专题15.2 互斥事件和独立事件重难点题型专训（1个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

**基本信息** 以“概念-模型-应用”为逻辑主线，覆盖随机事件核心知识点与7类典型题型，通过典例与分层训练构建完整认知体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个（事件/古典概型）|基础概念辨析与即时应用|从事件分类（随机/必然/不可能）到古典概型（有限性/等可能性），构建概率计算基础| |7大题型|每题型含典例+多题训练|覆盖样本空间构建、频率估计概率、古典概型及有放回/无放回计算|按“现象识别-空间描述-概率计算-情境应用”递进，强化概念到解题的转化| |拓展训练|1个综合模块|复杂情境下概率综合应用|整合事件与古典概型知识，提升实际问题建模与推理能力，体现数学思维与数据意识|

专题15.1 随机事件重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 随机现象 题型二 写出样本空间 题型三 确定性事件与随机事件的概率 题型四 计算频率 题型五 用频率估计概率 题型六 计算古典概型问题的概率 题型七 有放回与无放回问题的概率 拓展训练一 随机事件的概率 知识点一： 事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【即时训练】 1．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】根据随机事件的概念判断. 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 2．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①集合为空集是必然事件； ②是奇函数，则是随机事件； ③若，则是必然事件； ④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题是____________． 【答案】①②③④ 【分析】由随机事件、不可能事件及必然事件的概念逐一核对四个命题得答案． 【详解】恒成立，∴①正确； 对于奇函数，若其定义域含0（如），则； 若其定义域不含0（如），则不成立，故该事件为随机事件，∴②正确； 由对数函数定义域可知，成立的前提是，即. 故若事件发生，则事件必然发生，∴③正确； ∵对顶角相等，∴对顶角不相等是不可能事件，∴④正确． 故答案为：①②③④ 知识点二： 古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 2．（2026·广东汕头·模拟预测）抽奖箱中共6个球，这6个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标有数字1，2，3，4，5，6中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则两个球之间的数字标号互质的概率为_______________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】随机抽出两个球的样本空间，共15个， 两个球之间的数字标号互质的事件，共11个， 所以两个球之间的数字标号互质的概率为. 故答案为： 【经典例题一 随机现象】 【例1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【分析】根据现象的分类逐项分析判断. 【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字． (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出样本空间； （2）在（1）的基础上得到相应的样本空间. 【详解】（1）这个随机试验的样本空间为. （2）“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间为. 1．（2025高一下·全国·专题练习）下列方法不能产生随机数的是（    ） A．抛掷质地均匀的骰子 B．抛掷质地均匀的硬币 C．计算器 D．抛掷正方体，各面数字是1，2，3，3，4，5 【答案】D 【分析】由随机数的定义即可逐一判断每个选项. 【详解】ABC选项中的方法都可以产生随机数，且产生随机数的概率是等可能的， 选项D中，出现数字3与出现其他数字不是等可能的. 故选：D． 2．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）(多选题)以下现象不是随机现象的是（    ） A．在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现 B．明天下雨 C．同种电荷相互排斥 D．平面四边形的内角和是360° 【答案】CD 【分析】根据随机现象的概念即可做出判断. 【详解】根据随机现象的概念可知，A、B是随机现象，C、D是确定性现象，故选CD. 【点睛】本题考查随机现象的概念，关键是区分随机现象，必然现象和不可能现象，属基础题. 3．（25-26高二上·上海普陀·期末）以下论述，描述正确的为__________.（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的： ②概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小： ③随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的. 【答案】② 【分析】根据随机现象的性质即可逐一求解. 【详解】对于①：随机现象是可以重复的，比如抛一枚硬币多次，可以重复出现正面朝上，故①错误； 对于②：概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，故②正确； 对于③：比如抛一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故③错误. 故答案为：② 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知关于的方程，当时，“该方程有实数解”是随机现象，求的范围． 【答案】． 【分析】先分类讨论得到有实数解时，的取值范围，结合“该方程有实数解”是随机现象即可得到答案 【详解】解： 当时，原方程变成解得，故满足“该方程有实数解”； 当时，要使有实数解， 则，解得，则且； 故要使有实数解，， 当时，“该方程有实数解”是随机现象， 则与的交集不是空集，且后者不是前者的子集， 所以的范围． 【经典例题二 写出样本空间】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列举法求出样本点个数. 【详解】一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个，由方程有实数根，得， 样本点中满足此条件的有， ，共19个. 故选：B． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）一个口袋内装有除颜色外完全相同的个球，其中个白球，个黑球，从中一次摸出个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“个球都是白球”这一事件的集合表示 【答案】(1)个 (2)分别记白球为、、号，黑球为、号，则答案为. 【分析】（1）分别记白球为、、号，黑球为、号，利用列举法列举出这个试验的样本点，即可得出结果； （2）利用列举法可得结果. 【详解】（1）分别记白球为、、号，黑球为、号， 则这个试验的样本点为、、、、、、、、 、，共个. （2）记表示“个球都是白球”这一事件，则． 1．（24-25高二下·河南郑州·期中）用2，3，4中的任意一个数作分子，4，6，8中的任意一个数作分母，则可构成不同的分数个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】把分数列举出来，即得答案. 【详解】当分子为时，可构成分数为， 当分子为时, 可构成分数为， 当分子为时，可构成分数为， 综上，可构成不同分数为，共7个， 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，则（   ） A．表示的基本事件是“甲是1点，乙是0点”或“甲是0点，乙是1点” B．表示的基本事件是“两颗都是1点” C．表示的基本事件是“甲是2点，乙是1点”或“甲是1点，乙是2点” D．表示的基本事件是“甲是3点，乙是1点”或“甲是1点，乙是3点”或“两颗都是2点” 【答案】BCD 【详解】骰子没有0点，故A错误；易知B，C，D正确． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 【答案】C 【分析】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，列出基本事件即可. 【详解】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，其样本空间（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） 事件有两个样本点，（正，反）（反，正）， 事件只有1个样本点，（正，正）； 事件有3个样本点（正，正），（正，反），（反，正）． 故答案为：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）试验E：甲、乙两人玩出拳游戏（锤子、剪刀、布），观察甲、乙出拳的情况．设事件A表示随机事件“甲乙平局”；事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；事件C表示随机事件“乙不输”．试用集合表示事件A，B，C． 【答案】，， 【分析】设锤子为，剪刀为，布为，通过列举即可解题. 【详解】设锤子为，剪刀为，布为，用表示游戏的结果，其中表示甲出的拳，表示乙出的拳， 则样本空间． 因为事件表示随机事件“甲乙平局”，则满足要求的样本点共有3个：，，， 所以事件， 事件表示“甲赢得游戏”， 则满足要求的样本点共有3个：，，， 所以事件． 因为事件表示“乙不输”， 则满足要求的样本点共有6个：，，，，，， 所以事件． 【经典例题三 确定性事件与随机事件的概率】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【答案】D 【分析】根据确定性事件和随机事件的定义判断. 【详解】选项A，C是不可能事件，它们的概率都是0，正确． 选项B是必然事件，概率是1，正确． 选项D不是必然事件，概率不是1，D错误． 故选：D. 【例2】（25-26高一·湖南·课后作业）班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生． (1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围； (2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据必然事件的定义得解； （2）根据随机事件的定义得解. 【详解】（1）解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件， 所以. （2）解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件， 所以，. 1．（24-25高二上·新疆·期中）下列说法正确的是 A．袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 【答案】D 【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可. 【详解】A选项，袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，是红球的概率是，故本项错误； B选项, 天气预报“明天降水概率”，是指明天有的概率会下雨，故本选项错误；C选项，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，可能会中奖，故本选项错误；D选项，连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确.故选D. 【点睛】本题主要考查了概率的意义，属于中档题. 2．（2025·浙江·二模）（多选）已知为实验的样本空间，随机事件，则（    ） A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且 C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件 【答案】ABD 【分析】根据必然事件和不可能事件的定义，再结合样本空间为有限和无限的情况，判断选项. 【详解】A.当为必然事件，且，故A正确； B. 为不可能事件，且，故B正确； C. 若，则不一定为必然事件，若样本空间是区间，但质点落在区间的概率也是1，此时不是必然事件，故C错误； D. 若，则不一定为不可能事件，若样本空间是区间，但质点落在处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确. 故选：ABD 3．（24-25高二上·湖北黄冈·期末）某同学利用假期参加志愿者服务，现有，，，四个不同的地点，每天选择其中一个地点，且每天都从昨天未选择的地点中等可能地随机选择一个，设第一天选择地点参加志愿者服务，则第四天也选择地点的概率是______，记第天（）选择地点的概率为，试写出当时，与的关系式为______. 【答案】 【解析】根据条件可得第四天选择A地点的概率;结合条件类推可得与的关系式. 【详解】解:第一天选择A地点,则第二天选择A地点的概率, 第三天选择A地点的概率, 所以第四天选择A地点的概率. 当第n天选择A地点的概率为, 则当时,与的关系式为. 故答案为:;. 【点睛】本题考查了等可能事件的概率,属中档题. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序. （1）写出这个试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件：“A在两侧”；“B，C两人相邻”. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【分析】（1）根据树状图写出样本空间；（2）参照（1）中得到的总的样本空间，找出符合事件的样本点，得到相应的样本空间。 【详解】解：（1）该试验的样本点用树状图表示，如图所示：    所以样本空间可表示为 . （2） ； . 【经典例题四 计算频率】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（    ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 【答案】B 【分析】根据题意结合频率公式计算可得. 【详解】由题可知，样本在内的频率应为. 故选：B. 【例2】（25-26高一·全国·随堂练习）统计26个英文字母使用的频率： (1)每位同学随机翻开一本英文书的两页，统计26个英文字母使用的频率； (2)汇总全班同学的数据，统计26个英文字母出现的频率． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据题意，结合频率的统计方法，以及频率的计算方法，即可求解. 【详解】（1）解：每位同学随机打开一本英文书的两页，统计出26个字母的个数， 以及两页书的字母总数，结合，即可求得26个英文字母的使用频率. （2）解：根据题意，统计得出全部同学统计得到的26个字母的个数， 以及英文书的字母总数，结合，即可求解使用频率. 1．（2026高一·全国·课后作业）从标有数字1，2，6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由标有1的号签出现4次，可知另外6次应抽到标有2，6的号签，所以乘积12出现6次，由此即可求出答案. 【详解】标有1的号签出现4次，另外6次应抽到标有2,6的号签， 所以乘积12出现6次，频率为. 故选：B. 2．（2025·全国·模拟预测）（多选）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班的学生人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数 【答案】AB 【分析】由题目表格中的数据，逐一判断选项，可得答案. 【详解】选项A：显然（2）班学生的数学成绩的优秀率最高，故A正确； 选项B：只根据优秀率的大小，无法比较每个班人数的多少，故B正确； 选项C：该年级全体学生数学成绩的优秀率为全年级数学成绩优秀的学生人数与全年级学生总人数之比， 由于各班的学生人数不知道，所以不能计算该年级全体学生数学成绩的优秀率，故C错误； 选项D：设（1）班、（2）班数学成绩优秀的人数分别为x，y，（1）班、（2）班人数分别为a，b， 则，，得，，又（1）班和（2）班放在一起统计的优秀率为83%， 即，即，即，得，则，故D错误． 故选:AB. 3．（24-25高一下·湖南湘西·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有___人. 【答案】6720 【分析】先求得样本持反对态度的频率，进而可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数. 【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为， 则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有（人）. 故答案为：6720 4．（24-25高三上·广东广州·期中）假如你的公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元，在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费，现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表： 维修次数 8 9 10 11 12 频数 10 20 30 30 10 记表示1台机器在三年使用期内的维修次数，表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数. （1）若，求与的函数解析式. （2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求的值. （3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？ 【答案】（1）， （2）n的最小值为11 （3）应购买10次维修服务 【分析】（1）根据题意，用分段函数表示y与x的函数关系； （2）分析“维修次数不大于10”， “维修次数不大于11”的频率即得解； （3）分别求出每台购买10次和11次的维修服务所需费用的平均值，比较它们的大小即可. 【详解】（1）根据题意， 即， （2）因为“维修次数不大于10”的频率 “维修次数不大于11”的频率 所以若要求“维修次数不大于n”的概率不小于0.8，则n的最小值为11. （3）若每台都购买10次维修服务，则有下表： 维修次数x 8 9 10 11 12 频数 10 20 30 30 10 费用y 2400 2450 2500 3000 3500 此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为： （元） 若每台都购买11次维修服务，则有下表： 维修次数x 8 9 10 11 12 频数 10 20 30 30 10 费用y 2600 2650 2700 2750 3250 此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为： （元） 因为，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务. 【经典例题五 用频率估计概率】 【例1】（25-26高二上·海南·阶段检测）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出三天中恰有两天下雨的所有情况，利用频率估计概率即可. 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表． 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 发芽的频率 (1)请完成上述表格（保留三位小数）； (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 【答案】(1)表格见解析 (2)0.900 【分析】（1）利用频率计算方法分别求解，然后填入表格即可； （2）结合频率与概率的关系，利用概率的定义求解即可. 【详解】（1）表格中的数据从左向右分别为，，，， ，，，，， 故填入题表中的数据依次为1.000，0.800，0.900，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903． 填表如下： 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 发芽的频率 1.000 0.800 0.900 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 （2）观察表格中发芽频率的数据，随着试验次数的增加，发芽频率在0.900附近波动， 所以由（1）估计该油菜籽发芽的概率约为0.900． 1．（25-26高二上·上海黄浦·阶段检测）独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（    ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【答案】B 【分析】对于①，举反例可判断①的正误；对于②，利用频率与概率的关系可判断②正误，即可得出结论. 【详解】对于①，比如定义随机试验：从个红球中任意抽取个球， 定义随机事件三个球中有一个白球，则，且，①错； 对于②，频率会随着试验的变化而变化，是一个变化的值，但随着试验次数的增加，频率会接近于概率， 因此，不可能只含有两个元素，②对. 故选：B. 2．（2024高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法中正确的有（　　） A．任何事件发生的概率总是在[0，1]之间 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】AD 【分析】由频率和概率的有关概念即可得出答案. 【详解】对于A，任何事件的概率总是在[0，1]之间，其中必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A正确； 对于B，概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关， 而事件的结果是随机的，在试验前不能确定，故B错误； 对于C，只有通过试验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的， 一般来说，当试验的次数不同，频率是不同的，它与试验次数有关，故C错误； 对于D，由频率的性质可知，随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故D正确； 综上所述，正确的有A、D， 故选：AD. 3．（24-25高二下·山东滨州·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________． 【答案】/0.1 【分析】设该校有a名同学，根据已知条件，求出每天玩手机不超过的学生的人数及其中近视的人数，再利用频率估计概率即可得答案． 【详解】解：设该校有a名同学，则约有0.3a的学生近视，约有0.4a的学生每天玩手机超过， 且每天玩手机超过2的学生中近视的有的学生， 所以有0.6a的学生每天玩手机不超过2且其中有的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为． 故答案为：． 4．（2026·吉林白城·模拟预测）企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依法纳税叫做逃税，是一种违法行为．某地区有2万家企业，政府部门抽取部分企业统计其去年的收入，得到下面的频率分布表．根据当地政策综合测算，企业应缴的税额约为收入的5%，而去年该地区企业实际缴税的总额为291亿元． 收入（千万元） 频率 0.3 0.5 0.12 0.06 0.02 （1）估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量； （2）估计该地区企业去年的平均收入，并以此估计该地区逃税的企业数量； 注：每组数据以区间中点值为代表，假设逃税的企业缴税额为0，未逃税的企业都足额缴税． 【答案】（1）4000；（2）（亿元），600. 【分析】（1）先根据表格计算收入大于等于4千万元的频率，再计算企业的数量即可； （2）利用平均数的计算公式求出该企业去年的平均收入，先计算未逃税的企业数量，从而求出该地区逃税的企业数量. 【详解】（1）去年收入大于等于4千万元的频率为， 所以估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量为． （2）该地区企业去年的平均收入的估计值为（千万元）． 平均缴税额为（千万元）（亿元）， 所以未逃税的企业数量为， 因此逃税的企业数量为． 【经典例题六 计算古典概型问题的概率】 【例1】（25-26高二下·吉林长春·期中）某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（   ） A．0.6 B．0.3 C．0.1 D．0.05 【答案】C 【详解】男生编号，女生编号， 则随机抽两人有 ，共种， 其中抽取的两人都为女生有， 则抽取的两人都为女生的概率是. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）同时抛掷两枚相同的骰子（每个面上分别刻有1~6个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准），试计算出现点数和为6或7的概率为多少？ 【答案】 【分析】解法一采用列表法，结合古典概型的概率公式和加法公式求解即可；解法二采用枚举法，结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由于每个面向上的概率相等且试验结果有限可数，故该概型属于古典概型. 解法一： 由于“出现点数的和为6”与“出现点数的和为7”两个事件互斥，所以可利用互斥事件的和事件的概率加法公式.为了简单明了，可认为两只骰子是编号为1号、2号的不同的骰子，同时抛掷，如表所示，则可能出现的基本事件有36种. 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 设出现点数和为6的事件为事件，出现点数和为6的情况有，，，，，共5种. 设出现点数和为7的事件为事件，出现点数和为7的情况有，，，，，，共6种， 即出现点数和为6或7的概率为. 解法二： 将“出现点数和为6或7”看成单一的事件，则由于基本事件，，，…，共36种. 其中事件包含的事件有，，，，，，，，，，共11种. 故. 1．（2026·山西吕梁·二模）某快递分拣中心待处理的5件包裹中，3件为“普通件”，2件为“优先件”.分拣员按随机顺序不放回逐一扫描分拣，若未分拣的“优先件”数量不少于“普通件”数量，则系统自动暂停当前批次处理.记为暂停时已完成分拣的包裹数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析时包裹的分拣情况，使用古典概型概率公式求解. 【详解】当时，只有一种情况，即分拣了1件“普通件”，此时未分拣的“普通件”与“优先件”均为2件，； 当时，第一件分拣的包裹必为“优先件”，第二件无论是“普通件”还是“优先件”，都不可能暂停处理； 当时，只有一种情况，即第一件分拣的包裹为“优先件”，第二件和第三件包裹均为“普通件”， ； 当时，第一件分拣的包裹必为“优先件”，若第二件是“普通件”则第三件为“优先件”第四件为“普通件”，此时分拣不可能暂停处理，若第二件是“优先件”则第三件是“普通件”第四件是“普通件”，此时分拣不可能暂停，故. 所以. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲去云台山的概率为 B．甲、乙两人都去云台山的概率为 C．甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为 D．甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为 【答案】AC 【分析】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为，写出样本空间，计数后计算概率判断各选项． 【详解】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为， 依题意可知样本空间为： ， 共含有16个样本点. 甲去云台山的情况为， 样本点有4个，概率为，故A正确； 甲、乙两人都去云台山的情况为， 样本点有1个，概率为，故B错误； 甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为， 样本点有6个，概率为，故C正确； 甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为， 样本点有7个，概率为，故D错误. 故选：AC． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》．若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率是_________． 【答案】/ 【分析】先求出样本空间的样本数和恰好2人都选修了《数学史》的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》， 记选修了《数学史》的3人为，其余的2人为， 从5人中选取人有：，共有10种情况， 恰好2人都选修了《数学史》的有，共3种情况， 所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·四川达州·期末）某市2024年5月举办了“用普通话讲好中国故事”的活动，有20名选手进入决赛，他们的决赛得分（单位：分，满分100分）情况如下表： 得分 频数 2 7 8 3 (1)同组数据由该组区间中点值代替，求这20名选手决赛的平均成绩； (2)从决赛得分在上和在上的选手中随机抽取2人，求至少一个人得分不低于90分的概率. 【答案】(1)81 (2) 【分析】（1）根据频数表，直接计算平均成绩即可； （2）设决赛得分在上的两人分别为，得分在上的三人分别为，，再列出所有情况，根据古典概型求概率即可． 【详解】（1）解：由表可得（分）. （2）由题可知，决赛得分在上有2人，得分在上的有3人， 设决赛得分在上的两人分别为，得分在上的三人分别为，， 则从得分在这两区间的选手中随机抽取2人， 所有可能结果为，，共10个样本点， 其中只有一个结果中两人得分都低于90分， 设“两人中至少一个得分不低于90分”， 则. 所以至少一个人得分不低于90分的概率为． 【经典例题七 有放回与无放回问题的概率】 【例1】（24-25高二上·广东茂名·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意设2个红球为，， 3个黄球为，，，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这2个球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】设2个红球为，，3个黄球为，，，从中有放回地依次随机摸出2个球， 样本空间为：， ，则， 设事件为“这2个球同色”， 则，则， 由古典概率公式，可得. 故选：D 【例2】（24-25高二上·河南信阳·期中）从三名男生（记为，，）、两名女生（记为，）中任意选取两人. (1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率； (2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率. 【答案】(1)样本空间见解析， (2)样本空间见解析，. 【分析】根据题意用数组表示样本点，写出样本空间，利用古典概型计算公式求解概率； 【详解】（1）样本空间， 记抽到两人都是男生的事件为A，事件A包含的基本事件有: 共9个， 则. （2）样本空间， 记抽到至少有一名女生的事件为B，事件B包含的基本事件有： ，共7个，则. 1．（24-25高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（多选）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式分别求得三个方案选到2号球的概率，从而得解. 【详解】方案一：易得“选到2号球”的概率； 方案二：先后有放回的摸出两个球的基本事件有，共件， 其中“选到2号球”的基本事件有，共件， 所以“选到2号球”的概率为； 方案三：同时摸出两个球的基本事件有，共3件， 其中“选到2号球”的基本事件有，共1件， 所以“选到2号球”的概率为； 所以，故AB错误，CD正确. 故选：CD. 3．（24-25高一下·福建厦门·阶段检测）小红和小丽是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，于是小红对小丽说：“你从装有形状、大小均相同的2个红球，2个白球的袋子中依次不放回抽出两个球，如果两个球的颜色相同，你就去；如果颜色不同，我就去.”这个游戏______.（选填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】根据古典概型知识计算小红和小丽去的概率，然后对比概率值是否相等即可. 【详解】从装有形状、大小均相同的2个红球，2个白球的袋子中依次不放回抽出两个球的颜色相同的概率是 ，所以小丽去的概率为. 所以颜色不同的概率是： .所以小红去的概率为. 由于，所以这个游戏不公平. 故答案为：不公平. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求： (1)取到的两个球都是白球的概率； (2)取到的两个球颜色相同的概率； (3)取到的两个球至少有一个是白球的概率． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据题意列出试验的样本空间，利用古典概率模型概率计算公式进行计算即可. 【详解】（1）由前面的分析可知试验的样本空间， 共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率． 设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则， 共含有6个样本点，所以，即取到的两个球都是白球的概率为； （2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则， 共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为； （3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”， 则， 共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为. 【拓展训练一 随机事件的概率】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 【答案】C 【分析】根据不可能事件的概念判断即可. 【详解】从10个数字中任取3个数字， 这3个数字的和大于或等于6， 小于5的情况不可能发生， 故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件． 故选：C 【例2】（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可； （2）放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 （2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. 1．（25-26高二上·海南·阶段检测）某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两种情况下的样本空间和相应情况下“第二次才能打开门”事件的样本空间，再结合古典概型的概率公式求出，即可求解. 【详解】将能打开门的两把钥匙记为和，不能打开门的两把钥匙记为和， 记事件“第二次才能打开门”，表示开门两次事件的样本点，和表示第一次和第二次取到的钥匙记号， 则将不能开门的钥匙立即扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共12个样本点， 则共4个样本点， 所以如果将不能开门的钥匙立即扔掉，第二次才能打开门的概率为. 如果试过的钥匙不扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共16个样本点， 则共4个样本点， 所以如果试过的钥匙不扔掉，第二次才能打开门的概率为， 则. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】根据②为不可能事件，可知男生人数少于5人，结合③为随机事件可知男生人数不少于3人，即可得出结果. 【详解】依题意知②为不可能事件，所以10名同学中，男生人数少于5人， ③为随机事件，所以男生人数不少于3人， 男生有名，故或． 故选：CD 3．（24-25高一上·甘肃武威·开学考试）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】15 【分析】根据频率与概率的关系得出概率，再据此即可列式求红球的个数. 【详解】设盒子中红球的个数为， 由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25， 则， 解得， 即盒子中红球个数大约15个. 故答案为：15 4．（25-26高三上·上海·期中）一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求出古典概率； （2）利用有放回抽取的概率求出的表达式，再利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】（1）设2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间， 共20种， 设第一次和第二次都取到白球为事件，则共6种， 所以； （2）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为， 先取白球再取红球的概率为；先取红球再取白球的概率为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以 的最大值为. 1．（2025·广东梅州·模拟预测）2021年起，我省将实行“3+1+2”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 【答案】D 【分析】先求出100位样本中选考生物没有选考化学的学生共有位，根据已知选考化学且选考生物的学生共有20位，得到选考生物的学生有位，计算比值估计选考生物的总体人数. 【详解】因为选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位， 所以选考生物没有选考化学的学生共有位， 又选考化学且选考生物的学生共有20位， 所以选考生物的学生有位 所以在100位学生中选考生物的占比为 ， 该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为人 故选：D 2．（25-26高三·全国·一轮复习）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（   ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有6个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 【答案】C 【详解】解析  样本空间中有11个样本点，故A错；事件中有5个样本点，故B错；样本点中没有11，故D错．故选C． 3．（24-25高一下·黑龙江·期末）下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 【答案】B 【分析】由必然事件的定义可判断A错；由随机事件可能性可知B正确C错误；由古典概型概率公式可得其概率是，D错. 【详解】对于A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，所以A错； 对于B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，所以B正确； 对于C.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票不一定会中奖，所以C错； 对于D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，共有36种可能， 其中能被2整除的可能是两个数同时为奇数或同时为偶数，共有18种可能， 所以点数和是2的倍数的概率是，所以D错； 故选：B 4．（2026·山西晋城·三模）某中学一个数学课外兴趣小组经常在周末利用AI技术构建现实生活中的数学模型，对学过的各章节知识进行复习．若该兴趣小组构建了一个神经网络方面的损失函数模型，并随机取a，b的数据如下表，则为整数的概率为（    ） 的数据取值为 6，8，9 b的数据取值为 12，13，14，15，18 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式，结合分类讨论思想求解即可. 【详解】因为为整数， 所以当时，可取12，13，14，15，18； 当时，可取12，15，18； 当时，可取12，14，18； 所以为整数的概率为． 5．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每种方式下取球成功的概率，比较即可得出结论. 【详解】设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 方式①：有放回依次抽取两球，那么每次抽球都有6种可能，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、红3），（红3、绿3），（绿3、红3），（绿3、绿3），共12个. 所以； 方式②：不放回依次抽取两球，那么第一次有 6 种，第二次有 5 种，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、绿3），（绿3、红3），共10个. 所以； 方式③：按颜色等比例分层抽取两球，那么第一次从红球中抽一个（3 种），第二次从绿球中抽一个（3 种），顺序可能固定为红→绿，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、绿3），（红3、绿2），（红3、绿3），共3个，所以； 所以. 故选：D. 6．（24-25高一下·内蒙古通辽·期末）（多选）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 【答案】CD 【分析】运用必然事件的概念判断即可. 【详解】A为随机事件，B为不可能事件，C，D为必然事件． 故选:CD 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（   ） A．如果一事件发生的概率为0，说明此事件不可能发生 B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件 C．概率的大小与不确定事件有关 D．如果一事件发生的概率为99.999%，说明此事件必然发生 【答案】ABD 【详解】对于A当样本空间是区间时，质点落在处的概率为0，但不意味着这个事件是不可能发生的，因为随机变量取值是连续的，所以几乎任何地方都有极小的可能发生，故A错误；对于B，C，如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件或随机事件，所以B错误，C正确；对于D，如果一事件发生的概率为99.999%，不能说明此事件必然发生，因为它不是必然事件，所以D错误． 8．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）（多选）给出下列四个命题错误的是（   ） A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 【答案】ABC 【分析】根据频率和概率的区别与联系，逐一分析选项即可. 【详解】对A，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的，故A错误； 对B，是频率不是概率，B错误； 对C，当试验次数逐渐增加时，随机事件发生的频率会逐渐趋近于概率，但频率不一定等于概率，C错误； 对D，随机事件发生的频率等于发生的频数除以试验次数，D正确. 故选：ABC 9．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）随机地排列数字1，2，6得到一个三位数，则（    ） A．可以排成6个不同的三位数 B．所得的三位数是奇数的概率为 C．所得的三位数是偶数的概率为 D．所得的三位数大于400的概率为 【答案】AC 【分析】利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果． 【详解】随机地排列数字1，2，6可以得到的三位数有：126，162，216，261，612，621，共6个，故A正确； 其中奇数有：261，621，共2个，所以所得的三位数是奇数的概率为，故B不正确； 其中偶数有：4个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C正确； 其中大于400的有：2个，所以所得的三位数大于400的概率为，故D不正确． 故选：AC 10．（24-25高二上·山东青岛·期中）（多选）一个盒子装有标号的5张标签，则（    ） A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为 B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为 D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 【答案】AD 【分析】根据题意，利用古典摡型的概率计算公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，有放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中标号相等的取法有种，所以概率为，所以A正确； 对于B中，有放回的随机选取两张标签，，有种取法， 其中第一次标号大于第二次的取法有种，所以概率为，所以B不正确； 对于C中，无放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中标号之和为5的有种取法，所以概率为，所以C不正确； 对于D中，无放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中第一次标号大于第二次有种，所以概率为，所以D正确； 故选：AD. 11．（25-26高二上·上海浦东新·期末）某学校教学管理人员希望调查该校学生平均每天用于体锻的时间，他抽样调查了150名同学，发现他们每天的平均体锻时间是.请问，在前面这个情境中本次调查的总体是__________. 【答案】该校所有学生的平均每天用于体锻的时间 【分析】根据给定条件，利用样本、总体的意义判断即得. 【详解】因为调查对象的总体为该校所有学生的平均每天用于体锻的时间， 因此总体应是：该校所有学生的平均每天用于体锻的时间. 故答案为：该校所有学生的平均每天用于体锻的时间 12．（25-26高二下·海南·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________. 【答案】 【详解】根据题意得：两个骰子点数之和为10的样本点为：， 所以事件. 13．（25-26高一上·全国·课前预习）对于一个随机事件A，我们通常用一个数来表示该事件发生的______的大小，这个数就称为随机事件A的概率． 【答案】可能性 【分析】根据随机事件的概率的定义直接填空即可. 【详解】解：根据随机事件的概率的定义, 对于一个随机事件，我们通常用一个数来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件的概率. 故答案为：可能性 14．（24-25高二下·上海·期中）在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 【答案】3 【分析】利用频率估计概率进行分析即可求解. 【详解】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有3个. 故答案为：3. 15．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 【答案】 【分析】求得总的取法数及符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解. 【详解】由题知是有放回地取球，所以每次都有5种不同取法，总取法有种， 而这列数中恰有4个不相同的数的取法有种， 故这列数中恰有4个不相同的数的概率为． 16．（2025高一·全国·专题练习）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果记为. (1)写出这个试验的样本空间． (2)“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？ (3)“”这一事件包含哪几个基本事件？“”呢？ 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)； 【分析】（1）根据样本空间的定义求解即可； （2）根据基本事件的定义求解即可； （3）根据基本事件的定义求解即可. 【详解】（1）第一个转盘有4个数字，第二个转盘有4个数字， 因此样本空间为． （2）事件“”包含以下4个基本事件：. 事件“且”包含以下6个基本事件：． （3）事件“”包含以下3个基本事件：． 事件“”包含以下4个基本事件：． 17．（2025高一下·全国·专题练习）北京世园会为满足大家的游览需求，打造了4条路线，分别是“解密世园会”“爱我家，爱园艺”“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同． (1)李欣选择线路“园艺小清新之旅”的概率是多少？ (2)用画树状图的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合随机事件的概率的概念，即可求解； （2）记“解密世园会”为，“爱我家，爱园艺”为，“园艺小清新之旅”为，“快速车览之旅”为，则画树状图，得到基本事件的综上，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：在这4条线路中任选一条，每条线路被选中的可能性相同， 所以在这4条线路中，李欣选择线路“园艺小清新之旅”的概率是． （2）解：记“解密世园会”为，“爱我家，爱园艺”为，“园艺小清新之旅”为，“快速车览之旅”为，则画树状图，如图所示， 共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种， 所以李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为． 18．（25-26高二上·湖北·期中）国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表： 不满意 一般 满意 男性 15 20 女性 5 20 (1)请据此表数据，估计游客对景区的满意率； (2)若，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算满意的总人数，再利用频率公式计算满意率. （2）先确定的取值范围及对应的基本事件总数，再确定满足 “女性顾客不少于男性顾客” 的基本事件数，最后利用古典概型公式计算概率. 【详解】（1）根据题意，，， 所以游客对景区的满意率. （2）因为，，， 所以满意的顾客中，男性和女性的人数对所有可能为：，，，，，，共个数对， 其中的有：，共个数对， 所以满意的顾客中，女性顾客不少于男性顾客的概率. 19．（25-26高二上·上海金山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ，共12种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ，共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率． 20．（25-26高二上·山东·阶段检测）箱子中装有除颜色外完全相同的2个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，直到摸到三次绿球，则摸球结束. (1)若每次都是有放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率； (2)若每次都是不放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）恰好第4次结束意味着前3次中有一次摸到了红球，第4次必须摸到绿球； （2）前3次中恰好摸到1次红球，第4次摸到绿球，且总球数递减. 【详解】（1）每次都是有放回地摸球，则每次摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 恰好第4次摸球结束，则前3次中有一次摸到了红球， 所以恰好第4次摸球结束的概率为. （2）每次都是不放回地摸球，分三种情况： 第1次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为； 第2次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为； 第3次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为. 故若每次都是不放回地摸球，则恰好第4次摸球结束的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.1 随机事件重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 随机现象 题型二 写出样本空间 题型三 确定性事件与随机事件的概率 题型四 计算频率 题型五 用频率估计概率 题型六 计算古典概型问题的概率 题型七 有放回与无放回问题的概率 拓展训练一 随机事件的概率 知识点一： 事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【即时训练】 1．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 2．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①集合为空集是必然事件； ②是奇函数，则是随机事件； ③若，则是必然事件； ④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题是____________． 知识点二： 古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东汕头·模拟预测）抽奖箱中共6个球，这6个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标有数字1，2，3，4，5，6中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则两个球之间的数字标号互质的概率为_______________． 【经典例题一 随机现象】 【例1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字． (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间． 1．（2025高一下·全国·专题练习）下列方法不能产生随机数的是（    ） A．抛掷质地均匀的骰子 B．抛掷质地均匀的硬币 C．计算器 D．抛掷正方体，各面数字是1，2，3，3，4，5 2．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）(多选题)以下现象不是随机现象的是（    ） A．在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现 B．明天下雨 C．同种电荷相互排斥 D．平面四边形的内角和是360° 3．（25-26高二上·上海普陀·期末）以下论述，描述正确的为__________.（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的： ②概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小： ③随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知关于的方程，当时，“该方程有实数解”是随机现象，求的范围． 【经典例题二 写出样本空间】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）一个口袋内装有除颜色外完全相同的个球，其中个白球，个黑球，从中一次摸出个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“个球都是白球”这一事件的集合表示 1．（24-25高二下·河南郑州·期中）用2，3，4中的任意一个数作分子，4，6，8中的任意一个数作分母，则可构成不同的分数个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，则（   ） A．表示的基本事件是“甲是1点，乙是0点”或“甲是0点，乙是1点” B．表示的基本事件是“两颗都是1点” C．表示的基本事件是“甲是2点，乙是1点”或“甲是1点，乙是2点” D．表示的基本事件是“甲是3点，乙是1点”或“甲是1点，乙是3点”或“两颗都是2点” 3．（25-26高一下·全国·课后作业）先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 4．（2025高三·全国·专题练习）试验E：甲、乙两人玩出拳游戏（锤子、剪刀、布），观察甲、乙出拳的情况．设事件A表示随机事件“甲乙平局”；事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；事件C表示随机事件“乙不输”．试用集合表示事件A，B，C． 【经典例题三 确定性事件与随机事件的概率】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【例2】（25-26高一·湖南·课后作业）班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生． (1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围； (2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围． 1．（24-25高二上·新疆·期中）下列说法正确的是 A．袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 2．（2025·浙江·二模）（多选）已知为实验的样本空间，随机事件，则（    ） A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且 C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件 3．（24-25高二上·湖北黄冈·期末）某同学利用假期参加志愿者服务，现有，，，四个不同的地点，每天选择其中一个地点，且每天都从昨天未选择的地点中等可能地随机选择一个，设第一天选择地点参加志愿者服务，则第四天也选择地点的概率是______，记第天（）选择地点的概率为，试写出当时，与的关系式为______. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序. （1）写出这个试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件：“A在两侧”；“B，C两人相邻”. 【经典例题四 计算频率】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（    ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 【例2】（25-26高一·全国·随堂练习）统计26个英文字母使用的频率： (1)每位同学随机翻开一本英文书的两页，统计26个英文字母使用的频率； (2)汇总全班同学的数据，统计26个英文字母出现的频率． 1．（2026高一·全国·课后作业）从标有数字1，2，6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）（多选）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班的学生人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数 3．（24-25高一下·湖南湘西·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有___人. 4．（24-25高三上·广东广州·期中）假如你的公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元，在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费，现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表： 维修次数 8 9 10 11 12 频数 10 20 30 30 10 记表示1台机器在三年使用期内的维修次数，表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数. （1）若，求与的函数解析式. （2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求的值. （3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？ 【经典例题五 用频率估计概率】 【例1】（25-26高二上·海南·阶段检测）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表． 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 发芽的频率 (1)请完成上述表格（保留三位小数）； (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 1．（25-26高二上·上海黄浦·阶段检测）独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（    ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 2．（2024高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法中正确的有（　　） A．任何事件发生的概率总是在[0，1]之间 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 3．（24-25高二下·山东滨州·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________． 4．（2026·吉林白城·模拟预测）企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依法纳税叫做逃税，是一种违法行为．某地区有2万家企业，政府部门抽取部分企业统计其去年的收入，得到下面的频率分布表．根据当地政策综合测算，企业应缴的税额约为收入的5%，而去年该地区企业实际缴税的总额为291亿元． 收入（千万元） 频率 0.3 0.5 0.12 0.06 0.02 （1）估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量； （2）估计该地区企业去年的平均收入，并以此估计该地区逃税的企业数量； 注：每组数据以区间中点值为代表，假设逃税的企业缴税额为0，未逃税的企业都足额缴税． 【经典例题六 计算古典概型问题的概率】 【例1】（25-26高二下·吉林长春·期中）某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（   ） A．0.6 B．0.3 C．0.1 D．0.05 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）同时抛掷两枚相同的骰子（每个面上分别刻有1~6个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准），试计算出现点数和为6或7的概率为多少？ 1．（2026·山西吕梁·二模）某快递分拣中心待处理的5件包裹中，3件为“普通件”，2件为“优先件”.分拣员按随机顺序不放回逐一扫描分拣，若未分拣的“优先件”数量不少于“普通件”数量，则系统自动暂停当前批次处理.记为暂停时已完成分拣的包裹数，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲去云台山的概率为 B．甲、乙两人都去云台山的概率为 C．甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为 D．甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》．若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率是_________． 4．（24-25高一下·四川达州·期末）某市2024年5月举办了“用普通话讲好中国故事”的活动，有20名选手进入决赛，他们的决赛得分（单位：分，满分100分）情况如下表： 得分 频数 2 7 8 3 (1)同组数据由该组区间中点值代替，求这20名选手决赛的平均成绩； (2)从决赛得分在上和在上的选手中随机抽取2人，求至少一个人得分不低于90分的概率. 【经典例题七 有放回与无放回问题的概率】 【例1】（24-25高二上·广东茂名·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·河南信阳·期中）从三名男生（记为，，）、两名女生（记为，）中任意选取两人. (1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率； (2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率. 1．（24-25高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（多选）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建厦门·阶段检测）小红和小丽是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，于是小红对小丽说：“你从装有形状、大小均相同的2个红球，2个白球的袋子中依次不放回抽出两个球，如果两个球的颜色相同，你就去；如果颜色不同，我就去.”这个游戏______.（选填“公平”或“不公平”） 4．（24-25高一上·全国·课后作业）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求： (1)取到的两个球都是白球的概率； (2)取到的两个球颜色相同的概率； (3)取到的两个球至少有一个是白球的概率． 【拓展训练一 随机事件的概率】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 【例2】（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 1．（25-26高二上·海南·阶段检测）某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 3．（24-25高一上·甘肃武威·开学考试）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为______． 4．（25-26高三上·上海·期中）一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 1．（2025·广东梅州·模拟预测）2021年起，我省将实行“3+1+2”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 2．（25-26高三·全国·一轮复习）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（   ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有6个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 3．（24-25高一下·黑龙江·期末）下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 4．（2026·山西晋城·三模）某中学一个数学课外兴趣小组经常在周末利用AI技术构建现实生活中的数学模型，对学过的各章节知识进行复习．若该兴趣小组构建了一个神经网络方面的损失函数模型，并随机取a，b的数据如下表，则为整数的概率为（    ） 的数据取值为 6，8，9 b的数据取值为 12，13，14，15，18 A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·内蒙古通辽·期末）（多选）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（   ） A．如果一事件发生的概率为0，说明此事件不可能发生 B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件 C．概率的大小与不确定事件有关 D．如果一事件发生的概率为99.999%，说明此事件必然发生 8．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）（多选）给出下列四个命题错误的是（   ） A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 9．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）随机地排列数字1，2，6得到一个三位数，则（    ） A．可以排成6个不同的三位数 B．所得的三位数是奇数的概率为 C．所得的三位数是偶数的概率为 D．所得的三位数大于400的概率为 10．（24-25高二上·山东青岛·期中）（多选）一个盒子装有标号的5张标签，则（    ） A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为 B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为 D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 11．（25-26高二上·上海浦东新·期末）某学校教学管理人员希望调查该校学生平均每天用于体锻的时间，他抽样调查了150名同学，发现他们每天的平均体锻时间是.请问，在前面这个情境中本次调查的总体是__________. 12．（25-26高二下·海南·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________. 13．（25-26高一上·全国·课前预习）对于一个随机事件A，我们通常用一个数来表示该事件发生的______的大小，这个数就称为随机事件A的概率． 14．（24-25高二下·上海·期中）在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 15．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 16．（2025高一·全国·专题练习）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果记为. (1)写出这个试验的样本空间． (2)“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？ (3)“”这一事件包含哪几个基本事件？“”呢？ 17．（2025高一下·全国·专题练习）北京世园会为满足大家的游览需求，打造了4条路线，分别是“解密世园会”“爱我家，爱园艺”“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同． (1)李欣选择线路“园艺小清新之旅”的概率是多少？ (2)用画树状图的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 18．（25-26高二上·湖北·期中）国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表： 不满意 一般 满意 男性 15 20 女性 5 20 (1)请据此表数据，估计游客对景区的满意率； (2)若，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率. 19．（25-26高二上·上海金山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 20．（25-26高二上·山东·阶段检测）箱子中装有除颜色外完全相同的2个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，直到摸到三次绿球，则摸球结束. (1)若每次都是有放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率； (2)若每次都是不放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $