专题6.13 平面向量及其应用70道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题6.13 平面向量及其应用70道计算题 专项训练（7大题型） 题型一 用定义求向量的数量积 题型二 向量夹角的计算 题型三 由向量线性运算结果求参数 题型四 已知向量垂直求参数 题型五 求三角形中的边长或周长的最值或范围 题型六 几何图形中的计算 题型七 求三角形面积的最值或范围 【经典计算题一 用定义求向量的数量积】 1．如图，在平行四边形中，，，点E是DC的中点． (1)用，表示，； (2)若点F是BE的中点，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据向量的线性关系列式求解； （2）应用平行四边形性质特征得出，再结合平面向量的数量积公式及运算律计算求解. 【详解】（1）因为是平行四边形，点E是DC的中点，所以， 所以， 所以，所以； （2）因为是平行四边形，点F是BE的中点， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以在中，，，， 所以， 所以 2．如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，将用基底来表示，即可求出的值； （2）将分别用基底来表示，然后在进行数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为在菱形中，. 故， 故，所以. （2）显然， 所以 ……① 因为菱形，且，故. 所以. 故①式. 故. 3．已知向量，满足. (1)若，求的值； (2)若的夹角为，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行，分类讨论同向或反向即可求解； （2）分别求出向量与的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以或， 当时，， 当， 所以的值为. （2）因为， 所以. 4．已知，，与的夹角是．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的定义求得，再通过即可求解； （2）通过即可求解. 【详解】（1）由已知，． ， ． （2） ． 5．已知，求： (1)若，求； (2)若，求； (3)若与的夹角为，求． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）分同向和反向两种情况计算即可； （2）直接根据内积公式计算即可； （3）直接根据内积公式计算即可． 【详解】（1），若与同向，则，所以； 若与反向，则，所以． （2）当时，，所以． （3）当与的夹角为时，． 6．如图，圆的半径为3，其中为圆上两点． (1)若，当为何值时，与垂直？ (2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，利用平面向量数量积的定义可求出的值，由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）由重心的性质推导得出，由、、三点共线，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，从而可得最小值． 【详解】（1）因为，， 所以由余弦定理得，即，所以． 若与垂直，则， 所以，所以， 解得，即时，与垂直； （2）因为为的重心，所以， 又因为，，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，所以，所以． 显然，，则， 当且仅当时，即时，取最值． 则的最小值为2． 7．已知平面上三个向量的模均为，它们相互之间的夹角均为. (1)求证：； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义结合平面向量垂直的定义运算求解即可. （2）对给定式子左右两侧同时平方，结合平面向量数量积的定义建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）因为平面上三个向量的模均为， 所以，因为它们相互之间的夹角均为， 所以， ，故. （2）因为，所以， 则， 即， 而由向量数量积的定义得， 同理可得， 代入得，解得或， 即的取值范围是. 8．如图，在中，已知，，，，设，． (1)用向量，表示； (2)求向量与的数量积及夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)4，． 【分析】（1）由向量的平行四边形法则运算可得； （2）用数量积的定义求出，再计算出，然后得出向量与的数量积；最后代入夹角的余弦公式求出夹角的余弦值即可. 【详解】（1）由题意可得： ． （2）由题意可得：， 可得， ， 所以， 故向量与的数量积为4，，夹角的余弦值为． 9．在边长为2的等边中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，设. (1)试用表示； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的加法和减法法则求解即可； （2）由表示出，再由数量积的定义和模长公式求解即可. 【详解】（1），     又， 故.    （2） . 10．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. (1)设，，求的值； (2)若，求的大小. (3)若一条直线与坐标系相交，分别交，两轴于两点且，求锐角三角形的周长的取值范围. 【答案】(1)6； (2)； (3). 【分析】（1）由数量积的定义求出，又，，根据定义计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律求出，即可得解； （3）由正弦定理可得，，将三角形的周长转化为的三角函数，再由正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）依题意， 又，， 所以，，∴； （2）因为，所以， 所以， 所以. （3） 由正弦定理得， 即，， ， 又，， ，，， 即周长的取值范围为. 【经典计算题二 向量夹角的计算】 11．已知平面向量，满足，，． (1)求向量，夹角的大小； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值； （3）由向平面向量的夹角公式即可求出. 【详解】（1）平面向量，满足，，． 所以， 解得，又， 可得向量，夹角的大小为． （2）， 所以． （3）， 因为，由（2）可得， 设向量与的夹角为，所以． 12．已知，为单位向量，向量，. (1)若，求； (2)若，求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，解出，再对平方即可求得结果. （2）利用题干中的条件即可求出、以及，再利用两个向量的夹角公式即可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以 （2）因为， 所以， 所以， 又，所以， 又，所以， 设与的夹角为，则， 因为，所以，即与的夹角为. 13．已知，，. (1)求与的夹角； (2)若，且，求t及. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由及，求解即可； （2）由及向量的线性运算，即可求出的值，再由向量的模的公式求解即可. 【详解】（1）解： ， 所以， 又， 所以. （2）解：由题意知 ， 即，解得， 所以， ， 所以. 14．已知向量，的夹角为，且，，（其中）.当取最小值时，求： (1)； (2)与的夹角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积定义得到答案； （2）在（1）基础上，得到，从而得到当时，取最小值1，此时，计算出，从而得到答案. 【详解】（1）； （2）由（1）得，由得 ， 当时，取最小值1，此时， 又， 所以当取得最小值时，向量与夹角为. 15．已知，，． (1)求与的夹角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得； （2）根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即， 又，，所以，所以， 所以， 由于，所以， （2）因为，，， 所以. 16．已知，，. (1)求向量与的夹角； (2)若，且.求及. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用向量数量积运算律和数量积定义即可求出； （2）根据向量数量积运算律求得，再平方计算即可. 【详解】（1）由，可得，因为， 所以，解得，，所以； （2）因为，，所以， 整理得，解得，所以， 所以 ， 所以. 17．已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求出的值，即可求得答案； （2）根据向量的模的计算公式结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）由题意向量，，向量与的夹角为， ， 与垂直，即向量与的夹角为. （2）由（1）可知，而， 则 ， 当时，取得最小值45， 即的最小值为. 18．已知向量，若，与的夹角为． (1)求； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用平面向量的数量积定义计算得，再结合模长及数量积公式计算求解； （2）应用夹角余弦公式结合数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】（1）因为，与的夹角为，所以， ∴， ∴． （2）由（1）可知， ∴． ∵， 设与的夹角为， ∴． 19．已知向量，且向量与同向共线，. (1)求与夹角； (2)计算. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）由数量积的定义可求. （2）利用数量积的运算律可求. 【详解】（1）因为，故，故， 而，故. （2） ， 因为与同向共线，故可设，其中，而，故， 此时，故； 综上，. 20．已知向量与的夹角为，且，，若，． (1)当时，求实数的值； (2)当取最小值时，求向量与夹角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合数量积的运算律即可求解； （2）由可确定时，得到，再由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1） ∴ ∴ （2） 当时，，此时 所以向量与夹角的大小为30°． 【经典计算题三 由向量线性运算结果求参数】 21．已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解. 【详解】（1）依题意得，， 则，所以， 所以，． （2）由（1）知，，所以． 设点的坐标为，则， 因为，所以，， 所以，，故点的坐标为． 22．设是平面直角坐标系内的四点，已知点. (1)若，求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （2）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （3）由坐标对应相等得到的值. 【详解】（1）设，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； （2）设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； （3）， 所以， 因为，所以，解得， 所以. 23．解答下列各题： (1)设向量，，求； (2)已知两点和，点P满足，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示求解； （2）由向量的坐标表示求解. 【详解】（1）． （2）由已知两点和，可得， 设点P的坐标是，则． 由已知，可得， ∴解得∴点P的坐标是． 24．已知，设.. (1)求的值； (2)求满足的实数的值； (3)若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N（点N靠近点B），求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标运算与表示，即可求解； （2）根据题意求得，结合，列出方程组，即可求解； （3）根据题意，得到，设，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且， 所以， 所以. （2）解：由， 因为，可得，解得. （3）解：因为线段的中点为，线段的三等分点为（点靠近点） 所以， 设，即， 所以，且，解得，， 即的坐标为，点的坐标为，所以. 25．已知向量，，. (1)求； (2)求满足的实数，； 【答案】(1) (2)、 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算法则求解即可． （2）利用平面向量坐标运算和向量相等列出方程组即可求解． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：因为， 所以， 所以，解得． 即、. 26．已知、、，设，，，且，. （1）求满足的实数、； （2）求、的坐标及向量的坐标. 【答案】（1）；（2）、，. 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值； （2）利用平面向量的坐标运算求出点、的坐标，进而可求得向量的坐标. 【详解】（1）由题意得 ，，， 所以，， 因为，所以，，解得； （2）设为坐标原点，，，所以点的坐标为， 又， ， 所以，点的坐标为，故． 27．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设. (1)求； (2)求满足的实数m，n的值． 【答案】(1)(6，－42) (2) 【分析】先求出向量. （1）直接进行线性运算； （2）列方程，即可解得. 【详解】（1）因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 所以==(5，－5)，==(－6，－3)，==(1，8)． =3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)=(6，－42)． （2）因为=(－6m＋n，－3m＋8n)， 所以解得 28．平面内给定三个向量. （1）求； （2）求满足的实数的值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）根据向量，利用平面向量的加法和减法运算求解. （2）根据，有再利用平面向量相等求解. 【详解】（1）， ，   （2） ， ， 解之得. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 29．设，，，. （1）若且，求x、y的值； （2）若成立，是否存在唯一的x、y满足上述条件？若存在，写出x、y的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），；（2）不存在，与k有关 【分析】(1)当时，写出，，，结合，利用待定系数法即可求解； (2)将表示为坐标形式，建立方程组，得到，根据的取值，即可判断. 【详解】(1)当时，，， 因为，所以 则，解得：， (2)因为 所以 则 ，得到 当时，等式不成立 所以 因为，所以的值不唯一，即，的值不唯一 即不存在唯一的x、y，使成立. 【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，考查学生的计算能力以及分析和解决问题的能力，运算时，要细心，属于中档题. 30．如图，在中，分别为的中点，为与的交点，点在上，且.设.    (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算和基本定理，可推得的值； （2）根据题设，建立基底，将向量，分解为基底表示，再进行数量积运算. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 因为三点共线，故可设， 又因为， 由平面向量基本定理，可得，解得； （2）因为分别为的中点，所以， 所以相似于，由（1）知， 所以， 所以， 由，可得， 所以， 故， 所以， 因为， . 【经典计算题四 已知向量垂直求参数】 31．（1）已知向量，．当λ为何值时，与垂直？ （2）已知非零向量满足，，当时，求向量与夹角θ的余弦值． 【答案】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算，由即可求解； （2）先求，，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 所以，解得； （2）由题意有 ， 所以， 因为， 所以， 32．已知向量，． (1)求； (2)设，的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算求解即可； （2）利用向量夹角的坐标公式求解即可； （3）利用向量垂直的坐标运算列式求解即可. 【详解】（1）因为，，所以； （2）； （3）因为，，所以，， 由向量与互相垂直得，， 所以，化简得，解得. 33．已知. (1)若与共线，求的值； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求向量的坐标，再根据向量共线的坐标表示，即可求解； （2）首先求向量的坐标，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）由， 得，， 若与共线，则， 解得：； （2），， 若与垂直，则， 解得；. 34．已知点，，. (1)若，是实数，且，求的值； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的坐标，利用数量积为0，列出关于的方程，解出即可得结果； （2）直接根据向量夹角公式即可得结果. 【详解】（1）∵，，， ∴，，，故 ∵ ∴ 解得 （2）∵，，， ∴， 故与的夹角的余弦值为. 35．已知，. (1)若，求与夹角的正弦值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量夹角公式的坐标表示即可求解； （2）根据向量垂直的坐标表示及向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ， . 36．已知是同一平面内的三个向量，其中，若. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求得的坐标，根据，可得，代入数量积公式，即可求得答案. （2）由（1）可得，代入求夹角公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意得， 因为，所以， 所以，解得. （2）由（1）可得 所以 37．已知向量，，，且， (1)求与； (2)若，，求向量，夹角的大小. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平面向量平行、垂直的坐标表示，代入计算即可解出； （2）求出向量，，再根据平面向量的夹角坐标运算即可解出. 【详解】（1）因为，所以，所以，， 因为，则，所以，； （2）因为， ， 所以， 设与向量的夹角为，则 ， 因为，所以，即与的夹角为. 38．已知向量，. (1)求的最小值； (2)若，求向量的坐标. 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）解法一设出夹角，用夹角表示出，结合角的范围可得答案；解法二设出的坐标，表示出模长，结合二次函数知识可得答案； （2）设出的坐标，根据数量积和垂直建立方程组，解方程组可得答案； 【详解】（1）解法一：设，因为， 所以，从而，由，得， 由，得， 当且仅当，即时等号成立； 所以的最小值为2. 解法二：设， 由，得， 所以 ； 故当，时，有最小值2. （2）设， 由，得，① 由，得，故， 即，② 联立①②，解得或 所以或. 39．已知，是平面上的两个不共线的单位向量，且．，． (1)若与垂直，求k的值； (2)令（其中，当在上的投影向量为，求实数x的值及向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由已知条件，两个单位向量互相垂直，可直接用坐标表示，求解与的坐标，利用与垂直，两向量的数量积为0，代入坐标，求解值. （2）由根据题意可求得与的数量积，带入，求解，即可求解x的值，利用向量的数量积即可求解与夹角的余弦值. 【详解】（1）解：∵，是平面上的两个不共线的单位向量，且， ∵与垂直，∴， 可令，， ∴，， ∴，得． （2）解：， ∵据题意，得：，∴， 得：，解得：， ∴，． ∴实数x的值为，向量与的夹角的余弦值为． 40．设向量，，满足，，分别求满足下列条件的的值. （1）向量，的夹角为； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据坐标形式下向量的夹角公式列出关于的方程，由此求解出的值； （2）表示出、的坐标，根据垂直关系对应的数量积为列出关于的方程，由此求解出的值. 【详解】解：（1）因为，， 所以， 则 解得. （2）， ， 因为， 所以， 所以，且， 故解得. 【经典计算题五 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 41．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若在上单调递增，求c的取值范围； (2)若，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简为的形式，再根据正弦函数的单调性可求出的取值范围， （2）利用小问1的结论，代入计算，根据的范围求出，利用余弦定理，结合基本不等式可以得到的最大值. 【详解】（1）． 当时，，因为在上单调递增， 所以，所以， 可得c的取值范围为． （2），，，， 是三角形内角，，所以，得， 由余弦定理：； 即 ，可得，，当且仅当时等号成立，取得最大值． 42．在中，内角的对边分别为，且满足 (1)求； (2)若的面积，求的周长. 【答案】(1)； (2)9. 【分析】（1）利用正余弦定理计算即可； （2）利用余弦定理及三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由正弦定理可知， 因为中，，所以； （2）由三角形面积公式及（1）可知：， 由余弦定理， 所以的周长为. 43．已知分别是的角的对边，. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解. （2）由（1）知，，利用正弦定理可得，然后利用换元思想得，利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由正弦定理及知， ， 由余弦定理得，， 或. . （2）由（1）和正弦定理得， ， ， 设，则，则， 设， 则在上单调递增，则， 即. 的取值范围为. 44．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角A； (2)若，求△ABC周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解， （2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得，进而由三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ，， （2）因为，，所以，故 由正弦定理得： 所以， 所以周长 因为，则，所以 故 求周长的取值范围为. 45．如图,在平面四边形中,,. (1)试用表示的长; (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据已知条件将用表示,再在中利用余弦定理求解即可; (2)在中先用余弦定理将用表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可. 【详解】（1）（）,,, ，则 在中, , ,则. （2）在中, , 则当时,取到最大值. 故的最大值是 46．在中，角所对的边分别为，，，，且． (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等价于，化简后利用余弦定理即可求出角的值; （2）利用正弦定理用角表示出，根据角的取值范围，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，，且， 所以 利用正弦定理化简得：即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； （2）由（1）得，即， 又因为三角形为锐角三角形，所以解得：， 因为，由正弦定理得： 所以，， 所以 因为，所以， 所以则的取值范围为 47．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算可得； 【详解】（1）解：由正弦定理及， 所以. 所以由余弦定理得， 又，所以. （2）解：因为，，由余弦定理可得， 可得，所以，， 可得，当且仅当时取等号， 又由三角形三边关系得， 所以的取值范围是. 48．设的内角的对边分别是，已知，且. (1)求角C； (2)若D为的中点，求线段长的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将正弦差转化为边长差，建立关于边的方程，再结合余弦定理求解； （2）利用向量法，结合三角形三边关系和余弦定理，确定中线长度的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以. 因为，所以. （2）因为为的中点，所以， 所以. 又，所以， 所以，即. 由，得， 则，解得，即线段长的取值范围是. 49．如图，平面上有四点，其中为定点，，为动点，满足，设与的面积分别为． (1)若，求角的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1)由余弦定理即可得到答案； (2)分别利用三角形面积公式表示出和，进而代入中整理成关于的表达式，根据的范围和二次函数的性质求得函数的最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 得，． （2）如图，设， 由余弦定理和柯西不等式得： ， 由且， 得， 所以， 从而，故所求最大值为． 50．已知在中，内角所对的边分别为，且，当角最大时，求的周长． 【答案】． 【分析】由正弦定理将边角互换，得到关于角的方程，再进行化简；或者将角化边，利用余弦定理进行化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】解法1：正弦定理法 由，得， 即， 即， 从而， 故， 当时，取到最大值，最大值为，此时，． 因为，所以，从而的周长为． 解法2：余弦定理法Ⅰ 由得， 再由，得， 由，得， 经验证等号能取到， 所以，角最大为． 此时，由得， 从而的周长为． 解法3：余弦定理法Ⅱ 由得，即， 则 ． 令，则， 经验证等号能取到， 所以，角最大为，此时． 此时，由得， 从而的周长为． 【经典计算题六 几何图形中的计算】 51．如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    (1)求的大小; (2)若,求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为是的角平分线,所以,在中利用余弦定理求出的长,再次利用余弦定理即可求出的大小. （2）在中,由正弦定理求出的长,再根据四边形内角和为可得到,从而求出的值,再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为是的角平分线,所以, 在中,根据余弦定理得, 所以, 则, 因为, 所以. （2）因为,所以, 在中,由正弦定理得, 在四边形中,, 所以, 则. 52．在中，内角所对边的长分别为，． (1)若，求． (2)若为边上的一点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出，从而结合题目条件得到，再由正弦定理求出； （2）由（1）求出，利用向量基本定理得到，两边平方后得到，结合余弦定理，求出. 【详解】（1）由余弦定理，得，即． 因为，所以， 即，解得，（舍去）， 将代入中得． 由正弦定理，得，即， 所以． （2）由（1）知，． 因为， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，解得， 又，代入可得. 53．在中，为上一点，满足，且． (1)证明：． (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据边长关系得到，结合三角形面积公式和证明出结论； （2）设，，表达出其他边长，，，根据互补关系得到，计算出，由余弦定理求出答案. 【详解】（1）因为为上一点，满足， 所以，所以， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知，设，则， 又因为，为上一点，， 设，则，，    在中，， 在中，， 所以， 所以， 在中，. 54．在中，已知，，． (1)求面积； (2)求内切圆半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由三角形面积计算公式，代入计算即可； （2）首先由余弦定理求出，再由等面积法即可求出内切圆半径． 【详解】（1）因为，，， 所以． （2）由， 解得， 设内切圆半径为， 则， 所以， 故内切圆半径为． 55．在中，角、、的对边分别为、、，若． (1)求证：； (2)若，点为边上一点，，，求边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可换成正弦值相等，利用三角恒等变换、正余弦定理求解. （2）已知，可求出的值，再由（1）可求出，再由正余弦定理可解三角形. 【详解】（1）， ， 或 当时，，，即， 综上 （2），，， ， ， 设，，，， 在中： ， 56．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． (1)求的长度； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到为等边三角形，结合中位线，由三角形相似得到； （2）先由余弦定理求出，得到，由相似知识求出，在中，由余弦定理求出，从而得到答案. 【详解】（1）连接，则是的中位线， 故，且， 在中，，又， 故是等边三角形， 所以， 因为∽，所以， 所以； （2）在中，由余弦定理得， 解得，则， 因为，所以， 在中，由勾股定理得， 因为∽，所以，解得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以的余弦值为. 57．如图，是直角三角形斜边上一点，. (1)若，求角的大小； (2)若，且，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理求出，结合得到，从而得到；（2）求出，进而得到角C的余弦值，再使用余弦定理求出的长. 【详解】（1）在中，由正弦定理得 ， 所以， 又 所以，. （2）由，且知： 所以，直角三角形中， 在中，由余弦定理得 所以，. 58．如图，在平面四边形中，，，． （1）若，求的面积； （2）若，，且为锐角，求角A的大小． 【答案】（1）4；（2）． 【分析】（1）在中，利用正弦定理、余弦定理求出，，再由三角形的面积公式即可求解. （2）根据三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式可得，在中，利用正弦定理即可求解. 【详解】解：（1）因为， 由正弦定理，， 可得． 由余弦定理可得，可得， 所以． （2）因为，所以， ，即， 因为，且为锐角， 所以， 所以 ， 可得， 在中，由正弦定理， 可得，可得，因为， 又A为锐角，所以． 59．已知某水产养殖场的形状是直角梯形，如图m，m，60m.养殖场内沿线段拉了三张网，把养殖场隔成了四个区域，其中于点. （1）求的大小; （2）求线段的长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）过点作于，在中，求出，在中,求出，进而在中，由余弦定理求出，从而求出结果； （2）求出，在中利用余弦定理即可求出结果. 【详解】 （1）过点作于， 在中，， 由于， 则在中, 在中，由余弦定理得 （2），， 又， . 60．如图所示，已知圆内接四边形的边长分别为，求四边形的面积． 【答案】． 【分析】连接，由，得到，结合，得到，在和中，分别利用余弦定理，列出方程，求得，进而求得面积. 【详解】如图所示，连接， 则四边形的面积为， 因为，所以， 所以， 在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，可得，所以， 又，所以，所以． 【经典计算题七 求三角形面积的最值或范围】 61．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求C； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为整式，再利用正弦定理化简为，结合角的关系可求; （2）根据及基本不等式求出的最大值，利用面积公式可得结果. 【详解】（1）由得， ， 故， 由正弦定理得， 即， 即， 故，即，故； 或，不合题意，舍去． 故． （2）因为，故， 则， 当且仅当时，取得最大值， 故面积的最大值为． 62．如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点. (1)当时，求线段的值； (2)若为正三角形，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件利用余弦定理可得答案； （2）设，用表示出四边形的面积，结合三角函数知识化简求解最值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得： . 所以. （2）设，所以， 则 . 所以当时，四边形的面积取得最大值. 63．如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. （1）当时，求四边形的周长 （2）点在什么位置时，四边形的面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）时，四边形的面积取得最大值． 【分析】（1）结合已知利用余弦定理可求，即可得到所求四边形的周长； （2）先由余弦定理求，再由三角形的面积公式和等边三角形的面积公式，结合辅助角公式和正弦函数的最值，可得所求结论． 【详解】解：（1）在中，由余弦定理得， 即， 于是四边形的周长为； （2）在中，由余弦定理得， 所以，， 于是四边形的面积为 ， 当，即时，四边形的面积取得最大值． 64．已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理，结合题意可得答案； （2）由正弦定理，可得，则，然后由可得答案. 【详解】（1）由余弦定理，， 结合题意得，即. （2）由题意，为锐角三角形，,则，. 由正弦定理得，即， .. 65．如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在用余弦定理求长度，再根据等腰三角形性质求，进而得，然后在用正弦定理求，结合几何情况确定大小. （2）把四边形面积拆成与面积之和，根据范围求面积最大值. 【详解】（1）由已知，，得， 所以，得. 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理得， 得， 因为，所以，所以， 所以. （2）由已知得，所以， 在中 所以， 又因为，得， 所以四边形面积 所以， 因为，所以， 当时，即时，. 66．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，． (1)求的取值范围； (2)求和面积之差的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦定理求得,再利用向量的几何意义可得向量，用正弦定理可得，结合角的范围继而求解； （2）用三角形面积公式结合条件求得,，面积作差转化为函数求最值即可. 【详解】（1）因为， 可化为， 由余弦定理知，， 又,所以， 由, 因为为锐角外接圆圆心， 所以 由余弦定理得， ， 所以， 由正弦定理得，， 则 ， 由,解得， 所以， 则， 所以. （2）设的外接圆半径为， 则, 且,即, 因为, 所以, , 所以 , 所以当即时， 和面积之差的最大值 67．在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且． (1)若，，求； (2)若且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可列出方程组求出，即可得，即得答案； （2）法一，由已知条件等式结合余弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案；法二由已知条件等式结合正弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案； 【详解】（1）因为，所以， 消去得，又因为，所以， 所以，即． （2）法一：因为，所以， 即， 又因为，所以， 化简得， 因为，即，所以． 因为，所以（当且仅当时取等号）， 所以，由题意可知A为锐角，且，故， 因此，即的最大值为． 法二：在中，因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 即， 又，所以． 所以，所以（当且仅当时取等号）， 所以，因此，即的最大值为． 68．已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 成等差数列. (1)若 ，求 面积的最大值； (2)若 ，求 周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出角B，利用余弦定理结合基本不等式即可求出，再利用面积公式求解即可； （2）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式及半角公式即可化简成关于的函数，结合条件可求其范围. 【详解】（1）由成等差数列知，故； 由余弦定理：， 故（当且仅当时等号成立）， 故（当且仅当时等号成立）， 故面积的最大值是． （2）由正弦定理：，， 则 ； 由为锐角三角形，，则，解得，则； 由在上单调递增，故， 故， 即周长的取值范围为． 69．已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，结合三角形内角和的性质，即可求解； （2）由（1）得到，作为边上的高，设，根据题意，求得，得到的面积为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以. （2）由（1）知，即， 如图所示，为边上的高，不妨设为锐角， 设， 当为锐角时，则，故， 当为钝角时，则，故， 因为，所以，整理得， 所以的面积为， 因为，可得， 当时，取得最大值，最大值为，且， 所以的面积的取值范围为. 70．已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理求角； （2）由三角形的面积结合角平分线的性质可得，再利用基本不等式可得最值. 【详解】（1）由已知， 得， 在中，由正弦定理得， 即， 再由余弦定理得， 又，所以； （2）由是角的平分线， 则， 所以， 又， 所以，即， 所以，解得，即， 当且仅当时等号成立， 所以， 即面积的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.13 平面向量及其应用70道计算题 专项训练（7大题型） 题型一 用定义求向量的数量积 题型二 向量夹角的计算 题型三 由向量线性运算结果求参数 题型四 已知向量垂直求参数 题型五 求三角形中的边长或周长的最值或范围 题型六 几何图形中的计算 题型七 求三角形面积的最值或范围 【经典计算题一 用定义求向量的数量积】 1．如图，在平行四边形中，，，点E是DC的中点． (1)用，表示，； (2)若点F是BE的中点，求的值． 2．如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 3．已知向量，满足. (1)若，求的值； (2)若的夹角为，求与夹角的余弦值. 4．已知，，与的夹角是．计算 (1)； (2)． 5．已知，求： (1)若，求； (2)若，求； (3)若与的夹角为，求． 6．如图，圆的半径为3，其中为圆上两点． (1)若，当为何值时，与垂直？ (2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值． 7．已知平面上三个向量的模均为，它们相互之间的夹角均为. (1)求证：； (2)若，求的取值范围. 8．如图，在中，已知，，，，设，． (1)用向量，表示； (2)求向量与的数量积及夹角的余弦值． 9．在边长为2的等边中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，设. (1)试用表示； (2)求. 10．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. (1)设，，求的值； (2)若，求的大小. (3)若一条直线与坐标系相交，分别交，两轴于两点且，求锐角三角形的周长的取值范围. 【经典计算题二 向量夹角的计算】 11．已知平面向量，满足，，． (1)求向量，夹角的大小； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 12．已知，为单位向量，向量，. (1)若，求； (2)若，求与的夹角. 13．已知，，. (1)求与的夹角； (2)若，且，求t及. 14．已知向量，的夹角为，且，，（其中）.当取最小值时，求： (1)； (2)与的夹角的大小. 15．已知，，． (1)求与的夹角； (2)求． 16．已知，，. (1)求向量与的夹角； (2)若，且.求及. 17．已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 18．已知向量，若，与的夹角为． (1)求； (2)求与夹角的余弦值． 19．已知向量，且向量与同向共线，. (1)求与夹角； (2)计算. 20．已知向量与的夹角为，且，，若，． (1)当时，求实数的值； (2)当取最小值时，求向量与夹角的大小． 【经典计算题三 由向量线性运算结果求参数】 21．已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 22．设是平面直角坐标系内的四点，已知点. (1)若，求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)若，求的值. 23．解答下列各题： (1)设向量，，求； (2)已知两点和，点P满足，求点P的坐标． 24．已知，设.. (1)求的值； (2)求满足的实数的值； (3)若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N（点N靠近点B），求. 25．已知向量，，. (1)求； (2)求满足的实数，； 26．已知、、，设，，，且，. （1）求满足的实数、； （2）求、的坐标及向量的坐标. 27．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设. (1)求； (2)求满足的实数m，n的值． 28．平面内给定三个向量. （1）求； （2）求满足的实数的值. 29．设，，，. （1）若且，求x、y的值； （2）若成立，是否存在唯一的x、y满足上述条件？若存在，写出x、y的值；若不存在，请说明理由. 30．如图，在中，分别为的中点，为与的交点，点在上，且.设.    (1)求的值； (2)若，求的值. 【经典计算题四 已知向量垂直求参数】 31．（1）已知向量，．当λ为何值时，与垂直？ （2）已知非零向量满足，，当时，求向量与夹角θ的余弦值． 32．已知向量，． (1)求； (2)设，的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 33．已知. (1)若与共线，求的值； (2)若与垂直，求的值. 34．已知点，，. (1)若，是实数，且，求的值； (2)求与的夹角的余弦值. 35．已知，. (1)若，求与夹角的正弦值； (2)若，求实数的值. 36．已知是同一平面内的三个向量，其中，若. （1）求的值； （2）求. 37．已知向量，，，且， (1)求与； (2)若，，求向量，夹角的大小. 38．已知向量，. (1)求的最小值； (2)若，求向量的坐标. 39．已知，是平面上的两个不共线的单位向量，且．，． (1)若与垂直，求k的值； (2)令（其中，当在上的投影向量为，求实数x的值及向量与夹角的余弦值． 40．设向量，，满足，，分别求满足下列条件的的值. （1）向量，的夹角为； （2）. 【经典计算题五 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 41．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若在上单调递增，求c的取值范围； (2)若，，求的最大值． 42．在中，内角的对边分别为，且满足 (1)求； (2)若的面积，求的周长. 43．已知分别是的角的对边，. (1)求证：； (2)求的取值范围. 44．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角A； (2)若，求△ABC周长的取值范围. 45．如图,在平面四边形中,,. (1)试用表示的长; (2)求的最大值. 46．在中，角所对的边分别为，，，，且． (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 47．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C； (2)若，求的取值范围. 48．设的内角的对边分别是，已知，且. (1)求角C； (2)若D为的中点，求线段长的取值范围. 49．如图，平面上有四点，其中为定点，，为动点，满足，设与的面积分别为． (1)若，求角的值； (2)求的最大值． 50．已知在中，内角所对的边分别为，且，当角最大时，求的周长． 【经典计算题六 几何图形中的计算】 51．如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    (1)求的大小; (2)若,求的面积. 52．在中，内角所对边的长分别为，． (1)若，求． (2)若为边上的一点，且，求． 53．在中，为上一点，满足，且． (1)证明：． (2)若，求． 54．在中，已知，，． (1)求面积； (2)求内切圆半径． 55．在中，角、、的对边分别为、、，若． (1)求证：； (2)若，点为边上一点，，，求边长． 56．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． (1)求的长度； (2)求的余弦值． 57．如图，是直角三角形斜边上一点，. (1)若，求角的大小； (2)若，且，求的长. 58．如图，在平面四边形中，，，． （1）若，求的面积； （2）若，，且为锐角，求角A的大小． 59．已知某水产养殖场的形状是直角梯形，如图m，m，60m.养殖场内沿线段拉了三张网，把养殖场隔成了四个区域，其中于点. （1）求的大小; （2）求线段的长. 60．如图所示，已知圆内接四边形的边长分别为，求四边形的面积． 【经典计算题七 求三角形面积的最值或范围】 61．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求C； (2)若，求面积的最大值． 62．如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点. (1)当时，求线段的值； (2)若为正三角形，求四边形面积的最大值. 63．如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. （1）当时，求四边形的周长 （2）点在什么位置时，四边形的面积最大？最大值为多少？ 64．已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 65．如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 66．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，． (1)求的取值范围； (2)求和面积之差的最大值． 67．在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且． (1)若，，求； (2)若且，求的最大值． 68．已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 成等差数列. (1)若 ，求 面积的最大值； (2)若 ，求 周长的取值范围. 69．已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 70．已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $