10.1.3古典概型（分层作业，5大知识点）高一数学人教A版必修第二册

10.1.3 古典概型 知识点一 古典概型的特征及判断 1．（24-25高二上·山东济南·月考）下列试验中是古典概型的是（    ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【答案】B 【解析】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误； 对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确； 对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误； 对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…， 命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误.故选：B. 2．（24-25高二上·安徽·月考）下列试验中符合古典概型研究的试验是（    ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 【答案】B 【解析】在选项A中，因为骰子各个面材质不一样，所以每一面出现的可能性是不均等的，故不是古典概型； 在选项B中，球的数量有限，且每次试验中，每个球被抽中的可能性相同，故B项是古典概型； 在选项C中，试验的结果是无穷的，故不是古典概型； 在选项D中，因为各环的大小不均等，不满足各个样本点出现的可能性相等，故不是古典概型.故选：B 3．下列试验是古典概型的是（    ） A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B．在区间上任取一个实数，使 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．某人射击中靶或不中靶 【答案】C 【解析】对A：取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不是古典概型，故A错误； 对B：一次试验的结果有无限个，故不是古典概型，故B错误； 对C：满足古典概型特征，是古典概型，故C正确； 对D：两个样本点发生的可能性可能不同，故不是古典概型，故D错误．故选：C. 4．（多选）下列试验中是古典概型的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面或反面出现的情况 B．口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球 C．向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点 D．射击运动员向一靶心进行射击,观察其环数 【答案】AB 【解析】选项A,正面和反面出现的概率相同,是古典概型； 选项B,每个球被抽到的概率相等,是古典概型； 选项C,样本点有无限个,不是古典概型； 选项D,命中10环,9环,…,0环的概率不等,不是古典概型,故选:AB. 知识点一 古典概型的概率计算 1．（25-26高二上·北京·期中）将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，随机掷2次的所有可能情况有 {正面、正面}，{反面、正面}，{正面、反面}，{反面、反面}四种情况， 所以恰好出现2次正面向上的情况有{正面、正面}一种情况， 所以随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为. 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：， ，， ，， 共种， 其中至少出现一次1点的情况有：，共种， 故至少出现一次1点的概率是.故选：B 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃分别设为，，，，， 根据题意，该游客从中随机选择3种品尝的所有情况有 ，，，，，，， ，，，共10种， 其中该游客选择了油炸糕和莜面品尝的，，，情况有3种， 故所求概率为.故选：B 4．（24-25高一下·山东青岛·月考）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间，共6个样本点， 恰好一男一女生的事件，共4个样本点， 所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是.故选：A 知识点二 根据古典概型的概率求参数 1．（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【解析】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得.故选：A. 2．（24-25高二上·广东佛山·月考）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．15 【答案】A 【解析】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球， 从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是， 则，解得（负值舍去）.故选：A． 3．（25-26高二上·广东江门·期中）中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（    ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 【答案】C 【解析】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后 该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共，从中任取1本有种取法. 《牡丹亭》戏曲书籍共，从中任取1本有种取法. 从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本， 使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为 根据题意可得，解得， 即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本.故选：C 4．（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半. 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4.故选：C 知识点三 有放回与无放回问题 1．（25-26高二上·广东江门·期末）已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是.故选：A. 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间 ，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以.故选：C 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以.故选：D. 4．（24-25高一下·河南平顶山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题意知， 不放回地选取共有20个样本点，标签上的数字之和为6有4个样本点， 分别为，所以， 有放回地选取共有25个样本点，标签上的数字之和为6有5个样本点， 分别为，所以，则．故选：B. 知识点一 古典概型与其他知识结合 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）2025年5月22日16时49分，经过约8小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同，在地面科研人员配合支持下，航天员从核心舱节点舱出舱，航天员陈冬时隔两年再度漫步太空．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)求及的值； (2)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】(1)0.04；200；(2)32.25；37.5；(3) 【解析】（1）根据频率分布直方图可得： 第一组的频率为， 第二组的频率为， 第三组的频率为， 第四组的频率为， 第五组的频率为， 因为频率之和为1，所以，，解得； 因为第一组的频率为，且第一组有10人， 所以，解得. （2）设平均年龄为， 则， 设第80百分位数为， 根据每一组频率得：，， 因此第80百分位数出现在第四组， 可列出方程：，，，解得， 综上，平均年龄为32.25，第80百分位数为37.5. （3）根据题意，进行分层抽样，则第四组抽了人，记为，，，甲， 第五组抽了人，记为，乙， 从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，对应的样本空间为： ，，，，，，，， ，，，，，，，共15个样本点， 甲、乙两人至少有一人被选上，对应的样本空间为： ，，，，，，，，，共9个样本点， 故甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 2．（24-25高一下·安徽亳州·月考）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意：. （2）因为评分在的频率为：， 评分在的频率为：. 所以评分的第分位数在， 由. 所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：. （3）受访职工中评分在的人数为：人，设为， 受访职工中评分在的人数为：人，设为， 从中任取两人的结果有：，，，，，， ，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同. 2人评分都在的结果有：，，，共3个. 所以此2人评分都在的概率为：. 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）样本空间可记为 ，共包含20个样本点． 设事件“为偶数”，， 包含8个样本点，则． （2）由（1）得样本空间共包含20个样本点， 设事件“为整数”， 因为，，， 所以，包含3个样本点， 则． 4．（25-26高一下·全国·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）若为实数，即为实数，所以， 故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关， 又依题意，第二次抛掷出现的点数可取1，2，3，4，5，6， 故出现的概率为， 即事件“为实数”的概率为. （2）由已知， 可知，的值只能取1，2，3， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取2， 由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立， 又，的取值情况共有种， 故事件“”的概率为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.3 古典概型 知识点一 古典概型的特征及判断 1．（24-25高二上·山东济南·月考）下列试验中是古典概型的是（    ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 2．（24-25高二上·安徽·月考）下列试验中符合古典概型研究的试验是（    ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 3．下列试验是古典概型的是（    ） A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B．在区间上任取一个实数，使 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．某人射击中靶或不中靶 4．（多选）下列试验中是古典概型的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面或反面出现的情况 B．口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球 C．向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点 D．射击运动员向一靶心进行射击,观察其环数 知识点一 古典概型的概率计算 1．（25-26高二上·北京·期中）将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东青岛·月考）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 知识点二 根据古典概型的概率求参数 1．（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 2．（24-25高二上·广东佛山·月考）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．15 3．（25-26高二上·广东江门·期中）中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（    ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 4．（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点三 有放回与无放回问题 1．（25-26高二上·广东江门·期末）已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南平顶山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 知识点一 古典概型与其他知识结合 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）2025年5月22日16时49分，经过约8小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同，在地面科研人员配合支持下，航天员从核心舱节点舱出舱，航天员陈冬时隔两年再度漫步太空．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)求及的值； (2)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 2．（24-25高一下·安徽亳州·月考）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 4．（25-26高一下·全国·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $