专题11.5 解三角形常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点专题提升精讲精练

专题11.5 解三角形常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 余弦定理解三角形 题型二 正弦定理解三角形 题型三 正弦定理求外接圆半径 题型四 三角形面积公式及其应用 题型五 几何图形中的计算 题型六 距离测量问题 题型七 高度测量问题 题型八 角度测量问题 【经典例题一 余弦定理解三角形】 【例1】．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理即可得解；（2）与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小. 【详解】（1）因为，为的中点，所以, 在中， ， 所以 （2）因为为的中点，所以， 又， 所以, 所以， ， 所以， 又与的夹角相等， 所以， 所以的余弦值为. 1．在平面四边形中，，. (1)求长度； (2)求. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由数量积的定义求出，即可得到为等边三角形，即可得解； （2）设，在中由余弦定理求出，再由及数量积的定义求出，即可得到为等腰直角三角形且，最后由余弦定理计算可得. 【详解】（1）由，， 所以，又，所以，所以为等边三角形， 所以，即的长度为. （2）设， 在中，由余弦定理知，， 即，所以， 由，解得或（舍去）， 所以，即为等腰直角三角形且，所以， 在中，由余弦定理知， ，所以， 2．如图，在四边形中，点为的中点，，且．    (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，在，由余弦定理可求得，在中，由勾股定理可求得，可求周长； （2）利用三角形的面积公式可求四边形的面积. 【详解】（1）因为， 所以是等边三角形，且，又， 所以． 又点为的中点，，所以． 在中，由余弦定理得得， 所以． 在中，由勾股定理可得，所以， 所以， 故四边形的周长为． （2）因为， 结合三角形的面积公式可得 ， 故四边形的面积为． 3．已知在中，，，，是内一点，求的最小值． 【答案】 【分析】由题意需使共线，结合余弦定理即可求解. 【详解】把图1中的绕点逆时针旋转至（如图2）， 则． 要使最小，必须使共线． 由于为正三角形，所以， 当时，共线，，如图3． 由，得， 且， 从而得的最小值为． 【经典例题二 正弦定理解三角形】 【例2】如图，在中，，，，P为内一点，且. (1)若，求的长； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，先求出，再在中，利用余弦定理求解即可； （2）设，则，，在中，利用正弦定理求出，再在中，求出，进而可得出答案. 【详解】（1）在中，，， 则，， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. （2）设，则，， 在中，因为， 所以， 在中，， 所以，即， 所以即. 1．中，，是内一点，． (1)若，求； (2)若是等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理求得，然后根据正弦定理求得. （2）在中和在中利用余弦定理，将和，然后根据余角列出等式，进而求得的腰，进而求得三角形面积. 【详解】（1）根据正弦定理得，，所以. 因为，所以，所以. 根据正弦定理得，所以. （2）因为是等腰直角三角形，所以设， 在中，根据余弦定理， 得，化简得. 在中，根据余弦定理， 得，化简得， 所以. 因为，所以， 化简得，解得或. 又，，所以. 所以. 2．如图，在边长为2的等边中，为内一点，. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理求得PC，再利用三角形的面积公式求解； （2）设，得到，，然后利用正弦定理及差角公式求解即得. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以； （2）在中，因为，， 则，设，则，， 在中，由正弦定理得，即， 即，即，则， 所以. 3．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)如图，若是边的中点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合化简等式得的值，代入目标分式化简求解； （2）由确定角，利用向量中点公式的平方形式建立方程求边，再用三角形面积公式计算面积. 【详解】（1）由及正弦定理，得． 又因为，则， 所以， 即． 又因为，则，即， 所以． （2）由（1）知，所以． 因为是的中点，所以． 则， 又，，则， 则，解得或（负值，舍去）． 所以． 【经典例题三 正弦定理求外接圆半径】 【例3】如图，在中，已知，是边上的一点，，，. (1)求及； (2)求的长； (3)求的外接圆的半径及周长. 【答案】(1)， (2) (3)半径为，周长为 【分析】（1）由余弦定理求出，即可求出，从而求出，即可求出； （2）由正弦定理计算可得； （3）由正弦定理求出外接圆的半径从而求出其周长. 【详解】（1）在中，由于，，， 由余弦定理， 又，所以，所以， 所以. （2）在中由正弦定理，即，解得． （3）设外接圆的半径为，则，所以， 所以外接圆的周长为. 1．如图，已知的半径为R，为其内接等边三角形，求的边长和的外接圆半径． 【答案】的边长为，的外接圆半径为. 【分析】运用正弦定理，结合圆的性质进行求解即可. 【详解】设等边三角形的边长为，的外接圆半径为， 由正弦定理可知：； 在中，由圆的性质可知：， 由正弦定理可知：， 所以的边长为，的外接圆半径为. 2．如图，、、、是圆上的四点. (1)若，，，求圆的半径； (2)若，且的面积是的面积的倍，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理得到，然后利用正弦定理求半径即可； （2）根据面积关系得到，然后结合余弦定理得到，最后根据圆的性质求即可. 【详解】（1） 在中， 由余弦定理得， 则.    设圆的半径为，则. （2）的面积， 的面积， 因为，所以， 如图，连接. 在中，设，则. 由余弦定理得，   则，则.    所以为直径，. 则. 3．在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解. （2）利用三角函数的平方关系与余弦定理求得所需要线段长，再利用正弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理 ，解得； 又，解得； 外接圆的半径为； （2）因为，为锐角， 则； 设，则， 在中，， 由余弦定理得，解得； 所以； 由正弦定理，即，解得； 所以， 即的面积为. 【经典例题四 三角形面积公式及其应用】 【例4】已知锐角三角形ABC所对的边分别为a、b、c，．    (1)求A； (2)若，H为的垂心，求的面积S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简等式，然后三角形三个内角和的关系及正弦的和差角公式化简等式，即可求得； （2）由垂心的性质得，设，，在中由余弦定理得到等式，由基本不等式求得的最大值，然后由三角形面积公式求得面积的最大值. 【详解】（1）由得， 又 故，又，故 又，故， （2）由垂心的性质得：， 设，，在中，， 即， ∴（当且仅当时等号成立） ∴    1．如图，在平面四边形ABCD中，. (1)证明：； (2)已知的外接圆半径为1. （i）若，求； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理和角的关系可证结论； （2）（i）利用正弦定理、余弦定理以及根与系数关系即可得到答案； （ii）利用三角形面积公式得到面积表达式，再求出的范围即可得到最值. 【详解】（1）设， 因为，所以． 在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得，， 所以． （2）（i）因为的外接圆半径为1，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得，． 即，① 在中，同理可得，② 由①②可知，是关于的方程的两根， 所以． 因为，即，所以． （ii）的面积， 由得，， 又，所以， 所以． 即面积的最大值为． 2．如图，在中，为的中点，且． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式可求. （2）在和中，分别利用余弦定理，即可求，进而可得. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 则， 即， 因为，所以， 所以，即． （2）不妨令，则，设，则． 在中，由余弦定理得， 即．① 在中，由余弦定理得，即．② ①②联立，解得， 所以． 3．如图，在凸四边形ABCD（凸四边形指没有内角度数大于的四边形）中，，． (1)若四点共圆，且，求AD； (2)若，求凸四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆的几何性质，结合余弦定理进行求解即可； （2）利用三角形面积公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）在中， 由余弦定理可知； 因为四点共圆，且， 所以由圆内接四边形的性质可知：， 因此在中， 由余弦定理可知， 解得：，或舍去； （2）在和中，， ， 所以， 设凸四边形ABCD面积为， 所以，所以 ， 所以当时，有最大值，即有最大值， 所以S的最大值为. 【经典例题五 几何图形中的计算】 【例5】如图，在四边形中，的面积为．    (1)求； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据面积得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，进而求出，从而求出的值； （2）在中，由正弦定理得，结合（1）中，由角的范围得到. 【详解】（1）设， 因为的面积为， 所以，解得， 所以． 在中，由余弦定理得， 所以． 在中，，所以， 所以； （2）由（1）可得， 在中，由正弦定理得， 所以，且． 由（1）可得，又， 所以． 1．古语云:“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，AB=2.（图1中破碎边缘呈锯齿形状）    (1)求这个扇形玉佩的半径； (2)现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图2所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角.弧长、面积）. 【答案】(1)这个扇形玉佩的半径为 (2)扇形的圆心角为，弧长为，面积为 【分析】（1）先利用余弦定理求，可得，进而可求半径； （2）先利用余弦定理求扇形的圆心角，进而结合扇形的相关公式运算求解. 【详解】（1）如图，设扇形的圆心为，连接， 在中，由余弦定理可得， 因为，可得， 在中，因为，则，即， 可得， 所以这个扇形玉佩的半径为.    （2）设扇形的圆心角为， 因为，可得， 所以扇形的圆心角为，弧长为，面积为. 2．如图，在中，D为边BC上一点，，，，. (1)求的大小； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本题答案； （2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案. 【详解】（1）在中，， 又，所以 ； （2）在中，， 则 ， 因为，所以， 在中，，则 ， ， 在中，因为，所以， 则 ， 故. 3．如图，在中，点在边上， (1)证明：； (2)若，，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中根据题意结合正弦定理分析运算； （2）不妨设，在、、中利用余弦定理运算求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理知：，即 又， 可得， 在中，所以，所以. （2）不妨设，则 在中，由余弦定理知； 在中同理可知： 在中， 即有 解得. 【经典例题六 距离测量问题】 【例6】如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 【答案】(1)海里 (2)北偏东的方向， 2小时 【分析】（1）由条件确定，，，再结合，即可求解； （2）在中，由余弦定理先求得，再由，求得，即可求解. 【详解】（1）由在的南偏东，在的北偏东方向， 得在中，，，， 由正弦定理，得，所以， 又， 所以海里，即处到观测塔的距离为海里. （2）在中，，，， 由余弦定理，得， 所以海里，航行时间至少为小时. 又， 且，所以，所以在的北偏东方向. 故处的救援船应该朝北偏东的方向沿直线前往处救援，至少航行2小时才能到达处. 1．如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市，且与海岸距离为的海上处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)构造三角形，利用余弦定理求解速度满足的一元二次函数，利用一元二次函数的最值求解出最小的速度； (2)构造三角形利用余弦定理求解角度. 【详解】（1）设小艇以的速度从处出发，沿方向，后与运动员在处相遇，过作的垂线，则，在中，，则. 由余弦定理，得， 即. 整理得. 当，即时，取得最小值9，即， 所以小艇至少以的速度行驶才能追上这位运动员. （2）当时， 在中，， 由余弦定理，得， 所以， 所以小艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为. 2．如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形求出相关角，利用正弦定理即可求得； （2）根据题设条件计算得到，在中利用余弦定理求得，接着在中利用余弦定理，即可求得结果. 【详解】（1）由题可知在中：，， 所以， 由正弦定理可得：， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 3．已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍． (1)求B、C两地之间的距离； (2)求高铁站D到C地的距离． 【答案】(1)干米； (2)千米. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式计算即得. （2）由正弦定理确定地在地的正西方向，再在中利用余弦定理列出方程求解. 【详解】（1）依题意，在中，，，， 由余弦定理得， 则，解得， 即村庄，之间的距离为干米； （2）在中，由正弦定理得， 则，从而， 则地在地的正西方向，由高铁站在地的北偏东的方向，得， 在中，由余弦定理得， 而，则，解得， 所以高铁站D到C地的距离千米. 【经典例题七 高度测量问题】 【例7】要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过M点后又测得对山顶的俯角为，（可能要用到的数据：） (1)求BM的长度；（结果带根号） (2)求山顶的海拔高度．（精确到m） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，由正弦定理，即可求解. （2）过点作，求得长，进而求得山顶的海拔高度，得到答案. 【详解】（1）解：因为飞机的速度为，经过飞过M点， 所以， 在中， 由， 则 ， 由正弦定理， 可得. （2）解：如图所示，过点作，垂足为， 因为， 所以， 因此山顶的海拔高度为. 1．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学的眼睛到地面的距离为1.5m，该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为，测得基站顶端A的仰角为.求山高BE（结果保留整数）. 参考数据：，，，.    【答案】 【分析】根据题意，由正弦定理求得，在直角中，，结合，即可求解. 【详解】如图所示，由题意得，， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 在直角中，可得，即， 所以， 所以山高.    2．如图，为了测量某塔的高度，无人机在与塔底B位于同一水平面的C点测得塔顶A的仰角为45°，无人机沿着仰角α（）的方向靠近塔，飞行了m后到达D点，在D点测得塔顶A的仰角为26°，塔底B的俯角为45°，且A，B，C，D四点在同一平面上，求该塔的高度．（参考数据:取 tan 26°=，cos 56°=）    【答案】326m 【分析】设，根据条件得到是等腰直角三角形，所以，同理是等腰直角三角形，得，进而得，然后根据余弦定理列方程求解可得 【详解】因为A、B、C、D四点在一个平面上 如图，过点作，垂足为． 由题意得． 在中，又塔底B与C位于同一水平面，所以，所以， 又，所以是等腰直角三角形，所以， 在中，，又，所以是等腰直角三角形， 所以， 设，则， 又，所以， 所以． 在中，由余弦定理得， 即， 得，即该塔的高度为．    3．一建筑物垂直耸立于所在的水平面，如图，在观测点处测得顶点的仰角（视线与水平线的夹角）为，在观测点处测得顶点的仰角为平面. (1)若，求建筑物的高； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据正弦定理可得，，再由，可得，即可得解. （2）设，，，再由余弦定理即可得解. 【详解】（1）设，则， . 因为，所以. 所以， 解得，即. （2）由（1）设，因为，所以. 因为， 所以由余弦定理得 . 【经典例题八 角度测量问题】 【例8】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.    【答案】缉私船沿北偏东方向能最快追上走私船，所需时间为. 【分析】设缉私船最快追上走私船所用时间为，由余弦定理求得，得到，得出所在的直线位于东西方向，由正弦定理求得，得到和，结合，即可得到答案. 【详解】设缉私船最快追上走私船所用时间为()，则， 在中，可得 由余弦定理知:，所以， 则，所以， 可得所在的直线位于东西方向， 因为，由正弦定理， 可得，所以，， 则点在点的北偏东方向上，，即，解得， 所以缉私船沿北偏东方向能最快追上走私船，所需时间为.    1．已知: 岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，与此同时， 位于岛A南偏西38°方向与岛A相距3海里的B处有一艘缉私艇要去拦截，问缉私艇以多大速度以及朝何方向行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ （参考数据） 【答案】缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶 【分析】画出示意图，由余弦定理可求得BC，再由正弦定理可求得∠ABC，即可得解. 【详解】如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点， 缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里， 依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°， 所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得，sin∠ABC＝＝＝， 所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船． 2．在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：    (1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ (2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 【答案】(1)缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向 (2)缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船 【分析】（1）根据题求得，由正弦定理求得，得到，得出为水平线，即可得到答案； （2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，得到，结合正弦定理求得，进而得到答案. 【详解】（1）由题意，可得， 则 ， 在中，由正弦定理，即， 解得，因为，所以，所以为水平线， 所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向． （2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船， 在中，可得， 由正弦定理得， 因为为锐角，所以， 所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船． 3．某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）      (1)求走私船的速度大小； (2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间． 【答案】(1)n mile/h (2)缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船． 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t，利用余弦定理即可求解． 【详解】（1）点位于哨所北偏东方向n mile处， 点位于哨所北偏西方向n mile处， ， ， n mile/h， 走私船的速度大小为n mile/h. （2）设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为， ， ， ，， 走私船速度为n mile/h，缉私船速度为n mile/h， ， 在中，根据余弦定理，， ， 化简得，(舍去)，或， 此时，， 缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．      1．已知中，，，点D在AB上，，并且. （1）求BC的长度； （2）若点E为AB中点，求CE的长度. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据所给条件,结合三角函数可先求得.再由即可求得,进而得的值. 在中由余弦定理即可求得的值. （2）由（1）可知,而,且E为AB中点,可得,.在可由勾股定理求得,再在由勾股定理求得即可. 【详解】（1）由,, 可知, 又,可得, 所以. 在中,由余弦定理可得, 所以； （2）由（1）可知,, 又点E为AB中点,可得,, 在直角中,, 在直角中,, 所以. 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,线段关系及勾股定理求线段长的应用,属于基础题. 2．如图，在四边形中，，，，求该四边形的面积．    【答案】 【分析】运用面积公式，结合余弦定理求解. 【详解】如图，连接BD，    在中，，，则， 所以， 所以． 3．如图，已知中，，点D是边BC上一点，且．    (1)求AD的长； (2)求的面积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理求AD的长； （2）在中，利用余弦定理可得，进而可得面积. 【详解】（1）在中，可知，，可得， 由正弦定理可得. （2）在中，可知， 由余弦定理可得， 即，可得，解得或， 所以的面积为. 4．如图，在中，，的垂直平分线交边于点．若，求：    (1)的值； (2)求的面积与的面积之比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理求出，在中，由余弦定理求，再利用正弦定理即可求出； （2）利用三角形的面积公式，求出与的面积即可. 【详解】（1）由题意知，垂直平分，则， 在中，， 整理得， 即，所以或． 因为，所以， 所以． 在中，由余弦定理得． 所以． 由，，得． 在中，由正弦定理得， 即， 所以． （2）由（1）可知，，，，则： ， ， 故. 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求B； （2）如图，圆O是的外接圆，延长交于点H，过圆心O作交于点G，且.求的长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）结合已知条件和余弦定理，可推出，再利用余弦定理，即可求得的值； （2）由正弦定理得外接圆的半径，延长，交圆于点，作于点，结合圆的性质知为等边三角形，进而得，再证，推出点为的中点，从而得解． 【详解】解：（1）由余弦定理知，， ∵， ∴，化简得， 由余弦定理知，， ∵，∴． （2）设圆的半径为； 由正弦定理知，，∴， 延长，交圆于点，作于点， 则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即点为的中点， ∴． 6．勃罗卡是法国著名的数学家，已知对于，P是其内部一点，如果，则称为勃罗卡角，点P称为勃罗卡点，如图所示. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.    (1)求的面积； (2)求的勃罗卡角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式可得； （2）设，由三角形面积公式及余弦定理可得. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得 . 因为，所以. ∴. （2）设，由三角形面积公式可得 ， ， 所以① 分别在中运用余弦定理可得 ，， 将以上三式相加可得 ② 式①和式②两边平方相加可得， 代入式②可得. 7．如图，中，角成等差数列，，，为的中点. （1）若，求； （2）若，记，且，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由角成等差数列，可得，由可得的值，在中，由余弦定理可得的值； （2）依题意，，且，在中，， 在中有，代入化简可得的值. 【详解】解：（1）因为角成等差数列，所以； 由，即， 又因为，，所以； 在中，由余弦定理得，， 即，解得. （2）依题意，；因为，所以． 在中，，在中，， 由正弦定理得，，即， 化简得，于是． 因为，所以， 所以，解得，故． 8．如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)（海里） (2)（平方海里）． 【分析】（1）在和中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可； （2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以，， 又，设， ∴，，． 在和中由正弦定理可得， ， 即，， ， ． 当时，则，， ∴，， ∴（海里）． （2） 令 ， ∴． 因为，∴，∴， 所以当时，（平方海里）． 9．如图，平面四边形中，的三个内角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求四边形的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角化简，结合两角和的正弦公式即可得到答案； （2）利用余弦定理可求出的长，继而求出的值，利用三角形面积公式，即可求得答案； （3）通过作辅助线，利用三角形相似，求出四边形的边的长，继而求出的长，即可求得答案. 【详解】（1）因为在中，， 故，而， 故， 即，结合， 可得，而； （2）由于， 故， 则； 又，故，（为锐角） 所以 ， 故； （3）延长交于点E， 因为，故，又，故， 故，故为等腰三角形，则，则； 又，则， 结合，可得∽， 故， 在中，， 即，解得， 又，结合（1）知， 故为正三角形，故， 故四边形的周长为. 10．如图，已知的面积为． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)记的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用余弦定理以及三角形的面积公式，结合已知条件即可求出； （2）利用正弦定理可得，由代入化简可得：，结合为锐角三角形求出的范围，从而求出的范围，由三角形面积公式求出的取值范围即可； （3）设，在和中利用正弦定理化简可得：，结合三角恒等变换可得或，根据三角形面积公式以及正弦定理可得，将或代入化简即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理可知：， 所以， 因为，所以， 化简得：，即， 因为，所以 （2）因为，， 由正弦定理可得：，解得：， 因为，，所以， 则， 又因为为锐角三角形，所以，则， 则，，故， 又，所以， 即的面积的取值范围为 （3）设，则，，， 在中，由正弦定理可得：，① 在中，由正弦定理可得：，②， 由于，， 所以①②化简可得：， 即， 即， 即，即，因为 所以或，解得：，或， 设，则， 在中，， 在中，， 所以， 由正弦定理可得： 当时，，，所以 当时，，，所以 11．坐落于某市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔高度为150米，某大楼高度为90米，从大楼顶部C看天宁宝塔的张角，求天宁宝塔与大楼底部之间的距离． 【答案】两建筑物底部间距离是180米 【分析】作于，问题转化为求边上的高．设，只要建立起关于的方程，则问题可解． 【详解】如图作于． ，，，，． 设，， ，． 在和中， ， ， 化简整理得， 解得，（舍去）． 答：两建筑物底部间距离是180米． 12．如图，，，，都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），，为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于处测得点和点的仰角分别为，，于处测得点和点的仰角均为，，求点，间的距离（提示：）． 【答案】 【分析】方法一：通过仰角以及三角形外角定理，用正弦求出AD，以及AB，再在 中用余弦定理求解即可； 方法二：通过说明△AMC≌△DMC，先求AB，再利用正弦定理求BD. 【详解】方法一   在中，，， 由正弦定理，得． 在中，，， 由正弦定理，得． 在中，， 由余弦定理，得． 即点，间的距离为． 方法二   如图，过点作垂直水平线于点，过点作垂直水平线于点，记与的交点为． 由外角定理，得， 所以． 又易知， 所以，所以为的中点，所以， 又， 所以． 所以点，间的距离为． 13．某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点. (1)求建造中的建筑物已经到达的高度； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据条件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解； （2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解. 【详解】（1）如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，， 所以，又，是的中点， 在中，由余弦定理得到， 在中，由余弦定理得到， 又，所以， 整理得到，解得，所以. （2）在中，由正弦定理知①， 在中，由正弦定理知②， 由（1）知， 由②①得到. 14．如图，为测量鼓浪屿郑成功雕像的高度及取景点与之间的距离（､､､在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且､､三点共线），某校研究性学习小组同学在､､三点处测得顶点的仰角分别为､､，若，米. （1）求雕像的高度； （2）求取景点与之间的距离. 【答案】（1）雕像高度为16米；（2）观景点与之间的距离为32米. 【分析】 （1）设，在中，由正弦定理得求建筑物的高度； （2）在中，求出，在中，求出，在中，设，由余弦定理得：，即可求取景点与之间的距离． 【详解】解（1）设，在中，∵，∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 答：雕像高度为16米 （2）在中，∵，∴ 在中，∵，∴，∴ 在中，设，∵ ∴由余弦定理 ∴，∴ ，∴，（负数舍去） 答：观景点与之间的距离为32米. 15．缉私船在A处测出某走私船在方位角为(航向)，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距27海里的陆地D处，缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角) （1）若，求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间； （2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求v的取值范围，若不能请说明理由. 【答案】（1），；（2）能，． 【分析】（1）在中，由正弦定理得缉私船航行的方位角正弦值；在中，由余弦定理建立方程，即可求出截获走私船所需的时间； （2）由（1）知，利用换元法得到关于的方程在必有两不同的实根，即可求解． 【详解】（1）设缉私船在B处截获走私船，所需的时间为， 依题意，得， 在中，由正弦定理得，， 方位角为， ， 在中，由余弦定理得， ， 当时，，解得（负值已舍）， 即截获走私船所需时间为． （2）由（1）知，， 即，因为走私船距离陆地27海里以9海里/时的速度航行， 所以要能截获需在3小时之内， 令，若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船， 则关于的方程在必有两不同的实根， 则 解得， 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.5 解三角形常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 余弦定理解三角形 题型二 正弦定理解三角形 题型三 正弦定理求外接圆半径 题型四 三角形面积公式及其应用 题型五 几何图形中的计算 题型六 距离测量问题 题型七 高度测量问题 题型八 角度测量问题 【经典例题一 余弦定理解三角形】 【例1】．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 1．在平面四边形中，，. (1)求长度； (2)求. 2．如图，在四边形中，点为的中点，，且．    (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 3．已知在中，，，，是内一点，求的最小值． 【经典例题二 正弦定理解三角形】 【例2】如图，在中，，，，P为内一点，且. (1)若，求的长； (2)若，求. 1．中，，是内一点，． (1)若，求； (2)若是等腰直角三角形，求的面积． 2．如图，在边长为2的等边中，为内一点，. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 3．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)如图，若是边的中点，，，求的面积． 【经典例题三 正弦定理求外接圆半径】 【例3】如图，在中，已知，是边上的一点，，，. (1)求及； (2)求的长； (3)求的外接圆的半径及周长. 1．如图，已知的半径为R，为其内接等边三角形，求的边长和的外接圆半径． 2．如图，、、、是圆上的四点. (1)若，，，求圆的半径； (2)若，且的面积是的面积的倍，求. 3．在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【经典例题四 三角形面积公式及其应用】 【例4】已知锐角三角形ABC所对的边分别为a、b、c，．    (1)求A； (2)若，H为的垂心，求的面积S的最大值． 1．如图，在平面四边形ABCD中，. (1)证明：； (2)已知的外接圆半径为1. （i）若，求； （ii）求面积的最大值. 2．如图，在中，为的中点，且． (1)求； (2)若，求． 3．如图，在凸四边形ABCD（凸四边形指没有内角度数大于的四边形）中，，． (1)若四点共圆，且，求AD； (2)若，求凸四边形ABCD面积的最大值． 【经典例题五 几何图形中的计算】 【例5】如图，在四边形中，的面积为．    (1)求； (2)证明：． 1．古语云:“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，AB=2.（图1中破碎边缘呈锯齿形状）    (1)求这个扇形玉佩的半径； (2)现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图2所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角.弧长、面积）. 2．如图，在中，D为边BC上一点，，，，. (1)求的大小； (2)求的面积. 3．如图，在中，点在边上， (1)证明：； (2)若，，求. 【经典例题六 距离测量问题】 【例6】如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 1．如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市，且与海岸距离为的海上处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 2．如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 3．已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍． (1)求B、C两地之间的距离； (2)求高铁站D到C地的距离． 【经典例题七 高度测量问题】 【例7】要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过M点后又测得对山顶的俯角为，（可能要用到的数据：） (1)求BM的长度；（结果带根号） (2)求山顶的海拔高度．（精确到m） 1．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学的眼睛到地面的距离为1.5m，该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为，测得基站顶端A的仰角为.求山高BE（结果保留整数）. 参考数据：，，，.    2．如图，为了测量某塔的高度，无人机在与塔底B位于同一水平面的C点测得塔顶A的仰角为45°，无人机沿着仰角α（）的方向靠近塔，飞行了m后到达D点，在D点测得塔顶A的仰角为26°，塔底B的俯角为45°，且A，B，C，D四点在同一平面上，求该塔的高度．（参考数据:取 tan 26°=，cos 56°=）    3．一建筑物垂直耸立于所在的水平面，如图，在观测点处测得顶点的仰角（视线与水平线的夹角）为，在观测点处测得顶点的仰角为平面. (1)若，求建筑物的高； (2)若，求的值. 【经典例题八 角度测量问题】 【例8】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.    1．已知: 岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，与此同时， 位于岛A南偏西38°方向与岛A相距3海里的B处有一艘缉私艇要去拦截，问缉私艇以多大速度以及朝何方向行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ （参考数据） 2．在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：    (1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ (2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 3．某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）      (1)求走私船的速度大小； (2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间． 1．已知中，，，点D在AB上，，并且. （1）求BC的长度； （2）若点E为AB中点，求CE的长度. 2．如图，在四边形中，，，，求该四边形的面积．    3．如图，已知中，，点D是边BC上一点，且．    (1)求AD的长； (2)求的面积． 4．如图，在中，，的垂直平分线交边于点．若，求：    (1)的值； (2)求的面积与的面积之比． 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求B； （2）如图，圆O是的外接圆，延长交于点H，过圆心O作交于点G，且.求的长. 6．勃罗卡是法国著名的数学家，已知对于，P是其内部一点，如果，则称为勃罗卡角，点P称为勃罗卡点，如图所示. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.    (1)求的面积； (2)求的勃罗卡角的余弦值. 7．如图，中，角成等差数列，，，为的中点. （1）若，求； （2）若，记，且，求的值． 8．如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 9．如图，平面四边形中，的三个内角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求四边形的周长. 10．如图，已知的面积为． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)记的面积为，若，求的值． 11．坐落于某市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔高度为150米，某大楼高度为90米，从大楼顶部C看天宁宝塔的张角，求天宁宝塔与大楼底部之间的距离． 12．如图，，，，都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），，为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于处测得点和点的仰角分别为，，于处测得点和点的仰角均为，，求点，间的距离（提示：）． 13．某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点. (1)求建造中的建筑物已经到达的高度； (2)求的值. 14．如图，为测量鼓浪屿郑成功雕像的高度及取景点与之间的距离（､､､在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且､､三点共线），某校研究性学习小组同学在､､三点处测得顶点的仰角分别为､､，若，米. （1）求雕像的高度； （2）求取景点与之间的距离. 15．缉私船在A处测出某走私船在方位角为(航向)，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距27海里的陆地D处，缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角) （1）若，求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间； （2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求v的取值范围，若不能请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $