精品解析：四川省达州市渠县第三中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

四川省达州市渠县第三中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，D为直线l上一点，，为的角平分线，交直线l于点E，则（ ） A. B. C. D. 3. 二十四节气，基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，如图所示，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三角形中，，，点 P是边上的动点，则的长不可能是（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 7 7. 若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ） A. -4 B. 16 C. -4或-16 D. 4或16 8. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③ 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则_______． 10. 在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多，较大的锐角的度数为 _____． 11. 李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有______个． 12. 如图，直线，，都过点，且，平分，，则________． 13. 如图，D，E，F分别为的中点，点G为的重心．已知的面积为3，则的面积为__________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算与化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 15. 初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响．针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）这次调查的家长总人数为 人，表示“无所谓”的家长人数为 人； （2）随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是 ； （3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数. 16. 已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，且 （1）求证：； （2）若平分，，求和的度数． 17. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为偶数．求的周长． （2）化简：． 18. 图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形 （1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于　　 ，面积等于　 . （2）观察图，请你写出三个代数式，之间的等量关系为　 . （3）运用你所得到的公式，计算:若，为有理数，且，，试求的值. （4）如图所示，正方形和正方形边长分别为，，且，，求图中阴影部分的面积. B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 七（1）班将在3月5日开展“学雷锋”活动，需将全班同学分为“社区服务”“雷锋精神宣传”“爱心义卖”“线上公益”四个小组．每位同学被分到每个小组的可能性相等，则小星被分到“爱心义卖”小组的概率是___________． 20. 某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题： 被除式的第二项中被钢笔水弄污了(还能看到前面的运算符号），你能算出被污染的内容是________． 21. 如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则________． 22. 四张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为． （1）若，，则______． （2）若，则______． 23. 如图，中，，D是上一点，，以为边作等腰直角，当E恰好落在边上时，连接，则__________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． （1）求的度数； （2）求证：； （3）求证：． 25. 我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 （2）多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 26. 【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，， 求证：． 证明：如图②，过点作 ， 即． 【类比应用】 （1）如图③，已知，，，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，则______°． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县第三中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，合并同类项，幂的乘方，单项式乘法，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意；   故选：B ． 2. 如图，直线，D为直线l上一点，，为的角平分线，交直线l于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由邻补角的性质得到，由角平分线定义即可求出的度数． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴． 故选：C． 3. 二十四节气，基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，如图所示，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 【详解】解：从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 4. 如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 5. 下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、原式，故该选项不符合题意； B、原式，不能运用平方差公式，故该选项符合题意； C、原式，故该选项不符合题意； D、原式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键． 6. 如图，在三角形中，，，点 P是边上的动点，则的长不可能是（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可知的取值范围，即可得出答案． 【详解】根据题意可知， 所以的长不可能是． 故选：A． 7. 若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ） A. -4 B. 16 C. -4或-16 D. 4或16 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵x2+2（m-3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）=x2+（n+2）x+2n不含x的一次项， ∴m-3=±1，n+2=0， 解得：m=4或m=2，n=-2， 当m=4，n=-2时，nm=16； 当m=2，n=-2时，nm=4， 则nm=4或16， 故选：D． 【点睛】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 8. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①，根据三角形内角和定理求出 根据三角形的外角性质即可推出②，根据三角形内角和定理求出 根据角平分线定义即可判断③，根据等腰三角形的判定判断④即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴的面积的面积，故①符合题意； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，故②符合题意； ∵为高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即，故③符合题意； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④不符合题意； 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则_______． 【答案】20 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 10. 在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多，较大的锐角的度数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】设较小锐角的度数为，根据题意表示出所求锐角，利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解即可． 【详解】设较小锐角的度数是度，则较大的锐角的度数是， 根据直角三角形两锐角互余，可得 ， 解得， 将代入，得， 即较大的锐角的度数为． 11. 李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先根据利用频率估计概率可得从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为，再利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设袋中白球有个， 由表中数据估计从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为， 则， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以根据表中数据估计袋中白球有3个， 故答案为：3． 