当或6时，取得最小值，故C正确； ，令，则， 解得（舍去）或，又，所以时，， 所以当时，的最小值为12，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的导函数为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的极小值点为 C. 函数单调递减区间为 D. 若函数有两个不同的零点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】直接将1代入函数可判断选项A；由极小值点不是点，而是取最小值是x的值直接排除选项B；由函数的导数，数形结合可判断选项C与D. 【详解】，所以选项A正确； 极小值点不是点，而是取最小值是x的值，选项B错误 得，， 令，则，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以选项C正确； 是得极小值点，， 若由两个不同的零点，即直线与有两个交点， 因为，当时，所以函数图象大致如下： 所以，当时直线与有两个交点，选项D错误. 11. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前20项和为110 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到与的关系后，利用累加法计算即可得B；得到与及与的关系可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得，， ，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 则 ，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为抛物线的方程为，则,解得, 所以焦点坐标为. 13. 等比数列的前n项和为，若，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 当时，由， 由，这与相矛盾，所以不成立， 当时，， . 14. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，结合能成立求出范围. 【详解】令，则，故在上单调递减， 由，可得，，即， 因关于的不等式在上有解， 故当时，有解，即有解， 因为，所以， 即的取值范围为． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数.求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为1，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程； （2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值. 【小问1详解】 ，则， ，切点是， 故切线方程是，即； 【小问2详解】 令，解得：或， ，，在的变化如下： 0 2 3 0 0 单调递增 极大值1 单调递减 极小值 单调递增 1 在和上单调递增，在上单调递减， 最大值是，又，， 在的最大值是， 在在最小值是. 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）求证：平面； （2）若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，，， 所以，，， 所以，所以， 又，BC，平面PBC，所以平面PBC， 因为平面PAC，所以平面平面PBC． （2）． 【解析】 【分析】（1）通过计算由勾股定理可证得，利用条件证明平面PBC，再由线面垂直可证面面垂直即可. （2）法一建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得，法二作出符合题意的图形，构造二面角的平面角，再利用三角函数的定义求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：因为平面ABCD，， 所以以C为原点，以，，分别为x，y，z轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面ACE的法向量为，则 取，得平面ACE的一个法向量为， 易知平面PAC的一个法向量为， 设平面PAC与平面ACE的夹角为， 则， 故平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为． 法二：如图，过点E作BC的平行线交PC于点F， 由（1）可知平面PAC，， 所以就是平面PAC与平面ACE所成角， 因为，，所以． 17. 已知椭圆：（）的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，两点，点（点不在直线上）为椭圆上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意求出椭圆的基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）结合韦达定理得到，，利用弦长公式求出弦长，利用点到直线的距离公式求出距离，再表示出三角形面积，进而建立方程，求解直线的斜率即可. 【小问1详解】 由题意得直线与坐标轴的交点为，， 得到，，即椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线AB的斜率不存在时，不符合题意； 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为， 如图，作出符合题意的图形，且设，， 由，得到 可得， 由韦达定理得，， 由弦长公式得 ， 设点P到直线AB的距离为，由点到直线的距离公式得， 所以， 而的面积为，得到，解得． 18. 已知数列的前n项和，正项等比数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）设满足不等式的正整数k的个数为，求数列的前n项和． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）由及可求得，再利用数列是等比数列，从而由基本量法求得； （2）由（1）得，结合等比数列求和公式计算求得． 【小问1详解】 由已知得， 当时，； 当时， 当时，不符合上式. 所以. 因为正项等比数列满足，， 设其公比为，则，， 则. 【小问2详解】 满足不等式的正整数k，， 当时，，所以， 当时，，即得， 所以， 当时， ，当时，满足上式， 综上，. 19. 已知（） （1）设函数,讨论函数的单调性； （2）当,时,证明：. （3）当时,,求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)分和两种情况讨论的正负，结合导数与原函数的单调性求解即可； （2）将问题转化为证明恒成立，，利用导数研究的单调性和最值即可证明结论； （3）分和两种情况讨论，当，将问题转化为恒成立，然后分、、三种情况利用导数研究的单调性和最值即可求解. 【小问1详解】 由题意，，定义域为求导得： ， 当时，恒成立，因此在上单调递增， 当时，当 时，，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 当时，， 当时，，故， 所以要证， 即证明：， 即证 即证， 令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，取得最大值， 因此对任意，，即，原不等式得证. 【小问3详解】 原不等式， 当时，当时，， 所以，不合题意； 当时， 原不等式， 设， 则， 令， ， ， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增，，不合题意； 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，所以在单调递减，； 当时，令，得，所以， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，，不合题意； 综上，实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市三校联盟2025—2026学年高二下学期期中联合考试 数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至4页．试卷满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、班级、准考证号准确填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0．5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则（ ） A. 9 B. 0 C. 1 D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 4 D. 5. 已知函数在处取得最小值1，则（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出16钱，则公士出的钱数为（ ） A. 12 B. 23 C. 24 D. 28 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等差数列的前项和，为的公差，若，则（ ） A. B. C. 当或6时，取得最小值 D. 当时，的最小值为11 10. 已知函数的导函数为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的极小值点为 C. 函数单调递减区间为 D. 若函数有两个不同的零点，则 11. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前20项和为110 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点坐标为________． 13. 等比数列的前n项和为，若，，则________． 14. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数.求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数在区间上的最值. 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）求证：平面； （2）若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知椭圆：（）的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，两点，点（点不在直线上）为椭圆上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线的斜率． 18. 已知数列的前n项和，正项等比数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）设满足不等式的正整数k的个数为，求数列的前n项和． 19. 已知（） （1）设函数,讨论函数的单调性； （2）当,时,证明：. （3）当时,,求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $