专题14.2 用样本估计总体重难点题型专训（2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

**基本信息** 聚焦用样本估计总体的数字特征，通过2个核心知识点、10类分层题型及2项综合拓展，构建“概念理解-技能应用-综合迁移”的三阶训练体系，培养数据观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集中趋势估计|4题型+2拓展|涵盖众数/中位数/平均数的计算与实际应用，结合分层抽样情境|从基础数字特征到样本估计总体，体现统计推断思想| |离散程度估计|4题型+2拓展|包含方差/标准差的计算、数据变换影响及频率分布直方图应用|通过数据波动分析，强化统计量的实际意义理解| |综合应用|2题型|涉及总体百分位数估计与图表数据分析，强调跨知识点整合|衔接描述统计与推断统计，培养数据分析核心素养|

专题14.2 用样本估计总体重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 计算几个数的众数 题型二 用中位数的代表意义解决实际问题 题型三 计算几个数的平均数 题型四 用平均数的代表意义解决实际问题 题型五 计算几个数据的极差、方差、标准差 题型六 各数据同时乘除同一数对方差的影响 题型七 用方差、标准差说明数据的波动程度 题型八 估计总体的方差、标准差 题型九 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 题型十 总体百分位数的估计 拓展训练一 众数、中位数、平均数相关求解 拓展训练二 方差、标准差相关问题 知识点一： 总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度 刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平 均 数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是这组数据的平均数，用表示，即=（x1+x2+…+xn）. 中 位 数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众 数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 【即时训练】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，或，结合题意可得出关于的不等式，即可得出的值，然后利用平均数公式可求得结果. 【详解】由题意可知，这组数据的中位数为， 因为该组数据存在众数，故或，则这组数据的众数为， 又这组数据的中位数小于众数，所以，解得，故， 因此，这组数据的平均数为. 故选：C. 2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知 2025 年 9 月份第一、四车间生产的零件数分别为 73 万件和 145 万件， 若四个车间产量随编号增加而增加， 且四个车间产量的中位数与平均数相等，则 2025 年 9 月份该厂生产的零件总数为_____万件. 【答案】 【分析】根据中位数和平均数公式，列等量关系式，即可求解. 【详解】设第二、三车间生产的零件数分别为，，则， 由条件可知，，得， 所以该厂生产的零件总数为万件. 故答案为： 知识点二： 总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，，，，总体平均数为，则总体方差= . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，不妨记为，，，，其中出 现的频数为(i=1，2，，k)，则总体方差为=. 总体标准差：S=. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 【即时训练】 1．（2026·湖北武汉·三模）记样本数据1，2，2，2，3的方差为，样本数据3，5，5，5，7的方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】样本数据1，2，2，2，3的均值为， 则， 样本数据3，5，5，5，7的均值为， 则， 所以. 2．（2026·上海·一模）某同学5次数学周测成绩为：80，84，84，86，86；这组数据的方差为__________. 【答案】4.8 【分析】先求出平均数，再利用方差的定义求出方差. 【详解】所以这组数据的平均数为， 方差为. 【经典例题一 计算几个数的众数】 【例1】（25-26高二上·江西宜春·期末）数据：2，0，2，5，2，0，2，6，众数为（    ） A．0 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】由题，这组数据2出现了4次，0出现了2次，5和6各出现了1次，所以众数为2. 故选：B. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知个数据分别是，，，，，，，．请确定： (1)样本数据的平均数的值； (2)该数据的众数． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）利用平均数公式可求得的值； （2）利用众数的定义可求得样本数据的众数. 【详解】（1）解：由平均数公式可得. （2）解：由众数的定义可知，样本数据的众数为和. 1．（2025高二下·湖南·学业考试）样本数据2，1，4，5，6，6，15，8的中位数和众数分别是（    ） A．5，6 B．5.5，6 C．6，6 D．5.5，5 【答案】B 【分析】根据众数、中位数的概念求解. 【详解】由小到大排列：1，2，4，5，6，6，8，15， 所以中位数为，众数为， 故选：B 2．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）（多选）某班10名同学的某次测验成绩为：55，62，65，68，69，70，70，75，80，100．则下列说法正确的有（   ） A．这组数据的众数是70 B．这组数据的中位数是70 C．这组数据的平均数小于70 D．这组数据的平均数大于70 【答案】AD 【分析】由数据的数字特征逐一判断即可求解． 【详解】对于选项A，这组数据中出现次数最多的数是70，所以这组数据的众数是70，故A正确； 对于选项B，这组数据的中位数是，故B错误； 对于选项C，D，这组数据的平均数是，故C错误；D正确． 故选：AD． 3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若一组数的众数为，平均数为，则__________. 【答案】 【分析】先根据众数的定义确定的值，再根据平均数公式计算的值，最后求. 【详解】依题意可得众数，平均数， 故. 故答案为：. 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； （2）假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元） （3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 【答案】（1）2091,1500,1500 （2）3288,1500,1500（3）中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平 【详解】试题分析：（1）将33个人的工资相加除以33，即可得公司职工月工资的平均数，将这些数从小到大排列，位于中间的数即为中位数，出现次数最多的数即为众数；（2）同（1）的算法；（3）显然平均数不能反映这个公司员工的工资水平，用中位数或众数均能反应该公司员工的工资水平 试题解析：（1）平均数是 （元） 中位数是1 500元，众数是1500元． （2）平均数是 （元） 中位数是1 500元，众数是1500元． （3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 考点：用样本的数字特征估计总体的数字特征；众数、中位数、平均数 【经典例题二 用中位数的代表意义解决实际问题】 【例1】（25-26高一上·山东泰安·开学考试）某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差 【答案】A 【分析】根据比中位数更好的6个成绩对应的选手进入决赛可求解. 【详解】因为有13名同学参加百米竞赛，所以将成绩按最好到最差排序后， 成绩的中位数为第七个数，则中位数前的成绩对应的选手进入决赛， 所以还需要知道这13名同学成绩的中位数即可确定是否进入决赛， 故选:A. 【例2】（2025高一·全国·专题练习）某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示： 用水量/t 22 38 40 41 44 50 95 天数 1 1 1 2 2 1 2 (1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？ (2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？ 【答案】(1)平均数是，中位数是. (2)用中位数描述每天的用水量更合适． 【分析】（1）根据题意，先由平均数的计算公式可得，然后再由中位数的计算公式即可得到结果； （2）根据题意，由平均数与中位数的定义即可得到结果. 【详解】（1）在这10天中，该公司用水量的平均数是 每天用水量的中位数是 （2）平均数受数据中的极端值（2个95）影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适． 1．（2025·河南开封·模拟预测）某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】中位数恰好是第6名，比中位数成绩高即可确认自己能否进入省田径赛． 【详解】因为11名选手成绩的中位数恰好是第6名，知道了第6名的成绩， 小强就可以判断自己是否能参加省举办的田径赛了，其余数字特征不能反映名次． 故选：B． 2．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）（多选）如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是（    ）. A．这组数据是近似对称的 B．数据中可能有极端大的值 C．数据中可能有异常值 D．数据中众数可能和中位数相同 【答案】BCD 【分析】根据中位数、众数等数据特征判断． 【详解】一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中有极端大的值，也即异常值，众数只是比较多的数据，可以与中位数相同，这组数据显然不可能近似对称，A错，BCD正确． 故选：BCD． 3．（2025高二·全国·竞赛）一组数据共有50个数，其中7个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这50个数中，且平均数大于中位数，那么这组数据中小于平均数的数据占这50个数据的百分比是______． 【答案】 【分析】由题意可得小于平均数的数有个，即可得解. 【详解】小于平均数的数有个，占. 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·课后作业）某餐厅共有7名员工，所有员工的工资情况如下表： 人员 经理 厨师甲 厨师乙 会计 服务员甲 服务员乙 勤杂工 人数 1 1 1 1 1 1 1 工资/元 30000 7000 5000 4500 3600 3400 3200 (1)求餐厅所有员工的平均工资． (2)求餐厅所有员工工资的中位数． (3)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？ (4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是多少？是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？ 【答案】(1) (2)4500 (3)中位数 (4)，能 【分析】（1）根据平均数公式计算可得； （2）根据中位数计算规则判断即可； （3）根据数据的特征即可判断； （4）根据平均数公式计算可得； 【详解】（1）解：平均工资为． （2）解：由表格可知中位数为． （3）解：因为经理的工资比其他人的总和还要多，故用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当． （4）解：去掉经理的工资后，其他员工的平均工资为． 此时平均工资能反映该餐厅员工工资的一般水平． 【经典例题三 计算几个数的平均数】 【例1】（2026·湖南张家界·三模）某校随机抽取了200名学生进行成绩调研，再从这200名学生中随机抽取8名学生，得到他们的数学成绩如下：，记这组数据的平均数为，则（    ） A．100 B．98 C．101 D．102 【答案】A 【分析】根据平均数的计算公式即可求解． 【详解】由题意可得． 【例2】（24-25高一下·安徽阜阳·阶段检测）某学校有高中生600人，其中男生400人，女生200人.有人为了获得该校全体高中生的身高信息，采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为174，女生样本的均值为162. (1)若男、女生样本量按比例分配，则总样本的均值为多少? (2)若男、女生的样本量都是100，则总样本的均值为多少?它作为总体均值的估计合适吗?为什么? 【答案】(1)170 (2)168，不合适，原因见解析 【分析】（1）利用分层抽样的均值公式计算得解. （2）列式求出均值，再抽样是否等可能分析作答. 【详解】（1）总样本的均值为. （2）总样本的均值为， 不能作为总体均值的估计，因为分层随机抽样中未按比例抽样， 总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，所以样本的代表性差. 1．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）有甲､乙､丙三个班，甲班有个人，乙班有个人，丙班有人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是分，乙班平均分是分，丙班平均分是分．则甲､乙､丙三个班在这次考试中的总平均分是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出甲乙丙三班的总分，再运用求平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】甲班有个人，乙班有个人，丙班有人，甲班平均分是分，乙班平均分是分，丙班平均分是分， 甲乙丙三班在这次考试中的总分为：分， 甲乙丙三班在这次考试中的总平均分是分. 故选：D． 2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为．若数据的平均数为，则    （    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，C，D运用分层抽样的平均数公式，结合已知条件计算判断；对于B,举反例判断. 【详解】当时， ，A正确； 当时，取则m与n不一定相等，B错误； 当时， ，C正确； 当时,，有，故 即，所以，D正确． 故选：ACD. 3．（2025·陕西西安·三模）某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种零件，经统计，甲车间生产的100个零件中的次品率为0.03，乙车间生产的200个零件中的次品率为0.02，丙车间生产的200个零件中的次品率为0.03，则该厂零件的次品率的估计值为______． 【答案】0.026/ 【分析】由平均值计算公式求解． 【详解】该厂零件的次品率的估计值为． 故答案为： 4．（24-25高一·全国·课后作业）一组数据的算术平均数为10．若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均数为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均数为11． (1)求出第一个数关于n的表达式及第n个数关于n的表达式； (2)若都是正整数，试求第n个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据． 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设列方程组，将所得方程作差得到、关于n的表达式； （2）由（1）及题设得，进而，取有，进而写出其它数据的值. 【详解】（1）由题意，， 所以，． （2）由于是正整数，故，解得，故． 当时，，， 此时可取，． 【经典例题四 用平均数的代表意义解决实际问题】 【例1】（25-26高一下·甘肃定西·阶段检测）为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通过简单随机抽样从中抽取了1000户进行调查，得到其月用水量的平均数为9吨，则可推测全市居民用户月用水量的平均数（    ） A．一定为9吨 B．高于9吨 C．约为9吨 D．低于9吨 【答案】C 【分析】由样本估计总体的相关知识即可求解. 【详解】推测全市居民用户月用水量的平均数是估计值，约为9吨. 故选：C. 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）从一个有14848户居民的地区中随机抽取一个30户的人口数为样本，样本中每户的人口数分别是估计： (1)该地区平均每户人口数； (2)该地区居民总数． 【答案】(1)3.43人； (2)50929人 【分析】（1）由平均数的公式直接计算可得答案； （2）结合第一问计算的每户平均人口数量，乘以总户数即为该地区的总人数. 【详解】（1）由题意得该地区平均每户的人口数约为： 人； （2）该地区居民总数约为：人. 1．（2025高一下·全国·专题练习）为了了解某校高三学生每天的作业量，通过简单随机抽样从该校高三学生中抽取了60名学生，通过调查发现这60名学生每天完成作业平均用时2小时，则可以推测该校高三学生每天完成作业所需时间的平均数（　　） A．一定为2小时 B．高于2小时 C．低于2小时 D．约为2小时 【答案】D 【分析】根据题意，结合样本平均数具有随机性，即可求解. 【详解】根据样本估计总体知，样本平均数具有随机性，只能估计总体平均数． 故选：D. 2．（2025·湖北武汉·一模）（多选）在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表： 甲校理科生 甲校文科生 乙校理科生 乙校文科生 达标率 60% 70% 65% 75% 定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有（    ） A．乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校 B．两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率 C．若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65% D．甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率 【答案】ABD 【分析】根据表中数据，结合达标率的计算公式对各选项逐一判断即可. 【详解】由表中数据可得甲校理科生达标率为60%，文科生达标率为70%， 乙校理科生达标率为65%，文科生达标率为75%，故选项AB正确； 设甲校理科生有人，文科生有人，若，即，则甲校总达标率为，选项C错误； 由总达标率的计算公式可知当学校理科生文科生的人数相差较大时，所占的权重不同，总达标率会接近理科生达标率或文科生达标率， 当甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生时，甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率，选项D正确； 故选：ABD 3．（24-25高一下·山东菏泽·期末）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：9，8，8，9，7，8，9，10，7，5，估计该学员射击一次命中环数为___________. 【答案】8 【分析】由学员射击命中的环数，求10次射击所得数据的平均值，即可估计该学员射击一次命中环数. 【详解】由题意，该学员命中环数的平均值为， ∴估计该学员射击一次命中环数为8. 故答案为：8 4．（24-25高二·上海·课堂例题）某高校两个班级在一门选修课程的某次考试中的成绩（总分：100分）如下： 甲班 84 75 78 95 67 49 86 77 66 88 73 78 53 45 74 91 84 99 53 84 67 57 68 55 90 73 72 67 57 乙班 74 58 92 100 74 37 83 97 66 84 61 75 94 70 73 84 81 48 82 66 83 100 90 66 93 44 分别计算两个班级成绩的平均数、中位数和众数，并说明在这次考试中哪个班的成绩更好. 【答案】答案见解析 【分析】利用平均数、中位数和众数的计算方法与代表意义即可得解. 【详解】依题意， ， ， 首先对两班的成绩按高低进行排列，甲班从低到高的顺序：45，49，53，53，55，57，57， 66，67，67，67，68，72，73，73，74，75，77，78，78，84，84，84，86，88，90，91，95，99； 乙班从低到高的顺序：37，44，48，58，61，66，66，66，70，73，74，74，75，81，82， 83，83，84，84，90，92，93，94，97，100，100； 故甲班的中位数为73，乙班的中位数； 甲班的众数为84和67，乙班的众数为66， 由于甲班的平均成绩小于乙班的平均成绩，且甲班成绩的中位数小于乙班的， 所以乙班的成绩更好点. 【经典例题五 计算几个数据的极差、方差、标准差】 【例1】（2026·河南·模拟预测）样本数据、、、、的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式求解即可. 【详解】这组数据的平均数为， 故这组数据的方差为. 【例2】（24-25高一下·河北·期末）为坚持健康第一的教育理念，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志，某校高一年级体育组开展“一分钟跳绳比赛”活动，甲班两位同学的近期训练中的跳绳数（单位：次／分钟）如下： A同学：124、140、130、132、136、104、130 B同学：130、136、126、130、120、124、130 (1)分别求两组数据的众数、中位数、极差； (2)根据两组数据的平均数和方差的计算结果（结果保留两位小数），比较两位同学的跳绳水平. 【答案】(1)答案见解析 (2)B同学发挥较稳定 【分析】（1）将题目中的数据由小到大的顺序排列，根据众数、中位数与极差的概念，可得答案； （2）根据平均数与方差的计算公式，结合其意义，可得答案. 【详解】（1）由题目中的数据，按照从小到大排列可得： A同学：104、124、130、130、132、136、140 B同学：120、124、126、130、130、130、136 A同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为36， B同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为16. （2）A同学跳绳数的平均数为， 方差 B同学跳绳数的平均数为， 方差 因为，所以两位同学的平均水平相当，但B同学发挥较稳定. 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）某校举行“校园歌手”大赛，有位评委对某选手打分．已知这个分数的平均数是，方差是，现从这个分数中去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，则剩余个分数的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平均数和方差公式求解即可. 【详解】设这个数据由小到大依次为、、、、、， 由平均数公式可得，整理可得， 由方差公式可得， 所以， 从这个分数中去掉一个最高分分，去掉一个最低分分， 则剩余个分数的平均数为， 这个分数的方差为. 2．（24-25高二下·浙江温州·阶段检测）（多选）一组数据，，…，方差为，平均数为，中位数为，且满足，另一组数据，，…，方差为，平均数为，中位数为，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】通过举例可排除AD；分n为奇数、偶数可确定中位数确定B；利用平均值的计算公式可计算确定C. 【详解】对于A，反例：3，4，5，5，8，，， 满足，而，A错误． 对于B，若n为奇数，则；若n为偶数，则，B正确． 对于C，由，C正确． 对于D，反例：1，2，3，4，5，，，满足， ，，，D错误． 故选：BC． 3．（2026·上海徐汇·二模）已知实数满足，则的方差的最大值为__________. 【答案】 【详解】设分别对应，（）. 则， 所以的方差为： ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且. 所以当或时，该组数据的方差相等，且取得最大值，为. 所以该组数据方差的最大值为：. 4．（24-25高一下·山东烟台·阶段检测）某电视台有一档益智答题类综艺节目，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分. (1)若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号. 1622779439   4954435482 1737932378    8735209643 8426349164 8442175331   5724550688 7704744767    2176335025    83921206761 (2)某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差为2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该学校教师年龄的平均数和方差. 【答案】(1) (2)平均数为，方差为 【分析】（1）根据随机数表中数字的读取方法，得到读取的数字，即可得到答案； （2）设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为，可得，，再设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为，求得，，结合分层抽样方差的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，结合随机数表中数字的读取方法， 可得读取的数字编号依次为：， 所以抽取的第6个观众的编号为. （2）解：设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为，可得，， 设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为， 因为高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁， 可得， ， 则该学校教师年龄的平均数（岁）， 方差为. 【经典例题六 各数据同时乘除同一数对方差的影响】 【例1】（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知一组样本数据的方差为3，则数据的方差为（   ） A．3 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用方差的性质计算得解. 【详解】一组样本数据的方差为3，所以数据的方差为. 故选：D 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）数据的方差为，数据的方差为，a，b为常数.证明： （1）如果，那么； （2）如果，那么. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）由已知得出，从而，代入方差公式可证； （2）由已知得出，从而，代入方差公式可证． 【详解】证明：（1） . . （2）. . 1．（2026·江西南昌·三模）已知样本数据的平均数为6，方差为11；样本数据的平均数为9，方差为20，现将两组样本数据合并，则新的样本数据的方差为（    ） A．19 B．20 C．26 D．30 【答案】A 【详解】由题意得，， ， 利用分层抽样的方差公式可得新的样本数据的方差为. 2．（2025·湖南长沙·一模）（多选）设的极差为，平均值为，中位数为m，方差为，，其中的极差为，平均值为，中位数为 ，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，结合数据的极差，平均数，中位数和方差的性质，即可求解. 【详解】由的极差为，平均值为，中位数为m，方差为， 若， 则数据的极差为，平均值为，中位数为，方差为. 故选：BC. 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知数据的方差为3，则数据的方差为_________ 【答案】 【分析】利用数据方差的性质求解 【详解】因为数据的方差为3， 所以数据的方差为. 故答案为： 4．（25-26高一·全国·课后作业）数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明. 【答案】证明见解析 【解析】由均值和方差的公式直接证明． 【详解】证明：设数据的平均数，数据的平均数为，则. ， . 【经典例题七 用方差、标准差说明数据的波动程度】 【例1】（2026·山东青岛·三模）为评价某种蓝莓的种植效果，随机选择5块地作为试验田，这5块地的亩产量（单位：）分别为，，…，，下面给出的指标中可以评估这种蓝莓亩产量稳定程度的是（     ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 【答案】D 【详解】对于A，众数体现的是出现次数最多的数，故A错误； 对于B，平均数是体现集中趋势的一项指标，故B错误； 对于C，中位数将数据分为前后两部分，体现的是数据的“中等水平”，故C错误； 对于D，标准差体现的是数据的离散程度，可以用来评估产量稳定程度，故D正确. 【例2】（25-26高一上·陕西渭南·期末）澄城县统计局对两所高中高一学生的月考数学成绩进行抽样分析，得到如下数据： 甲校：85，88，90，92，95 乙校：80，85，90，95，100 (1)分别计算两校样本的平均数、极差和方差； (2)若以“成绩稳定且优秀”为标准，哪所学校表现更好？说明理由． 【答案】(1)甲：均值90，极差10，方差；乙：均值90，极差20，方差50； (2)甲校方差小，成绩更稳定，表现更好. 【分析】（1）根据两个学校的数据，分别代入平均数，极差，方差公式，即可求解； （2）根据平均数和方差的大小，判断哪所学校表现更好. 【详解】（1）甲校的平均数，极差为， 方差为， 乙校的平均数，极差为， 方差为. （2）两个学校的平均水平一样，但甲校的方差小，所以甲校的成绩更稳定，表现更好. 1．（25-26高二上·四川成都·期中）在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，下列说法错误的是（   ） A．平均来说一队比二队防守技术好 B．二队比一队技术水平更稳定 C．一队在防守中有时表现差，有时又表现非常好 D．二队很少失球 【答案】D 【分析】根据两个队伍的平均数和方差，进行比较，即可求解. 【详解】一队每场比赛平均失球个数是，二队每场比赛平均失球个数是，平均说来一队比二队防守技术好，A正确； 一队全年比赛失球个数的标准差为，二队全年比赛失球个数的标准差为，二队比一队技术水平更稳定，B正确； 因为一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1，说明失球数波动较大，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确. 二队每场比赛平均失球数是2.1大于一队，全年失球个数的标准差是0.4小于一队，所以二队很少不失球，D错误. 故选：D 2．（24-25高二上·海南海口·期中）（多选）在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球个数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.下列说法正确的是（    ） A．平均来说甲队比乙队防守技术好 B．乙队比甲队防守技术水平更稳定 C．甲队防守有时表现很差，有时表现又非常好 D．乙队很少失球 【答案】ABC 【分析】根据两个队伍的平均数和方差，进行比较，结合平均数以及标准差的意义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知平均说来甲队比乙队的防守技术好，故A正确； 对于选项BC：因为，可知乙队比甲队技术水平更稳定， 即甲队防守中有时防守表现较差，有时表现又非常好，故BC正确； 对于选项D：因为乙队每场比赛平均失球数是2.1，且标准差为0.4， 结合选项B可知，乙队平均失球数多，且乙队防守技术水平更稳定， 即乙队很少不失球，故D错误. 故选：ABC. 3．（24-25高一上·甘肃定西·开学考试）某市2022年和2023年5月1日至5日每日的最高气温（单位：℃）如表：则这五天的最高气温更稳定的是________年.（选填“2022”或“2023”） 1日 2日 3日 4日 5日 2022年 26 27 30 33 31 2023年 22 25 24 24 22 【答案】2023 【分析】先根据方差的定义列式计算出2022、2023年的方差，再依据方差的意义求解即可. 【详解】2022年的平均气温为， 则其方差为， 2023年的平均气温为， 则其方差为， 因为，所以这五天的最高气温更稳定的是2023年； 故答案为：2023 4．（24-25高一下·重庆·期中）在重庆复旦中学“复旦好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：85 86   92 87 89   95 82 91 85 小组B：95 93 51 88   90 89 91 92 94 (1)分别求两组评委打分的平均分． (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【答案】(1)88，87 (2)A组更像，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可求解； （2）分别求出两组的方差，比较大小，结合方差的表示意义即可下结论. 【详解】（1）记小组A的数据依次为，小组B的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. （2）A组更像是由专业人士组成， 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因而， 根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的． 【经典例题八 估计总体的方差、标准差】 【例1】（25-26高一上·江西九江·期末）为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用按样本量等比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生1200人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.24，抽取高中生800人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为0.64，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分层抽样均值、方差的计算公式计算即可. 【详解】由题意得，总体均值为， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为 . 故选：B. 【例2】（24-25高一下·全国·开学考试）在一次高一年级数学统一考试中，甲班有40人，平均成绩为70分，方差为30；乙班有60人，平均数为75，方差为40.求： (1)甲、乙两班全部学生的平均成绩； (2)有人预测，甲、乙两个班级总体的方差在30至40之间，请计算甲、乙两个班级全体成绩的方差，并判断此人说法是否正确. 【答案】(1)73 (2)42，说法错误 【分析】（1）根据条件，代入总体平均数公式，即可求解； （2）根据甲和乙两个班的方差公式，代入总体方差公式，即可求解. 【详解】（1）设甲班成绩的平均数为，方差为；乙班成绩的平均数为，方差为， 则，，，， 所以甲、乙两班全部学生的平均成绩为， 即甲、乙两班全部学生的平均成绩为73分. （2）两个班级全体成绩的方差为 故此人的说法是错误的. 1．（25-26高三上·云南昭通·期末）某社区有青年100人，老年人100人.为调查该社区全体居民每月零花钱情况，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得青年每月零花钱均值为600元，方差为100，老年人每月零花钱均值为400元，方差为100.若青年、老年人样本量按比例分配，则可估计总体方差为（    ） A．11000 B．10101 C．10110 D．10100 【答案】D 【分析】先求得总体的均值，再根据分层抽样的性质求解总体的方差. 【详解】由题意得，总体的均值为， ， 所以总体的方差为： ， ， 故选：D. 2．（24-25高三上·重庆·期中）（多选）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为，方差为200，乙队体重的平均数为，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两队全部队员的平均体重是 B．甲、乙两队全部队员的平均体重是 C．甲、乙两队全部队员的方差是296 D．甲、乙两队全部队员的方差是306 【答案】AC 【分析】依题意利用各样本平均数和方差与总体平均数和方差的关系式，代入公式计算即可求得结果. 【详解】根据题意可知，甲、乙两队的队员在所有队员中所占权重分别为； 又甲队体重的平均数为，乙队体重的平均数为， 所以甲、乙两队全部队员的平均体重是，即可得A正确，B错误； 乙两队全部队员的方差是，可知C正确，D错误. 故选：AC 3．（2026·广东广州·三模）在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 【答案】12 【分析】先求总均值，再用“层内方差+均值差平方”按样本占比加权求和 【详解】由题，设第1层样本量为，第2层样本量为，则， 分层抽样方差 4．（24-25高二上·四川成都·阶段检测）某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据； 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，方差. 参考数据：，，. (1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数； (2)用总样本平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值. 【答案】(1)40 (2) 【分析】（1）根据样本数据在范围内的占比易求得女生总体在此范围内的人数； （2）先利用加权平均数公式求出总样本的平均数，再利用混合样本的方差公式计算,最后对，进行估计即可. 【详解】（1）因女生样本中，身高在范围内的占比为， 故该校高一女生身高在范围内的人数估计为. （2）记总样本的平均数为，标准差为， 由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为，方差为， 女生样本（10人）的身高平均数为，方差， 则， ， 故. 【经典例题九 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量】 【例1】（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出，进而求出长度在内的频率． 【详解】由题意知，，整理得，解得. 所以任取一个垫片为合格品的概率为：. 【例2】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某校从全校随机抽取名学生参加奥运知识竞赛，并根据这名学生的竞赛成绩（总分为100分）绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在内的学生有6名. (1)求 (2)求 (3)样本中分数在内的学生有几名 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率直方图中所有小矩形面积之和为1列式计算求解； （2）结合频率直方图，根据抽样比计算即可； （3）结合频率直方图，根据抽样比计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 解得； （2）由题意可知样本中分数在的频率为， 因为样本中分数在内的学生有6名，所以全校随机抽取的人数； （3）样本中分数在的频率为， 所以样本中分数在内的学生有名. 1．（24-25高二下·河南焦作·期末）某样本的频率分布直方图如图，从样本中随机抽取一个数据，若该数据落在内的概率之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设四个小组的频率分别为，根据频率之和为，即可得到，从而利用频率列式求解. 【详解】根据数据落在内的概率之比为， 可设这四个小组的频率分别为，且频率之和为，即， 解得，则，解得. 故选：D 2．（2026·河北张家口·二模）（多选）从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由图可知，这5组的频率依次为， 则这5组的频数依次为， 将这100个零件的直径数据从小到大排序， 第31个数大于或等于5.18，第65个数小于5.28，第50与第51个数之和为， 所以，故A正确； 若每个区间中的数都取最大值， 平均数，故B正确； 极差是最大数减去最小的数，所以，故C正确； 众数是指这100个数中，相等的数的个数最多的那个， 而在中最多有30个数相等，中最多有35个数相等， 则众数，D错误. 3．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示.则时速在的汽车大约有______辆. 【答案】 【分析】根据频率分布直方图求得正确答案. 【详解】由图可知，时速在的汽车大约有辆. 故答案为： 4．（25-26高一上·全国·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)，平均数约为74 (2)6人 (3)，36 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数的计算公式计算平均数即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【详解】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． （2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 【经典例题十 总体百分位数的估计】 【例1】（25-26高二下·江苏镇江·期中）某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（   ） A．21 B．22 C．22.5 D．23 【答案】D 【详解】上四分位数即75%分位数，题干的10个数据已经从小到大排列好，， 则75%分位数取从小到大的第8个数，即23. 【例2】（24-25高一下·内蒙古·期末）甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为． (1)求这组数据的分位数； (2)求这组数据的平均数和标准差； (3)求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比． 参考数据：． 【答案】(1)10.5 (2)10， (3)6个， 【分析】（1）利用总体百分位数的估计求解分位数即可. （2）利用平均数公式求解平均数，利用标准差公式求解标准差即可. （3）结合题意求出和，再求出其中的零件个数和百分比即可. 【详解】（1）因为， 所以这组数据的分位数为． （2）由题意得， 由标准差公式得． （3）由题意得， 则零件重量位于和之间的有，共6个， 可得所占的百分比是． 1．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（    ） A．6 B．4 C．11 D．11.5 【答案】C 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列：， ，所以这组数据的上四分位数为第个数据，即. 2．（25-26高一上·山西忻州·期末）（多选）某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（    ） A．极差为7 B．分位数为4 C．平均数为4 D．方差为5 【答案】AC 【分析】根据极差、百分位数、平均数、方差的概念逐一判断. 【详解】将数据从小到大排列，， 则极差为，故A正确； ，故分位数为，故B错误； 平均数为，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 3．（2026·河南许昌·三模）某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 【答案】/ 【详解】数据升序排列为：6，9，，，，，，， 上四分位数的位置为， 位置为整数，取第项的平均值． 4．（24-25高一下·广东佛山·期末）某商场停车收费标准如下：停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时算，如停车时长为2.5小时，则按3小时计算，收费8元），一天之内封顶24元.为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了100辆车一天内的停车时长（单位：小时），将数据按照，，，分成9.组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)估计停车费为24元的频率； (2)估计停车时长的第85百分位数； (3)假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天的停车费收入. 【答案】(1)0.1 (2)5.5小时 (3)8480元 【分析】（1）先分析出超过6小时收费就是24元，然后再由直方图计算超过6小时的频率即可； （2）通过计算先确定估计停车时长的第85百分位数所在的区间，再根据求百分位数的公式计算即可； （3）先分别求出停车时长在各个时间段的车辆的数量，再对应的求出其费用，再求和即可. 【详解】（1）因为停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元， 所以停车时间为小时，收费元，超过6小时收费就是24元， 所以由直方图可知超过6小时的频率为， 所以估计停车费为24元的频率为0.1； （2）停车时间为的频率为， 停车时间为的频率为， 所以估计停车时长的第85百分位数位于区间内， 因为， 所以估计停车时长的第85百分位数为5.5小时； （3）假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车， 则停车时长为的估计有辆，收费0元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 估计该商场节假日一天的停车费收入为 元. 【拓展训练一 众数、中位数、平均数相关求解】 【例1】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）倡导中小学生学习践行“富强､民主､文明､和谐；自由､平等､公正､法治；爱国､敬业､诚信､友善”社会主义核心价值观这24个字，其中含有12组词，每组词的笔画数的和依次为，则这12个笔画数的众数是（    ） A．17 B．16 C．1 D．24 【答案】A 【分析】根据一组数据中出现次数最多的数值来确定众数即可. 【详解】题目中的数据依次为：， 因为：：各出现1次， ：出现2次， ：出现3次， 又因为出现的次数最多，所以这组数据的众数是. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年．后来质量检测部门对他们的产品进行抽样调查，抽样调查的甲、乙、丙各8个产品使用寿命的统计结果如下（单位：年）： 甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12； 乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12； 丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10． (1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表： \ 平均数 众数 中位数 甲厂 乙厂 丙厂 (2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量； (3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数 (3)选丙厂的节能灯，答案见解析 【分析】（1）根据平均数，众数，中位数的计算即可求解， （2）（3）由平均数，众数，中位数的定义即可求解， 【详解】（1）， ， 甲厂：8，6，8；乙厂：8.5，7，8；丙厂：8.5，8，8.5． （2）甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数． （3）选丙厂的节能灯．因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平． 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知四个正整数满足，且 的平均数和中位数都为5，则可能的取值情况总数是（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由平均数和中位数的定义可得，再列举情况即可求解. 【详解】由题意，， 则，且， 则可能的取值情况为：；；；；； ；；；；，共10种情况. 故选：C 2．（2025高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．数据2，4，6，8的中位数是4，6 B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4 C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数 D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 【答案】BCD 【分析】由数据的数字特征逐一判断各个选项即可得解. 【详解】数据2，4，6，8的中位数为，显然A错误； 由众数的定义可知，数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4， 一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数，例如这组数据的每个数都相同的时候就满足， 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，由加权平均数可知，这11个数据的平均数是 故B，C，D都正确． 故选：BCD. 3．（2024·全国·模拟预测）记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a，平均数为b，则=______． 【答案】 【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念和公式进行计算即可. 【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32， 所以中位数， 由平均数的计算公式得， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高三下·河南濮阳·阶段测试）某经销商采购了一批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐（每筐1kg），得分数据如下：17，23，27，31，36，40，45，50，51，51，58，63，65，68，71，78，79，80，85，95．根据以往的大数据认定：得分在区间，，，内的分别对应四级、三级、二级、一级． (1)试求这20筐水果得分的平均数． (2)用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售： 方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售； 方案2：分等级出售． 不同等级水果的售价如下表所示： 等级 一级 二级 三级 四级 售价（万元/吨） 2 1.8 1.5 1.2 请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由． 【答案】(1)55.65 (2)采用方案1较好，理由见解析 【分析】（1）直接利用平均数的计算公式即可求解； （2）分别计算出这两种方案的单价，进行比较，即可下结论. 【详解】（1）这20筐水果得分的平均数为 . （2）方案1：由于得分的平均数， 所以可以估计这批水果的销售单价为1.8万元/吨． 方案2：设这批水果售价的平均值为万元/吨，由已知数据得， 得分在内的有17，23，共2个，所以估计四级水果所占比例为， 得分在内的有27，31，36，40，45，50，共6个，所以估计三级水果所占比例为， 得分在内的有51，51，58，63，65，68，71，共7个，所以估计二级水果所占比例为， 得分在内的有78，79，80，85，95，共5个，所以估计一级水果所占比例为， 则（万元/吨）． 所以从经销商的角度考虑，采用方案1的售价较高，所以采用方案1较好 【拓展训练二 方差、标准差相关问题】 【例1】（2026·河北沧州·二模）AI大模型已经越来越多应用于我们的日常生活，某校社会实践小组为了调查某款AI大模型App在大学生中的使用情况，共调查了1000名大学生（男生与女生人数之比为3:2），统计后发现，男生和女生对该App的评分的平均数分别为8和6，方差均为，则这1000名大学生对该App的评分的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可知，1000名大学生中有600名男生，400名女生， 所以样本平均数， 这1000名大学生对该App评分的方差为. 【例2】（24-25高一下·福建厦门·阶段检测）给定样本数据，记样本均值为，定义：为样本数据到实数的偏差平方和，为样本数据到实数的距离和． (1)证明：; (2)证明：的最小值为； (3)求当取最小值时，的取值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）化简，结合平均数的定义，即可得证； （2）化简，结合二次函数的性质，即可得证； （2）由数据，当为偶数时，设为数据的中位数，得到，化简，分和，两种情况讨论，化简得到，即可得到答案. 【详解】（1）由 . （2）由 ，其中为常数， 所以当时，函数取得最小值. （3）解：因为数据， 当为偶数时，设为数据的中位数，则， 由 （其中为常数）， 任取实数，当时， 若，则 ； 若，则存在，使得， 则 ， 所以， 同理可证：当时，满足； 当为奇数时，设为数据的中位数，则， 由 （其中为常数）， 同理可证：， 综上可得：当为偶数时，时，取得最小值； 当为奇数时，时，取得最小值. 1．（24-25高三下·上海虹口·阶段检测）设为样本数据，则函数取最小值时，则的取值为（   ） A．样本众数 B．样本中位数 C．样本标准差 D．样本平均数 【答案】D 【分析】将整理成二次函数的形式，然后根据二次函数的性质来求得正确答案. 【详解】， 这是一个开口向上的二次函数，当时， 取得最小值，所以答案是样本平均数. 故选：D 2．（24-25高三上·云南昆明·期中）（多选）在某次数学测试中，甲､乙两个班的成绩情况如下表： 班级 人数 平均分 方差 甲 60 130 1 乙 40 120 2 记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平均数、方差的求法求得正确答案. 【详解】由题，有， . 故选：AC 3．（24-25高二上·山西·开学考试）已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的方差是________. 【答案】148 【分析】先分别求出男生及女生的平均数,再应用分层抽样的方差公式计算方差即可. 【详解】设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， . . 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148. 故答案为：148. 4．（24-25高二下·上海·期中）某公司的业务部有100人，技术部有50人，后勤部有150人，采用分层抽样的方式，对这三个部门进行公司福利满意度问卷调查，其中业务部的问卷数据如下： （满分10分） 6.2 6.5 7.3 7.4 7.5 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0 8.1 8.2 8.3 8.5 8.8 9.1 9.1 9.2 9.3 (1)请根据上述数据绘制茎叶图并计算其极差、标准差、平均值（结果保留两位有效数字） (2)若技术部抽样数据的均值为6.5，方差为0.32，后勤部抽样数据的均值为9.1，方差为1.25，求整体抽样数据的均值和方差（结果保留两位有效数字） (3)结合调查情况，分析公司福利情况并提出一些建议. 【答案】(1)极差为3.1，平均数为8，标准差为0.83 (2)平均数为8.3，方差为1.8 (3)见解析 【详解】（1）茎叶图如图所示： 极差为， 平均值为 方差为： 故标准差为： （2）整体抽样数据的均值， 整体抽样数据的方差 （3）公司三个部门对满意度存在较大的差异，技术部门的满意度较低，方差较小， 后勤部门的满意度较高，但方差较大，根据这些情况，公司福利可向技术部门有所倾斜. 1．（24-25高一上·福建厦门·阶段测试）今年是我国现行宪法公布施行40周年.为贯彻党的二十大精神，强化宪法意识，弘扬宪法精神，推动宪法实施，某学校开展法律知识竞赛活动，全校一共100名学生参与其中，得分情况如下表.则分数的中位数和众数分别是（    ） 分数（分） 60 70 80 90 100 人数 8 22 20 30 20 A．80，90 B．90，100 C．85，90 D．90，90 【答案】C 【分析】本题根据中位数和众数的概念进行解答即可. 【详解】把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第两个数， 所以全班名同学的成绩的中位数是， 出现了次，出现次数最多，则众数为. 所以分数的中位数和众数分别是. 故选：C. 2．（25-26高三上·安徽·期末）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，可判断A不正确；求得数据的众数和平均数的值，可判定B不正确；根据中位数的计算方法，求得数据的中位数，可判定C错误；求得落在中的人数为，结合分层抽样，列出方程，求得及格的人数，可判定D正确. 【详解】对于A，根据频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A不正确； 对于B，由频率分布直方图，可得数据的众数为， 平均数， 众数大于平均数，所以B错误； 对于C，由频率分布直方图，可得中位数为，所以C错误； 对于D，由频率分布直方图，可得落在中的人数为， 设全校有人及格，则，解得，即估计全校有640名考生及格，所以D正确. 故选：D. 3．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 【答案】D 【详解】由中位数的意义，得中位数62分为发现统计有误前的成绩由小到大排列的第53个数， 假设加分的是原成绩排第1至53名的学生，且原成绩中第52名为61分，第54名为63分， 调整后，原第52名的成绩变为66分，原第53名变为67分，而原第54名的成绩63分不变， 排序后，新成绩序列的第53项为66分，即中位数为66分， 因此调整后学生成绩的中位数不一定是 62 或 67 分. 4．（2026·安徽·模拟预测）已知一组数据：，，，…，的平均数为m，方差为，在这组数据中的任意位置插入数字m，则插入后这11个数的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 则加入后，平均数保持不变， 方差为． 5．（2026·天津·一模）某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ）    A． B．成绩在的频数为50 C．成绩中位数在内 D．成绩平均数在内 【答案】D 【分析】对于A，由频率分布直方图的性质列方程，能求出；对于B，由频率分布直方图得成绩落在的参赛学生的频率，再求频数即可判断；对于C，由频率分布直方图得的频率为，的频率为，确定成绩的中位数所在区间即可判断；对于D，求出成绩的平均分即可判断． 【详解】对于A，由频率分布直方图的性质得： ，解得，故A正确； 对于B，由频率分布直方图得成绩在的参赛学生的频率为， 成绩在的参赛学生的频数为，故B正确； 对于C，由频率分布直方图得： 的频率为， 的频率为， 成绩的中位数位于内，故C正确； 对于D，成绩的平均分为： ， 成绩的平均分落在内，故D错误． 6．（2026·重庆·模拟预测）（多选）某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，续航里程在内的频率为：，A正确； 对于B，频率分布直方图中，所有组的频率和为1，组距为100， 因此：，解得，因此选项B正确； 对于C，由于前2组的频率为0.3，由题意知第一四分位数为a， 则有； 由于前3组的频率为0.6，第二四分位数为b， 则有，C错误； 由于前4组的频率为0.85，第三四分位数为c， 则有， 故，则，D正确. 7．（2026·山东·模拟预测）（多选）某工厂抽检120个机械零件的外径尺寸（单位：mm），分组数据如下表： 尺寸区间 频数 8 13 22 37 24 16 根据表中数据，下列结论正确的有（     ） A．这120个零件外径尺寸的中位数不小于 B．这120个零件外径尺寸不低于的零件所占比例不足 C．这120个零件外径尺寸的极差介于到之间 D．这120个零件外径尺寸的平均值介于至之间 【答案】ABC 【分析】由题设表格数据计算各选项对应统计量，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，将零件外径尺寸从小到大排列，则第60个，61个数据均不小于34，则中位数不小于34，故A正确； 对于B，不低于的零件占比为：，故B正确； 对于C，由表格数据可得：零件外径尺寸最小值在内，最大值在内，则零件外径尺寸极差，即外径尺寸最大值与最小值差值范围在20到30之间，故C正确； 对于D，由表格数据，每组数据均取最小值，可得零件外径尺寸平均值不低于： ， 每组数据均取区间的右侧端点，可得零件外径尺寸平均值低于： ， 即零件外径尺寸平均值介于至之间，故D错误. 8．（24-25高三上·广东·期末）（多选）某同学投掷一枚骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）5次，并将每次向上的点数记录下来，计算出平均数和方差.若这5个点数的平均数为2，方差小于4，则关于这5个点数，下列正确的有（    ） A．极差小于4 B．一定不会出现6 C．众数可能为1 D．中位数可能为3 【答案】BC 【分析】根据平均数和方差可得.对于AC：举例说明即可；对于B：假设出现6，根据平均数和方差推出矛盾；对于D：假设中位数为3，根据平均数推出矛盾. 【详解】设数据为，且， 因为平均数，方差， 可得. 对于选项AC：例如数据为1，1，1，2，5，则，符合题意， 但极差为，众数为1，故A错误，C正确； 对于选项B：假设出现6，由平均数可知其余4个数据均为1， 但，这与题意相矛盾， 假设不成立，所以一定不会出现6，故B正确； 对于选项D：假设中位数为3，则， 可得，这与题意相矛盾， 假设不成立，所以中位数不为3，故D错误； 故选：BC. 9．（25-26高二下·重庆·期中）（多选）已知一组数据的平均数为5，方差为．现将该组数据进行以下两种处理： 操作1：加入一个新数据5，得到10个数据，方差为； 操作2：将每个数据都乘以2再加3，得到新数据，方差为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为数据的平均数为5，所以， 因为加入一个新数据5，得到10个数据， 所以， 由新数据的方差为，所以， 所以， 所以， 所以，故A正确，B错误； 由题意，，， 所以 ，故C正确，D错误. 10．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）（多选）为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（    ） A．样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30 B．样本数据的极差一定小于100 C．样本数据的中位数约为53 D．估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5% 【答案】AC 【分析】由频率分布直方图依次分析各选项可得结果. 【详解】样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为（人），故A正确； 样本数据的分布在之间，且组距为20，所以极差不一定小于100，故B错误； ，（分），所以样本数据的中位数约为53，故C正确； 日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数为（人），， 所以估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的10%，故D错误. 11．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是________ 甲．平均数为3，中位数为2             乙．中位数为3，众数为2 丙．平均数为2，方差为2.4             丁．中位数为3，方差为2.8 【答案】丙 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除甲乙丁，由假设推理判断丙． 【详解】对于甲，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故甲错误； 对于乙，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故乙错误； 对于丙，若出现6点，因为平均数为2，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故丙正确； 对于丁，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故丁错误； 故答案为：丙． 12．（2026·江苏南通·模拟预测）某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 【答案】 【分析】先根据原5个数据的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特点，计算新样本的方差. 【详解】设原5个数据为， 由原平均数为10，得，因此； 由原方差为6，根据方差定义得，因此； 加入数据10后，新样本的平均数，与原平均数相等； 新样本的方差. 13．（24-25高一下·山西吕梁·期末）已知数据的方差为16，则数据的方差为______. 【答案】36 【分析】根据以及方差性质即可得解. 【详解】因为， 又数据的方差为16， 所以由方差性质得数据的方差为. 故答案为：36. 14．（2025高一下·吉林·学业考试）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则本次测试中成绩比较稳定的是______．（填甲或乙） 【答案】乙 【分析】算出两者的成绩的方差，方差越小越稳定来判断． 【详解】按照公式先求出两者的平均值后算方差即可． ， . 由于，则本次测试中成绩比较稳定的是乙. 故答案为：乙. 15．（25-26高一下·全国·单元测试）某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． 【答案】 0.0125 144 【分析】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积和等于1，建立的方程，计算出． （2）利用频率等于小矩形的面积计算新生上学路上所需时间不少于1小时的频率，利用频数等于频率乘以总体的容量得到所求． 【详解】（1）由频率分布直方图，可得， 所以． （2）新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为， 因为，所以1200名新生中约有144名学生可以申请住校． 故答案为：0.0125；144. 16．（24-25高一下·河南周口·期末）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六组：后得到如图所示频率分布直方图． (1)求的值； (2)根据频率分布直方图，求众数和中位数； (3)用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在分数段抽取的人数； 【答案】(1) (2)众数为75，中位数 (3)11 【分析】（1）根据小矩形面积之和为建立等式求解即可； （2）找到最高的小矩形的底所在的两个端点值求解即可；首先确定中位数在那一组内，再利用从左到右面积等于建立等式求解； （3）确定抽相比，然后乘以分数段的人数即可求解． 【详解】（1）由题意可得， 解得； （2）根据频率分布直方图可知，分数段的频率最高，因此众数为75， 设中位数为，则， 解得； （3）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为． 又在分数段共有（人）， 因此在分数段抽取的人数是（人）． 17．（25-26高一下·内蒙古通辽·阶段检测）某实验中学对选择生物学科的200名学生的高一下学期期中考试成绩进行统计，得到如图所示的频率直方图.已知成绩均在区间内，不低于90分视为优秀，低于60分视为不及格.同一组中数据用该组区间中间值做代表值. (1)根据此次成绩采用分层抽样从中抽取40人开座谈会，求在区间应抽取多少人？ (2)根据频率直方图，估计这次考试成绩的平均数，众数和中位数. 【答案】(1) (2);; 【分析】（1）区间的频率即为其分层抽样的抽样比,按此抽样比计算区间的样本数即可; （2）计算各区间的频率,利用加权平均数公式来估计平均数;取频率最大的区间的组中值可估计为众数;中位数到起始数之间的频率为,可据此来构建中位数的方程来求解中位数. 【详解】（1）区间的频率为， 区间应抽取样本数为（人）. （2）区间的频率为,区间的频率为, 区间的频率为,区间的频率为, 区间的频率为, 估计这次考试成绩的平均数为 ， 由区间的频率最大，估计这次考试成绩的众数为， 因为，， 所以中位数 ，解得. 18．（2026·安徽合肥·模拟预测）某中学举办校园文化节，设置了“数智达人”和“英语秀达人”两项特色活动，两项活动前10名得分统计如下： 数智达人前10名分数 148，146，144，142，140，140，138，136，134，132 英语秀达人前10名分数 144，143，142，141，140，140，139，138，137，136 (1)求出数智达人前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数智达人与英语秀达人得分均在前10名，但是老师却将其数智达人与英语秀达人得分统计反了，已知正确的数智达人前10名分数的平均分为141，标准差为． ①求该生正确的数智达人得分是多少？并说明理由； ②为了便于成绩分析，对数智达人前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为50、标准差为10．请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数智达人分数，表示数智达人分数对应的“分数”，，为常数），并证明． （参考公式：） 【答案】(1)平均数为140，标准差为； (2)①142分，理由见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用平均数和标准差公式代入计算即可； （2）①根据平均分多1分，可得实际分数比统计的多10分，再结合标准差为分析两种情况；②分别代入并验证即可. 【详解】（1）设数智达人前10名学生分数的平均分为，标准差为， 则， ； （2）①正确的数智达人前10名分数的平均分为141，比原平均分140高1分，故10名同学的总分增加了分. 设被错误统计在“数智达人”名单中的分数为，该生正确的“数智达人”分数为，则. 核对两个成绩单，有两种可能：1. 错误记录的分数，正确分数；2. 错误记录的分数，正确分数. 若， ，则： ； 若， ，则： ； 所以， ，即：正确的数智达人得分为142分． ②设转换公式为，则 ， 所以，将 代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为， 证明：因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是， 标准差为，则转换后的平均分． 因为， 所以转换后的标准差 ， 即转换公式，满足条件得证． 19．（2025·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 【答案】(1) (2) (3)平均数为，方差为 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得. （2）由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 20．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 【答案】(1)6 (2)平均数为62.4，方差约为39.9 【详解】（1）因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为 1（频率和为 1），组距为 10， 所以 ，所以，解得， 因为：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， 四组总人数：， 抽样比为：因此 应抽取人数： 人； （2）因为与的频率之比为， 又因为落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2， 所以这两组学生成绩的平均数是， 这两组学生成绩的方差是 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.2 用样本估计总体重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 计算几个数的众数 题型二 用中位数的代表意义解决实际问题 题型三 计算几个数的平均数 题型四 用平均数的代表意义解决实际问题 题型五 计算几个数据的极差、方差、标准差 题型六 各数据同时乘除同一数对方差的影响 题型七 用方差、标准差说明数据的波动程度 题型八 估计总体的方差、标准差 题型九 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 题型十 总体百分位数的估计 拓展训练一 众数、中位数、平均数相关求解 拓展训练二 方差、标准差相关问题 知识点一： 总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度 刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平 均 数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是这组数据的平均数，用表示，即=（x1+x2+…+xn）. 中 位 数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众 数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 【即时训练】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知 2025 年 9 月份第一、四车间生产的零件数分别为 73 万件和 145 万件， 若四个车间产量随编号增加而增加， 且四个车间产量的中位数与平均数相等，则 2025 年 9 月份该厂生产的零件总数为_____万件. 知识点二： 总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，，，，总体平均数为，则总体方差= . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，不妨记为，，，，其中出 现的频数为(i=1，2，，k)，则总体方差为=. 总体标准差：S=. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 【即时训练】 1．（2026·湖北武汉·三模）记样本数据1，2，2，2，3的方差为，样本数据3，5，5，5，7的方差为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·一模）某同学5次数学周测成绩为：80，84，84，86，86；这组数据的方差为__________. 【经典例题一 计算几个数的众数】 【例1】（25-26高二上·江西宜春·期末）数据：2，0，2，5，2，0，2，6，众数为（    ） A．0 B．2 C．5 D．6 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知个数据分别是，，，，，，，．请确定： (1)样本数据的平均数的值； (2)该数据的众数． 1．（2025高二下·湖南·学业考试）样本数据2，1，4，5，6，6，15，8的中位数和众数分别是（    ） A．5，6 B．5.5，6 C．6，6 D．5.5，5 2．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）（多选）某班10名同学的某次测验成绩为：55，62，65，68，69，70，70，75，80，100．则下列说法正确的有（   ） A．这组数据的众数是70 B．这组数据的中位数是70 C．这组数据的平均数小于70 D．这组数据的平均数大于70 3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若一组数的众数为，平均数为，则__________. 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； （2）假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元） （3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 【经典例题二 用中位数的代表意义解决实际问题】 【例1】（25-26高一上·山东泰安·开学考试）某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差 【例2】（2025高一·全国·专题练习）某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示： 用水量/t 22 38 40 41 44 50 95 天数 1 1 1 2 2 1 2 (1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？ (2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？ 1．（2025·河南开封·模拟预测）某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）（多选）如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是（    ）. A．这组数据是近似对称的 B．数据中可能有极端大的值 C．数据中可能有异常值 D．数据中众数可能和中位数相同 3．（2025高二·全国·竞赛）一组数据共有50个数，其中7个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这50个数中，且平均数大于中位数，那么这组数据中小于平均数的数据占这50个数据的百分比是______． 4．（25-26高一·全国·课后作业）某餐厅共有7名员工，所有员工的工资情况如下表： 人员 经理 厨师甲 厨师乙 会计 服务员甲 服务员乙 勤杂工 人数 1 1 1 1 1 1 1 工资/元 30000 7000 5000 4500 3600 3400 3200 (1)求餐厅所有员工的平均工资． (2)求餐厅所有员工工资的中位数． (3)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？ (4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是多少？是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？ 【经典例题三 计算几个数的平均数】 【例1】（2026·湖南张家界·三模）某校随机抽取了200名学生进行成绩调研，再从这200名学生中随机抽取8名学生，得到他们的数学成绩如下：，记这组数据的平均数为，则（    ） A．100 B．98 C．101 D．102 【例2】（24-25高一下·安徽阜阳·阶段检测）某学校有高中生600人，其中男生400人，女生200人.有人为了获得该校全体高中生的身高信息，采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为174，女生样本的均值为162. (1)若男、女生样本量按比例分配，则总样本的均值为多少? (2)若男、女生的样本量都是100，则总样本的均值为多少?它作为总体均值的估计合适吗?为什么? 1．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）有甲､乙､丙三个班，甲班有个人，乙班有个人，丙班有人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是分，乙班平均分是分，丙班平均分是分．则甲､乙､丙三个班在这次考试中的总平均分是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为．若数据的平均数为，则    （    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（2025·陕西西安·三模）某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种零件，经统计，甲车间生产的100个零件中的次品率为0.03，乙车间生产的200个零件中的次品率为0.02，丙车间生产的200个零件中的次品率为0.03，则该厂零件的次品率的估计值为______． 4．（24-25高一·全国·课后作业）一组数据的算术平均数为10．若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均数为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均数为11． (1)求出第一个数关于n的表达式及第n个数关于n的表达式； (2)若都是正整数，试求第n个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据． 【经典例题四 用平均数的代表意义解决实际问题】 【例1】（25-26高一下·甘肃定西·阶段检测）为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通过简单随机抽样从中抽取了1000户进行调查，得到其月用水量的平均数为9吨，则可推测全市居民用户月用水量的平均数（    ） A．一定为9吨 B．高于9吨 C．约为9吨 D．低于9吨 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）从一个有14848户居民的地区中随机抽取一个30户的人口数为样本，样本中每户的人口数分别是估计： (1)该地区平均每户人口数； (2)该地区居民总数． 1．（2025高一下·全国·专题练习）为了了解某校高三学生每天的作业量，通过简单随机抽样从该校高三学生中抽取了60名学生，通过调查发现这60名学生每天完成作业平均用时2小时，则可以推测该校高三学生每天完成作业所需时间的平均数（　　） A．一定为2小时 B．高于2小时 C．低于2小时 D．约为2小时 2．（2025·湖北武汉·一模）（多选）在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表： 甲校理科生 甲校文科生 乙校理科生 乙校文科生 达标率 60% 70% 65% 75% 定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有（    ） A．乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校 B．两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率 C．若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65% D．甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率 3．（24-25高一下·山东菏泽·期末）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：9，8，8，9，7，8，9，10，7，5，估计该学员射击一次命中环数为___________. 4．（24-25高二·上海·课堂例题）某高校两个班级在一门选修课程的某次考试中的成绩（总分：100分）如下： 甲班 84 75 78 95 67 49 86 77 66 88 73 78 53 45 74 91 84 99 53 84 67 57 68 55 90 73 72 67 57 乙班 74 58 92 100 74 37 83 97 66 84 61 75 94 70 73 84 81 48 82 66 83 100 90 66 93 44 分别计算两个班级成绩的平均数、中位数和众数，并说明在这次考试中哪个班的成绩更好. 【经典例题五 计算几个数据的极差、方差、标准差】 【例1】（2026·河南·模拟预测）样本数据、、、、的方差为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·河北·期末）为坚持健康第一的教育理念，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志，某校高一年级体育组开展“一分钟跳绳比赛”活动，甲班两位同学的近期训练中的跳绳数（单位：次／分钟）如下： A同学：124、140、130、132、136、104、130 B同学：130、136、126、130、120、124、130 (1)分别求两组数据的众数、中位数、极差； (2)根据两组数据的平均数和方差的计算结果（结果保留两位小数），比较两位同学的跳绳水平. 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）某校举行“校园歌手”大赛，有位评委对某选手打分．已知这个分数的平均数是，方差是，现从这个分数中去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，则剩余个分数的方差为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江温州·阶段检测）（多选）一组数据，，…，方差为，平均数为，中位数为，且满足，另一组数据，，…，方差为，平均数为，中位数为，则一定有（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海徐汇·二模）已知实数满足，则的方差的最大值为__________. 4．（24-25高一下·山东烟台·阶段检测）某电视台有一档益智答题类综艺节目，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分. (1)若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号. 1622779439   4954435482 1737932378    8735209643 8426349164 8442175331   5724550688 7704744767    2176335025    83921206761 (2)某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差为2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该学校教师年龄的平均数和方差. 【经典例题六 各数据同时乘除同一数对方差的影响】 【例1】（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知一组样本数据的方差为3，则数据的方差为（   ） A．3 B．6 C．7 D．12 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）数据的方差为，数据的方差为，a，b为常数.证明： （1）如果，那么； （2）如果，那么. 1．（2026·江西南昌·三模）已知样本数据的平均数为6，方差为11；样本数据的平均数为9，方差为20，现将两组样本数据合并，则新的样本数据的方差为（    ） A．19 B．20 C．26 D．30 2．（2025·湖南长沙·一模）（多选）设的极差为，平均值为，中位数为m，方差为，，其中的极差为，平均值为，中位数为 ，方差为，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知数据的方差为3，则数据的方差为_________ 4．（25-26高一·全国·课后作业）数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明. 【经典例题七 用方差、标准差说明数据的波动程度】 【例1】（2026·山东青岛·三模）为评价某种蓝莓的种植效果，随机选择5块地作为试验田，这5块地的亩产量（单位：）分别为，，…，，下面给出的指标中可以评估这种蓝莓亩产量稳定程度的是（     ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 【例2】（25-26高一上·陕西渭南·期末）澄城县统计局对两所高中高一学生的月考数学成绩进行抽样分析，得到如下数据： 甲校：85，88，90，92，95 乙校：80，85，90，95，100 (1)分别计算两校样本的平均数、极差和方差； (2)若以“成绩稳定且优秀”为标准，哪所学校表现更好？说明理由． 1．（25-26高二上·四川成都·期中）在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，下列说法错误的是（   ） A．平均来说一队比二队防守技术好 B．二队比一队技术水平更稳定 C．一队在防守中有时表现差，有时又表现非常好 D．二队很少失球 2．（24-25高二上·海南海口·期中）（多选）在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球个数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.下列说法正确的是（    ） A．平均来说甲队比乙队防守技术好 B．乙队比甲队防守技术水平更稳定 C．甲队防守有时表现很差，有时表现又非常好 D．乙队很少失球 3．（24-25高一上·甘肃定西·开学考试）某市2022年和2023年5月1日至5日每日的最高气温（单位：℃）如表：则这五天的最高气温更稳定的是________年.（选填“2022”或“2023”） 1日 2日 3日 4日 5日 2022年 26 27 30 33 31 2023年 22 25 24 24 22 4．（24-25高一下·重庆·期中）在重庆复旦中学“复旦好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：85 86   92 87 89   95 82 91 85 小组B：95 93 51 88   90 89 91 92 94 (1)分别求两组评委打分的平均分． (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【经典例题八 估计总体的方差、标准差】 【例1】（25-26高一上·江西九江·期末）为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用按样本量等比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生1200人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.24，抽取高中生800人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为0.64，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·开学考试）在一次高一年级数学统一考试中，甲班有40人，平均成绩为70分，方差为30；乙班有60人，平均数为75，方差为40.求： (1)甲、乙两班全部学生的平均成绩； (2)有人预测，甲、乙两个班级总体的方差在30至40之间，请计算甲、乙两个班级全体成绩的方差，并判断此人说法是否正确. 1．（25-26高三上·云南昭通·期末）某社区有青年100人，老年人100人.为调查该社区全体居民每月零花钱情况，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得青年每月零花钱均值为600元，方差为100，老年人每月零花钱均值为400元，方差为100.若青年、老年人样本量按比例分配，则可估计总体方差为（    ） A．11000 B．10101 C．10110 D．10100 2．（24-25高三上·重庆·期中）（多选）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为，方差为200，乙队体重的平均数为，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两队全部队员的平均体重是 B．甲、乙两队全部队员的平均体重是 C．甲、乙两队全部队员的方差是296 D．甲、乙两队全部队员的方差是306 3．（2026·广东广州·三模）在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 4．（24-25高二上·四川成都·阶段检测）某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据； 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，方差. 参考数据：，，. (1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数； (2)用总样本平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值. 【经典例题九 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量】 【例1】（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【例2】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某校从全校随机抽取名学生参加奥运知识竞赛，并根据这名学生的竞赛成绩（总分为100分）绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在内的学生有6名. (1)求 (2)求 (3)样本中分数在内的学生有几名 1．（24-25高二下·河南焦作·期末）某样本的频率分布直方图如图，从样本中随机抽取一个数据，若该数据落在内的概率之比为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北张家口·二模）（多选）从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示.则时速在的汽车大约有______辆. 4．（25-26高一上·全国·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【经典例题十 总体百分位数的估计】 【例1】（25-26高二下·江苏镇江·期中）某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（   ） A．21 B．22 C．22.5 D．23 【例2】（24-25高一下·内蒙古·期末）甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为． (1)求这组数据的分位数； (2)求这组数据的平均数和标准差； (3)求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比． 参考数据：． 1．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（    ） A．6 B．4 C．11 D．11.5 2．（25-26高一上·山西忻州·期末）（多选）某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（    ） A．极差为7 B．分位数为4 C．平均数为4 D．方差为5 3．（2026·河南许昌·三模）某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 4．（24-25高一下·广东佛山·期末）某商场停车收费标准如下：停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时算，如停车时长为2.5小时，则按3小时计算，收费8元），一天之内封顶24元.为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了100辆车一天内的停车时长（单位：小时），将数据按照，，，分成9.组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)估计停车费为24元的频率； (2)估计停车时长的第85百分位数； (3)假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天的停车费收入. 【拓展训练一 众数、中位数、平均数相关求解】 【例1】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）倡导中小学生学习践行“富强､民主､文明､和谐；自由､平等､公正､法治；爱国､敬业､诚信､友善”社会主义核心价值观这24个字，其中含有12组词，每组词的笔画数的和依次为，则这12个笔画数的众数是（    ） A．17 B．16 C．1 D．24 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年．后来质量检测部门对他们的产品进行抽样调查，抽样调查的甲、乙、丙各8个产品使用寿命的统计结果如下（单位：年）： 甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12； 乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12； 丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10． (1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表： \ 平均数 众数 中位数 甲厂 乙厂 丙厂 (2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量； (3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？ 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知四个正整数满足，且 的平均数和中位数都为5，则可能的取值情况总数是（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 2．（2025高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．数据2，4，6，8的中位数是4，6 B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4 C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数 D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 3．（2024·全国·模拟预测）记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a，平均数为b，则=______． 4．（24-25高三下·河南濮阳·阶段测试）某经销商采购了一批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐（每筐1kg），得分数据如下：17，23，27，31，36，40，45，50，51，51，58，63，65，68，71，78，79，80，85，95．根据以往的大数据认定：得分在区间，，，内的分别对应四级、三级、二级、一级． (1)试求这20筐水果得分的平均数． (2)用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售： 方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售； 方案2：分等级出售． 不同等级水果的售价如下表所示： 等级 一级 二级 三级 四级 售价（万元/吨） 2 1.8 1.5 1.2 请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由． 【拓展训练二 方差、标准差相关问题】 【例1】（2026·河北沧州·二模）AI大模型已经越来越多应用于我们的日常生活，某校社会实践小组为了调查某款AI大模型App在大学生中的使用情况，共调查了1000名大学生（男生与女生人数之比为3:2），统计后发现，男生和女生对该App的评分的平均数分别为8和6，方差均为，则这1000名大学生对该App的评分的方差为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·福建厦门·阶段检测）给定样本数据，记样本均值为，定义：为样本数据到实数的偏差平方和，为样本数据到实数的距离和． (1)证明：; (2)证明：的最小值为； (3)求当取最小值时，的取值． 1．（24-25高三下·上海虹口·阶段检测）设为样本数据，则函数取最小值时，则的取值为（   ） A．样本众数 B．样本中位数 C．样本标准差 D．样本平均数 2．（24-25高三上·云南昆明·期中）（多选）在某次数学测试中，甲､乙两个班的成绩情况如下表： 班级 人数 平均分 方差 甲 60 130 1 乙 40 120 2 记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西·开学考试）已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的方差是________. 4．（24-25高二下·上海·期中）某公司的业务部有100人，技术部有50人，后勤部有150人，采用分层抽样的方式，对这三个部门进行公司福利满意度问卷调查，其中业务部的问卷数据如下： （满分10分） 6.2 6.5 7.3 7.4 7.5 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0 8.1 8.2 8.3 8.5 8.8 9.1 9.1 9.2 9.3 (1)请根据上述数据绘制茎叶图并计算其极差、标准差、平均值（结果保留两位有效数字） (2)若技术部抽样数据的均值为6.5，方差为0.32，后勤部抽样数据的均值为9.1，方差为1.25，求整体抽样数据的均值和方差（结果保留两位有效数字） (3)结合调查情况，分析公司福利情况并提出一些建议. 1．（24-25高一上·福建厦门·阶段测试）今年是我国现行宪法公布施行40周年.为贯彻党的二十大精神，强化宪法意识，弘扬宪法精神，推动宪法实施，某学校开展法律知识竞赛活动，全校一共100名学生参与其中，得分情况如下表.则分数的中位数和众数分别是（    ） 分数（分） 60 70 80 90 100 人数 8 22 20 30 20 A．80，90 B．90，100 C．85，90 D．90，90 2．（25-26高三上·安徽·期末）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 3．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 4．（2026·安徽·模拟预测）已知一组数据：，，，…，的平均数为m，方差为，在这组数据中的任意位置插入数字m，则插入后这11个数的方差为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·天津·一模）某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ）    A． B．成绩在的频数为50 C．成绩中位数在内 D．成绩平均数在内 6．（2026·重庆·模拟预测）（多选）某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 7．（2026·山东·模拟预测）（多选）某工厂抽检120个机械零件的外径尺寸（单位：mm），分组数据如下表： 尺寸区间 频数 8 13 22 37 24 16 根据表中数据，下列结论正确的有（     ） A．这120个零件外径尺寸的中位数不小于 B．这120个零件外径尺寸不低于的零件所占比例不足 C．这120个零件外径尺寸的极差介于到之间 D．这120个零件外径尺寸的平均值介于至之间 8．（24-25高三上·广东·期末）（多选）某同学投掷一枚骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）5次，并将每次向上的点数记录下来，计算出平均数和方差.若这5个点数的平均数为2，方差小于4，则关于这5个点数，下列正确的有（    ） A．极差小于4 B．一定不会出现6 C．众数可能为1 D．中位数可能为3 9．（25-26高二下·重庆·期中）（多选）已知一组数据的平均数为5，方差为．现将该组数据进行以下两种处理： 操作1：加入一个新数据5，得到10个数据，方差为； 操作2：将每个数据都乘以2再加3，得到新数据，方差为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）（多选）为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（    ） A．样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30 B．样本数据的极差一定小于100 C．样本数据的中位数约为53 D．估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5% 11．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是________ 甲．平均数为3，中位数为2             乙．中位数为3，众数为2 丙．平均数为2，方差为2.4             丁．中位数为3，方差为2.8 12．（2026·江苏南通·模拟预测）某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 13．（24-25高一下·山西吕梁·期末）已知数据的方差为16，则数据的方差为______. 14．（2025高一下·吉林·学业考试）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则本次测试中成绩比较稳定的是______．（填甲或乙） 15．（25-26高一下·全国·单元测试）某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． 16．（24-25高一下·河南周口·期末）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六组：后得到如图所示频率分布直方图． (1)求的值； (2)根据频率分布直方图，求众数和中位数； (3)用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在分数段抽取的人数； 17．（25-26高一下·内蒙古通辽·阶段检测）某实验中学对选择生物学科的200名学生的高一下学期期中考试成绩进行统计，得到如图所示的频率直方图.已知成绩均在区间内，不低于90分视为优秀，低于60分视为不及格.同一组中数据用该组区间中间值做代表值. (1)根据此次成绩采用分层抽样从中抽取40人开座谈会，求在区间应抽取多少人？ (2)根据频率直方图，估计这次考试成绩的平均数，众数和中位数. 18．（2026·安徽合肥·模拟预测）某中学举办校园文化节，设置了“数智达人”和“英语秀达人”两项特色活动，两项活动前10名得分统计如下： 数智达人前10名分数 148，146，144，142，140，140，138，136，134，132 英语秀达人前10名分数 144，143，142，141，140，140，139，138，137，136 (1)求出数智达人前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数智达人与英语秀达人得分均在前10名，但是老师却将其数智达人与英语秀达人得分统计反了，已知正确的数智达人前10名分数的平均分为141，标准差为． ①求该生正确的数智达人得分是多少？并说明理由； ②为了便于成绩分析，对数智达人前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为50、标准差为10．请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数智达人分数，表示数智达人分数对应的“分数”，，为常数），并证明． （参考公式：） 19．（2025·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 20．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 学科网（北京）股份有限公司 $