12. 如图，直线，，都过点，且，平分，，则________． 【答案】##149度 【解析】 【分析】此题考查了角平分线定义，垂直的定义，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．根据对顶角相等得出，进而利用互余和角平分线的定义得出的度数，进而解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，D，E，F分别为的中点，点G为的重心．已知的面积为3，则的面积为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵的面积为3，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：18． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算与化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 15. 初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响．针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）这次调查的家长总人数为 人，表示“无所谓”的家长人数为 人； （2）随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是 ； （3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数. 【答案】（1）200，40；（2）；（3）162°. 【解析】 【详解】解：（1）50÷25%=200（人），200×20%=40（人）． 故答案为：200；40. （2）∵“很赞同”的家长人数为：200-90-50-40=20（人）， ∴抽到“很赞同”的家长的概率是20÷200=. 故答案为：. （3）∵×360°=162°， ∴扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数为162°. 16. 已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，且 （1）求证：； （2）若平分，，求和的度数． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行的判定及性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相应的判定定理及性质． （1）根据，得出，又，得出，利用同旁内角互补即可推出； （2）根据，，得出，又因为平分，得出，再证明，再根据两直线平行的性质即可得出． 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ， ∴． ∵， ∴． 17. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为偶数．求的周长． （2）化简：． 【答案】（1）的周长为11或13 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【小问1详解】 解：， ，即， 由于c是偶数，则或6， 当时，的周长为， 当时，的周长为． 综上所述，的周长为11或13． 【小问2详解】 解：的三边长为a，b，c， ， ． 18. 图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形 （1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于　　 ，面积等于　 . （2）观察图，请你写出三个代数式，之间的等量关系为　 . （3）运用你所得到的公式，计算:若，为有理数，且，，试求的值. （4）如图所示，正方形和正方形边长分别为，，且，，求图中阴影部分的面积. 【答案】（1）; （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式及应用，解题关键是用不同方法表示同一图形面积． （1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积； （2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于、、的等式； （3）根据（2）中结论即可解题； （4）利用，整理变形，代入，，得到结果． 【小问1详解】 解：图中阴影部分边长为， 则阴影部分的面积为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：用两种不同的方法表示阴影的面积： 方法一：阴影部分为边长的正方形，故面积； 方法二：阴影部分面积； ∴； 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（）得，， ∵，， ∴， ∴； 【小问4详解】 解： ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 七（1）班将在3月5日开展“学雷锋”活动，需将全班同学分为“社区服务”“雷锋精神宣传”“爱心义卖”“线上公益”四个小组．每位同学被分到每个小组的可能性相等，则小星被分到“爱心义卖”小组的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：小星被分到“爱心义卖”小组的概率是． 故答案为：． 20. 某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题： 被除式的第二项中被钢笔水弄污了(还能看到前面的运算符号），你能算出被污染的内容是________． 【答案】 【解析】 【分析】经化简发现，由于被污染的内容是被除式的第二项，根据乘除互为逆运算可知被除式=除式×商，运用单项式乘以多项式的法则求出被除式，从而得出结果． 【详解】解：用A表示被污染的项，则 A = A = A = A 又∵原式= ∴－A＝ ∴A＝＝ ∴被污染的内容是． 故答案为：． 【点睛】本题实际上考查了单项式乘以多项式的法则，根据题意列出被污染部分的求解算式是解题的关键． 21. 如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】先根据图形折叠的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠， ∴， ． 22. 四张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为． （1）若，，则______． （2）若，则______． 【答案】 ①. 11 ②. ##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）空白部分的面积为2个直角三角形（直角边为），2个直角三角形（直角边为）和中间正方形（边长为）的面积和，据此求解即可； （2）用含有的式子表示出，再根据求解a与b的关系． 【详解】解：（1）由题意可得：空白部分的面积为2个直角三角形（直角边为），2个直角三角形（直角边为）和中间正方形（边长为）的面积和 ∴ ， ∵，， ∴， 故答案为：11； （2）由（1）得：， ∵大正方形的面积为 ∴， 又∵， ∴， 整理得： ∴，即 故答案为： 23. 如图，中，，D是上一点，，以为边作等腰直角，当E恰好落在边上时，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点A作交于F，连接，则是等腰直角三角形，可得，再证明，得到，进而得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解；如图所示，过点A作交于F，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵以为腰的等腰直角三角形，且， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． （1）求的度数； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据图形，找准等量关系，证明出全等三角形是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理，即可求得； （2）首先根据垂直的定义及角平分线的定义可证得，，再根据定理，即可证得结论； （3）首先根据全等三角形的性质及角平分线的定义，即可证得，再根据定理，可证得，，据此即可证得结论． 【小问1详解】 解：中，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ∵平分， ， 在和中， ， ∴； 【小问3详解】 证明：∵， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 （2）多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 【答案】（1）； （2）它们的“对消值”为； （3）代数式的最小值是． 【解析】 【分析】此题考查了求代数式值的能力， ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解； ()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解． 【小问1详解】 ∵， , ， ∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：； 【小问2详解】 ，， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； 【小问3详解】 ，， ， ∵与互为“对消多项式”且“对消值”为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴代数式的最小值是． 26. 【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，， 求证：． 证明：如图②，过点作 ， 即． 【类比应用】 （1）如图③，已知，，，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，则______°． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $