高一下学期期末重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

**基本信息** 高一下学期期末提高卷聚焦立体几何、三角函数、概率统计等核心模块，以“阳马”文化情境、正四面体涂色概率等创新题设计，融合空间观念与数据分析，体现数学眼光与思维的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|解三角形、空间几何体|第5题以《九章算术》“阳马”为背景，考查线面关系| |多选题|3/18|正方体动态问题、圆锥性质|第10题结合动点探究线面角，体现层次性| |填空题|3/15|向量、复数、三角函数|第13题通过单位圆交点构建等腰三角形，考查数学语言表达| |解答题|5/77|概率统计、立体几何体积|第19题频率分布直方图与分层抽样结合，落实数据观念|

高一下学期期末重难点检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量共线基本定理，结合图形求得，再由平面向量数量积的定义与运算律计算即得. 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 2．若，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据所给角的范围，同角三角函数的平方关系及各象限三角函数的正负，结合两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，所以，又， 所以，， 所以， 又因为，所以，又， 所以，则， 所以 ． 3．若锐角的面积为，且，，则外接圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三角形面积公式求出 ，再根据锐角三角形确定 ，进而求出 ．然后利用余弦定理求出 ，最后由正弦定理 求外接圆半径． 【详解】因为锐角 的面积为 ，且 ，，所以由三角形面积公式可得 将 ， 代入，得. 所以，即. 因为 是锐角三角形，所以，从而. 由余弦定理，得. 代入 ，，，得. 因此. 设 外接圆的半径为 ． 由正弦定理可得. 所以，故. 4．若，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的模、复数的乘法、共轭复数求解即可. 【详解】设（），则，，所以. 所以， 解得，代入中，解得， 故. 5．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 【答案】D 【分析】利用反证法可判断A；当移动到点时，可得，进而可判断B；利用反证法可得，进而可判断C；利用线线垂直可证得底面，进而可证平面平面成立，可判断D. 【详解】若，又平面，平面，所以平面， 这与平面矛盾，所以不存在点，使得，故A错误； 当移动到点时，可得，平面，平面， 所以平面，故存在点，使得平面，故B错误； 若对于任意点，，又四边形为长方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又底面，所以，又， 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 所以对于任意点，不成立，故C错误； 由正方形，可得， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 6．在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥补形成长方体，结合长方体的外接球运算求解即可. 【详解】将三棱锥补形成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，    则，可得， 则球的半径为，所以球的表面积为. 7．把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将积事件所代表的事件表示出来，利用古典概型的概率计算公式计算概率． 【详解】根据题意，正四面体的四个面中，有红色的面有2个，有黄色的面有2个， 所代表的事既有红色的面也有黄色的面落在平面上，仅有一个， 故． 8．在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】显然男生甲是否入选不会影响女生乙是否入选，故事件相互独立，且， 于是，A错误，B正确； 事件包含“男生甲未入选，女生乙入选”、“男生甲入选，女生乙未入选”、“男生甲､女生乙都未入选”三种情况， 因此，则，所以C错误； 依题意，，， 而且，因此，即，D错误. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】ABC 【分析】结合各类空间几何体的定义本质，通过构造反例与性质推导，逐一判断命题的正误. 【详解】对于A，将两个全等棱柱沿底面拼接，所得多面体存在一组互相平行的面， 其余各面均为平行四边形，但不满足棱柱侧棱全部平行的核心要求， 故该多面体不一定是棱柱，A正确. 对于B，棱锥仅有底面为多边形，其余面均为三角形，若存在平行四边形面， 则该面必为四边形底面，对应棱锥为四棱锥，B正确. 对于C，平行六面体的所有面均为平行四边形，由平行四边形对边平行且相等的性质， 可推得相对两个面的边长完全对应相等，即为全等的平行四边形，C正确. 对于D，棱台的必要条件是各侧棱延长后交于同一点， 仅上下底面平行相似、侧面为梯形，无法保证侧棱共顶点， 因此该多面体不一定为棱台，D错误. 10．如图，在棱长为2的正方体中，E为上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（     ） A．平面 B．当E为中点时，平面平面 C．直线与平面所成的角的余弦值的最大值为 D．点E到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】由面面平行性质可判断A；由已知条件可判断与平面两条相交线垂直，结合面面垂直的判定即可判断B；根据线面角的定义找出所求角，通过几何关系即可计算余弦的最大值从而判断C；通过等体积法可判断D. 【详解】对A，由已知，平面平面，平面，所以平面，所以A正确； 对B，当E为中点时，因为四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为平面,面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以B正确； 对C，因为平面，直线平面，所以直线与平面所成的角为， 设，则，所以， 所以当最大时余弦值最大，当与重合时最大， 因为，，所以最大值为， 所以最大值为，所以C正确； 对D，因为，平面，平面，所以平面，所以点E到平面的距离等于点到平面的距离， 设 到平面 的距离为，利用等体积法， 因为， 到平面的距离就是正方体的棱长2， 所以. 又，，则 所以， 解得 即 到平面 的距离为 ，故选项 D 错误. 11．如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（   ） A．平面 B．为等边三角形 C．平面 D．圆锥的侧面积为 【答案】ABD 【分析】先由圆锥的性质和几何关系，利用中位线定理判断线面平行，结合母线长与余弦定理判断三角形形状，再通过圆锥侧面积公式直接计算；对于选项C，采用反证法，假设线面垂直推出线线垂直，再通过计算三角形边长验证矛盾，从而判定该选项错误。 【详解】 对于A，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， ， 所以，所以为等边三角形，B正确； 对于C，连接，假设平面， 因为平面，平面，所以 在中，，，， 所以，所以为等腰三角形， 故与不垂直， 这与矛盾，因此假设不成立，C错误； 对于D，根据圆锥侧面积公式，所以圆锥的侧面积为，D正确． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．与垂直的单位向量的坐标是_____． 【答案】或 【详解】设与垂直的单位向量为， 所以，即， ，即， 联立，解得，， 所以与垂直的单位向量的坐标是或． 13．已知角的终边与单位圆的交点分别为，等腰△的顶角为的正弦值为______. 【答案】 【详解】由单位圆上点的坐标与三角函数的关系可得： ， 因为，所以等腰的顶角为与的夹角，即，且， 根据两角差的余弦公式得，，故， 由同角三角函数基本关系： . 14．已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面内对应的点不可能位于第_________象限. 【答案】四 【分析】先求出对应的点的坐标，再分的不同取值范围分析横、纵坐标的符号，判断点可能所在象限. 【详解】设（，），则，则， 在复平面内对应的点为. 当时，位于第三象限， 当时，位于第二象限， 当时，位于第一象限， 当时，位于坐标轴上. 综上，不可能位于第四象限. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．已知，，，. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系及两角差的余弦公式计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系及两角差的正切公式计算即可得. 【详解】（1）由，则， 则， 则 ； （2）由，， 则， 则， ， 又，故. 16．已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）先利用余弦定理和三角形的面积公式求出，再根据即可得出结论； （2）先利用余弦定理求出，再根据四边形的面积结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由余弦定理、三角形面积公式及， 得：， 所以，即. 又因为，所以， 因为，所以或， 因为，所以，所以舍去， 所以有，即， 所以是等边三角形； （2）如图，在中，由余弦定理得， 记四边形的面积为， 则 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 即四边形的面积的取值范围是． 17．如图，在空间几何体中，底面满足，点为线段上靠近点的三等分点，点、为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若平面经过点、、三点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值． 【答案】(1)连接，由点为线段上靠近点的三等分点，得， 由为线段的中点，得，由，得， 而，则，四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面， 又点为线段的中点，则，同理平面， 而平面，则平面平面，又平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行 判定性质推理得证. （2）利用面面平行的性质确定点位置并作出此点，再利用平行线分线段成比例定理求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面平面，而平面平面，平面平面， 则，，所以点是线段上靠近点的三等分点，如图. 18．如图，现有一几何体由上､下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，. (1)若，求该几何体的体积与表面积； (2)若，正四棱锥的侧棱长为6，且分别是线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1)体积为312，表面积为 (2) 【分析】（1）应用棱锥、棱柱的体积公式求几何体的体积，过点作，垂足为，再求出各侧面的面积后可求出表面积； （2）将侧面和侧面展开，从而确定最小值为展开图中三点共线时最小值，再根据已知、解三角形及三角恒等变换求出相关线段的长及最小值，即可得. 【详解】（1）由题意得，正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以该几何体的体积为. 过点作，垂足为，则， 则正四棱锥的侧面积， 正四棱柱的侧面积， 正四棱柱的下底面的面积， 所以该几何体的表面积为. （2）如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值， 即展开图中点到线段的距离. 由题可知. 连接，则， 所以. 过点作于，则. 记， 则， ， 所以 ， 所以为锐角， 因为，故，故为锐角，所以为锐角， 故在上的投影在之间， 又， 所以. 即的最小值为. 19．某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【答案】(1)30人 (2)①3人，2人，1人；② 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出身高在区间的频率。进而根据总人数，求出这一区间的学生人数； （2）根据分层抽样的概念和方法，分别求出这三组的人数，根据比例求出各组抽取的人数，再根据古典概率公式，求出事件的概率； 【详解】（1）设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． （2）①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ，，，，， ，，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末重难点检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 2．若，且，则（    ） A． B．或 C． D． 3．若锐角的面积为，且，，则外接圆的半径是（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则（     ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 6．在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 10．如图，在棱长为2的正方体中，E为上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（     ） A．平面 B．当E为中点时，平面平面 C．直线与平面所成的角的余弦值的最大值为 D．点E到平面的距离为 11．如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（   ） A．平面 B．为等边三角形 C．平面 D．圆锥的侧面积为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．与垂直的单位向量的坐标是_____． 13．已知角的终边与单位圆的交点分别为，等腰△的顶角为的正弦值为______. 14．已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面内对应的点不可能位于第_________象限. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．已知，，，. (1)求； (2)求的值. 16．已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 17．如图，在空间几何体中，底面满足，点为线段上靠近点的三等分点，点、为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若平面经过点、、三点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值． 18．如图，现有一几何体由上､下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，. (1)若，求该几何体的体积与表面积； (2)若，正四棱锥的侧棱长为6，且分别是线段上的动点，求的最小值. 19．某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $