专题7.4 复数易错必刷题型专训（40题10个考点）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题7.4 复数易错必刷题型专训（40题10个考点） 【易错必刷一 复数的基本概念】 1．欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用新定义，推出结果即可. 【详解】根据该公式，可得， 故选：C. 2．已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与的虚部相等 C．若，则或 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于可直接利用复数的性质进行判断；对于C，通过取模运算即可判定；对于D，取特殊值可判定. 【详解】对于A，若，则和互为共轭复数，所以，故A正确； 对于B，若，则与的虚部互为相反数，故B错误； 对于C，若，则，所以或，可得或，故C正确； 对于D，取，，可得，故D错误. 故选： 3．在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则__________. 【答案】 【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可． 【详解】由已知． 故答案为：． 4．取何实数时，复数是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）根据题意得到，再解方程即可； （2）根据题意得到，再解方程即可； （3）根据题意得到，再解方程组即可. （4）根据题意得到，再解方程组即可. 【详解】（1）因为为实数， 所以，解得. （2）因为为虚数， 所以，解得. （3）因为为纯虚数， 所以，解得. （4）因为为零， 所以，解得. 【易错必刷二 求复数的实部与虚部】 5．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数实部、虚部的定义写出所求复数即可. 【详解】的虚部为的实部为， 所以所求复数为. 故选：A 6．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．复数的虚部是 B．形如的数一定是虚数 C．若，，则是纯虚数 D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数 【答案】AB 【分析】根据复数的相关概念逐一判断即可. 【详解】复数的虚部是3，故A中说法不正确； 形如的数不一定是虚数，例如，当，时，不是虚数，故B中说法不正确； 只有当，，即时，是纯虚数，故C中说法正确； 因为虚数不能比较大小，所以若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故D中说法正确. 故选：AB. 7．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数________． 【答案】5 【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案． 【详解】复数的实部与虚部互为相反数， ，解得． 故答案为： 8．在复数，，，，0，中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？ 【答案】答案见详解 【分析】根据复数的分类，以及实部、虚部的定义即得解 【详解】由复数的分类，对于复数 当时，为实数； 当时，为虚数；当时，为纯虚数. 故在上述复数中，0，为实数；，，，为虚数；为纯虚数 对于，实部为1，虚部为-2； 对于，实部为0，虚部为； 对于，实部为，虚部为； 对于，实部为，虚部为 【易错必刷三 复数的分类及辨析】 9．已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 【答案】C 【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得或． 故选：C 10．下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的概念逐项分析即得. 【详解】由复数的定义可知A命题正确； 形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误； 若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误； 两个虚数不能比较大小，故D命题错误． 故选：BCD． 11．已知为实数，若复数为纯虚数，则_______ 【答案】 【解析】先通过乘法运算进行化简，再利用复数的概念求解. 【详解】已知为实数，因为 又因为为纯虚数， 所以，解得 故答案为：-2 【点睛】本题主要考查复数的概念和运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12．已知复数（是虚数单位） （1）复数是实数，求实数的值； （2）复数是虚数，求实数的取值范围； （3）复数是纯虚数，求实数的值. 【答案】（1）；（2）且；（3）或. 【分析】（1）根据复数是实数得到虚部为零； （2）复数是虚数，则虚部不为零； （3）复数是纯虚数，则实部为零，虚部不为零． 【详解】解：（1）复数是实数，则， 解得； （2）复数是虚数，则， 解得且； （3）复数是纯虚数，则， 解得或． 【易错必刷四 复数的坐标表示】 13．在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意找到复数在复平面内对应的点，最后由两点间的距离公式即可求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 复数在复平面内对应的点为， 则由两点间的距离公式求得两点之间的距离为， 故选：B. 14．在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，由向量的坐标运算即可得到，结合同角的平方关系即可求得，从而得到结果. 【详解】因为，，且， 即，所以， 即，又， 则或， 所以或. 故选：AC 15．已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数__________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的坐标，进而列式求解. 【详解】复数在复平面上对应的点， 依题意，，所以. 故答案为：1 16．设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 【答案】(1)向量对应的复数为，向量所对应的复数为. (2)向量对应的复数为向量所对应的复数为. 【分析】根据复数的几何意义及向量的运算法则即可求解 . 【详解】（1）因为 所以, 所以, 对应复数为 ; , 对应复数为 . （2）因为 所以， 所以, 对应复数为 ， , 对应复数为 . 【易错必刷五 判断复数对应的点所在的象限】 17．复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先对复数进行分母实数化，化简得到实部和虚部，再根据对应点的坐标符号判断其在复平面的象限. 【详解】对复数的分子分母同乘，得，继续化简得， 复数对应的点坐标为，该点位于第四象限. 故选：D 18．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 B．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则的模为13 【答案】BC 【分析】本题根据复数的模长，复数的几何意义以及根与系数的关系即可求解. 【详解】A选项，因为点的坐标为，则对应的点为，所以在第四象限，故A选项错误； B选项，，则依据复数模长的几何意义可知，表示一个圆环，面积为，故B选项正确； C选项，是关于的方程的一个根， 则，即， 整理得，解得，所以，故C选项正确； D选项，，则，故D选项错误； 故选：BC. 19．若复数（其中为虚数单位）在复平面内所对应的向量分别为和，则的面积为__________. 【答案】/6.5 【分析】根据向量的坐标运算可得垂直关系，即可由模长求解得面积. 【详解】由题意，得，则，， 的面积为， 故答案为：. 20．当复数z满足下列条件时，分别指出z在复平面上所对应的点Z的位置： (1)z是正实数； (2)z是负实数； (3)z是实部小于零、虚部大于零的虚数； (4)z是虚部小于零的纯虚数． 【答案】(1)，此时对应的点在实轴的正半轴上 (2)，此时对应的点在实轴的负半轴上 (3)，此时对应的点在第二象限 (4)，此时对应的点在虚轴的负半轴上 【分析】根据复数的分类、几何意义求出实部、虚部满足的条件可得答案. 【详解】（1）设， 若是正实数，则， 此时对应的点在实轴的正半轴上； （2）设， 若是负实数，则， 此时对应的点在实轴的负半轴上； （3）设， 若是实部小于零、虚部大于零的虚数， 则，此时对应的点在第二象限； （4）设， 若是虚部小于零的纯虚数， 则，此时对应的点在虚轴的负半轴上. 【易错必刷六 根据复数的加减运算结果求参数】 21．复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【详解】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 22．复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【答案】BC 【分析】根据题意结合复数的加法运算可得，结合选项逐项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 所以，其虚部为，实部为3，故BC正确，AD错误； 故选：BC. 23．已知复数满足（为虚数单位），则______． 【答案】 【分析】设，再根据复数的模及复数的加减法运算化简即可得解. 【详解】设， 由，得， 所以，解得（舍去） 所以. 故答案为：. 24．已知，，为实数，若，求 【答案】. 【分析】先化简，再利用复数相等可求出，从而得到，再用复数的模长公式求解即可 【详解】 ， 所以， 解得， ， 所以，， 则，所以． 【易错必刷七 复数代数形式的乘法运算】 25．设，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算法则和复数相等的条件可求得的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 26．已知复数，则（   ） A．的实部是7 B．的实部是 C．的虚部是 D．的虚部是13 【答案】BD 【分析】根据复数乘法运算化简复数，即可根据虚部和实部的定义求解. 【详解】因为，所以复数的实部是，虚部是13，则BD均正确，A，C均错误. 故选：BD 27．已知复数，则___． 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 28．已知，. (1)求； (2)若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由复数的四则运算代入计算，即可得到结果； （2）由向量垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以 因为，所以. （2）由（1）可知，则， ，因为，所以， 解得. 【易错必刷八 复数的除法运算】 29．设i是虚数单位，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法计算公式求解. 【详解】由得. 30．已知是虚数，且．下列四个选项中，的可能取值有（    ） A．0 B．i C．1 D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件设出复数，再求出的取值范围即可判断. 【详解】由是虚数，，设， 则， 因此的可能取值有0和1. 故选：AC 31．已知是虚数单位，若，则________. 【答案】4-3i 【详解】若， 则. 32．已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． (1)求的值； (2)记复数，求复数的模． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据虚根成对原理可知也是方程的根，利用韦达定理计算出、，即可得解； （2）由（1）可得，利用复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【详解】（1）因为是关于的方程的一个根， 所以这个方程的另一个根是， 由韦达定理可知：，解得，所以； （2）由（1）可得， 所以， 所以. 【易错必刷九 共轭复数的概念及计算】 33．复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘方化简复数，结合共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，故. 故选：C. 34．已知复数是其共轭复数，下列说法正确的是（　　） A．若，则为实数 B．若，则 C． D． 【答案】AD 【分析】设，得到，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意设，则. 选项A， ，则，所以为实数，所以A正确； 选项B， 当时，，此时，所以B错误； 选项C，当，，此时，所以C错误； 选项D，，即，所以D正确. 故选：A D. 35．已知复数满足，则_________. 【答案】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数满足，可得，则. 故答案为：. 36．已知复数，i为虚数单位． (1)求z的共轭复数； (2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的运算可得，即可得共轭复数； （2）可知：、是方程的根，利用韦达定理即可得结果. 【详解】（1）因为， 所以z的共轭复数. （2）由题意可知：、是方程的根， 则，即. 【易错必刷十 复数的三角表示】 37．复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解. 【详解】因为， 所以的辐角主值为. 故选：C 38．下列结论中错误的是（ ）． A．复数Z的任意两个辐角之间都差的整数倍； B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个； C．实数0不能写成三角形式； D．复数0的辐角主值是0． 【答案】ACD 【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0的辐角性质判断各项的正误即可. 【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误； B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确； C：其中，故实数0能写成三角形式，错误； D：复数0的辐角主值不唯一，错误. 故选：ACD 39．若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为_________． 【答案】 【分析】先设，再依次根据结合其辐角及其定义即可计算求解参数. 【详解】设，则， 因为复数的辐角的主值为，所以①， 因为复数的辐角的主值为，所以②， 由①②可得，，所以. 故答案为：. 40．说出下列复数的辐角主值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数在复平面对应点的坐标，结合复数的辐角主值定义进行求解即可. 【详解】（1）因为在复数平面对应点的坐标为， 所以； （2）因为在复数平面对应点的坐标为， 所以； （3）因为在复数平面对应点的坐标为， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 复数易错必刷题型专训（40题10个考点） 【易错必刷一 复数的基本概念】 1．欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得（    ） A．0 B．1 C． D． 2．已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与的虚部相等 C．若，则或 D．若，则 3．在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则__________. 4．取何实数时，复数是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零． 【易错必刷二 求复数的实部与虚部】 5．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．复数的虚部是 B．形如的数一定是虚数 C．若，，则是纯虚数 D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数 7．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数________． 8．在复数，，，，0，中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？ 【易错必刷三 复数的分类及辨析】 9．已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 10．下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 11．已知为实数，若复数为纯虚数，则_______ 12．已知复数（是虚数单位） （1）复数是实数，求实数的值； （2）复数是虚数，求实数的取值范围； （3）复数是纯虚数，求实数的值. 【易错必刷四 复数的坐标表示】 13．在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 14．在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是（    ） A． B． C． D． 15．已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数__________． 16．设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 【易错必刷五 判断复数对应的点所在的象限】 17．复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 B．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则的模为13 19．若复数（其中为虚数单位）在复平面内所对应的向量分别为和，则的面积为__________. 20．当复数z满足下列条件时，分别指出z在复平面上所对应的点Z的位置： (1)z是正实数； (2)z是负实数； (3)z是实部小于零、虚部大于零的虚数； (4)z是虚部小于零的纯虚数． 【易错必刷六 根据复数的加减运算结果求参数】 21．复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 22．复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 23．已知复数满足（为虚数单位），则______． 24．已知，，为实数，若，求 【易错必刷七 复数代数形式的乘法运算】 25．设，则（   ） A． B． C．2 D．4 26．已知复数，则（   ） A．的实部是7 B．的实部是 C．的虚部是 D．的虚部是13 27．已知复数，则___． 28．已知，. (1)求； (2)若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值. 【易错必刷八 复数的除法运算】 29．设i是虚数单位，，则（   ） A． B． C． D． 30．已知是虚数，且．下列四个选项中，的可能取值有（    ） A．0 B．i C．1 D． 31．已知是虚数单位，若，则________. 32．已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． (1)求的值； (2)记复数，求复数的模． 【易错必刷九 共轭复数的概念及计算】 33．复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 34．已知复数是其共轭复数，下列说法正确的是（　　） A．若，则为实数 B．若，则 C． D． 35．已知复数满足，则_________. 36．已知复数，i为虚数单位． (1)求z的共轭复数； (2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 【易错必刷十 复数的三角表示】 37．复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 38．下列结论中错误的是（ ）． A．复数Z的任意两个辐角之间都差的整数倍； B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个； C．实数0不能写成三角形式； D．复数0的辐角主值是0． 39．若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为_________． 40．说出下列复数的辐角主值． (1)； (2)； (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $