专题10.2 独立事件与频率重难点题型专训（2个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

**基本信息** 聚焦独立事件与频率两大核心知识点，通过7大题型+拓展训练构建“概念-判断-计算-应用”完整方法体系，强化逻辑推理与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件的相互独立性|2知识点+2即时训练+4题型（含6典例）|定义判断（公式法）、乘法公式应用、实际问题转化|从定义（P(AB)=P(A)P(B)）到性质（对立事件独立性），再到n重独立事件推广| |频率与概率|2知识点+2即时训练+3题型（含6典例）|频率计算（频数/总数）、概率估计（频率稳定性）、游戏公平性判断（概率相等）|从频率与概率区别到频率稳定性，再到实际应用（如估计概率、公平性分析）| |拓展训练|2典例+4综合题|独立事件与频率综合应用|融合两大知识点，提升复杂问题解决能力|

专题10.2 独立事件与频率重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 相互独立事件与互斥事件 题型二 独立事件的乘法公式 题型三 独立事件的实际应用 题型四 独立事件的判断 题型五 计算频率 题型六 用频率估计概率 题型七 游戏的公平性 拓展训练一 独立事件有关问题 知识点一： 事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏扬州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果. 【详解】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反）， 显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生， 所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误. 又因为，而，， 所以，，故C错误，D正确. 故选：D 2．（24-25高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 【答案】/ 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 知识点二： 频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着 试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率(A)会逐渐稳定于事件A发生的 概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率(A)估计概率P(A). (4)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判 员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. 【即时训练】 1．（25-26高二上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【分析】利用频率与概率的概念分析选项即可. 【详解】对于A，此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必胜3场，所以A错误； 对于B，此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以B错误； 对于C，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误； 对于D，预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确. 故选：D 2．（24-25高二上·湖北孝感·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球_________个． 【答案】 【分析】用频率估计概率，根据绿球个数除以总个数即可. 【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为袋中有个红球，个白球， 所以，解得：， 故答案为：8. 【经典例题一 相互独立事件与互斥事件】 【例1】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知事件，相互独立，且，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助相互独立事件的性质可得. 【详解】由事件，相互独立，则. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·四川成都·阶段检测）甲､乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲射击一次击中的概率为，乙射击一次击中的概率为，且第一次由甲开始射击. (1)求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； (2)求第4次由甲射击的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由前3次射击中甲恰好击中2次，可得前2次甲都击中目标，但第三次没有击中，即可乘法公式即可求解； （2）分“甲连续射击3次且都击中”； “第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中” “第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中” “第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”结合互斥事件和事件计算公式即可求解； 【详解】（1）前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，故它的概率为 （2）设事件“甲连续射击3次且都击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中”； 事件“第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第4次由甲射击”两两互斥， 所以第4次由甲射击的概率为 1．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 2．（24-25高二下·全国·课前预习）（多选）下列事件中，是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 【答案】AC 【分析】对于AB：根据独立事件的定义分析判断；对于C：先求，根据独立事件的乘法公式分析判断；对于D：根据互斥事件与独立事件的关系分析判断. 【详解】对于选项A：把一枚硬币掷两次，对于每次而言结果都是相互独立的， 即其结果不受先后次序的影响．所有事件是相互独立事件，故A正确； 对于选项B：不放回地摸球，显然事件A与事件不相互独立，故B错误； 对于选项C：事件A为出现1，3，5点，， “出现点数为3或4”，则， “出现点数为3”，则， 因为，所以事件相互独立，故C正确； 对于选项D：可知两事件是互斥事件，所以事件不是相互独立事件，故D错误． 故选：AC. 3．（25-26高二·全国·课后作业）在一个抛硬币的游戏里，抛出的前2个硬币都是正面朝上，则在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为_______． 【答案】＃ 【分析】利用相互独立事件的定义即可得到答案. 【详解】∵每次抛硬币都是相互独立的， ∴在抛掷第3个硬币时，正面朝上的概率为， 故答案为：. 4．（24-25高二上·湖南常德·期中）甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球. (1)求第3回合由乙发球的概率； (2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）第3回合由乙发球包含两种情况，分别求出概率相加即可得解； （2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3， 分别求出概率相加即可. 【详解】（1）由题可知，第3回合由乙发球包含两种情况：第1回合甲赢，第2回合乙赢；第1回合乙赢，第2回合乙赢， 所以第3回合由乙发球的概率为. （2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3， 甲赢的回合数为3的概率为， 甲赢的回合数为2的概率为， 所以前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为. 【经典例题二 独立事件的乘法公式】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）若事件与相互独立，且，则的值等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】若事件与相互独立，则. 【详解】若事件与相互独立，则. 【例2】（2026·安徽·模拟预测）某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试．假设技工小李每年都参加，他第1年达标的概率为1%，以后每年参加时达标的概率比上一年增加1个百分点（即第2年达标的概率为2%，第3年达标的概率为3%，依此类推），且每年达标与否不受往年影响． (1)求小李第2年首次达标的概率； (2)设小李第n年首次达标的概率为，则当n为多少时，最大？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在第2年首次达标，意味着第1年未达标，第2年达标． 第1年达标的概率为，未达标的概率为， 第2年达标的概率为． 故所求概率为． （2）当时，． 当时，， ， 令，即，化简得，因为，所以， 即时，，当时，，所以当时，最大． 1．（25-26高二下·山东青岛·期中）甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和. 【详解】设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况： 甲中-乙中-甲没中-甲，概率为； 甲没中-甲没中-甲中-乙：； 甲没中-甲中-乙中-甲：， 所以. 2．（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（  ） A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，甲和乙两本书都买的概率为，则小王买乙书的概率为 C．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 D．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为 【答案】ABD 【分析】根据独立事件的乘法公式对每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可. 【详解】对于A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯， 所以概率为，故A正确； 对于B：设购买甲书的概率为，购买乙书的概率为， 则由题意可得解得.  故B正确； 对于C：用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码， 则，，， “三个人都不能破译出密码”发生的概率为， 所以此密码被破译的概率为，故C不正确； 对于D：设“从甲袋中取到白球”为事件A，则， 设“从乙袋中取到白球”为事件B，则， 故取到同色球的概率为，故D正确. 故选：ABD 3．（2025高二下·福建·学业考试）天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 【答案】/ 【分析】根据事件的独立性，利用独立事件的概率乘法公式计算两地同时下雨的概率. 【详解】设”甲地下雨”为事件，”乙地下雨”为事件，则，. 由两地下雨互不影响，可知事件与相互独立. 因此，甲乙两地都下雨的概率为. 4．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）某公司在一次入职面试中，共设有轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目即可通过面试，累计答错两道题目即被淘汰．已知张三能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响． (1)求张三不需要进入第三轮测试的概率； (2)求张三通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得答案. 【详解】（1）设张三通过第一、二、三轮测试分别设为事件、、，可知、、相互独立． 设张三不需要进入第三轮测试为事件，则， 所以 ， 即张三不需要进入第三轮测试的概率为. （2）设张三最终通过测试为事件，则， 所以 . 故张三最终通过测试的概率为. 【经典例题三 独立事件的实际应用】 【例1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 【答案】D 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，结合选项，即可求解. 【详解】A.该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率，故A错误； B.该题未被攻克的概率为，故B错误； C.由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误； D.该题至多被1人攻克 概率为，故D正确. 故选：D 【例2】（25-26高二上·广东·阶段检测）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分第2局甲轮空，第3局乙轮空；和第2局乙轮空，第3局甲轮空两种情况分别计算即可； （2）分甲第2局轮空，第3局轮空，第4局轮空三种情况分别计算即可； （3）第4局是甲、乙对打，有两种情况：情况一，第2局为甲、丙对打，第3局为乙、丙对打；情况二，第2局为乙、丙对打，第3局为甲、丙对打.分别计算两种情况下第4局为甲、乙对打的概率. 【详解】（1）若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为. 若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为. 故所求概率为. （2）分三种情况. 第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜， 其概率为. 第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负， 其概率为. 第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了. 其概率为. 故所求概率为. （3）第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜. 此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜. 此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 故所求概率为 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知事件和相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相互独立事件概率公式计算即可. 【详解】因为事件和相互独立，事件为和事件，则， 所以，解得； 故选：D 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为收到1的概率为．共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为 C．采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为 D．当时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】BCD 【分析】根据独立事件的概率乘法公式以及列举法判断各选项即可. 【详解】对于A，由题意，采用单次传输方案，收到两个译码恰好有一个正确的概率为 ，故A错误； 对于B，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“”、“”、“”、“”， 则译码为1的概率为，故B正确； 对于C，采用单次传输方案，则收到的译码为1的概率为 ，故C正确； 对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“”、“”、“”、“”， 所以收到译码为0的概率； 若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为， 由，且， 则，即，故D正确； 故选：BCD. 3．（24-25高二下·山东威海·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为_______. 【答案】/0.104 【分析】设甲获胜为事件,求出甲获胜的概率，次投篮甲至少获胜次的概率为，利用独立事件的概率公式求解即可. 【详解】设甲获胜为事件,则， 则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 故答案为：. 4．（24-25高一下·江西宜春·阶段检测）甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)4局比赛中,对甲恰好有2局比赛获胜的情况分类分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式,即可求得甲恰好有2局比赛获胜的概率; (2) 4局比赛中，甲获胜的局数比乙获胜的局数多的情况分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式，即可求得甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件， 记“甲恰好有2局比赛获胜”为事件， 所以， 所以. （2）记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件， 所以， 所以 . 即甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率为. 【经典例题四 独立事件的判断】 【例1】（25-26高二下·上海·期中）是事件A和B为独立事件的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 【答案】A 【详解】若，根据条件概率公式，两边同乘，因为有意义， 所以，可得：，满足独立事件的定义，因此事件，事件独立，充分性成立； 若事件，事件独立，可得：，只有当时，代入条件概率公式：，才能推导出，但当时，事件，事件仍然是独立的，此时无意义，故不成立，必要性不成立； 故是事件和为独立事件的充分不必要条件. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”； (3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”． 【答案】(1)是相互独立事件 (2)是相互独立事件． (3)不是相互独立事件． 【分析】略 【详解】（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响， 所以二者是相互独立事件． （2）由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个， 取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个， 取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件． （3）不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件． 1．（2025高二上·上海·专题练习）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的概念进行判定. 【详解】不放回地依次取出两个，事件的结果用“”表示，，表示第一次取出的小球的编号， 表示第二次取出的小球的编号，基本事件有，共种， 事件，事件， 事件，事件. 事件，事件， 事件， 事件， 则，，， ，，，， 所以，所以与不相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； 故选：A 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）（多选）下列事件中，A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 【答案】AC 【详解】对于选项A，可知事件“第一次为反面朝上，且第二次为正面朝上”， 可知， 所以，所以相互独立，选项A正确； 对于选项B，可知第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为， 第一次没有摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为， 可知第一次的结果对第二次摸球有影响，所以事件不相互独立，选项B错误； 对于选项C，可知事件“出现点数为2”， 可知， 所以，所以相互独立，选项C正确； 对于选项D，可知事件互斥，即，所以事件不相互独立，选项D错误； 3．（25-26高一下·北京·期中）为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 【答案】②③ 【分析】根据图中事件的关系，结合独立事件的判定判断各项的正误即可. 【详解】对于①，由题图知，为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，①不正确； 对于②，由图得，则，，则有，所以图中事件相互独立，②正确； 对于③，设图中的小的长方形的面积为，由，，， 所以，则题图中事件相互独立，③正确. 4．（24-25高一下·广东汕头·期末）一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”. (1)求事件的概率； (2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)事件与事件相互独立. 【分析】（1）根据题意求出样本空间以及事件的样本点，利用古典概型公式即可求解； （2）先求事件与事件的样本点，进而求，根据事件的独立性的定义即可求解. 【详解】（1）由题意有：设表示第一次取得小球号码，表示第二次取得小球号码，表示2次取得小球号码， 则共有36个样本点，共有18个样本点， 所以； （2）共有18个样本点， 共有个样本点， 所以，，所以， 所以事件与事件相互独立. 【经典例题五 计算频率】 【例1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（    ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 【答案】B 【分析】根据表格中数据，先计算出频数，再计算频率. 【详解】第3组的频数，频率为. 故选：B 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）情境1某工厂生产一批产品，经调查只有10个不合格品. 情境2某工厂生产一批产品，经调查产品不合格率为1%. 上面哪一种情境能更好地反映工厂的生产情况? 【答案】情境2能更好地反映 【分析】根据频数与频率的特征进行分析即可 【详解】“生产了100个产品有10个不合格品”与“生产了10000个产品有10个不合格品”， 这两种情况虽然都是10个不合格品，但是工厂生产产品的数量却大不相同， 因此只知道某个指标的频数是不够的， 需要用频率来刻画.频率表示频数与总数的比值，能更好地反映样本和总体的相应特征. 所以情境2能更好地反映工厂的生产情况. 1．（2026高一·全国·课后作业）从标有数字1，2，6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由标有1的号签出现4次，可知另外6次应抽到标有2，6的号签，所以乘积12出现6次，由此即可求出答案. 【详解】标有1的号签出现4次，另外6次应抽到标有2,6的号签， 所以乘积12出现6次，频率为. 故选：B. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8 B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7 C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次 D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心4次 【答案】ACD 【分析】利用频率与频数之间的关系，对选项逐一分析即可. 【详解】某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是，故正确； 某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是，故错误； 某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心次，故正确； 某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心次，故正确. 故选：. 3．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 【答案】0.45 【分析】根据给定条件，利用频率的定义求解. 【详解】正面向上的频率为：. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·暑假作业）有一批种子，其中的种子可能1天发芽，也可能2天发芽，，下表是对不同发芽天数的种子数的记录： 发芽天数/天 1 2 3 4 5 6 7 ≥8 种子数/粒 18 36 20 11 9 3 1 0 (1)求发芽天数为2天或3天的频率（经验概率）； (2)求发芽天数超过4天的频率.（结果精确到0.01） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据频率公式计算可得. 【详解】（1）依题意发芽天数为2天或3天的有粒， 所以发芽天数为2天或3天的频率为； （2）发芽天数超过4天的有粒， 所以发芽天数超过4天的频率为. 【经典例题六 用频率估计概率】 【例1】（25-26高二下·海南·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用概率的性质求解即可. 【详解】由概率的性质得无论试验多少次，概率始终不变， 故第2027次出现正面朝上的概率是，故C正确. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么连续3次投篮，恰有2次投中的概率大概是多少？ 【答案】 【分析】通过设计模拟试验的方法，产生随机数，通过计算频率得到概率的近似值. 【详解】利用设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数． 用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是． 因为是投篮3次，所以将每3个随机数字作为一组． 例如，产生18组随机数： 812，932，569，683，271，989，730，537，925， 907，113，966，191，431，257，393，027，556． 这就相当于做了18次试验． 在一组数中，如果恰有2个数字在1，2，3，4中，那么表示恰有2次投中，它们分别是812，932，271，191，393，共有5组数， 所以我们得到了3次投篮中恰有2次投中的概率近似为． 1．（24-25高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 【答案】C 【分析】由概率得出这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，结合题设条件，估计第二个问题有人回答了“是”，从而得出所占比例. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C 2．（25-26高一·湖南·课后作业）（多选）(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【分析】求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解. 【详解】解：对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的； 对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平； 对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的； 对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的. 故选：ACD 3．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 【答案】 /0.7 14 【分析】根据随机事件的概率计算公式计算即可. 【详解】由题意可知摸球100次，其中30次摸到黑球， 所以其中70次摸到白球，故一次试验中摸到白球的概率为， 设不透明的盒子里，装有6个黑球和个白球， 则摸到白球的概率为，解得. 故答案为：；14. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，应用随机数计算频率估计恰好成活4棵的概率． 【答案】 【分析】根据随机数得出30组数据，再应用频率计算得出概率近似值. 【详解】利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，用0代表不成活，1到9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9． 因为是种植5棵树苗，所以每5个随机数作为一组，产生30组随机数． 69801  66097  77124  22961  74235  31516  29747  24945  57558 65258  74130  23224  37445  44344  33315  27120  21782  58555 61017  45241  44134  92201  70362  83005  94926  56173  34783 16624  30344  01117 这就相当于做了30次试验． 在这30组随机数中，如果恰有一个是0，则表示恰有4棵成活，共有9组， 于是得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为． 【经典例题七 游戏的公平性】 【例1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每次试验出现正反面的概率是相等的即可得到结果. 【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为. 故选：D. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析. 【分析】（1）根据定义一一列举出即可； （2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断. 【详解】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个. 分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. （2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得 ， 又A与B对立，所以， 所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 1．（24-25高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【详解】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 2．（24-25高一下·江苏淮安·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6 B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报 C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率. 【答案】CD 【分析】由概率统计的基本概念逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：、某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故错误； 、买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误； 、根据古典概型的概率公式可知C正确； 、大量试验后，可以用频率近似估计概率，故正确． 故选：CD． 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查概率统计的基本概念，属于基础题． 3．（25-26高一·全国·课后作业）小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则____.(填“公平”或“不公平”) 【答案】不公平 【分析】由游戏规则可知若谁第一次取两支铅笔就一定能获胜即可作出判断. 【详解】当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论第二个人取1支还是2支， 第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜.所以不公平. 故答案为:不公平 4．（25-26高一·全国·课后作业）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【答案】见解析. 【分析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断. 【详解】解：把卡片六个面的颜色记为，，，，，， 其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果可以用如图表示. 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为. 因此，这个游戏不公平. 【拓展训练一 独立事件有关问题】 【例1】（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知随机事件A，B相互独立，若，，则（    ）． A．0.6 B．0.5 C．0.2 D．0.15 【答案】A 【详解】事件A，B相互独立，即， 得，． 【例2】（24-25高二下·河北邢台·期中）某档知识竞赛节目的规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人每道题答对的概率分别为，并且每道题两人答对与否相互独立. (1)求第一题结束时甲获得1分的概率； (2)求甲获得胜利的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式即可求解； （2）利用独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）第一题结束时甲获得1分的概率为. （2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙获得1分的概率分别为， 两人共抢答了3道题，比赛结束且甲获胜的概率， 两人共抢答了4道题，比赛结束且甲获胜的概率， 两人共抢答了5道题，比赛结束且甲获胜的概率， 故甲获得胜利的概率. 1．（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由独立事件概率公式和充要条件的概念即可求解. 【详解】由甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6， 若“事件互相独立”，则， 若，则事件互相独立， 即“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的充要条件， 故选：C 2．（24-25高二上·新疆伊犁·期中）（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是 【答案】BC 【分析】根据独立事件概率公式，计算后，判断的ABD；根据古典概型概率公式，判断C. 【详解】对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A错误； 对于B，用、、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B正确； 对于C，从1，2，3，4中任取2个不同的数，共有种方法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点，在概率，故C正确； 对于D，易得,即, 即,∴,又, ∴,∴,故D错误 故选BC 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为，乙每关闯关成功的概率均为，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率是__________. 【答案】/ 【分析】根据题意，计算甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率，即计算成功关数为3或4的概率，根据甲，乙的闯关结果是独立的，可先分别计算出甲，乙分别闯关成功的概率，再结合两者的结果进行计算即可. 【详解】设事件“甲有关闯关成功”，“乙有关闯关成功”，， 则，， ，， 设甲、乙两人总共至少有三关闯关成功的事件为，则， . 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 【答案】(1) (2)相互独立，证明见解析 【分析】（1）利用古典概型求解概率即可； （2）根据事件独立的定义计算判断即可； 【详解】（1）因为每次抽取都有4种可能，两次抽取相互独立， 共包含个基本事件 其中事件包含3个基本事件． 所以； （2）一次抽取两张共包含6个基本事件， 事件，所以．． 事件所以． 事件所以， 因为，所以事件C和D相互独立． 1．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 2．（25-26高二下·广西河池·期中）甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用独立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式计算求解. 【详解】因为甲乙两人投篮投中的概率分别为，， 又因为两人是否投中互不影响，两人各投篮一次， 则只有一个人投中的概率是. 3．（24-25高一下·贵州安顺·期末）若，，则关于事件A与B的关系正确的是（   ） A．事件A与B相互独立但不互斥 B．事件A与B互斥但不相互独立 C．事件A与B相互独立且互斥 D．事件A与B既不相互独立也不互斥 【答案】A 【分析】利用相互独立事件的判断方法即，而互斥事件是不可能同时发生，从而可得到判断. 【详解】因为，所以，则， 又因为，所以，则事件A与B相互独立， 由于，则事件A与B可以同时发生，即它们不是互斥事件，故A只有正确， 故选：A 4．（24-25高一下·新疆巴州·期末）在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 【答案】D 【分析】结合题意，由频率等于频数比总数可得. 【详解】由题意可得反面朝上的频数为52，所以其频率为. 故选：D 5．（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】同时开放1、2两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 同时开放2、 3两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 所以1疏散乘客比3快； 同理可得4疏散乘客比2快，5疏散乘客比3快，4疏散乘客比1快， 2疏散乘客比5快，所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是4． 6．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 【答案】ABD 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义一一分析结合列举法判定选项即可. 【详解】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况， 则事件A包含正正，正反两种情况；事件B包含正反，反反两种情况； 事件C包含正反，反正两种情况；事件D包含正正一种情况； 所以， 显然，， ，，即ABD正确. 故选：ABD 7．（25-26高二上·广东·阶段检测）（多选）如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.表示事件“数字为质数”，表示事件“数字为偶数”，表示事件“数字大于4”，表示事件“数字为8”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】BC 【分析】运用独立事件的概率乘法公式计算，即可判断各选项. 【详解】依题意， 则，，，，， 所以，，，， 故与相互独立，与相互独立，与不相互独立，与不相互独立. 故选：BC. 8．（2026·四川巴中·一模）（多选）若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ） A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥 C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立 【答案】BD 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义判断即可. 【详解】因为，所以事件与不互斥，A错误B正确； 因为，所以. 所以，又， 所以，所以事件与相互独立，C错误D正确. 故选：BD. 9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（   ） A．正面向上的次数是1012或1013 B．正面向上的频率可能等于0.48 C．正面向上的频率一定等于0.5 D．若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 【答案】BD 【分析】正面向上的频率是随机的，故AC说法过于绝对，对于B，若频率为0.48，经计算正面朝上972次时满足条件，对于D，由于0.4与0.5差距较大，则有可能满足D中描述的硬币质量分布可能不均匀. 【详解】对于A，正面向上的次数是随机的，A的说法过于绝对，故A错误； 对于B，因为是整数，正面朝上的次数有可能是972次，故B正确； 对于C，正面向上的频率是随机的，只不过随着样本量的增加，频率应趋近于0.5，C的说法过于绝对，故C错误； 对于D，随着样本量的增加，正面向上的频率应趋近于0.5，0.4与0.5差距较大，故有硬币质量分布不均匀（即正面朝上的概率）的可能，故D正确. 故选：BD. 10．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的命中率一定为 B．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小 C．某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D．随着试验次数足够多，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】BD 【分析】运用频率和概率概念，以及频率与概率的关系逐个判断即可. 【详解】对于A，小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的频率为，不是命中率，故A错误； 对于B，D,运用频率的定义，概率与频率的关系可判断都正确. 对于C， 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1700粒种子发芽.故C错误. 故选：BD. 11．（24-25高二下·重庆·阶段检测）已知事件和事件相互独立，，则_______． 【答案】/ 【分析】根据独立事件的性质可得事件和事件相互独立，再根据独立事件概率乘法公式求解即可. 【详解】因为事件和事件相互独立，所以事件和事件相互独立， 则. 故答案为：. 12．（24-25高二上·四川成都·期中）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为____________. 【答案】0.46/ 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件，乙中靶为事件， 则恰有一人中靶的概率为， 故答案为：. 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个_______． 【答案】7 【分析】利用频率近似红球的所占比例可得答案. 【详解】因为红球所占比例为， 所以红球的个数最有可能有. 故答案为：. 14．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是______． 【答案】0.44/ 【分析】由频率估计概率，得出所求概率. 【详解】因为身高高于170cm的频率为， 抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44. 故答案为：0.44 15．（2026高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是________. 【答案】①②③ 【分析】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可. 【详解】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误； ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误； ③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误； ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确. 故答案为：①②③ 16．（24-25高一下·河南商丘·期末）张三参加某闯关比赛，比赛分为三关，每关都需要闯，且在同一天内完成三关的闯关，不能弃权.比赛规则如下：第一天三关都闯关失败者被淘汰；第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关；第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副并结束闯关；第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关，若该闯关者第二天三关都闯关成功，则获得蓝牙耳机一副，否则获得纪念奖，并结束闯关.已知张三每关闯关成功的概率均为，且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响. (1)求张三被淘汰的概率； (2)求张三第一天获得纪念奖的概率； (3)求张三第二天获得蓝牙耳机的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)结合题意，结合独立事件的含义求解即可； （2）结合题意得到相对应的事件，利用全概率公式和独立性求解即可； （3）利用独立性和全概率公式求解即可,.. 【详解】（1）记张三第一、二、三关闯关成功分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，且.张三被淘汰是指第一天三关都闯关失败. 记事件“张三被淘汰”， 则. （2）张三第一天获得纪念奖即张三第一天只有一关闯关成功，设为事件N， 则， （3）张三第二天获得蓝牙耳机是指第一天有两关闯关成功且第二天三关都闯关成功. 记事件“张三第二天获得蓝牙耳机”，事件“张三第一天有两关闯关成功”，事件“张三第二天三关都闯关成功”， . 所以 17．（25-26高二上·重庆·期中）在一次数学练习中，甲、乙两人同时独立做同一道较难的数学题，已知甲、乙能做对的概率分别是0.4和0.5． (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可； （2）根据概率的加法与乘法公式求解即可. 【详解】（1）设事件“甲做对”，事件“乙做对”，则“两人都做对”为事件. . （2）“恰有一人做对”为事件， . 18．（2025·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，方案一即可表示为，方案二先考虑随机选取两门的概率为，再计算这两门都及格的概率即可. （2）为了比较概率大小，可作差与比较即可. 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 （2） ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 19．（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 【答案】(1)答案见解析 (2)0.9 【分析】（1）根据题意频率计算公式运算求解； （2）根据概率和频率的关系分析求解. 【详解】（1）根据频率计算公式，表格数据如下： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 （2）由（1）中所求，随着射击次数的增大，频率的稳定值为0.9． 故这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9. 20．（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率． 【答案】(1) (2)，，. 【分析】（1）由频率估计概率可得结论； （2）先分别求甲校，乙校抽取一人选择正确和选择错误的概率，再利用独立事件概率乘法公式计算相应概率即可； 【详解】（1）因为甲校所抽查的100名学生中选择正确的人数为80， 所以甲校所抽查的学生该题选择正确的频率为， 故估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率； （2）设事件为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设事件为“从乙校抽取1人做对”，则，， 依题意可知， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 独立事件与频率重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 相互独立事件与互斥事件 题型二 独立事件的乘法公式 题型三 独立事件的实际应用 题型四 独立事件的判断 题型五 计算频率 题型六 用频率估计概率 题型七 游戏的公平性 拓展训练一 独立事件有关问题 知识点一： 事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏扬州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 2．（24-25高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 知识点二： 频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着 试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率(A)会逐渐稳定于事件A发生的 概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率(A)估计概率P(A). (4)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判 员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. 【即时训练】 1．（25-26高二上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 2．（24-25高二上·湖北孝感·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球_________个． 【经典例题一 相互独立事件与互斥事件】 【例1】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知事件，相互独立，且，，那么（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·四川成都·阶段检测）甲､乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲射击一次击中的概率为，乙射击一次击中的概率为，且第一次由甲开始射击. (1)求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； (2)求第4次由甲射击的概率. 1．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 2．（24-25高二下·全国·课前预习）（多选）下列事件中，是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 3．（25-26高二·全国·课后作业）在一个抛硬币的游戏里，抛出的前2个硬币都是正面朝上，则在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为_______． 4．（24-25高二上·湖南常德·期中）甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球. (1)求第3回合由乙发球的概率； (2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率. 【经典例题二 独立事件的乘法公式】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）若事件与相互独立，且，则的值等于（   ） A．0 B． C． D． 【例2】（2026·安徽·模拟预测）某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试．假设技工小李每年都参加，他第1年达标的概率为1%，以后每年参加时达标的概率比上一年增加1个百分点（即第2年达标的概率为2%，第3年达标的概率为3%，依此类推），且每年达标与否不受往年影响． (1)求小李第2年首次达标的概率； (2)设小李第n年首次达标的概率为，则当n为多少时，最大？ 1．（25-26高二下·山东青岛·期中）甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（  ） A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，甲和乙两本书都买的概率为，则小王买乙书的概率为 C．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 D．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为 3．（2025高二下·福建·学业考试）天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 4．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）某公司在一次入职面试中，共设有轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目即可通过面试，累计答错两道题目即被淘汰．已知张三能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响． (1)求张三不需要进入第三轮测试的概率； (2)求张三通过面试的概率． 【经典例题三 独立事件的实际应用】 【例1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 【例2】（25-26高二上·广东·阶段检测）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知事件和相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为收到1的概率为．共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为 C．采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为 D．当时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 3．（24-25高二下·山东威海·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为_______. 4．（24-25高一下·江西宜春·阶段检测）甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【经典例题四 独立事件的判断】 【例1】（25-26高二下·上海·期中）是事件A和B为独立事件的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”； (3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”． 1．（2025高二上·上海·专题练习）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）（多选）下列事件中，A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 3．（25-26高一下·北京·期中）为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 4．（24-25高一下·广东汕头·期末）一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”. (1)求事件的概率； (2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由. 【经典例题五 计算频率】 【例1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（    ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）情境1某工厂生产一批产品，经调查只有10个不合格品. 情境2某工厂生产一批产品，经调查产品不合格率为1%. 上面哪一种情境能更好地反映工厂的生产情况? 1．（2026高一·全国·课后作业）从标有数字1，2，6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8 B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7 C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次 D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心4次 3．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 4．（24-25高二上·上海·暑假作业）有一批种子，其中的种子可能1天发芽，也可能2天发芽，，下表是对不同发芽天数的种子数的记录： 发芽天数/天 1 2 3 4 5 6 7 ≥8 种子数/粒 18 36 20 11 9 3 1 0 (1)求发芽天数为2天或3天的频率（经验概率）； (2)求发芽天数超过4天的频率.（结果精确到0.01） 【经典例题六 用频率估计概率】 【例1】（25-26高二下·海南·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么连续3次投篮，恰有2次投中的概率大概是多少？ 1．（24-25高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 2．（25-26高一·湖南·课后作业）（多选）(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 3．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，应用随机数计算频率估计恰好成活4棵的概率． 【经典例题七 游戏的公平性】 【例1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 1．（24-25高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 2．（24-25高一下·江苏淮安·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6 B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报 C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率. 3．（25-26高一·全国·课后作业）小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则____.(填“公平”或“不公平”) 4．（25-26高一·全国·课后作业）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【拓展训练一 独立事件有关问题】 【例1】（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知随机事件A，B相互独立，若，，则（    ）． A．0.6 B．0.5 C．0.2 D．0.15 【例2】（24-25高二下·河北邢台·期中）某档知识竞赛节目的规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人每道题答对的概率分别为，并且每道题两人答对与否相互独立. (1)求第一题结束时甲获得1分的概率； (2)求甲获得胜利的概率. 1．（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·新疆伊犁·期中）（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为，乙每关闯关成功的概率均为，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率是__________. 4．（25-26高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 1．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 2．（25-26高二下·广西河池·期中）甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州安顺·期末）若，，则关于事件A与B的关系正确的是（   ） A．事件A与B相互独立但不互斥 B．事件A与B互斥但不相互独立 C．事件A与B相互独立且互斥 D．事件A与B既不相互独立也不互斥 4．（24-25高一下·新疆巴州·期末）在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 5．（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 7．（25-26高二上·广东·阶段检测）（多选）如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.表示事件“数字为质数”，表示事件“数字为偶数”，表示事件“数字大于4”，表示事件“数字为8”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 8．（2026·四川巴中·一模）（多选）若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ） A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥 C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立 9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（   ） A．正面向上的次数是1012或1013 B．正面向上的频率可能等于0.48 C．正面向上的频率一定等于0.5 D．若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 10．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的命中率一定为 B．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小 C．某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D．随着试验次数足够多，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 11．（24-25高二下·重庆·阶段检测）已知事件和事件相互独立，，则_______． 12．（24-25高二上·四川成都·期中）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为____________. 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个_______． 14．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是______． 15．（2026高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是________. 16．（24-25高一下·河南商丘·期末）张三参加某闯关比赛，比赛分为三关，每关都需要闯，且在同一天内完成三关的闯关，不能弃权.比赛规则如下：第一天三关都闯关失败者被淘汰；第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关；第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副并结束闯关；第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关，若该闯关者第二天三关都闯关成功，则获得蓝牙耳机一副，否则获得纪念奖，并结束闯关.已知张三每关闯关成功的概率均为，且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响. (1)求张三被淘汰的概率； (2)求张三第一天获得纪念奖的概率； (3)求张三第二天获得蓝牙耳机的概率. 17．（25-26高二上·重庆·期中）在一次数学练习中，甲、乙两人同时独立做同一道较难的数学题，已知甲、乙能做对的概率分别是0.4和0.5． (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率． 18．（2025·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 19．（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 20．（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $