专题10.1 随机事件与概率重难点题型专训（3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

**基本信息** 以事件-古典概型-概率性质为逻辑主线，通过10类基础题型+2类拓展训练，系统覆盖随机事件与概率的概念辨析及计算应用，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个（含即时训练）|事件分类与关系、古典概型条件、概率性质（6条）|从事件定义到古典概型特征，再到概率性质公式推导| |基础题型|10大题型（每题型含典例+练习）|阶梯式计算（事件运算→互斥对立辨析→古典概型计算→参数求解→公式应用）|从概念理解到定量计算，逐步深化概率应用能力| |拓展训练|2类（古典概型求解/概率性质）|综合应用（跨知识点融合，如结合集合与概率计算）|强化知识迁移，提升复杂情境下的数学运算与推理能力|

专题10.1 随机事件与概率重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 事件的运算及其含义 题型二 互斥事件与对立事件关系的辨析 题型三 确定所给事件的对立关系 题型四 计算古典概型问题的概率 题型五 有放回与无放回问题的概率 题型六 根据古典概型的概率求参数 题型七 利用概率的加法公式计算古典概型的概率 题型八 互斥事件的概率加法公式 题型九 利用互斥事件的概率公式求概率 题型十 利用对立事件的概率公式求概率 拓展训练一 古典概型相关求解 拓展训练二 概率的基本性质 知识点一： 事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【即时训练】 1．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【答案】C 【分析】根据题意用自然语言描述出事件，即可得. 【详解】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次， 所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”. 故选：C 2．（25-26高二·全国·暑假作业）生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，事件表示的含义是________． 【答案】产品不合格 【详解】事件表示的是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格， 所以事件D表示“产品不合格”． 知识点二： 古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 【即时训练】 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为个除颜色外其他都相同的球中，有个红球，个白球， 所以从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为. 2．（25-26高二下·上海·期中）投掷一颗质地均匀的骰子（每一面上分别标注数值1、2、3、4、5、6），得到点数为5的概率为__________. 【答案】 【分析】根据古典概型的概率计算即可. 【详解】因为投掷一枚质地均匀的骰子，有6种情况，所以得到点数为5的概率为. 知识点三： 概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）= 1，P()=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）. 【即时训练】 1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖和三等奖三类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.2，中三等奖的概率为0.3，那么本次活动不中奖的概率为（     ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据互斥事件的概率加法公式来求解不中奖的概率即可. 【详解】由于中一等奖，中二等奖、中三等奖为两两互斥事件，故不中奖的概率为. 故选：. 2．（25-26高二上·上海静安·期末）甲、乙两人下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.8，则他们下成和棋的概率为________． 【答案】0.4 【分析】设事件，分析事件的关系，即可求得结果. 【详解】“甲获胜”为事件，“甲、乙和棋”为事件， 则，∴ 所以 故答案为：0.4 【经典例题一 事件的运算及其含义】 【例1】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【答案】D 【分析】先明确各事件具体含义，再理解并集运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【详解】由题意可得，事件是彼此互斥的事件， 且为必然事件， 所以表示的是打靶三次至少击中一次， 故选：D. 【例2】（24-25高二上·广东佛山·阶段检测）把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意将事件一一列出，然后求它们的并事件即可； （2）根据题意将事件一一列出，然后求它们的交事件即可； 【详解】（1）由题意可知出现奇数所有可能为， 出现被3除余2的数的可能为， 所以A、B至少有一个发生为； （2）由（1）知事件，事件， 所以A、B同时发生为. 所以事件、事件恰好有一个发生为 1．（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C 2．（24-25高二上·吉林·阶段检测）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，先将事件等价求出，再结合事件之间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中， 对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确； 对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确； 对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确； 对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确. 故选：ABD. 3．（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 【答案】 (或A1＋A2＋A3) 【详解】因 彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次 ，击中两次 ，击中三次， 这三个事件的并事件，应表示为 (或A1＋A2＋A3). 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生 （1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件； （2）用A，B，C表示下列事件： ①恰好订阅一种学习资料； ②没有订阅任何学习资料. 【答案】（1）区域1表示该生数学、语文、英语三种资料部订阅；区域4表示该生只订阅数学、语文两种资料；区域5表示该生只订阅了语文资料；区域8表示该生三种资料都未订阅.  （2）①；② 【解析】(1)由图可得出1，4，5，8各区域所代表的事件； (2)由事件的关系与运算求解即可. 【详解】(1)由图可知： 区域1表示该生数学、语文、英语三种资料部订阅； 区域4表示该生只订阅数学、语文两种资料； 区域5表示该生只订阅了语文资料； 区域8表示该生三种资料都未订阅. (2) “恰好订阅一种学习资料”包括：只订阅数学为：；只订阅语文：；只订阅英语：，并且这三种相互互斥 所以“恰好订阅一种学习资料”用A，B，C表示为： “没有订阅任何学习资料” 用A，B，C表示为： 【经典例题二 互斥事件与对立事件关系的辨析】 【例1】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【答案】A 【分析】利用互斥事件与对立事件的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A：“甲元件正常”，事件B：“乙元件正常”．（可以用、分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（，）表示这个并联电路的状态：以1表示元件正常，0表示元件失效） (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)写出事件A、B以及它们的对立事件的对应子集； (3)写出事件和事件，并说明它们的含义及关系． 【答案】(1) (2)，，， (3)，，答案见解析 【分析】（1）依据题意写出样本空间即可. （2）利用对立事件定义求解即可. （3）依据事件的基本关系求解即可. 【详解】（1）样本空间； （2），， ，； （3），； 表示电路工作正常，表示电路工作不正常；和互为对立事件. 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是（    ） A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立 【答案】D 【分析】随机抽取三件产品，得出总事件，再分别得出事件A，事件B，事件C包含的事件，再由互斥事件及对立事件的定义即可判断出结果. 【详解】随机抽取三件产品，总事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品” ，“3件次品，0件正品” 事件A=“三件产品全不是次品”即“0件次品，3件正品”， 事件B=“三件产品全是次品”即“3件次品，0件正品”， 事件C=“三件产品有次品，但不全是次品” 即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品” 由互斥事件的定义知：A、B、C两两互斥，故ABC正确； 由互斥事件的定义知：A与B互斥，但是A与B的和事件不是总事件，故A与B对立不是对立事件，故D错误. 故选：D. 2．（24-25高一下·辽宁·期中）（多选）某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球，事件表示取出的2个球都是白球，事件表示取出的2个球都是红球，事件表示取出的2个球中至少有1个白球，事件表示取出的2个球中至少有1个红球，则下列事件是对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】根据互斥事件,对立事件的定义判断即可． 【详解】由题意可知与是互斥事件，但不是对立事件， 与是对立事件，与是对立事件， 与不是互斥事件，即与不是对立事件. 故选：BC. 3．（25-26高一·全国·随堂练习）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色．事件A表示随机事件“抽出的牌是黑桃”，事件B表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件C表示随机事件“抽出的牌是方片”，事件D表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是______． （1）A，B，C，D彼此互斥； （2）A与D，B与C是对立事件； （3）A的对立事件是； （4）的对立事件为； （5）与为互斥事件，但不是对立事件． 【答案】（1）（3）（4）． 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断． 【详解】（1）A，B，C，D四个事件只能发生一个，不可能有两个同时发生，它们彼此互斥，（1）正确； （2）当发生时，和都不发生，因此不是对立事件，（2）错； （3）事件A和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（3）正确； （4）事件和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（4）正确； （5）事件和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（5）错误． 故答案为：（1）（3）（4）． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记A为“只订甲报”，B为“只订乙报”，C为“至少订一种报纸”，D为“至多订一种报纸”，E为“一种报纸也没订”，F为“两种报纸都订”.根据上述事件回答下列问题： （1）请列举出包含关系的事件； （2）用和事件的定义判断上述事件中哪些是和事件； （3）从上述事件中找出几对互斥事件和对立事件. 【答案】（1）.，，，，，.（2）或，或，全集或.（3）互斥事件有A和B，A和E，A和F，B和E，B和F，E和F，D和F，C和E；对立事件有C和E，D和F. 【解析】根据题意所有可能的订报情况一共有四种：“一种报纸也没订”, “只订甲报”, “只订乙报” ,“两种报纸都订”.再根据题意分析每种情况满足的条件即可. 【详解】（1）由题意可知,A发生,C一定发生,即.同理,,,,,. （2）由题意及事件的相互关系可知,或,或,全集或. （3）由互斥事件及对立事件的定义知,互斥事件有A和B,A和E,A和F,B和E,B和F,E和F,D和F,C和E；对立事件有C和E,D和F. 【经典例题三 确定所给事件的对立关系】 【例1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，结合题意分析即可. 【详解】6张卡片中一次性任意取出2张卡片的情况有：“2张都是红色”、“2张都是蓝色”、“2张都是绿色”、“1张红色和1张蓝色”、“1张红色和1张绿色”、“1张蓝色和1张绿色”. “2张卡片都不是红色”与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片恰有1张是红色” 与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片至少有1张是红色”与“2张卡片都为红色”不是互斥事件； “2张卡片至多一张为红色” 与“2张卡片都为红色” 是对立事件. 所以事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为2. 故选：. 【例2】（24-25高三·全国·一轮复习）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”.试判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件. （1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C. 【答案】（1）不互斥；（2）既互斥也对立；（3）不互斥；（4）不互斥； 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念可依次判断（1），（2），（3），（4）. 【详解】（1）由于事件C“至多订一种报纸”中，有可能“只订甲报”，即事件A与C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件. （2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件，又因市民要么“至少订一种报纸”，要么“一种也不订”，故B与E是对立事件. （3）事件B“至少订一种报纸”中，有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件. （4）事件B“至少订一种报纸”中，有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”；事件C“至多订一种报纸”中，有这些可能：“什么报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”， 由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件. 1．（25-26高二·全国·暑假作业）从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是（   ） A．① B．②④ C．③ D．①③ 【答案】C 【详解】从1∼9中任取两数，有以下三种情况：（i）两个均为奇数；（ii）两个均为偶数；（iii）一个奇数和一个偶数. ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，有可能同时发生不存在对立的关系； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，不互斥，故不存在对立的关系； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，与两个都是偶数是对立事件； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一个奇数和一个偶数的结果，不存在对立的关系. 所以只有③所包含的事件是对立事件. 2．（2024高一下·全国·专题练习）（多选）从1，2，3，，9中任取两个数，其中不是对立事件的是（   ） A．恰有一个偶数和恰有一个奇数 B．至少有一个偶数和两个都是偶数 C．至少有一个奇数和两个都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数 【答案】ABD 【分析】对立事件前提是互斥，同时两个事件的并事件为必然事件，即两个事件应包含所有的情况.根据对立事件的要求，逐项分析，即可得出答案. 【详解】对于A选项，任取两个数，恰有一个偶数和恰有一个奇数为相等事件，都表示取出1个奇数1个偶数； 对于B选项，至少有一个偶数，包含两种情况：两个都是偶数，一个奇数一个偶数，所以两个事件是包含关系； 对于C选项，至少有一个奇数和两个都是偶数，互为对立事件； 对于D选项，至少有一个奇数和至少有一个偶数，都包含一种情况：一个奇数一个偶数，所以两个事件不对立. 故选：ABD. 3．（24-25高一下·天津河西·期末）某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为_____ 【答案】“两次都中靶” 【分析】根据对立事件的定义分析求解. 【详解】因为连续射击两次可能有两次都没中靶，恰有一次中靶，两次都中靶， 所以事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”. 故答案为：“两次都中靶” 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可； （2）根据并事件（和事件）的概念求解即可； （3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可. 【详解】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子，样本空间为， 事件包含的样本点为,. 故,. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，, 故. 【经典例题四 计算古典概型问题的概率】 【例1】（2025高二下·福建·学业考试）一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】由题意，基本事件共3种：抽中红球、抽中黄球、抽中蓝球， 其中“抽中红球”包含的基本事件数为1， 所以抽中红球的概率. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）玩纸牌已经成为人们日常生活中闲暇时的一种娱乐活动，我们看看下面的问题，桌上放着6张扑克牌，全部正面朝下，假定你已知道其中有2张而且只有2张老K，但是你不知道老K的具体位置，你随便取了2张，并把它们翻开，下面哪个事件发生的概率较大？（1）两张牌中至少有一张是老K；（2）两张牌中没有一张是老K. 【答案】“至少有一张是老K”的概率较大 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率，再比较大小即可. 【详解】记6张扑克牌分别为1，2，3，4，5，6，并且假定5号牌和6号牌就是那2张老K， 则从6张扑克牌中取2张扑克牌共有15种结果：1-2，2-3，3-4，4-5，5-6， 1-3，2-4，3-5，4-6，1-4，2-5，3-6，1-5，2-6，1-6， （1）“至少有一张是老K”的概率为； （2）“两张牌中没有一张是老K”的概率为，而， 所以，“至少有一张是老K”的概率较大. 1．（2026高三·全国·专题练习）将四位数2024的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将2024的各个数字重新排列，包括自身可以得到9个四位数： 2204、2240、4220、4022、2024、2420、2042、2402、4202， 其中两个2不相邻的有5个：2024、2420、2042、2402、4202， 所以所求概率为． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）如图，圆的半径为1，六边形是圆的内接正六边形，从、、、、、六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是（   ） A．线段的长为1的概率是0.4 B．线段的长为2的概率是0.5 C．线段的长为的概率是0.4 D．线段的长不超过的概率是0.8 【答案】ACD 【分析】先列出样本空间，分别找出线段长为1、2、的线段数量，结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】在中任取两点的样本空间 ，共15个样本点， 线段的长为1的样本点有，，，，，，共有6个样本点， 所以线段的长为1的概率，故A正确． 线段的长为2的样本点有，，，共有3个样本点， 所以线段的长为2的概率，故B不正确． 线段的长为的样本点有，，，，，，共有6个样本点， 所以线段的长为的概率，故C正确． 线段的长不超过的概率是，故D正确． 故选：ACD． 3．（25-26高二上·云南昆明·期中）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______.           【答案】 【分析】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】因为选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中， 设每种选法可标记为，其中分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，，共6种. 其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，，共2种， 故所求概率为. 4．（2025高三·全国·竞赛）一个骰子连续掷两次，得到的点数依次为，若关于的三次方程1）有三个互不相等的实数根，求满足条件的有序数对的概率． 【答案】 【分析】将三次方程因式分解，根据二次方程根与系数的关系得此三次方程有三个互不相等的实数根需满足的条件，然后利用列举法求出满足条件的有序数对的个数，根据古典概型进行计算即可. 【详解】， 则且． 于是当时，a可取2，3，4，5，6 当时，a可取； 当时，a可取 当时，a可取 当时，a可取； 当时，a可取. 满足条件的有27对． 设“方程有三个互不相等的实数根”， 所以． 【经典例题五 有放回与无放回问题的概率】 【例1】（24-25高二下·辽宁丹东·期中）袋中装有除颜色外其他完全相同的红、黄球各1个，现从中随机取1个球，记录球的颜色后放回，并且往袋中放入2个与取出的球颜色相同的球，以此规则取球，则第三次取到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记取到红球为事件，取到黄球为事件，则第三次取到红球的情况有四种情况，分别计算概率求和即可. 【详解】记取到红球为事件，取到黄球为事件，则第三次取到红球的概率 . 故选：B. 【例2】（24-25高二上·北京顺义·期中）从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. (1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. (2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过列举法，写出不放回时抽取2名学生的所有可能结果，再从中找出抽到2人为1名男生和1名女生的结果，由古典概型的概率计算公式即可得到结果； （2）通过列举法，写出有放回时抽取2名学生的所有可能结果，再从中找出抽到2人为1名男生和1名女生的结果，由古典概型的概率计算公式即可得到结果； 【详解】（1）从5名学生中，不放回地任意依次抽取2名学生的所有可能结果为： ， 共20种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果. 由古典概型的概率计算公式得：， 即不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. （2）有放回简单随机抽样抽取2名学生的所有可能结果为： ，共25种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果. 由古典概型的概率计算公式得：， 即有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【详解】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 2．（24-25高一下·内蒙古通辽·期末）（多选）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】BC 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色不全相同的结果有24种， ,其概率为，故B正确； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：BC. 3．（24-25高二下·安徽六安·期末）一个箱子里有五个球，分别以1-5编号，若有放回的取四次，每次取一个，记至少取出一次的球的个数为X，则______． 【答案】 【分析】根据题意共有种，符合题意为4次取球中仅有2种编号的球， 【详解】根据题意至少取出一次的球的个数为2，即4次取球中仅有2种编号的球， 首先取4次球，总共有种， 在1-5编号中选2个编号共有种， 2个编号排到4个位置共有，只出现一个编号的有2种， 所以. 4．（25-26高二上·广东茂名·期中）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球. (1)从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于5”的概率； (2)从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用列举法，以及古典概率公式，即可求解； （2）首先求样本空间，再列举基本事件个数，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）从盒中任取两球的所有等可能基本事件有： ，，，，，，共6个，     记取出的两球编号之和大于5的事件为，     则事件包含，，共2个等可能基本事件     所以；     所以取出的两球编号之和大于5的概率为. （2）有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有： ，，，，，，，，，，，，，，，共16个，     记的事件为，     则事件包含，，，，，，，，，共10个等可能基本事件，     所以，     所以事件“”发生的概率为. 【经典例题六 根据古典概型的概率求参数】 【例1】（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·湖南·期中）一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求两次取到的球颜色相同的概率． (2)如果是3个红球，n个白球，已知第二次取到红球的概率为，求n的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】(1)分取出的两球均为红色和均为白色两类计算概率，然后加起来即可求解； (2)根据题意，先求出第二次取到红球的概率，建立方程，解之即可求解. 【详解】（1）若取出的两个球均为红球，则概率为：， 若取出的两个球均为白球，则概率为：， 所以两次取到的球颜色相同的概率为：． （2）第二次取出红球的概率为：，即， 解得：或（舍去），故n的值为5． 1．（24-25高一下·重庆·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案. 【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则. 故选：B 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设黄球的个数为，利用古典概型的概率公式可得出关于的等式，解出的值即可. 【详解】设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：B. 3．（25-26高一上·浙江·阶段检测）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________． 【答案】10 【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可. 【详解】根据题意， 从袋中随机摸出一个红球的概率是， 所以. 故答案为：10 4．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 【经典例题七 利用概率的加法公式计算古典概型的概率】 【例1】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求解即可. 【详解】因为， 即，解得. 故选：B 【例2】（24-25高一下·安徽黄山·期末）从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被3整除，事件表示选到的数能被5整除，求下列事件的概率. (1)这个数既能被3整除也能被5整除； (2)这个数能被3整除或能被5整除； (3)这个数既不能被3整除也不能被5整除. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用样本空间法，列举满足条件的样本，再利用古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）事件表示既能被3整除也能被5整除，包含元素， 所以, 所以既能被3整除又能被5整除的概率为； （2）事件表示能被3整除或能被5整除，包含， 所以， 所以能被3整除或能被5整除的概率为； （3）事件表示既不能被3整除也不能被5整除，共有个元素， 所以， 所以既不能被3整除也不能被5整除的概率为. 1．（24-25高三上·江苏南通·期末）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出各个小木板的面积，进而根据古典概型加法公式求得答案. 【详解】如图，设正方形EGHI的边长为x（dm），根据题意可知，AE=CE，即. 容易求得,记为S=4，，记为，，记为. 所以所求概率. 故选：A. 2．（24-25高一下·云南大理·期末）（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对立事件的概率公式判断A，由于无法确定、是否相互独立及，即可判断B、C、D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 由于无法确定、是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误； 又，故C正确，D错误； 故选：AC 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”．若在每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则乙获得冠军的概率为________． 【答案】 【分析】根据三局两胜制中，乙获得冠军有两种情况，第一乙两局都获胜，第二是前两局乙获胜一局，第三局乙获胜，根据分类原则得到两类结果相加即可求解. 【详解】若两局决出冠军，则乙获得冠军的概率； 若三局决出冠军，则乙获得冠军的概率； 则所求概率为． 故答案为： 4．（24-25高一下·广西·期末）袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是． (1)求的值； (2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型公式求解即可； （2）将所有基本事件列出，再分析满足各条件的事件个数，进而根据古典概型公式求解即可. 【详解】（1）由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有个结果，每个结果可能性相同， 其中事件发生有种结果，所以，解得． （2）由（1）可知连续取球两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑），（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑），（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑），（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑），所以基本事件的总数为16． 设事件：连续取两次分数之和为3分， 设事件：连续取两次分数之和为4分， 设事件：连续取两次分数之和大于2分，则，且事件与事件互斥， 因为事件所包含的基本事件有：（红，白1），（红，白2），（白1，红），（白2，红），所以， 因为事件所包含的基本事件有：（红，红），所以， 故． 即两次取球所得分数之和大于2分的概率为． 【经典例题八 互斥事件的概率加法公式】 【例1】（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 【例2】（2026高一·全国·专题练习）袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【答案】取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式列出方程组求解即可. 【详解】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为，则事件两两互斥， 依题意，，则，解得， 所以取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 1．（2026·湖北·三模）已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和事件概率计算公式即可求解. 【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件， 根据容斥原理： ， 因为 ，且， 所以 ，概率非负，故， 代入已知条件：， 所以. 2．（24-25高二上·河北保定·开学考试）（多选）已知事件两两互斥，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解. 【详解】对于A，因为事件两两互斥， 所以，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于D，由，得，故D正确； 对于C，因为，故C正确. 故选：BCD. 3．（25-26高二下·江苏无锡·期中）设，是一个实验的两个事件，，，，则________． 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式可得，再利用概率的基本公式，，，将其代入上式，建立关于的方程，进而求解。 【详解】因为和是互斥事件，根据互斥事件概率加法公式可得： . ，即， ，即， 代入整理得： ， 代入，， 得， 解得：. 4．（25-26高三·辽宁沈阳·阶段检测）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且. （1）求与的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 【答案】（1） ； （2）. 【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值； （2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果. 【详解】（1）依题，解得 （2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为， 获得本选修课学分分数不低于4分为事件， 则；；. 故. 【经典例题九 利用互斥事件的概率公式求概率】 【例1】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，由互斥事件的概率性质建立关于的等式，求解即可． 【详解】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， ， 解得：， 故选：C． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？ 【答案】0.9. 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的加法公式列式计算即得. 【详解】记“响第一声时被接”为事件A，“响第二声时被接”为事件B，“响第三声时被接”为事件C， “响第四声时被接”为事件D，“响前四声内被接”为事件E，显然事件A，B，C，D彼此互斥， 且，则由互斥事件的概率加法公式得， ， 所以电话在响前四声内被接的概率是0.9. 1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 2．（24-25高二下·四川·阶段检测）（多选）已知事件两两互斥，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件的定义及概率公式逐项判断可得答案. 【详解】A选项，因为事件互斥，所以，故，A错误； BC选项，因为事件两两互斥，， 所以，B正确，C错误； D选项，，D正确. 故选：BD. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）为维护世界经济秩序，我国在某论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年内（含3年）达到要求，则包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求的概率为_________． 【答案】0.79/ 【分析】由互斥事件的和事件概率公式即可求解. 【详解】设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税达到要求”为事件，“不到4年达到要求”为事件， 则“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”是事件，而，互斥， ． 4．（24-25高一下·全国·单元测试）黄种人群中各种血型的人所占的比例如下： 血型 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是型血，若张三因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？ 【答案】(1)0.64 (2)0.36 【分析】（1）（2）列出符合要求的事件，利用互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）对任意一人，其血型为的事件分别记为，，，，由已知得，，，， 因为型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件， 依据互斥事件概率的加法公式得到． （2）由于型血不能输给型血的人， 则“任找一人，其血不能输给张三”为事件， 依据互斥事件概率的加法公式得到． 【经典例题十 利用对立事件的概率公式求概率】 【例1】（2026·云南昭通·模拟预测）小明每周末都会在骑行和跑步中选择一个项目进行锻炼且只选择一项.如果选择跑步的概率为，则小明选择骑行的概率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据事件小明选择骑行和事件小明选择跑步相互对立，结合对立事件概率公式求结论即可. 【详解】设事件小明选择跑步为，则， 事件小明选择骑行可表示为， 所以， 小明选择骑行的概率为. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）甲、乙两人参加普法知识竞赛，其中有6道选择题，4道判断题，甲、乙两人依次各抽1题． (1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分步乘法计算原理，结合古典概型即可求概率； （2）根据对立事件为两人均抽到判断题，接着求概率即可. 【详解】（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为． （2）设甲、乙两人中至少有一人抽到选择题为事件，则对立事件为两人均抽到判断题， 故． 1．（25-26高二上·广东江门·期中）已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由互斥事件的概率公式和对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】， 又， 所以， 所以， 故选：D 2．（25-26高二上·广东江门·期中）（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 【答案】ABC 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又且，则， 所以，即，故B正确； 对于C，因为A与B互斥，所以， 则，故C正确； 对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”， 则满足，，但不成立，故D错误； 故选：ABC. 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 【答案】 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】因为事件和互斥，， 所以， 因为事件和都不发生的概率为， 所以，所以， 所以． 4．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）将一枚质地均匀的正方体骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连续抛掷三次，求下列事件的概率. (1)点数都为奇数； (2)至少出现一次3点； (3)三个点数之和为8. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出连续抛掷骰子三次的试验含有的基本事件总数，再求出点数都为奇数的事件含有的基本事件数，利用古典概率概型计算即得. （2）由（1）的信息，结合对立事件的概率公式求解. （3）由（1）的信息，利用列举法求出三个点数之和为8概率. 【详解】（1）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次的试验，含有的基本事件总数为个， 点数都为奇数的事件含有的基本事件数为个， 所以点数都为奇数的事件概率. （2）事件 “至少出现一次3点”，其对立事件“没有出现3点”， 事件含有的基本事件数为个，则， 所以至少出现一次3点的概率为. （3）三次点数之和为8的情况有， ，共21个， 所以三次点数之和为8的概率. 【拓展训练一 古典概型相关求解】 【例1】（24-25高二上·山东济南·阶段检测）下列试验中是古典概型的是（    ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【答案】B 【分析】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断． 【详解】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误； 对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确； 对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误； 对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·山东日照·开学考试）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出. （2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平. 【详解】（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B， 则， 由已知得，解得， 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； （2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个， 用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球， 表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间，． 可得， 记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则，所以， 所以， 因为，所以此游戏不公平． 1．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解. 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个， 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，.共11个基本事件. 所以. 事件包含的基本事件有： ，， ， ， ，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得：. 故选：D 2．（24-25高一上·河南南阳·期末）（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（    ） A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置 B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况 C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌 D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶 【答案】BC 【分析】利用古典概型的定义判断即可. 【详解】对于A，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误，对于B，实验结果有限且等可能，故正确，对于C，实验结果有限且等可能，故正确，对于D，显然实验并非等可能，故错误. 故选：BC 3．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 【答案】/ 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间包含，，，，，，，，，共10个， 抽到的3张卡片上的数字之和大于9的基本事件为，，，共4个， 所以抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率． 4．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，分别列举所有可能情况，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别列出出所有情况，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由古典概型概率公式，列出方程，即可得到结果. 【详解】（1）将两个红球编号为1，2，四个绿球球编号为3，4，5，6．第一次摸球时有6种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，设第一次摸到的球的编号为m，第二次摸到的球的编号为n，样本点为，则样本空间为，则． 设“第二次取到红球”为事件A，则，即 ， 所以，故第二次取到红球的概率为． （2）设“两次取到的球颜色相同”为事件B，则，即 所以，故两次取到的球颜色相同的概率为 （3）由已知得，解得． 【拓展训练二 概率的基本性质】 【例1】（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【答案】得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，， 【分析】利用互斥事件、对立事件的概率公式计算即可. 【详解】从袋中任取1球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为，，，， 则有，， ． 解得，，． 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，． 故答案为：. 1．（25-26高二上·山东·阶段检测）某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 2．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段检测）（多选）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，则实数a的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由互斥事件的概率性质列不等式组求解即可； 【详解】解: 由题意可知， 即，即， 解得， 故选：CD. 3．（25-26高二上·广东江门·期末）已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 【答案】0.4/ 【分析】根据概率的加法公式计算即可. 【详解】因为，，， ， 解得. 故答案为：0.4. 4．（2026高一下·全国·专题练习）某射手平时射击成绩统计如表： 环数 7环以下 7 8 9 10 概率 a b 已知他射中7环及7环以下的概率为． 求a和b的值； 求命中10环或9环的概率； 求命中环数不足9环的概率． 【答案】（1）0.16,0.22；（2）0.49；（3）0.51 【详解】试题分析：（1）根据互斥事件概率加法得0.13+a=0.29，解得a；根据所有事件概率和为1，解得b,（2）根据互斥事件概率加法得命中10环或9环的概率；（3）根据对立事件概率关系求命中环数不足9环的概率． 试题解析：（1）因为他射中7环及7环以下的概率为0.29， 所以a=0.29–0.13=0.16， b=1–（0.29+0.25+0.24）=0.22． （2）命中10环或9环的概率为0.25+0.24=0.49 答：命中10环或9环的概率为0.49． （3）命中环数不足9环的概率为1–0.49=0.51 答：命中环数不足9环的概率0.51． 1．（25-26高三·全国·一轮复习）如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 【答案】B 【分析】根据事件互斥、对立事件和必然事件的定义，逐一分析选项． 【详解】解：如图①所示，不是必然事件，是必然事件，与不互斥； 如图②所示，是必然事件，是必然事件，与互斥． 故选B. 2．（2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案. 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 3．（25-26高二下·陕西榆林·期中）早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，且个位用纵式，十位用横式，则个位上的算筹比十位多的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有种， 所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为. 则个位上的算筹比十位多的概率为. 4．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】甲获胜的情形有三种：第一种，甲第一次就摸到红球；第二种，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到红球；第三种，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到红球.利用古典概率的加法求解即可 【详解】； 故选：C. 5．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据事件的互斥，对立关系逐个分析选项. 【详解】对于A， ， ，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项错误； 对于D，，D选项错误； 故选：B 6．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 【答案】CD 【分析】依据互斥事件不能同时发生、对立事件不能同时发生且必有一个发生的定义，逐一判断每个选项中两个事件的关系即可得到答案. 【详解】 从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：两个红球，一红一白，两个白球， 对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至少一个白球”包含一红一白、两个白球， 二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误； 对于B：“恰有一个红球”即一红一白，“都是白球”即两个白球，二者互斥，但存在“两个红球”的情况， 二者不是必有一个发生，不对立，B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”即两个白球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确； 对于D：“至多一个红球”包含两个白球、一红一白，“都是红球”即两个红球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确. 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列叙述正确的是（    ） A．表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中，则样本空间为 B．用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”，则， C．点数之和为5的概率为 D．点数相等的概率为 【答案】AD 【详解】先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数， 对于A，表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中， 则样本空间为，故A正确； 对于B，用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”， 则，，故B错误； 对于C，基本事件总数，点数之和为5包含的基本事件有，，，，共4个， 所以点数之和为5的概率为，故C错误； 对于D，点数相等包含的基本事件有，，，，，， 所以点数相等的概率为，故D正确． 8．（24-25高一下·安徽·期末）（多选）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 【答案】BCD 【分析】列举出所有可能性结合古典概型概率公式计算依次判断即可. 【详解】给大小、材质相同的2个红球编号为，3个绿球编号为， 若有放回抽取，则样本空间为：，共包含25个样本点， 其中第一次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第二次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第一次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 第二次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 所以，，故A错误； 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故B正确； 若不放回抽取，则样本空间为 ，共含有20个样本点， 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故C正确； 因为事件有，其中包含14个样本点， 所以，故D正确. 故选：BCD 9．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）（多选）已知事件满足，，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】CD 【分析】由互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号, 记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 , 但是 选项A错误; 对于选项B，如果 , 那么 ，选项B错误; 对于选项C， 如果与互斥，那么 , 所以选项C正确; 对于选项D，如果与相互独立，那么 ，所以选项D正确。 故选：CD 10．（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）已知事件发生的概率分别为，则（   ） A． B． C．若，则 D．一定有 【答案】AB 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A：因为，故A正确； 对B：因为，所以， 所以. 故B正确； 对C：由，所以，所以C错误； 对D：记事件：掷一枚骰子，得到点数小于3.则，记事件：掷一枚骰子，得到点数为6,.则，但不成立，故D错误. 故选：AB 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 【答案】/0.25 【分析】根据条件，利用和事件的概率公式求出，再利用即可求出结果. 【详解】因为，又，， 得到，又因为，所以. 故答案为：. 12．（24-25高三·北京·一轮复习）一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是______． ①．都是黑球     ②．恰好有1个黑球    ③．恰好有1个红球    ④．至少有2个红球 【答案】② 【分析】由互斥事件和对立事件的性质逐一判断即可； 【详解】从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在①中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故①错误， 在②中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故②正确， 在③中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故③错误， 在④中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，且概率和为1，是对立事件，故④错误． 故答案为：②． 13．（2025高三·全国·竞赛）将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为_____． 【答案】 【分析】设表示掷两次骰子前一次出现点数为，后一次出现点数为，然后把所有情况列举出来，再把满足条件的情况列举出来，最后利用古典概型概率求解即可. 【详解】设表示掷两次骰子前一次出现点数为，后一次出现点数为， 则所有情况为： ， ， ， ， ， ，共36种情况； 其中后一次所得点数不小于前一次所得点数的情况有： ， ，共21种情况； 所以所求概率为：， 故答案为：. 14．（25-26高二下·重庆·期中）银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，小王不超过2次就按对的概率为__________. 【答案】/0.4 【分析】不超过2次就按对，包含第一次就按对和第一次按错第二次按对，分别求出概率后相加. 【详解】密码的最后1位是偶数，即为五个中的一个， 不超过2次就按对，包含第一次就按对，概率为，第一次按错，第二次按对，概率为， 所以“不超过2次就按对”的概率是. 15．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知A、B为互斥事件，且，则______． 【答案】0.2/ 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 16．（25-26高三上·上海黄浦·阶段检测）尝试使用概率的“可加性”解决下面的问题： (1)设是同一样本空间中的两个事件，探索，，，之间的等量关系，并说明理由. (2)甲、乙各抛郑枚硬币，证明：“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过事件间的关系，表示和事件，表示积事件，即可找出关系得到结果； （2）先设出事件事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数多”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数一样多”，再利用硬币的对称生和即可得到证明. 【详解】（1）， 因为表示事件和事件至少有一个发生，表示事件和事件同时发生，所以 （2）设事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数多”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数一样多”， 由硬币的对称性知，，又，， 所以，故， 即“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于. 17．（25-26高二上·上海·阶段检测）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】（1）明确样本空间的总数后，计算对应样本点个数即可得； （2）利用交集与并集定义，并计算对应样本点个数即可得. 【详解】（1）样本空间为， 满足事件的样本点有，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，，共个， 故； （2） ，共个样本点， 故； ，共个样本点， 故. 18．（24-25高二上·山东济宁·期中）在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求第一次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式求解. 【详解】（1）两次取球的基本事件为，，共20个， 所以第一次取到红球的概率. （2）两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件， 由（1）可知两次取到红球的概率， 两次取到黑球的概率， 所以两次取到的球颜色相同的概率. 19．（24-25高二上·上海·期末）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概率模型，先求出所有基本事件的总数，再求出满足事件条件的基本事件数，从而确定事件的概率； （2）根据题意取得两个同颜色的球分为取得两个红球和取得两个绿球两种情况，根据互斥事件概率计算公式，计算即可； （3）求出至少取得一个红球事件的对立事件即事件的概率，根据，为对立事件，有. 【详解】（1）设取得两个红球为事件，取得两个绿球为事件，至少取得一个红球为事件， 易知，为互斥事件，，为对立事件；7个红玻璃球，3个绿玻璃球， 从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有（个）， 其中事件发生所包含的基本事件有（个）， 事件发生所包含的基本事件有（个）， 所以， 所以取得两个红球的概率为：. （2）取得两个同颜色的球的概率为：. （3）至少取得一个红球的概率为：. 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在范围内的概率； (2)求月收入在范围内的概率； (3)求月收入不在范围内的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用互斥事件概率和公式计算求解； （2）应用互斥事件概率和公式计算求解； （3）应用对立事件概率公式及互斥事件概率和公式计算求解； 【详解】（1）记这个商店月收入在，，，范围内的事件分别为，，，，则这4个事件彼此互斥． 月收入在范围内的概率是 （2）月收入在范围内的概率是 （3）月收入不在范围内的概率是 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 随机事件与概率重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 事件的运算及其含义 题型二 互斥事件与对立事件关系的辨析 题型三 确定所给事件的对立关系 题型四 计算古典概型问题的概率 题型五 有放回与无放回问题的概率 题型六 根据古典概型的概率求参数 题型七 利用概率的加法公式计算古典概型的概率 题型八 互斥事件的概率加法公式 题型九 利用互斥事件的概率公式求概率 题型十 利用对立事件的概率公式求概率 拓展训练一 古典概型相关求解 拓展训练二 概率的基本性质 知识点一： 事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【即时训练】 1．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 2．（25-26高二·全国·暑假作业）生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，事件表示的含义是________． 知识点二： 古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 【即时训练】 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海·期中）投掷一颗质地均匀的骰子（每一面上分别标注数值1、2、3、4、5、6），得到点数为5的概率为__________. 知识点三： 概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）= 1，P()=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）. 【即时训练】 1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖和三等奖三类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.2，中三等奖的概率为0.3，那么本次活动不中奖的概率为（     ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 2．（25-26高二上·上海静安·期末）甲、乙两人下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.8，则他们下成和棋的概率为________． 【经典例题一 事件的运算及其含义】 【例1】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【例2】（24-25高二上·广东佛山·阶段检测）把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 1．（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林·阶段检测）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生 （1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件； （2）用A，B，C表示下列事件： ①恰好订阅一种学习资料； ②没有订阅任何学习资料. 【经典例题二 互斥事件与对立事件关系的辨析】 【例1】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A：“甲元件正常”，事件B：“乙元件正常”．（可以用、分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（，）表示这个并联电路的状态：以1表示元件正常，0表示元件失效） (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)写出事件A、B以及它们的对立事件的对应子集； (3)写出事件和事件，并说明它们的含义及关系． 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是（    ） A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立 2．（24-25高一下·辽宁·期中）（多选）某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球，事件表示取出的2个球都是白球，事件表示取出的2个球都是红球，事件表示取出的2个球中至少有1个白球，事件表示取出的2个球中至少有1个红球，则下列事件是对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一·全国·随堂练习）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色．事件A表示随机事件“抽出的牌是黑桃”，事件B表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件C表示随机事件“抽出的牌是方片”，事件D表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是______． （1）A，B，C，D彼此互斥； （2）A与D，B与C是对立事件； （3）A的对立事件是； （4）的对立事件为； （5）与为互斥事件，但不是对立事件． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记A为“只订甲报”，B为“只订乙报”，C为“至少订一种报纸”，D为“至多订一种报纸”，E为“一种报纸也没订”，F为“两种报纸都订”.根据上述事件回答下列问题： （1）请列举出包含关系的事件； （2）用和事件的定义判断上述事件中哪些是和事件； （3）从上述事件中找出几对互斥事件和对立事件. 【经典例题三 确定所给事件的对立关系】 【例1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高三·全国·一轮复习）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”.试判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件. （1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C. 1．（25-26高二·全国·暑假作业）从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是（   ） A．① B．②④ C．③ D．①③ 2．（2024高一下·全国·专题练习）（多选）从1，2，3，，9中任取两个数，其中不是对立事件的是（   ） A．恰有一个偶数和恰有一个奇数 B．至少有一个偶数和两个都是偶数 C．至少有一个奇数和两个都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数 3．（24-25高一下·天津河西·期末）某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为_____ 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 【经典例题四 计算古典概型问题的概率】 【例1】（2025高二下·福建·学业考试）一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）玩纸牌已经成为人们日常生活中闲暇时的一种娱乐活动，我们看看下面的问题，桌上放着6张扑克牌，全部正面朝下，假定你已知道其中有2张而且只有2张老K，但是你不知道老K的具体位置，你随便取了2张，并把它们翻开，下面哪个事件发生的概率较大？（1）两张牌中至少有一张是老K；（2）两张牌中没有一张是老K. 1．（2026高三·全国·专题练习）将四位数2024的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）如图，圆的半径为1，六边形是圆的内接正六边形，从、、、、、六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是（   ） A．线段的长为1的概率是0.4 B．线段的长为2的概率是0.5 C．线段的长为的概率是0.4 D．线段的长不超过的概率是0.8 3．（25-26高二上·云南昆明·期中）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______.           4．（2025高三·全国·竞赛）一个骰子连续掷两次，得到的点数依次为，若关于的三次方程1）有三个互不相等的实数根，求满足条件的有序数对的概率． 【经典例题五 有放回与无放回问题的概率】 【例1】（24-25高二下·辽宁丹东·期中）袋中装有除颜色外其他完全相同的红、黄球各1个，现从中随机取1个球，记录球的颜色后放回，并且往袋中放入2个与取出的球颜色相同的球，以此规则取球，则第三次取到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·北京顺义·期中）从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. (1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. (2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古通辽·期末）（多选）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 3．（24-25高二下·安徽六安·期末）一个箱子里有五个球，分别以1-5编号，若有放回的取四次，每次取一个，记至少取出一次的球的个数为X，则______． 4．（25-26高二上·广东茂名·期中）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球. (1)从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于5”的概率； (2)从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率. 【经典例题六 根据古典概型的概率求参数】 【例1】（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【例2】（24-25高二上·湖南·期中）一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求两次取到的球颜色相同的概率． (2)如果是3个红球，n个白球，已知第二次取到红球的概率为，求n的值． 1．（24-25高一下·重庆·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江·阶段检测）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________． 4．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【经典例题七 利用概率的加法公式计算古典概型的概率】 【例1】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·安徽黄山·期末）从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被3整除，事件表示选到的数能被5整除，求下列事件的概率. (1)这个数既能被3整除也能被5整除； (2)这个数能被3整除或能被5整除； (3)这个数既不能被3整除也不能被5整除. 1．（24-25高三上·江苏南通·期末）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南大理·期末）（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”．若在每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则乙获得冠军的概率为________． 4．（24-25高一下·广西·期末）袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是． (1)求的值； (2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率． 【经典例题八 互斥事件的概率加法公式】 【例1】（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026高一·全国·专题练习）袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 1．（2026·湖北·三模）已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北保定·开学考试）（多选）已知事件两两互斥，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏无锡·期中）设，是一个实验的两个事件，，，，则________． 4．（25-26高三·辽宁沈阳·阶段检测）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且. （1）求与的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 【经典例题九 利用互斥事件的概率公式求概率】 【例1】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？ 1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 2．（24-25高二下·四川·阶段检测）（多选）已知事件两两互斥，若，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）为维护世界经济秩序，我国在某论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年内（含3年）达到要求，则包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求的概率为_________． 4．（24-25高一下·全国·单元测试）黄种人群中各种血型的人所占的比例如下： 血型 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是型血，若张三因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？ 【经典例题十 利用对立事件的概率公式求概率】 【例1】（2026·云南昭通·模拟预测）小明每周末都会在骑行和跑步中选择一个项目进行锻炼且只选择一项.如果选择跑步的概率为，则小明选择骑行的概率为（    ） A． B． C． D．1 【例2】（2025高三·全国·专题练习）甲、乙两人参加普法知识竞赛，其中有6道选择题，4道判断题，甲、乙两人依次各抽1题． (1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 1．（25-26高二上·广东江门·期中）已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东江门·期中）（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 4．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）将一枚质地均匀的正方体骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连续抛掷三次，求下列事件的概率. (1)点数都为奇数； (2)至少出现一次3点； (3)三个点数之和为8. 【拓展训练一 古典概型相关求解】 【例1】（24-25高二上·山东济南·阶段检测）下列试验中是古典概型的是（    ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【例2】（24-25高二上·山东日照·开学考试）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 1．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南南阳·期末）（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（    ） A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置 B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况 C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌 D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶 3．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 4．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? 【拓展训练二 概率的基本性质】 【例1】（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 1．（25-26高二上·山东·阶段检测）某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段检测）（多选）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，则实数a的值可以是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东江门·期末）已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 4．（2026高一下·全国·专题练习）某射手平时射击成绩统计如表： 环数 7环以下 7 8 9 10 概率 a b 已知他射中7环及7环以下的概率为． 求a和b的值； 求命中10环或9环的概率； 求命中环数不足9环的概率． 1．（25-26高三·全国·一轮复习）如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 2．（2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3．（25-26高二下·陕西榆林·期中）早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，且个位用纵式，十位用横式，则个位上的算筹比十位多的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列叙述正确的是（    ） A．表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中，则样本空间为 B．用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”，则， C．点数之和为5的概率为 D．点数相等的概率为 8．（24-25高一下·安徽·期末）（多选）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 9．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）（多选）已知事件满足，，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 10．（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）已知事件发生的概率分别为，则（   ） A． B． C．若，则 D．一定有 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 12．（24-25高三·北京·一轮复习）一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是______． ①．都是黑球     ②．恰好有1个黑球    ③．恰好有1个红球    ④．至少有2个红球 13．（2025高三·全国·竞赛）将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为_____． 14．（25-26高二下·重庆·期中）银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，小王不超过2次就按对的概率为__________. 15．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知A、B为互斥事件，且，则______． 16．（25-26高三上·上海黄浦·阶段检测）尝试使用概率的“可加性”解决下面的问题： (1)设是同一样本空间中的两个事件，探索，，，之间的等量关系，并说明理由. (2)甲、乙各抛郑枚硬币，证明：“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于. 17．（25-26高二上·上海·阶段检测）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 18．（24-25高二上·山东济宁·期中）在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求第一次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率． 19．（24-25高二上·上海·期末）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在范围内的概率； (2)求月收入在范围内的概率； (3)求月收入不在范围内的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $