专题9.1 用样本估计总体重难点题型专训（2个知识点+16大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

**基本信息** 以“集中趋势+离散程度”为双主线，构建“概念-计算-应用-比较”四层训练体系，16大题型全覆盖高频考点，典例精选高考真题与模拟题，突出数据分析与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |总体集中趋势|6题型+6典例|频率分布表/图三数估算、百分位数定位法|从定义辨析到图表转化，建立“数据特征-实际意义”对应关系| |总体离散程度|10题型+10典例|方差变换公式、频率分布直方图方差计算|以方差性质为核心，构建“数据变换-波动特征”分析框架|

专题9.1 用样本估计总体重难点题型专训 （2个知识点+16大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 根据频率分布表解决实际问题 题型二 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 题型三 总体百分位数的估计 题型四 用众数的代表意义解决实际问题 题型五 根据频率分布直方图计算众数 题型六 用中位数的代表意义解决实际问题: 题型七 计算几个数的平均数 题型八 由茎叶图计算平均数 题型九 用平均数的代表意义解决实际问题 题型十 众数、平均数、中位数的比较 题型十一 计算几个数据的极差、方差、标准差 题型十二 根据方差、标准差求参数 题型十三 各数据同时加减同一数对方差的影响 题型十四 各数据同时乘除同一数对方差的影响 题型十五 估计总体的方差、标准差 题型十六 计算频率分布直方图中的方差、标准差 拓展训练一 众数、平均数、中位数的相关求解 拓展训练二 方差、标准差的相关求解 知识点一： 总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度 刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平 均 数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是这组数据的平均数，用表示，即=（x1+x2+…+xn）. 中 位 数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众 数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 【即时训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）有一组数据24，29，，25，22，，20，24，28，25．若该组数据的中位数与众数相等，则平均数为（    ） A．24.4 B．25.8 C．24.4或25.8 D．24.4或24.8 2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）盒子中装有除编号（1到6）外完全相同的6个小球，从中有放回地摸球5次，记录摸到球的编号，若已知5个编号的中位数为3，唯一众数为2，则平均数最大可能为______. 知识点二： 总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，，，，总体平均数为，则总体方差= . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，不妨记为，，，，其中出 现的频数为(i=1，2，，k)，则总体方差为=. 总体标准差：S=. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 【即时训练】 1．（2026·河南·模拟预测）已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建福州·模拟预测）已知样本数据，，…，的平均数为6，方差为9．前五个数据，，，，的平均数7，方差为6，则后十个数据，，…，的方差是__________． 【经典例题一 根据频率分布表解决实际问题】 【例1】（24-25高一下·江苏·期末）某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他区 营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7% 净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8% 已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（   ） A．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 B．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 C．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40% D．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 【例2】（2025·山西运城·模拟预测）随着北京冬奥会的成功举办，冰雪运动成为时尚.“三亿人参与冰雪运动”与建设“健康中国”紧密相连，对我国经济发展有极大的促进作用，我国冰雪经济市场消费潜力巨大.为了更好地普及冰雪运动知识，某市十几所大学联合举办了大学生冰雪运动知识系列讲座，培训结束前对参加讲座的学生进行冰雪知识测试，现从参加测试的大学生中随机抽取了100名大学生的测试成绩（满分100分），将数据分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如下频数分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）： 分数 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 人数 8 15 25 30 22 (1)若成绩不低于60分为合格，不低于80分为优秀，根据样本估计总体，估计参加讲座的学生的冰雪知识的合格率和优秀率； (2)若为样本成绩的平均数，样本成绩的标准差为s，计算得，若，则不及格学生需要参加第二次讲座，否则，不需要参加第二次讲座，试问不及格学生是否需要参加第二次讲座？ 1．（2025·北京房山·二模）下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它区 营业收入占比 净利润占比 该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论： ①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区； ②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区； ③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区； ④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过. 其中正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 2．（24-25高一下·湖南·期末）（多选）已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表： 工资 兼职 理财 其他 收入占比 衣 食 住 行 其他 支出占比 则下列判断中正确的是（    ） A．小王2023年5月份的收入主要来源是工资 B．小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出 C．小王2023年5月份的最大支出出于食 D．小王2023年5月份的工资刚好够支出 3．（25-26高二上·上海·单元测试）将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为10，第二、三组的频率分别为0.32和0.48，则________． 4．（25-26高三下·湖南·阶段检测）某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗6元，售价每碗10元，未售出的螺蛳粉降价处理，以每碗5元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为200碗；如果最高气温位于区间，需求量为300碗；如果最高气温低于20，需求量为500碗．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 4 7 25 36 16 2 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过300碗的概率； （2）设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为（单位：元），当六月份这种螺蛳粉一天的进货量为450碗时，写出的所有可能值，并估计的平均值（即加权平均数）． 【经典例题二 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量】 【例1】（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80分的份数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【例2】（2025高三·全国·专题练习）某地抽样调查30个家庭的人均月收入，得到如下数据（单位：元）： 4040   4440   5560   4300   3800   4200   5000   4300   4200   3840 4200   4040   4240   3400   4240   4120   3880   4720   3580   4760 3760   3960   4280   4440   3660   4360   3640   4380   3300   4260 (1)取组距为600，起点为3200，列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)根据频率分布直方图估计人均月收入在的家庭所占的百分比． 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（    ） A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的 C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数 2．（24-25高二上·内蒙古·期末）（多选）某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：），并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（   ） A． B．估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30% C．估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间 D．估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间 3．（2026高三·全国·专题练习）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，随机抽查了该地区100名年龄为17.5~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这100名男生中体重在的人数为______ 4．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）为弘扬中华传统文化，某校组织若干名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题：    分组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 频数 2 a 20 16 8 频率 0.04 0.08 0.40 0.32 b (1)本次抽样调查的样本容量为_______，此样本中成绩的中位数落在_______范围内．表中_______，_______； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校共有初中生3000名，若成绩超过80分为优秀，请估计该校汉字听写能力为优秀的约有多少人． 【经典例题三 总体百分位数的估计】 【例1】（2026·湖南·三模）某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格： 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海青浦·期末）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生? (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中，n是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. 1．（2026·浙江·三模）已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 2．（2026·山东聊城·模拟预测）某小学五年级共有200名学生．期末考试后，学校教导处统计了五年级全体学生的数学成绩，并绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这200名学生成绩的80%分位数是（    ） A．70.23 B．70.84 C．71.26 D．71.43 3．（2026·福建泉州·模拟预测）某校从高中部抽出100名学生参加AI基础知识竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的48%分位数为__________分. 4．（24-25高二上·四川绵阳·期中）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间）画出频率分布直方图如图所示.      (1)求频率分布直方图中的值； (2)政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按照平价收费，超出部分按照议价收费，若使85%居民用户的电费支出不受影响，应确定值为多少? 【经典例题四 用众数的代表意义解决实际问题】 【例1】．（24-25高一下·广西来宾·期末）抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）假设你是某市一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额.已知国家对本市一条新公路的建设投资为2000万元人民币，对另外25个公路项目的投资是20~100万元，这26个投资金额的中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元.请你根据上面的信息给市长写一份简要的报告. 1．（25-26高一·全国·课后作业）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41 日销量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差 2．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）（多选）如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是（    ）. A．这组数据是近似对称的 B．数据中可能有极端大的值 C．数据中可能有异常值 D．数据中众数可能和中位数相同 3．（2025高二下·辽宁·学业考试）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某班级准备利用暑假进行“请党放心，强国有我”为主题的研学旅行．为了便于识别，该班级准备定做一批容量一致的双肩包．为此，班级负责人征求班内同学的意向，得到如下数据：为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为______． 容量 23 25 27 29 31 33 频数 3 4 5 26 3 2 4．（25-26高二·黑龙江牡丹江·课后作业）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下： 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员的成绩的众数、中位数、平均数(保留到小数点后两位)，并分析这些数据的含义． 【经典例题五 根据频率分布直方图计算众数】 【例1】（2024高二下·安徽·学业考试）从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：高一参赛学生的成绩的众数、中位数. 1．（2025·广东汕头·二模）在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（    ） A．成绩在分的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000 C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 2．（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为（   ） A．81.5 B．75 C．81.25 D．85 3．（2025高一·全国·专题练习）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为________.    4．（25-26高一下·全国·单元测试）如图是某地某公司1000名员工的月收入的直方图．根据直方图估计： (1)该公司月收入在1000元到1500元之间的人数； (2)该公司员工的月平均收入； (3)该公司员工收入的众数； (4)该公司员工月收入的中位数； (5)该公司员工月收入的第90分位数． 【经典例题六 用中位数的代表意义解决实际问题】 【例1】（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若数据的中位数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026高一·全国·专题练习）某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩（满分100分）统计如下表： 班级 平均分 众数 中位数 甲班 79 70 87 乙班 79 70 79 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” (2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议． 1．（24-25高三上·广东·开学考试）某公司购入了400根钢管拟切割打磨为其他产品，统计钢管口径后得以下频数分布表： 钢管口径 11.0 12.5 14.0 16.5 18.5 20.5 21.0 22.0 频数 26 74 100 40 46 52 38 24 则这批钢管口径的中位数为（    ） A．14.00cm B．15.25cm C．16.25cm D．16.50cm 2．（2025·江苏南通·模拟预测）（多选）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人” ．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：中位数为2，众数为3；      乙地：平均数为2，方差为3； 丙地：平均数为3，极差为5；      丁地：平均数为5，众数为6． 则一定没有发生大规模群体感染的是（    ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 3．（24-25高二下·山东潍坊·期末）某足球队10名队员的年龄结构如表所示，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则_____，该足球队队员的平均年龄为_____ 年龄 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 a b 2 1 4．（25-26高一下·全国·课后作业）某班4个小组的人数为10，10，x，8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数. 【经典例题七 计算几个数的平均数】 【例1】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）一组样本数据为5，18，22，26，若去掉其中一个数据后，所得新样本的平均数增大，则去掉的数据为（   ） A．5 B．18 C．22 D．26 【例2】（2025高二·全国·专题练习）某学校按《国家学生体质健康标准》上报高一年级学生的肺活量单项数据，采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均数为3000mL；抽取了女生30人，其肺活量平均数为2500mL，请估计高一年级全体学生肺活量的平均数． 1．（2026·湖北·三模）已知一组样本数据有两层，第一层有N个数据，平均数为，第二层有M个数据，平均数为，两层数据合到一起计算出的平均数为，后来第一层又增加了n个数据，这n个数据的平均数为，则新的样本数据的平均数为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（   ） A．众数是4 B．平均数是4 C．极差是3 D．中位数是4.5 3．（2026高三·全国·专题练习）某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间（单位：h）做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为，，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为，，，则高三学生每天读书时间的平均数________． 4．（2025高三·全国·专题练习）在 “好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：85  86 92   87   89   95   82   91   85 小组B：95  93  51   88   90   89   91   92   94 分别求两组评委打分的平均分． 【经典例题八 由茎叶图计算平均数】 【例1】（2026高二上·新疆·学业考试）下图为某组数据的茎叶图，则这组数据的平均数是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【例2】（24-25高二上·陕西榆林·阶段检测）在某市的科技创新大赛活动中，10位评委分别对甲学校的作品“乒乓球简易发球器”和乙学校的作品“感应垃圾桶”进行了评分，得分的茎叶图如图． (1)根据茎叶图写出甲、乙两所学校的作品得分的中位数； (2)根据茎叶图计算甲、乙两所学校的作品得分的平均数，并判断哪一件作品更受评委的欢迎？ 1．（2025·全国·模拟预测）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两位同学的6次数学模拟考试成绩（单位：分），下列说法正确的是（    ）    A．甲成绩的众数大于乙 B．甲成绩的极差小于乙 C．甲的成绩比乙更稳定 D．甲成绩的平均数大于乙 2．（24-25高一上·山东德州·期末）（多选）国家为了实现经济“双循环”大战略，对东部和西部地区的多个县市的某一类经济指标进行调查，得出东部，西部两组数据的茎叶图如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．西部的平均数为13.3 B．东部的极差小于西部的极差 C．东部的30%分位数是11.6 D．东部的众数比西部的众数小 3．（25-26高二上·上海静安·期末）某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环，数据均为整数）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为___________． 4．（2025·河北唐山·一模）某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸在[223,228]内（单位：mm）的零件为一等品，其余为二等品.在两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示： （1）分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数； （2）已知甲工艺每天可生产300个零件，乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个.视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高？ 【经典例题九 用平均数的代表意义解决实际问题】 【例1】（24-25高一下·广东佛山·期末）为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（，，，，）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（   ） A．全校学生体育达标的人数 B．样本学生体育达标的人数 C．全校学生体育达标率 D．全校学生体育达标率的估计值 【例2】（24-25高三·全国·一轮复习）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力 64 72 84 (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由； (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由. 1．（24-25高三上·甘肃白银·阶段检测）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况： 加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米 2024年8月1日 20 26000 2024年8月10日 45 26500 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米的平均耗油量为（   ） A．5升 B．6升 C．9升 D．11升 2．（2025·河北沧州·一模）（多选）某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（   ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A．这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B．这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C．这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D．这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间 3．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）某公司打算招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________. 4．（24-25高一下·江苏·单元复习）某工厂人员及月工资构成如下： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 月工资（元） 22 000 2 500 2 200 2 000 1 000 29 700 人数 1 6 5 10 1 23 合计 22 000 15 000 11 000 20 000 1 000 69 000 (1)指出这个表格中的众数、中位数、平均数； (2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？ 【经典例题十 众数、平均数、中位数的比较】 【例1】（24-25高一下·山东泰安·阶段检测）如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）：平均数>中位数=众数 B．图（2）：众数>平均数 C．图（3）：众数<中位数<平均数 D．图（3）：众数<平均数<中位数 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 1．（24-25高一下·广东东莞·期末）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图所示，三个频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，则下列判断错误的是（    ）    A．图（1）中，平均数=中位数>众数 B．图（2）中，众数<中位数<平均数 C．图（2）中，平均数<众数<中位数 D．图（3）中，中位数<平均数<众数 3．（2025·陕西西安·一模）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则由大到小的顺序为________. 4．（24-25高一下·河北唐山·阶段检测）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05. 求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩． 【经典例题十一 计算几个数据的极差、方差、标准差】 【例1】（2026·湖南株洲·模拟预测）一组数据0，1，3，4，5，6的极差为（     ） A．6 B．4 C．3 D．5 【例2】（24-25高一下·山东济南·期末）某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由． （参考数据：） 1．（2026·福建泉州·三模）已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个数据3和9，则剩下的8个样本数据的方差为（   ） A． B． C．2 D． 2．（2026·河南新乡·三模）（多选）某地2026年3月1日至10日每天的最高气温（单位：）记录如下表： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 最高气温 13 5 8 10 16 9 19 22 16 12 则关于该地2026年3月1日至10日每天的最高气温，下列说法正确的是（    ） A．从2日到8日持续上升 B．极差为17 C．平均数为13 D．标准差为5 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________． 4．（25-26高一上·河南焦作·期末）无土栽培是未来太空探索所必需的技术，现用相同的种子分别在无土环境与土壤环境中种植，将两种环境下生长的植株各分成五组，分别计算各组植株的平均高度（单位：），得到如下表格： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 无土环境 12.8 13.2 13.1 12.9 13.0 土壤环境 15.2 16.4 14.9 17.3 16.2 规定：记第组中无土环境生长植株的平均高度为，土壤环境生长植株的平均高度为，若，则称两种环境下植株生长差异较小，否则称两种环境下植株生长差异较大. (1)求土壤环境中5组植株平均高度的中位数和极差； (2)证明：两种环境下植株生长差异较大. 【经典例题十二 根据方差、标准差求参数】 【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）若一组数据的平均值，方差，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（24-25高三·北京·一轮复习）A，B两组各有7位病人．他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：； B组：． 当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 1．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）（多选）某校团委为泙价5个社团暑期开展活动的情况，在各社团中分别抽取部分社员进行调查．若各社团抽取的社员人数的平均数为8，方差为4，则各社团被抽取的社员人数的最大值可能为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 3．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知数据的平均数8，方差为2，则___________． 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知样本的各个体的值由小到大依次为、、、、、、、、、，且样本的中位数为若要使该样本的方差最小，求、的值． 【经典例题十三 各数据同时加减同一数对方差的影响】 【例1】（25-26高三上·黑龙江·期末）已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）数据的方差为，数据的方差为，a，b为常数.证明： （1）如果，那么； （2）如果，那么. 1．（2025·河南·二模）某钢管车间生产的无缝钢管的直径规格为45mm，现从生产的钢管中随机抽取10根，测得10根钢管的平均直径为45.3mm，方差为，若再加入1根直径为45.3mm的钢管，则这11根钢管直径的（    ） A．平均数变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．方差变大 2．（25-26高三下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）已知数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，且满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林长春·开学考试）若一组样本数据的方差为2，，则样本数据的方差为__________. 4．（25-26高二·上海·课堂例题）数据、、、的方差为，数据、、、的方差为，若，，，成立，a、b为常数，求证：. 【经典例题十四 各数据同时乘除同一数对方差的影响】 【例1】（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知一组样本数据的方差为1，则由生成一组新的数据的标准差为（   ） A．9 B．3 C． D．1 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明. 1．（2024·江西赣州·一模）若一组样本数据的方差为，则样本数据的方差为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D． 2．（25-26高三上·山东青岛·期末）（多选）已知点（，）与点（，）关于点对称，若的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则满足（    ） A．，，，…，的方差为 B．，，，…，的极差为 C．，，，…，的平均数为 D．，，，…，的中位数为 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知数据，，，，的方差为1，则数据，，，，的方差为________． 4．（24-25高一下·北京通州·期中）甲、乙、丙三人进行5轮的投篮比赛，每轮各投10次，其成绩（命中次数）如下： 甲投中次数 6 6 8 7 8 乙投中次数 6 5 4 6 丙投中次数 (1)若乙比甲平均少投中2次，求的值，甲和乙投中次数的方差分别为和，试比较和大小（结论不要求证明）； (2)若投中一球计三分，丙平均得分为21分，方差为36，且每轮得分互不相同，求丙在比赛中的最高得分，并说明理由. 【经典例题十五 估计总体的方差、标准差】 【例1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）某校男生人，女生人，男生、女生每天运动时间（分钟）的平均值为，方差分别为，结合此数据，请你估计该校全体学生每天运动时间的平均值（分钟）和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·湖南·期末）在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 1．（2026·安徽·模拟预测）已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一下·浙江台州·期末）（多选）在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了高一80人，高二60人，高三60人，方差分别为，则此样本的方差不可能为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 4．（2026高三·全国·专题练习）某高校欲了解在校学生用于课外进修（如各种考证辅导班、外语辅导班等）的开支，在全校8000名学生中用分层随机抽样抽出了一个200人的样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70%，调查最近一个学期课外进修支出（元）的结果如下： 层 样本量 样本均值 样本方差 本科生 140 253.4 231 研究生 60 329.4 367 试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差． 【经典例题十六 计算频率分布直方图中的方差、标准差】 【例1】（24-25高一下·全国·单元测试）某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：h），绘制了下面频率分布直方图．根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为，，标准差分别为，，则（   ）     甲班频率分布直方图            乙班频率分布直方图 A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25高二上·河南信阳·期中）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. (1)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (2)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. 1．（2025·河南三门峡·模拟预测）甲，乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用和分别表示甲、乙的平均数，，分别表示甲、乙的方差，则（       ）    A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二上·四川资阳·期末）已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：    令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在一次区域统考中，为了了解各学科的成绩情况，从所有考生成绩中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析，其中数学学科的频率分布直方图如图所示，据此估计，在本次考试中数学成绩的方差为______.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 4．（24-25高一下·广西南宁·期末）为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了m名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的样本学生比在内的学生少10人． (1)求a，m的值； (2)求样本学生运动时长的中位数； (3)若在，，内的样本学生运动时长的平均数分别为6，10，14，方差分别为，，，求在内的样本学生运动时长的方差． 【拓展训练一 众数、平均数、中位数的相关求解】 【例1】（25-26高一下·全国·期末）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量／度 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（   ） A．180，170 B．160，180 C．160，170 D．180，160 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）某高校两个班级在一门选修课程的某次考试中的成绩（总分：100分）如下： 甲班 84 75 78 95 67 49 86 77 66 88 73 78 53 45 74 91 84 99 53 84 67 57 68 55 90 73 72 67 57 乙班 74 58 92 100 74 37 83 97 66 84 61 75 94 70 73 84 81 48 82 66 83 100 90 66 93 44 分别计算两个班级成绩的平均数、中位数和众数，并说明在这次考试中哪个班的成绩更好. 1．（2026·福建福州·三模）某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）近日，国家发展改革委等部门联合印发《完善碳排放统计核算体系工作方案》，指出要在2025年全面建立碳排放年报、快报制度，完善碳排放统计核算体系．专家在甲、乙、丙、丁四地2024年第4季度的周快报数据中随机抽取7周数据进行分析，整理出四地这7周各周内碳排放量超过的天数的数据特征： 地区 甲 乙 丙 丁 数据特征 中位数 3 中位数 1 均值 3 均值 2 众数 2 均值 <1 众数 4 方差 2 根据规定，若这7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天，则可称该地区为低碳生态区．分析数据，四个地区中能判定为低碳生态区的是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 3．（25-26高二下·重庆·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 4．（24-25高一上·重庆·开学考试）随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注.某店为了解车主对甲､乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲､乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理､描述和分析（评分用表示，共分为三组：），下面给出了部分信息： 甲款电动汽车10名车主的评分是：. 乙款电动汽车10名车主的评分在组的数据是：. 抽取的甲､乙两款电动汽车车主的评分统计表 车型 平均数 中位数 众数 甲 83 80 乙 83 85 抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人.若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？ 【拓展训练二 方差、标准差的相关求解】 【例1】（2026·四川凉山·二模）用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得5个数据，用表示这个物体的长度，当函数取最小值时，（    ） A．4.8 B．5.2 C．5.3 D．5.6 【例2】（25-26高一·江苏·课后作业）把某校三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 统计量 组别 平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 求全班学生的平均成绩和标准差. 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩（单位：分）统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 B．若甲、乙成绩的平均数分别为，，则 C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 2．（24-25高三上·浙江·开学考试）（多选）某校高三选科为政史地组合的班级为高三（1）班50人、高三（2）班40人.现对某次数学测试的成绩进行统计，高三（1）班平均分为99分，优秀率为，方差为11；高三（2）班平均分为90，优秀率为，方差为11.则政史地班级的（     ） A．平均分为95 B．优秀率为 C．方差为31 D．两个班分数极差相同 3．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为______. 4．（25-26高二上·广东梅州·开学考试）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲  82  81  79  78  95  88  93  84 乙  92  95  80  75  83  80  90  85 (1)求甲成绩的80%分位数； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（平均数、方差）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 1．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（   ） A．66 B．68 C．70 D．72 2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段检测）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（    ）    A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 3．（2026·四川攀枝花·一模）某校300名学生参加国学知识竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（   ）    A．a的值为 B．这40名学生竞赛成绩的平均数为75 C．这40名学生竞赛成绩的众数大于其平均数 D．这40名学生竞赛成绩的第80百分位数约为 4．（2026·重庆万州·模拟预测）若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（24-25高三上·云南昆明·期中）在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了枝花的高度（单位：），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（    ）    A．样本花卉高度的极差不超过 B．样本花卉高度的中位数不小于众数 C．样本花的高度的平均数不小于中位数 D．样本花升高度小于的占比不超过 6．（24-25高一下·河南许昌·期末）（多选）为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（    ） A．a的值为0.030 B．抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C．2000名考生中约有10名成绩优秀 D．估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 7．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）（多选）电影南京照相馆在全国各地热映，某影院连续天的观影人数单位：百人依次为，，，，，，，，则这组数据的（    ） A．众数为 B．中位数为 C．平均数为 D．第百分位数为 8．（24-25高一下·重庆·期中）（多选）重庆复旦中学化学选修课的“化学有机小组”对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数大很多，则下面叙述可能正确的是（ ） A．这组数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．这组数据中可能有极端小的值 D．这组数据中的众数可能和中位数相同 9．（2026·甘肃武威·模拟预测）（多选）已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（    ） A．若的极差为9，则 B．若的80%分位数是6，则 C．若的平均数为3，则 D．若，则的方差为6.8 10．（25-26高一上·江西景德镇·期末）（多选）我校AB两班同时参加了一次数学阶段性测试，其中A班50人，B班40人，A班的平均成绩为116分，方差是360；B班的平均成绩是102.5分，方差是450.下列说法正确的是（    ） A．A班最高分比班高 B．A班成绩比B班成绩更集中 C．AB两班全部人的平均成绩是110分 D．AB两班全部人的成绩方差是445 11．（2026·广西贵港·三模）一组按照从小到大排列的数据，其平均数为，则___________． 12．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知一组数据：2，13，10，5，7，，13的平均数为8，则该组数据的中位数为________. 13．（24-25高一上·安徽淮北·开学考试）小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表： 步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 天数 3 7 5 12 3 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是__________． 14．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知样本数据，，，，的平均数为4，方差为2，则样本数据，，，，的平均数和方差分别为________和________． 15．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为________；身高方差为________. 16．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）郧阳中学倡导学生“文明用餐，减少浪费”，为了解午餐的浪费情况，对高一高二年级在工作日（周一到周五）进行了连续四周的调查，得到这两个年级每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理､描述和分析.下面给出了部分信息： ①高一年级每日餐余重量的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，）： ②高一年级每日餐余重量在这一组的是：6.1  6.6  7.0  7.0  7.0  7.8 ③高二年级每日餐余重量如下： 1.4  2.8  6.9  7.8  1.9  9.7  3.1  4.6  6.9  10.8 6.9  2.6  7.5  6.9  9.5  7.8  8.4  8.3  9.4  8.8 ④两个年级这20天每日餐余重量的平均数､中位数､众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 高一 6.4 7.0 高二 6.6 7.2 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)结合上表，在两个年级中，“文明用餐，减少浪费”做得较好的年级是______；理由是______． (3)结合我们学校高一高二年级每日餐余重量的样本数据，估计我们学校三个年级一年（按240个工作日计算，假设每个年级人数相同）的餐余总重量． 17．（25-26高一下·四川内江·阶段检测）某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 18．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校高一年级和高二年级分别有学生3 000名和2 000名，该校为了了解本校高一和高二两个年级的学生在五一假期期间的课外阅读情况，利用简单随机抽样的方法在两个年级分别抽取100名学生，记录每人假期期间每天的平均阅读时间（单位:分钟），得到如图所示的频率分布直方图: (1)求高一和高二两个年级的100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数（保留整数）. (2)两个年级的100名学生在五一假期期间平均每天阅读时间超过一个小时的百分比各是多少? (3)从众数和平均数两个角度来分析两个年级的阅读情况（每组的值用该组的中点值作代表）. 19．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 20．（24-25高一上·贵州遵义·期末）某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 用样本估计总体重难点题型专训 （2个知识点+16大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 根据频率分布表解决实际问题 题型二 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 题型三 总体百分位数的估计 题型四 用众数的代表意义解决实际问题 题型五 根据频率分布直方图计算众数 题型六 用中位数的代表意义解决实际问题: 题型七 计算几个数的平均数 题型八 由茎叶图计算平均数 题型九 用平均数的代表意义解决实际问题 题型十 众数、平均数、中位数的比较 题型十一 计算几个数据的极差、方差、标准差 题型十二 根据方差、标准差求参数 题型十三 各数据同时加减同一数对方差的影响 题型十四 各数据同时乘除同一数对方差的影响 题型十五 估计总体的方差、标准差 题型十六 计算频率分布直方图中的方差、标准差 拓展训练一 众数、平均数、中位数的相关求解 拓展训练二 方差、标准差的相关求解 知识点一： 总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度 刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平 均 数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是这组数据的平均数，用表示，即=（x1+x2+…+xn）. 中 位 数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众 数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 【即时训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）有一组数据24，29，，25，22，，20，24，28，25．若该组数据的中位数与众数相等，则平均数为（    ） A．24.4 B．25.8 C．24.4或25.8 D．24.4或24.8 【答案】D 【分析】先将数据从小到大排列，再结合中位数，众数定义得出数据，进而相等得出，则平均数应用定义即可计算. 【详解】将已知数据从小到大排列为20，22，24，24，25，25，28，29． 因为该组数据的中位数与众数相等，所以众数只能是24和25中的一个． 因为每组数据的中位数是唯一的，所以该组数据的众数也是唯一确定的． 又该组数据中除24，25外其他数据均只出现一次，且与不可能相等，故众数只能是24和25中的一个． 若中位数与众数均为24，则，，此时平均数为； 若中位数与众数均为25，则， 此时平均数为，故该组数据的平均数为24.4或24.8． 故选：D. 2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）盒子中装有除编号（1到6）外完全相同的6个小球，从中有放回地摸球5次，记录摸到球的编号，若已知5个编号的中位数为3，唯一众数为2，则平均数最大可能为______. 【答案】3.6 【分析】依题意，5个数排序后中位数为3，唯一众数为2，可推得这5个数为，其中为大于3且不相等的两个数，其中，，且，即可求解． 【详解】由题可知摸到的号码为2，2，3，，，其中，，且， 为使平均数最大， ，，其平均数最大为. 知识点二： 总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，，，，总体平均数为，则总体方差= . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，不妨记为，，，，其中出 现的频数为(i=1，2，，k)，则总体方差为=. 总体标准差：S=. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 【即时训练】 1．（2026·河南·模拟预测）已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均数及方差的计算公式即可求解． 【详解】因为，所以， , 因为，即； 所以 ，即． 2．（2026·福建福州·模拟预测）已知样本数据，，…，的平均数为6，方差为9．前五个数据，，，，的平均数7，方差为6，则后十个数据，，…，的方差是__________． 【答案】 【详解】由题意得，，， ，， 则，，， ， 则， 则， 故后十个数据，，…，的方差是 【经典例题一 根据频率分布表解决实际问题】 【例1】（24-25高一下·江苏·期末）某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他区 营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7% 净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8% 已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（   ） A．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 B．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 C．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40% D．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 【答案】D 【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断． 【详解】生鲜区的净利润占比，故A正确． 生鲜区的营业利润率为，故C正确． 熟食区的营业利润率为； 乳制品区的营业利润率为； 其他区的营业利润率为； 日用品区的营业利润率为，最高，故B正确． 由题中数据知，其他区的营业收入占比4.7%为最低的，故D错误． 故选：D 【例2】（2025·山西运城·模拟预测）随着北京冬奥会的成功举办，冰雪运动成为时尚.“三亿人参与冰雪运动”与建设“健康中国”紧密相连，对我国经济发展有极大的促进作用，我国冰雪经济市场消费潜力巨大.为了更好地普及冰雪运动知识，某市十几所大学联合举办了大学生冰雪运动知识系列讲座，培训结束前对参加讲座的学生进行冰雪知识测试，现从参加测试的大学生中随机抽取了100名大学生的测试成绩（满分100分），将数据分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如下频数分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）： 分数 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 人数 8 15 25 30 22 (1)若成绩不低于60分为合格，不低于80分为优秀，根据样本估计总体，估计参加讲座的学生的冰雪知识的合格率和优秀率； (2)若为样本成绩的平均数，样本成绩的标准差为s，计算得，若，则不及格学生需要参加第二次讲座，否则，不需要参加第二次讲座，试问不及格学生是否需要参加第二次讲座？ 【答案】(1)合格率为92%，优秀率为52% (2)不需要对不及格学生进行第二次培训 【分析】(1)根据表格即可算出格率和优秀率 (2)先计算出均值，再根据的值，即可求解. 【详解】（1）根据表格可知成绩不低于60分的频率为， 所以估计参加培训讲座的学生的冰雪知识的合格率为92%； 根据表格可知成绩不低于80分的频率为， 所以估计参加培训讲座的学生的冰雪知识的优秀率为52%. （2）由题得，， 所以， 故不需要对不及格学生进行第二次培训. 1．（2025·北京房山·二模）下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它区 营业收入占比 净利润占比 该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论： ①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区； ②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区； ③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区； ④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过. 其中正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断. 【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比，为最低的，故①错； 生鲜区的净利润占比，故②正确； 生鲜区的营业利润率为，故④正确； 熟食区的营业利润率为； 乳制品区的营业利润率为； 其他区的营业利润率为； 日用品区为，最高，故③正确． 故选：D. 2．（24-25高一下·湖南·期末）（多选）已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表： 工资 兼职 理财 其他 收入占比 衣 食 住 行 其他 支出占比 则下列判断中正确的是（    ） A．小王2023年5月份的收入主要来源是工资 B．小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出 C．小王2023年5月份的最大支出出于食 D．小王2023年5月份的工资刚好够支出 【答案】ACD 【分析】根据表中的数据逐个分析判断即可. 【详解】对于A项，小王2023年5月份的收入来源中工资占比为，占比最大，故A正确； 对于B项，小王2023年5月份的兼职收入为，食的支出为，故小王2023年5月份的兼职收入高于食的支出，故B错误； 对于C项，小王2023年5月份的支出中食占比为，占比最大，故C正确； 对于D项，小王2023年5月份的工资收入为，刚好够支出， 故D正确. 故选：ACD. 3．（25-26高二上·上海·单元测试）将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为10，第二、三组的频率分别为0.32和0.48，则________． 【答案】50 【分析】先求出第一组的频率，再根据第一组的频率可求出m的值. 【详解】因为第二、三组的频率分别为0.32和0.48， 所以第一组的频率为， 因为第一组的频数为10， 所以. 故答案为：50 4．（25-26高三下·湖南·阶段检测）某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗6元，售价每碗10元，未售出的螺蛳粉降价处理，以每碗5元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为200碗；如果最高气温位于区间，需求量为300碗；如果最高气温低于20，需求量为500碗．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 4 7 25 36 16 2 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过300碗的概率； （2）设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为（单位：元），当六月份这种螺蛳粉一天的进货量为450碗时，写出的所有可能值，并估计的平均值（即加权平均数）． 【答案】（1）；（2）（元），（元），（元），（元）． 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率． （2）由最高气温不低于25，需求量为200碗；如果最高气温位于区间，需求量为300碗；如果最高气温低于20，需求量为500碗，求出的所有可能值即可. 【详解】（1）． （2），（元）， ，（元）， ，（元）， ． 【经典例题二 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量】 【例1】（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80分的份数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【分析】由图计算出这批用户问卷的得分不低于80分的频率即可求相应的人数. 【详解】由图可得这批用户问卷的得分不低于80分的频率为， 故这批用户问卷的得分不低于80分的份数为：， 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）某地抽样调查30个家庭的人均月收入，得到如下数据（单位：元）： 4040   4440   5560   4300   3800   4200   5000   4300   4200   3840 4200   4040   4240   3400   4240   4120   3880   4720   3580   4760 3760   3960   4280   4440   3660   4360   3640   4380   3300   4260 (1)取组距为600，起点为3200，列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)根据频率分布直方图估计人均月收入在的家庭所占的百分比． 【答案】(1)表格见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）对数据进行整理即可得到频率分布表； （2）根据频率分布表，画出频率分布直方图即可； （3）根据频率分布直方图，计算人均月收入在的频率即可. 【详解】（1）频率分布表如下： 分组 频数 频率 6 0.20 18 0.60 4 0.13 2 0.07 合计 30 1.00 （2）频率分布直方图如图． （3）人均月收入落在上的家庭所占的频率为， 所以估计人均月收入在的家庭所占的百分比为． 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（    ） A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的 C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的性质结合样本的数字特征即可判断. 【详解】数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则其图单峰不对称，故B正确；其大致图如下： 由图可知数据中可能存在极端大的值，故A正确； 由于“右拖尾”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，可能与众数相等，故C错误； 平均数靠近中点处，平均数容易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，故D正确； 故选：C 2．（24-25高二上·内蒙古·期末）（多选）某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：），并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（   ） A． B．估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30% C．估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间 D．估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间 【答案】BCD 【分析】先根据概率和为，可得，进而根据频率分布直方图得到对应概率，进而可得. 【详解】选项A：，解得，A错误； 选项B：估计该哈密瓜的质量不低于的比例为，B正确； 选项C：低于的概率为， 低于的概率为， 故估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于至之间，C正确； 选项D： 低于的概率为， 低于的概率为， 估计该哈密瓜的质量的中位数介于至之间，D正确. 故选：BCD 3．（2026高三·全国·专题练习）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，随机抽查了该地区100名年龄为17.5~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这100名男生中体重在的人数为______ 【答案】40 【分析】先求出体重在的频率，再求出人数即可. 【详解】由频率分布直方图得，体重在的频率为， 所求人数为． 故答案为：40. 4．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）为弘扬中华传统文化，某校组织若干名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题：    分组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 频数 2 a 20 16 8 频率 0.04 0.08 0.40 0.32 b (1)本次抽样调查的样本容量为_______，此样本中成绩的中位数落在_______范围内．表中_______，_______； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校共有初中生3000名，若成绩超过80分为优秀，请估计该校汉字听写能力为优秀的约有多少人． 【答案】(1)50，，， (2)频率直方图见解析 (3) 【分析】（1）由频率、频数，中位数的概念即可求解； （2）由表格数据即可求解； （3）由频率分布直方图确定频率即可求解； 【详解】（1）学生总数是：（人），（人），； ∴本次抽样调查的样本容量为50，成绩的中位数落在范围内，（人），； （2）根据（1）得出的a的值，补图如下：    （3）（人）． 该校汉字听写能力为优秀的约有人． 【经典例题三 总体百分位数的估计】 【例1】（2026·湖南·三模）某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格： 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本次统计的样本总量，要计算第百分位数， 计算位置指标.向上取整得，即第个数据为第百分位数. 对频数进行累计：直径为的零件共个，对应第个数据；直径为的零件共个，对应第9~17个数据；直径为的零件共个，对应第个数据， ∴ 第个数据属于直径为的区间，即第百分位数为，对应选项B. 【例2】（24-25高二上·上海青浦·期末）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生? (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中，n是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. 【答案】(1)1600 (2)8.25小时 【分析】根据分层抽样，按比例抽取即可得到答案． 根据极差可得，再结合学生总数量为100，可求出，再根据求第百分位数的方法即可求得. 【详解】（1）设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. （2）因为抽取100名学生的样本极差为2，， 所以， 又因为， 所以样本的第40百分位数为：（小时）. 1．（2026·浙江·三模）已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】D 【分析】按分类，结合第百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3个数4，A可能； 对于B，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3、4个数的平均数4，B可能； 对于C，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第4个数4，C可能； 对于D，，无论取何值，该组数据由小到大排列的第5个数不可能为4，因此不可能为，D不可能. 2．（2026·山东聊城·模拟预测）某小学五年级共有200名学生．期末考试后，学校教导处统计了五年级全体学生的数学成绩，并绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这200名学生成绩的80%分位数是（    ） A．70.23 B．70.84 C．71.26 D．71.43 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】数学成绩低于60分的频率为， 数学成绩低于80分的频率为， 这200名学生成绩的80%分位数在内． 设200名学生成绩的80%分位数为，则，解得， 估计这200名学生成绩的80%分位数是71.43． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）某校从高中部抽出100名学生参加AI基础知识竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的48%分位数为__________分. 【答案】76 【详解】依题意，前三个小矩形的面积之和为， 前四个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这100名学生成绩的48%分位数为76分. 4．（24-25高二上·四川绵阳·期中）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间）画出频率分布直方图如图所示.      (1)求频率分布直方图中的值； (2)政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按照平价收费，超出部分按照议价收费，若使85%居民用户的电费支出不受影响，应确定值为多少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由频率分布直方图的性质可知每组小矩形的面积之和为1求解； （2）由标准度为求该直方图85%分位数求解. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质可知每组小矩形的面积之和为1， 可得：， 解得； （2）由题意知，要使得85%居民用户的电费支出不受影响， 即85%的居民每月的用电量不超过标准度，也即为求该直方图85%分位数. 因为前4个分组频率之和为0.12+0.18+0.3+0.22=0.82， 所以85%分位数在第五组，则有： ， 解得. 【经典例题四 用众数的代表意义解决实际问题】 【例1】．（24-25高一下·广西来宾·期末）抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】鞋厂最感兴趣的是销售量，即可根据数据的数字特征来判定. 【详解】鞋厂最感兴趣的是销售量最多的鞋号，即为数据的众数，故鞋厂最感兴趣的是众数. 故选 ：C. 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）假设你是某市一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额.已知国家对本市一条新公路的建设投资为2000万元人民币，对另外25个公路项目的投资是20~100万元，这26个投资金额的中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元.请你根据上面的信息给市长写一份简要的报告. 【答案】本市26个公路项目投资大都需要20万元左右,其中有一条新公路的建设投资为2000万元人民币. 【解析】由题易得建设投资为2000万元人民币的新公路与其余投资金额差距较大,故应该选用众数作为主要报告内容,同时也要指出建设投资为2000万元人民币的新公路. 【详解】本市26个公路项目投资大都需要20万元左右,其中有一条新公路的建设投资为2000万元人民币. 1．（25-26高一·全国·课后作业）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41 日销量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差 【答案】B 【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的意义进行选择. 【详解】鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据最重要的是众数． 故选：B. 2．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）（多选）如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是（    ）. A．这组数据是近似对称的 B．数据中可能有极端大的值 C．数据中可能有异常值 D．数据中众数可能和中位数相同 【答案】BCD 【分析】根据中位数、众数等数据特征判断． 【详解】一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中有极端大的值，也即异常值，众数只是比较多的数据，可以与中位数相同，这组数据显然不可能近似对称，A错，BCD正确． 故选：BCD． 3．（2025高二下·辽宁·学业考试）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某班级准备利用暑假进行“请党放心，强国有我”为主题的研学旅行．为了便于识别，该班级准备定做一批容量一致的双肩包．为此，班级负责人征求班内同学的意向，得到如下数据：为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为______． 容量 23 25 27 29 31 33 频数 3 4 5 26 3 2 【答案】29 【分析】根据表中数据直接求解即可. 【详解】解：由题知，容量为29的双肩包的频数为26，大于其他容量的频数， 所以，为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为29. 故答案为：29 4．（25-26高二·黑龙江牡丹江·课后作业）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下： 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员的成绩的众数、中位数、平均数(保留到小数点后两位)，并分析这些数据的含义． 【答案】见解析 【分析】按照平均数的定义：几个数相加求和，再除以总个数；众数即数据中出现次数最多的；中位数即最中间的一个或者两个数；按照以上定义得到各个数据即可. 【详解】在17个数据中，1.75出现了4次，次数最多，∴众数是1.75 m. 将数据按从小到大的顺序排列，易知中位数是1.70 m. 平均数＝×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)． ∴17名运动员的成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75 m，1.70 m，1.69 m. 众数是1.75 m，说明跳1.75 m的人数最多； 中位数是1.70 m，说明1.70 m以下和1.70 m以上的人数相等； 平均数是1.69 m，说明所有参赛运动员的平均成绩是1.69 m. 【经典例题五 根据频率分布直方图计算众数】 【例1】（2024高二下·安徽·学业考试）从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】根据众数的定义可得， 该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值. 故选：A. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：高一参赛学生的成绩的众数、中位数. 【答案】众数为65，中位数为65 【分析】频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数. 【详解】用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值， 得众数为， 因为， 所以中位数在之间，设中位数为， 则，解得，所以中位数为. 1．（2025·广东汕头·二模）在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（    ） A．成绩在分的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000 C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 【答案】D 【分析】用频率分布直方图的相关知识和公式逐一计算验证选项. 【详解】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确； 由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确； 由频率分布直方图可得：平均分等于，故C正确； 因为成绩在的频率为，由的频率为，所以中位数为，故D错误． 故选D． 【点睛】本题考查频率分布直方图的众数、中位数、平均数以及样本容量的求法，考查学生的计算能力，熟记公式是解题的关键，属于中档题. 2．（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为（   ） A．81.5 B．75 C．81.25 D．85 【答案】CD 【分析】根据频率分布直方图，结合中位数、众数的求法求得正确答案. 【详解】因为， ， 所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在之间． 设中位数为，因为， 所以所求中位数为． 众数在之间，为85． 3．（2025高一·全国·专题练习）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为________.    【答案】65，62.5. 【分析】根据矩形的高确定众数，先计算面积确定中位数所在的区间，再利用公式求出中位数. 【详解】解：∵最高的矩形为第三个矩形， ∴时速的众数的估计值为. 前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4<， 前三个矩形的面积为(0.01＋0.03+0.04)×10＝0.8＞, 所以中位数在区间，设中位数为， 由题得，解之得. ∴中位数的估计值为62.5. 故答案为：65，62.5. 4．（25-26高一下·全国·单元测试）如图是某地某公司1000名员工的月收入的直方图．根据直方图估计： (1)该公司月收入在1000元到1500元之间的人数； (2)该公司员工的月平均收入； (3)该公司员工收入的众数； (4)该公司员工月收入的中位数； (5)该公司员工月收入的第90分位数． 【答案】(1)100 (2)2400 (3)2500元 (4)2400元． (5)3333 【分析】（1）先计算出该公司月收入在1000元到1500元之间的频率，即可求解； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得的积全部相加可得出该公司员工月收入的平均数； （3）由众数的定义求解； （4）由中位数的定义求解； （5）由百分位数的定义求解． 【详解】（1）根据频率分布直方图知，满足条件的频率为： 所以满足条件的人数为：（人）． （2）据题意该公司员工的平均月收入为： （元） （3）根据频率分布直方图知，最高矩形（由两个频率相同的矩形构成）的底边中点的横坐标为2500，即公司员工月收入的众数为2500元． （4）根据频率分布直方图知，中位数介于2000元至2500元之间，故可设中位数为，则由，即公司员工月收入的中位数为2400元． （5）根据频率分布直方图知，公司员工月收入小于3000元的百分比为，公司员工月收入小于3500元的百分比为（ 所以公司员工月收入的第90分位数是． 【经典例题六 用中位数的代表意义解决实际问题】 【例1】（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若数据的中位数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中位数的概念求解. 【详解】因为数据的中位数是， 所以，即的取值范围为. 故选：B. 【例2】（2026高一·全国·专题练习）某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩（满分100分）统计如下表： 班级 平均分 众数 中位数 甲班 79 70 87 乙班 79 70 79 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” (2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据中位数的数值特征即可求解； （2）分别从中位数和平均分进行分析即可. 【详解】（1）由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好． （2）甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，说明两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助； 乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率． 1．（24-25高三上·广东·开学考试）某公司购入了400根钢管拟切割打磨为其他产品，统计钢管口径后得以下频数分布表： 钢管口径 11.0 12.5 14.0 16.5 18.5 20.5 21.0 22.0 频数 26 74 100 40 46 52 38 24 则这批钢管口径的中位数为（    ） A．14.00cm B．15.25cm C．16.25cm D．16.50cm 【答案】B 【分析】根据中位数的定义及频数表即可得解. 【详解】因为为整数， 所以样本数据的中位数为从小到大排列的第200个数据和第201个数据的平均数， 因为前三组的频数之和为200，所以这批钢管口径的中位数为15.25． 故选：B． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）（多选）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人” ．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：中位数为2，众数为3；      乙地：平均数为2，方差为3； 丙地：平均数为3，极差为5；      丁地：平均数为5，众数为6． 则一定没有发生大规模群体感染的是（    ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】BC 【分析】A.举例判断；B. 假设出现一次大于7，设，利用方差运算判断；C. 假设出现了8人，则一定有出现3人情况判断；D.举例判断. 【详解】对于甲地，如0，0，1，1，1，3，3，3，3，8，故错误； 对于乙地，若出现一次大于7，设， 则， ，矛盾，故正确； 对于丙地，若出现了8人，则一定有出现3人情况，这样平均数就不可能是3， ∴丙地不可能有超过7人的情况，故正确． 对于丁地，无法判断是否有超过7人的情况，如2，2，3，5，6，6，6，6，6，8，平均数为5，众数为6，故错误； 故选：BC． 3．（24-25高二下·山东潍坊·期末）某足球队10名队员的年龄结构如表所示，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则_____，该足球队队员的平均年龄为_____ 年龄 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 a b 2 1 【答案】 3 22 【分析】先根据中位数确定的值，然后再去求解平均数. 【详解】因为中位数，所以第五名队员年龄是岁，第六名队员年龄是岁，所以；则平均年龄为：. 【点睛】本题考查中位数、平均数的计算，难度较易.注意：当一组数据有奇数个时，中位数就是处于中间位置的那个数，当一组数据有偶数个时，中位数就是处于中间位置的两个数的平均值. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）某班4个小组的人数为10，10，x，8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数. 【答案】9或10 【解析】根据题意分,,三种情况进行分析即可. 【详解】该组数据的平均数为，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x不知是多少，所以要分情况讨论. （1）当时，原数据按从小到大的顺序排列为x，8，10，10，中位数为.故，则，此时中位数为9. （2）当时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x，10，10，中位数为；，故，则，而8不在的范围内，所以舍去. （3）当时，原数据按从小到大的顺序排列为8，10，10，x，中位数为.故，则，此时中位数为10. 综上所述，这组数据的中位数为9或10. 【经典例题七 计算几个数的平均数】 【例1】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）一组样本数据为5，18，22，26，若去掉其中一个数据后，所得新样本的平均数增大，则去掉的数据为（   ） A．5 B．18 C．22 D．26 【答案】A 【详解】原始数据的平均数为， 设去掉的数据为，则所得新样本的平均数为， 得， 故去掉的数据为. 【例2】（2025高二·全国·专题练习）某学校按《国家学生体质健康标准》上报高一年级学生的肺活量单项数据，采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均数为3000mL；抽取了女生30人，其肺活量平均数为2500mL，请估计高一年级全体学生肺活量的平均数． 【答案】2700mL． 【分析】已知男生、女生样本平均数，直接代入分层抽样总体样本平均数公式中计算即可. 【详解】设男生样本平均数为，女生样本平均数为，总体样本数据的平均数为． 由，根据按比例分配分层随机抽样总体样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总体样本平均数为． 据此估计高一年级全体学生肺活量的平均数为2700mL． 1．（2026·湖北·三模）已知一组样本数据有两层，第一层有N个数据，平均数为，第二层有M个数据，平均数为，两层数据合到一起计算出的平均数为，后来第一层又增加了n个数据，这n个数据的平均数为，则新的样本数据的平均数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】所有数据和为， 新的样本数据的平均数为. 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（   ） A．众数是4 B．平均数是4 C．极差是3 D．中位数是4.5 【答案】BC 【详解】10个数据中3出现了4次，4出现了3次，5出现了2次，6出现了1次， 所以次数最多的数据是3，所以众数是3，故A错误； 平均数为，故B正确； 极差为，故C正确； 中位数为，故D错误. 3．（2026高三·全国·专题练习）某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间（单位：h）做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为，，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为，，，则高三学生每天读书时间的平均数________． 【答案】 【详解】依题意得，， 代入，，得到， 解得. 4．（2025高三·全国·专题练习）在 “好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：85  86 92   87   89   95   82   91   85 小组B：95  93  51   88   90   89   91   92   94 分别求两组评委打分的平均分． 【答案】88；87 【分析】运用平均值公式计算即可. 【详解】记小组A的数据依次为，小组B的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. 【经典例题八 由茎叶图计算平均数】 【例1】（2026高二上·新疆·学业考试）下图为某组数据的茎叶图，则这组数据的平均数是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】根据茎叶图可知这组数据，进而求平均数. 【详解】由茎叶图可知这组数据为12，15，20，23，25， 所以这组数据的平均数. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·陕西榆林·阶段检测）在某市的科技创新大赛活动中，10位评委分别对甲学校的作品“乒乓球简易发球器”和乙学校的作品“感应垃圾桶”进行了评分，得分的茎叶图如图． (1)根据茎叶图写出甲、乙两所学校的作品得分的中位数； (2)根据茎叶图计算甲、乙两所学校的作品得分的平均数，并判断哪一件作品更受评委的欢迎？ 【答案】(1)甲学校作品得分的中位数为，乙学校作品得分的中位数为； (2)甲学校作品得分的平均数为，乙学校作品得分的平均数为，甲学校的作品更受评委的欢迎. 【分析】（1）根据茎叶图求得甲乙两所学校作品的得分，并按照从小到大进行排序，再求中位数即可； （2）根据（1）中所得数据，直接求平均数，再从中位数和平均数的角度，即可判断. 【详解】（1）甲学校作品的得分由小到大排列为：62，65，68，75，77，83，84，91，92，93， 所以甲学校作品得分的中位数为； 乙学校作品的得分由小到大排列为：60，63，75，75，77，79，81，82，87，91， 所以乙学校作品得分的中位数为. （2）甲学校作品得分的平均数为； 乙学校作品得分的平均数为． 甲学校作品得分的中位数和平均数都大于乙学校作品得分的中位数和平均数， 所以甲学校的作品更受评委的欢迎． 1．（2025·全国·模拟预测）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两位同学的6次数学模拟考试成绩（单位：分），下列说法正确的是（    ）    A．甲成绩的众数大于乙 B．甲成绩的极差小于乙 C．甲的成绩比乙更稳定 D．甲成绩的平均数大于乙 【答案】C 【分析】根据茎叶图得出甲、乙次模拟的成绩，分别计算中位数、众数、极差、平均数即可求解. 【详解】A选项：甲成绩的众数为137，乙成绩的众数为145，故A错误； B选项：甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，故B错误； C选项：从数据分布来看，甲的成绩更集中，乙的成绩更分散，所以甲的成绩比乙更稳定，故C正确； D选项：甲成绩的平均数为， 乙成绩的平均数为，故D错误. 故选：C 2．（24-25高一上·山东德州·期末）（多选）国家为了实现经济“双循环”大战略，对东部和西部地区的多个县市的某一类经济指标进行调查，得出东部，西部两组数据的茎叶图如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．西部的平均数为13.3 B．东部的极差小于西部的极差 C．东部的30%分位数是11.6 D．东部的众数比西部的众数小 【答案】ACD 【分析】根据茎叶图一一计算即可判断； 【详解】解：对于A：即西部的平均数为13.3，故A正确； 对于B：东部的最大值为，最小值为，极差为；西部的最大值为，最小值为，极差为；故B错误； 对于C：东部共13个数据，,即从小到大的第4个数为东部的30%分位数，所以东部的30%分位数是11.6，故C正确； 对于D：东部的众数为，西部的众数为和均大于，故D正确； 故选：ACD 3．（25-26高二上·上海静安·期末）某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环，数据均为整数）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为___________． 【答案】97.1 【分析】由茎叶图得到全部数据，然后由平均数的定义求得结果. 【详解】这组数据为：83,91,95,97,97,98,100,101,102,107， 所以这组数据的平均数为， 故答案为：97.1 4．（2025·河北唐山·一模）某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸在[223,228]内（单位：mm）的零件为一等品，其余为二等品.在两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示： （1）分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数； （2）已知甲工艺每天可生产300个零件，乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个.视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据表中的数据，利用平均数的公式，即可求解甲乙的平均数； （2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为，二等品的概率为，即可求解甲工艺生产的利润，应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为，即可求解乙工艺生产该零件每天取得的利润，比较即可得到结论. 【详解】（1）甲＝ (217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1； 乙＝ (218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7； （2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为，二等品的概率为，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润： w甲＝300××30＋300××20＝7200元； 应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润： w乙＝280××30＋280××20＝7000元． 因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高． 【经典例题九 用平均数的代表意义解决实际问题】 【例1】（24-25高一下·广东佛山·期末）为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（，，，，）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（   ） A．全校学生体育达标的人数 B．样本学生体育达标的人数 C．全校学生体育达标率 D．全校学生体育达标率的估计值 【答案】D 【分析】由题意理解所表示的意义为样本中达标人数即可得解. 【详解】由题意，表示样本中体育达标的人数， 所以表示全校学生体育达标率的估计值. 故选：D 【例2】（24-25高三·全国·一轮复习）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力 64 72 84 (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由； (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由. 【答案】(1)丙候选人将被录用，理由见解析 (2)甲侯选人将被录用，理由见解析 【分析】（1）由题意，分别计算三人的平均数即可求解； （2）根据加权平均数的概念计算，即可求解. 【详解】（1）甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， 丙的平均成绩为（. 所以丙候选人将被录用. （2）甲的测试成绩为. 乙的测试成绩为. 丙的测试成绩为. 所以甲侯选人将被录用. 1．（24-25高三上·甘肃白银·阶段检测）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况： 加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米 2024年8月1日 20 26000 2024年8月10日 45 26500 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米的平均耗油量为（   ） A．5升 B．6升 C．9升 D．11升 【答案】C 【分析】根据表中行驶路程和油耗求解平均值即可. 【详解】由表中的数据可知该车行驶了500千米，耗油量为45升，则该车每100千米的平均耗油量为升． 故选：C 2．（2025·河北沧州·一模）（多选）某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（   ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A．这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B．这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C．这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D．这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间 【答案】AB 【分析】根据频数分布分析数据即可. 【详解】选项A：这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数为，所以A选项正确； 选项B：成绩不超过85的学生人数为，所以B选项正确； 选项C：成绩分布在的人数为30，但不一定成绩的众数为85，所以C选项不正确； 选项D：由于，所以D选项不正确. 故选：AB 3．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）某公司打算招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________. 【答案】乙 【分析】根据题目所给比例计算三位应聘者得总成绩即可得到结论. 【详解】由题，对于甲，他的总成绩如下： , 对于乙，他的总成绩：, 对于丙，他的总成绩：, 比较三者总成绩，乙的成绩最高。 故答案为：乙 4．（24-25高一下·江苏·单元复习）某工厂人员及月工资构成如下： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 月工资（元） 22 000 2 500 2 200 2 000 1 000 29 700 人数 1 6 5 10 1 23 合计 22 000 15 000 11 000 20 000 1 000 69 000 (1)指出这个表格中的众数、中位数、平均数； (2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？ 【答案】(1)众数为2000元，中位数为2200元，平均数为3000元 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）从表中数据可知人数最多的是众数，把23个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的数是中位数，根据平均数的方法计算即可 （2）从表中的数据可知，只有经理和管理人员在平均数以上，其余的多数人都在平均数以下，故平均数不能客观地反映该工厂人员的月工资水平 【详解】（1）由表格可知，众数为2 000元. 把23个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2 200，故中位数为2 200元. 平均数为（22 000＋15 000＋11 000＋20 000＋1 000）÷23＝69 000÷23＝3 000（元）. （2）虽然月工资的平均数为3 000元，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平. 【经典例题十 众数、平均数、中位数的比较】 【例1】（24-25高一下·山东泰安·阶段检测）如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）：平均数>中位数=众数 B．图（2）：众数>平均数 C．图（3）：众数<中位数<平均数 D．图（3）：众数<平均数<中位数 【答案】C 【分析】在频率分布直方图中，我们根据图形的形态特点来分析这三个统计量的大小关系。对于对称形态，平均数、中位数和众数大致相等；对于不规则形态，需根据图形具体分析；对于“右拖尾”形态，由于右侧有较大的极端值，会拉高平均数，从而使得众数、中位数和平均数有特定的大小关系。 【详解】A中应有平均数=中位数=众数； B中众数<平均数； C，D中，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数更接近“拖尾”的一边，所以平均数>中位数，而最高峰偏左，因此众数最小. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 【答案】(1)平均数为30.27次；29.09次；中位数33次，29次，众数33次，29次． (2)平均数 【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的概念计算即可； （2）利用平均数、中位数和众数的统计意义分析即可. 【详解】（1）一班平均数为（次）， 一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35， 所以一班的中位数为33次，33出现的次数最多，众数是33次； 二班平均数为（次）， 二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35， 所以二班的中位数是29次，29出现的次数最多，所以二班的众数是29次． （2）运用平均数表示两个班的成绩更合适． 1．（24-25高一下·广东东莞·期末）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】对于单峰频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体相等，和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边. 【详解】对于图象对称，平均数和中位数相等，中图象尾巴向右拖，中图象尾巴靠左拖，故正确. 故选：. 2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图所示，三个频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，则下列判断错误的是（    ）    A．图（1）中，平均数=中位数>众数 B．图（2）中，众数<中位数<平均数 C．图（2）中，平均数<众数<中位数 D．图（3）中，中位数<平均数<众数 【答案】ACD 【分析】频率分布直方图不同分布形态下众数、平均数、中位数之间的大小关系即可求解. 【详解】易知图（1）中，平均数中位数众数，故A错误； 图（2）中，最高峰偏左，众数最小，平均数易受极端值的影响，与中位数相比， 平均数总是在“长尾巴”那边，即平均数大于中位数，故B正确，C错误； 同理可知，图（3）中，众数最大，平均数小于中位数，故D错误． 故选：ACD． 3．（2025·陕西西安·一模）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则由大到小的顺序为________. 【答案】 【解析】根据平均数，中位数，众数的定义求出后可判断． 【详解】平均效， 中位数，众数，则. 故答案为：. 4．（24-25高一下·河北唐山·阶段检测）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05. 求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩． 【答案】（1）众数为，中位数为； （2）． 【分析】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数； （2）利用各小组底边的中点值乘以对应的频率求和，即可求得成绩的平均值． 【详解】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得出众数为， 又因为第一个小矩形的面积为， 设第二个小矩形底边的一部分长为，则，解得， 所以中位数为． （2）依题意，利用平均数的计算公式， 可得平均成绩为：， 所以参赛学生的平均成绩为分． 【经典例题十一 计算几个数据的极差、方差、标准差】 【例1】（2026·湖南株洲·模拟预测）一组数据0，1，3，4，5，6的极差为（     ） A．6 B．4 C．3 D．5 【答案】A 【详解】确定该组数据0，1，3，4，5，6的最大值为6，最小值为0； 所以极差是 6−0=6， 因此该组数据的极差为6. 【例2】（24-25高一下·山东济南·期末）某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由． （参考数据：） 【答案】(1)平均数为210，方差为3.6 (2)（ⅰ）为无效数据，（ⅱ）1个，理由见解析 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可求解， （2）（ⅰ）（ⅱ）根据的计算公式，与的值比较即可求解 【详解】（1）平均数, 方差 （2）（ⅰ）由可得， 故是无效数据， （ⅱ）由表中数据可知：故此时可得， 此时 此时， 故，，，均为有效数据， 由（ⅰ）知是无效数据，因此无效数据只有1个 1．（2026·福建泉州·三模）已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个数据3和9，则剩下的8个样本数据的方差为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设原样本为，则去掉数据后的平均值为， 又，所以， 所以去掉数据后的方差为. 2．（2026·河南新乡·三模）（多选）某地2026年3月1日至10日每天的最高气温（单位：）记录如下表： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 最高气温 13 5 8 10 16 9 19 22 16 12 则关于该地2026年3月1日至10日每天的最高气温，下列说法正确的是（    ） A．从2日到8日持续上升 B．极差为17 C．平均数为13 D．标准差为5 【答案】BCD 【详解】对A，因为6日的最高气温低于5日的最高气温，故A错误； 对B，这10日的最高气温的最大值为8日的22，最小值为2日的5，所以极差为，故B正确； 对C：这10日的最高气温的平均数为：，故C正确； 对D，这10日的最高气温的方差为：， 所以标准差为5，故D正确. 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________． 【答案】6 【分析】计算混合数据的平均数，计算混合数据的方差. 【详解】设甲组数据为，乙组数据为， 甲组平均数，乙组平均数， 混合后的平均数：， 甲组方差， 乙组方差， ， . 4．（25-26高一上·河南焦作·期末）无土栽培是未来太空探索所必需的技术，现用相同的种子分别在无土环境与土壤环境中种植，将两种环境下生长的植株各分成五组，分别计算各组植株的平均高度（单位：），得到如下表格： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 无土环境 12.8 13.2 13.1 12.9 13.0 土壤环境 15.2 16.4 14.9 17.3 16.2 规定：记第组中无土环境生长植株的平均高度为，土壤环境生长植株的平均高度为，若，则称两种环境下植株生长差异较小，否则称两种环境下植株生长差异较大. (1)求土壤环境中5组植株平均高度的中位数和极差； (2)证明：两种环境下植株生长差异较大. 【答案】(1)中位数为16.2，极差为 (2)证明见解析 【分析】(1)将土壤环境的植株高度数据排序后，取中间值得到中位数，用最大值减去最小值得到极差. (2)计算每组两种环境下植株高度差的绝对值，求其平均值并与比较，判断差异是否较大. 【详解】（1）将土壤环境中5组植株平均高度按照从小到大的顺序排列为14.9，15.2，16.2，16.4，17.3， 易得其中位数为16.2，其极差为 （2）先计算， 计算每一组： 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 求和： 计算平均值： 因此，不满足“”的条件，所以两种环境下植株生长差异较大. 【经典例题十二 根据方差、标准差求参数】 【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）若一组数据的平均值，方差，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由题意得到删除的数为5，再利用方差公式求解. 【详解】由题意得到删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5， 由题意，得， 删除一个数后的方差为：， 得，即． 故选：A. 【例2】（24-25高三·北京·一轮复习）A，B两组各有7位病人．他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：； B组：． 当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 【答案】或． 【分析】方法一：计算出A组的方差，从而计算出B组的平均数，利用方差相等列出方程，求出或11； 方法二：按照两组数据的特点，结合方差相等，得到B组数据也应该依次增大1，从而得到或. 【详解】方法一：A组的平均数为， 故A组的方差为， 故B组的平均数为， 故B组的方差为， 解得或11， 方法二：由于两组数据的方差相同，A组的数据依次增大1， 而B组数据除之外，其余数据也依次增大1， 故要想两组数据的方差相同，B组数据也应该依次增大1， 将B组数据重新排列， A组：， B组：， 或 A组：； B组：． 所以，或. 1．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数公式可得出的值，利用方差公式可得出的值，结合平方关系可求得的值. 【详解】由平均数公式可得，可得， 由方差公式可得， 整理可得，即，所以， 因为，所以， 故. 故选：D. 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）（多选）某校团委为泙价5个社团暑期开展活动的情况，在各社团中分别抽取部分社员进行调查．若各社团抽取的社员人数的平均数为8，方差为4，则各社团被抽取的社员人数的最大值可能为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】BC 【分析】根据题意可得，分类讨论最大值，结合选项分析判断. 【详解】因为，则， 且， 则， 不妨设最大， 1.若，则不成立，故A错误； 2.若，例如，满足题意，故B正确； 3.若，例如，满足题意，故C正确； 4.若，则， 可得，可知该方程组无正整数解，故D错误； 故选：BC． 3．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知数据的平均数8，方差为2，则___________． 【答案】2 【分析】根据平均数与方差的计算公式计算即可求解. 【详解】因为数据的平均数为8， 所以，化简可得， 因为数据的方差为2， 所以，化简可得， 所以，即， 所以. 故答案为：2 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知样本的各个体的值由小到大依次为、、、、、、、、、，且样本的中位数为若要使该样本的方差最小，求、的值． 【答案】 【分析】利用中位数的定义可得出，其中，求出样本数据的平均数，利用方差公式结合二次函数的性质可求得方差取最小值时对应的、的值. 【详解】解：由中位数的定义可得，可得，且有， 样本数据的平均数为， 这组数据的方差为 ， 故当时，取最小值，此时，. 因此，当时，样本数据的方差取最小值. 【经典例题十三 各数据同时加减同一数对方差的影响】 【例1】（25-26高三上·黑龙江·期末）已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平均数和方差的二级结论计算. 【详解】因为数据，，，的平均数是，方差为， 则新数据，，，的平均数为：，方差为， 因为数据，，，，的平均数是，方差是， 则，，，，，的平均数是， 方差为， 故选：A． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）数据的方差为，数据的方差为，a，b为常数.证明： （1）如果，那么； （2）如果，那么. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）由已知得出，从而，代入方差公式可证； （2）由已知得出，从而，代入方差公式可证． 【详解】证明：（1） . . （2）. . 1．（2025·河南·二模）某钢管车间生产的无缝钢管的直径规格为45mm，现从生产的钢管中随机抽取10根，测得10根钢管的平均直径为45.3mm，方差为，若再加入1根直径为45.3mm的钢管，则这11根钢管直径的（    ） A．平均数变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．方差变大 【答案】C 【分析】根据平均数以及方差的计算公式即可求解. 【详解】设11根钢管的平均直径为，方差为，则，故A，B错误；，故C正确，D错误. 故选：C 2．（25-26高三下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）已知数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，且满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由众数､平均数､方差､第80百分位数与数据间的线性关系分析判断即可. 【详解】根据两组数据的线性关系， 结合性质可知：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 3．（24-25高二上·吉林长春·开学考试）若一组样本数据的方差为2，，则样本数据的方差为__________. 【答案】2.5 【分析】根据方差的定义列出满足的式子，结合已知条件代入即可求得. 【详解】， ， . 故答案为： 4．（25-26高二·上海·课堂例题）数据、、、的方差为，数据、、、的方差为，若，，，成立，a、b为常数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用几个数据的平均数与方差的计算公式整理化简即可得证. 【详解】设数据的平均数为，数据的平均数为， 因为，成立， 所以， 则， 因为， 得， 所以 ， 所以. 【经典例题十四 各数据同时乘除同一数对方差的影响】 【例1】（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知一组样本数据的方差为1，则由生成一组新的数据的标准差为（   ） A．9 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方差的性质计算可得. 【详解】因为一组样本数据的方差为1， 则由生成一组新的数据的方差为， 则其标准差为. 故选：B 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明. 【答案】证明见解析 【解析】由均值和方差的公式直接证明． 【详解】证明：设数据的平均数，数据的平均数为，则. ， . 1．（2024·江西赣州·一模）若一组样本数据的方差为，则样本数据的方差为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合方差的定义以及性质代入计算，即可得到结果. 【详解】设样本数据的平均数为，则， 设样本数据的平均数为，由， 则，所以 . 故选：C 2．（25-26高三上·山东青岛·期末）（多选）已知点（，）与点（，）关于点对称，若的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则满足（    ） A．，，，…，的方差为 B．，，，…，的极差为 C．，，，…，的平均数为 D．，，，…，的中位数为 【答案】BC 【分析】根据平均数、极差、方差、中位数的二级结论判断. 【详解】由题意得，，则， 若的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 则的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 故，，，…，的方差为，极差为，故A错误，B正确； ，，，…，的平均数为，中位数为，故C正确，D错误. 故选：BC 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知数据，，，，的方差为1，则数据，，，，的方差为________． 【答案】9 【分析】根据方差的性质计算即可. 【详解】因为数据，，，，的方差为1， 所以数据，，，，的方差为. 4．（24-25高一下·北京通州·期中）甲、乙、丙三人进行5轮的投篮比赛，每轮各投10次，其成绩（命中次数）如下： 甲投中次数 6 6 8 7 8 乙投中次数 6 5 4 6 丙投中次数 (1)若乙比甲平均少投中2次，求的值，甲和乙投中次数的方差分别为和，试比较和大小（结论不要求证明）； (2)若投中一球计三分，丙平均得分为21分，方差为36，且每轮得分互不相同，求丙在比赛中的最高得分，并说明理由. 【答案】(1)，； (2)30分，理由见解析. 【分析】（1）利用平均数求得值，再利用方差的定义计算即得. （2）根据给定条件，转化为投中次数的平均数和方差，列式换元，构造函数并利用二次函数的性质推理计算得解. 【详解】（1）由乙比甲平均少投中2次，得，所以， 甲投中次数的平均数为7，乙投中次数的平均数为5， 则，， 所以. （2）因投中一球计三分，丙的平均得分为21，方差为36， 等价于丙平均投中7次，方差为4，不妨设， 则，， 设分别为， 于是，设， ， 由恒成立，得判别式，即， 解得，且，因此的最大值为3， 如丙投中次数为4，6，7，8，10， 则最大为3+7=10，所以丙在一轮比赛中的最高得分为30. 【经典例题十五 估计总体的方差、标准差】 【例1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）某校男生人，女生人，男生、女生每天运动时间（分钟）的平均值为，方差分别为，结合此数据，请你估计该校全体学生每天运动时间的平均值（分钟）和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，平均值为： 而混合数据后，新方差计算如下：. 【例2】（24-25高一下·湖南·期末）在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 【答案】(1)众数为27.5，第95百分位数为 (2)①4人，2人；②11 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，可求得众数与95百分位数. （2）利用分层抽样求出第四组、第五组抽取的人数，再利用分层抽样的方差计算公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知   众数的估计值为27.5， 由频率分布直方图可知，第95百分位数在第五组内， 设第95百分位数为， ，解得； （2）①由频率分布直方图可知，第四组的频率为0.2，第五组的频率为0.1， 第四组应该抽取人， 第五组应该抽取人； ②第四组和第五组的平均数为， . 1．（2026·安徽·模拟预测）已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】∵，， ∴，则； 则新的样本数据的方差为， 故，. 2．（24-25高一下·浙江台州·期末）（多选）在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了高一80人，高二60人，高三60人，方差分别为，则此样本的方差不可能为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】AB 【分析】先设出总平均数和样本平均数，再表示出方差，进而放缩得到范围即可. 【详解】设总平均数为，高一的平均数为，高二的平均数为， 高三的平均数为，该样本的方差为， 则 ， 则此样本的方差不可能为，故A，B正确. 故选：AB 3．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 【答案】 33岁 10 【分析】利用平均数的意义可求总体平均数；利用由部分方差求总体方差的公式求解即可. 【详解】由题意得，该高中高三备课组老师的平均年龄为岁， 则该高中高三备课组老师的方差 . 故答案为：33岁；10. 4．（2026高三·全国·专题练习）某高校欲了解在校学生用于课外进修（如各种考证辅导班、外语辅导班等）的开支，在全校8000名学生中用分层随机抽样抽出了一个200人的样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70%，调查最近一个学期课外进修支出（元）的结果如下： 层 样本量 样本均值 样本方差 本科生 140 253.4 231 研究生 60 329.4 367 试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差． 【答案】平均开支为276.2元，开支的方差为1484.76 【分析】根据平均数、方差的求法求得正确答案. 【详解】把本科生样本记为，其平均数记为，方差记为； 把研究生记为，其平均数为，方差记为； 把总体数据的平均数记为，方差记为． 则，；，． 所以，． 总样本平均数为（元）， 总样本方差为 ． 由于分层随机抽样是按比例分配的， 所以可以估计全校学生用于课外进修的平均开支为276.2元，开支的方差为1484.76． 【经典例题十六 计算频率分布直方图中的方差、标准差】 【例1】（24-25高一下·全国·单元测试）某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：h），绘制了下面频率分布直方图．根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为，，标准差分别为，，则（   ）     甲班频率分布直方图            乙班频率分布直方图 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平均数和方差的计算公式求解后比较大小即可. 【详解】根据频率分布直方图可知， ， ， ． 所以，． 故选：D 【例2】（24-25高二上·河南信阳·期中）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. (1)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (2)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. 【答案】(1) (2)平均数为，方差为. 【分析】（1）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可； （2）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【详解】（1）前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第分位数落在第5组，设为x，则，解得. “防溺水达人”的成绩至少为分. （2））的频率为，）的频率为， 所以的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得 ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 1．（2025·河南三门峡·模拟预测）甲，乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用和分别表示甲、乙的平均数，，分别表示甲、乙的方差，则（       ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由频率分布直方图中平均数的计算方法、数据的集中程度即可判断作答. 【详解】因甲，乙两组数据采用相同的分组方法，则它们的分组各个中点值对应相同， 设第1组到5组的中点值依次为， 由两个频率分布直方图知， 它们都关于过最中间一个小矩形下底边的中点且垂直于横轴的直线对称， 即， 令甲组数据从第一组到第五组的频率依次为，且， 乙组数据从第一组到第五组的频率依次为，且， 则， 同理，因此，， 由频率分布直方图知，乙组数据比甲组数据相对于平均数更集中， 甲组数据波动较乙的大，则有， 所以，. 故选：B. 2．（24-25高二上·四川资阳·期末）已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：    令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据频率分布图分别计算，，比较大小可得. 【详解】由图可知， ， ， 所以，. 故选：D. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在一次区域统考中，为了了解各学科的成绩情况，从所有考生成绩中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析，其中数学学科的频率分布直方图如图所示，据此估计，在本次考试中数学成绩的方差为______.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】110 【解析】根据频率分布直方图，直接利用平均数与方差的公式，即可得到本题答案. 【详解】由题，得 ， 方差 . 故答案为：110 【点睛】本题主要考查利用频率分布图求数据平均数与方差的问题. 4．（24-25高一下·广西南宁·期末）为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了m名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的样本学生比在内的学生少10人． (1)求a，m的值； (2)求样本学生运动时长的中位数； (3)若在，，内的样本学生运动时长的平均数分别为6，10，14，方差分别为，，，求在内的样本学生运动时长的方差． 【答案】(1)， (2)11.2小时 (3) 【分析】（1）由频率之和为1列方程求a，再根据运动时长在内的样本学生比在内的学生少10人列方程求m； （2）根据频率判断中位数所在区间，设为x，再根据中位数频率为列方程求x即可； （3）代入分层抽样平均数公式求解平均数，所得平均数代入分层抽样方差公式求解即可. 【详解】（1）由图可知，解得， 在样本中，运动时长在内的频率为， 运动时长在内的频率为， 则，解得； （2）因为， ， 所以样本学生运动时长的中位数在内．设中位数为x小时， 则，解得， 即样本学生运动时长的中位数为11.2小时； （3）由图可知，运动时长在，，内的样本学生的频率分别为0.2，0.25，0.15， 则在内的样本学生运动时长的平均数为， 因为在，，内的样本学生运动时长的方差分别为，，， 所以在内的样本学生运动时长的方差 ． 【拓展训练一 众数、平均数、中位数的相关求解】 【例1】（25-26高一下·全国·期末）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量／度 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（   ） A．180，170 B．160，180 C．160，170 D．180，160 【答案】D 【分析】根据表格中的数据，结合众数和中位数的定义与求法，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得用电量为180度的家庭最多，有7户， 所以这20户家庭该月用电量的众数是180； 将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，160， 所以这20户家庭该月用电量的中位数是160． 故选：D. 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）某高校两个班级在一门选修课程的某次考试中的成绩（总分：100分）如下： 甲班 84 75 78 95 67 49 86 77 66 88 73 78 53 45 74 91 84 99 53 84 67 57 68 55 90 73 72 67 57 乙班 74 58 92 100 74 37 83 97 66 84 61 75 94 70 73 84 81 48 82 66 83 100 90 66 93 44 分别计算两个班级成绩的平均数、中位数和众数，并说明在这次考试中哪个班的成绩更好. 【答案】答案见解析 【分析】利用平均数、中位数和众数的计算方法与代表意义即可得解. 【详解】依题意， ， ， 首先对两班的成绩按高低进行排列，甲班从低到高的顺序：45，49，53，53，55，57，57， 66，67，67，67，68，72，73，73，74，75，77，78，78，84，84，84，86，88，90，91，95，99； 乙班从低到高的顺序：37，44，48，58，61，66，66，66，70，73，74，74，75，81，82， 83，83，84，84，90，92，93，94，97，100，100； 故甲班的中位数为73，乙班的中位数； 甲班的众数为84和67，乙班的众数为66， 由于甲班的平均成绩小于乙班的平均成绩，且甲班成绩的中位数小于乙班的， 所以乙班的成绩更好点. 1．（2026·福建福州·三模）某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向. 直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数； 直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数； 直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数. 故此题选D. 2．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）近日，国家发展改革委等部门联合印发《完善碳排放统计核算体系工作方案》，指出要在2025年全面建立碳排放年报、快报制度，完善碳排放统计核算体系．专家在甲、乙、丙、丁四地2024年第4季度的周快报数据中随机抽取7周数据进行分析，整理出四地这7周各周内碳排放量超过的天数的数据特征： 地区 甲 乙 丙 丁 数据特征 中位数 3 中位数 1 均值 3 均值 2 众数 2 均值 <1 众数 4 方差 2 根据规定，若这7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天，则可称该地区为低碳生态区．分析数据，四个地区中能判定为低碳生态区的是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】BD 【分析】根据表中数据分别作出四个地方的数据分布，即可结合低碳生活区的定义求解. 【详解】将四地这7周各周内碳排放量超过的天数由小到大依次记为，，，，，，，分别对应第周． 对于甲地，由题可知（中位数），则可做表： 周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 天数 3 众数为二，可使，，显然可以是6或7， 此时第周内碳排放量超过的天数都多于5天，故无法判定甲地为低碳生态区； 对于乙地，由题可知（中位数），则可做表： 周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 天数 1 我们可以使，，，，尽可能小， 通过判断是否有可能来判断乙地是否能被判定为低碳生态区． 则，，可计算均值，化简得， 满足7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天，因此可以判定乙地为低碳生态区； 对于丙丁，根据题意，我们无法直接判断对应的值， 但类似的，我们可以使，，，，，的和尽可能小， 通过判断是否有可能来判断丙地是否能被判定为低碳生态区． 则可以使，，，，，可做表： 周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 天数 0 1 2 3 4 4 均值，解得， 即此时第周内碳排放量超过的天数都多于5天，故无法判定丙地为低碳生态区； 对于乙地，假设，则方差，不合题意， 故，即满足7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天， 因此可以判定丁地为低碳生态区； 综上所述，四地中能判定为低碳生态区的是乙地和丁地． 故选：BD 3．（25-26高二下·重庆·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 【答案】 【分析】根据题意将符合要求的个数据由小到大排列出来，再结合平均数公式求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排列，前个数依次为、、，要使得这个数据的平均数最大， 则后面两个数分别为、，即这个数据由小到大依次为、、、、， 所以这个点数的平均数的最大值为. 4．（24-25高一上·重庆·开学考试）随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注.某店为了解车主对甲､乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲､乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理､描述和分析（评分用表示，共分为三组：），下面给出了部分信息： 甲款电动汽车10名车主的评分是：. 乙款电动汽车10名车主的评分在组的数据是：. 抽取的甲､乙两款电动汽车车主的评分统计表 车型 平均数 中位数 众数 甲 83 80 乙 83 85 抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人.若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？ 【答案】(1)80，，30 (2)乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由见解析 (3)200人 【分析】（1）从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，得出众数；乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占，所以A组有两个最大的数据，同时B组的数据有5个是：85，85，85，81，80，所以最中间的数为85，81，C组数据有3个； （2）从平均数、中位数、众数的角度去分析即可； （3）甲款电动汽车的车主“非常满意”的占比为，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为，求出对甲 、乙“非常满意”的人数即可． 【详解】（1）从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，80出现的次数最多，故众数为80， 即， 乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占，B组占， C组占， 所以， 所以A组有两个最大的数据，同时B组的数据有5个是：85，85，85，81，80， 所以最中间的数为85，81， 所以中位数为， 即， 故答案为：80，，30; （2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由如下： 甲款和乙款的平均数相等，但乙款的众数和中位数都比甲款的大， 所以乙款的满意度更好； （3）甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人，占比为，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为， 所以满足题意的总人数为：（人）． 【拓展训练二 方差、标准差的相关求解】 【例1】（2026·四川凉山·二模）用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得5个数据，用表示这个物体的长度，当函数取最小值时，（    ） A．4.8 B．5.2 C．5.3 D．5.6 【答案】B 【分析】展开可得是关于的二次函数，利用二次函数性质计算即可得. 【详解】， 即是关于的二次函数，则当取时取最小值， 此时. 【例2】（25-26高一·江苏·课后作业）把某校三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 统计量 组别 平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 求全班学生的平均成绩和标准差. 【答案】85， 【分析】首先设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1,2，…，20)，第二组20名学生的成绩为yi(i＝1,2，…，20)，分别写出两组的平均数公式，再解出全班同学的平均数公式，计算结果；分别写出两组的标准差， ，利用前面的计算结果，代入求值. 【详解】设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1,2，…，20)， 第二组20名学生的成绩为yi(i＝1,2，…，20)， 依题意有， ， 故全班平均成绩为 ； 又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则 ， (此处，，)， 又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为 ()，故有 ＝(62＋42＋902＋802－2×852)＝51. 即. 所以全班学生的平均成绩为85分，标准差为 . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是熟练掌握平均数和标准差公式，尤其是标准差公式. 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩（单位：分）统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 B．若甲、乙成绩的平均数分别为，，则 C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】A 【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况结合统计相关知识即可作出判断. 【详解】对于A：由折线图可知，甲的中位数大于90，乙同学的中位数小于90， 所以甲的中位数大于乙的中位数，故A错误； 对于B，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，B正确； 对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确； 对于D，由折线图可知，甲成绩波动性小于乙成绩的波动性， 所以甲成绩比乙成绩稳定，D正确. 故选：A. 2．（24-25高三上·浙江·开学考试）（多选）某校高三选科为政史地组合的班级为高三（1）班50人、高三（2）班40人.现对某次数学测试的成绩进行统计，高三（1）班平均分为99分，优秀率为，方差为11；高三（2）班平均分为90，优秀率为，方差为11.则政史地班级的（     ） A．平均分为95 B．优秀率为 C．方差为31 D．两个班分数极差相同 【答案】ABC 【分析】利用分层抽样的平均数、方差公式计算可得. 【详解】A选项：，故A正确； B选项：，故B正确； C选项： ，故C正确； D选项：没有具体数据，故D错误； 故选：. 3．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为______. 【答案】1.92 【分析】先求出总体平均数，然后代入分层抽样方差公式计算即可. 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质， 可得总体的方差为：. 故答案为：1.92 4．（25-26高二上·广东梅州·开学考试）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲  82  81  79  78  95  88  93  84 乙  92  95  80  75  83  80  90  85 (1)求甲成绩的80%分位数； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（平均数、方差）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 【答案】(1)93 (2)甲，理由见解析. 【分析】（1）根据百分位数的求法求解即可； （2）分别求出甲与乙成绩的平均数和方差，即可确定选派哪位学生参加合适. 【详解】（1）对甲成绩从小到大排序：78  79  81  82  84  88  93  95   80%分位数位置，取第7项93． （2）甲平均数， 乙平均数， 甲方差为 乙方差为 甲与乙的平均数相等，甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩稳定性更好，所以应选派甲参加数学竞赛． 1．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（   ） A．66 B．68 C．70 D．72 【答案】C 【详解】由长方形的面积之和为1，得： ， 所以， 所以水果质量在区间（单位：g）内的个数为个. 2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段检测）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（    ）    A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 【答案】D 【分析】计算超过3小时的频率可判断A；利用直方图求出超过2小时的概率可判断B；求出众数可判断C；计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D. 【详解】对于A，超过3小时的概率估计为：，A正确； 对于B，超过2小时的概率估计为：，所以估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时，B正确； 对于C，由图知众数约为（小时），C正确； 对于D，时间在2小时至3小时之间的概率估计为：，所以没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间，D错误. 故选：D. 3．（2026·四川攀枝花·一模）某校300名学生参加国学知识竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（   ）    A．a的值为 B．这40名学生竞赛成绩的平均数为75 C．这40名学生竞赛成绩的众数大于其平均数 D．这40名学生竞赛成绩的第80百分位数约为 【答案】D 【分析】利用所有小矩形的面积之和为，可求出，由此利用频率分布直方图结合选项即可逐一求解. 【详解】，故A错误 设这40名学生竞赛成绩的平均数为，则，故B错误 这40名学生竞赛成绩的众数为，，故C错误； 设这40名学生竞赛成绩的第80百分位数为，则，解得，故D正确. 故选：D 4．（2026·重庆万州·模拟预测）若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据方差公式代入求解，即可得出答案. 【详解】，，，这组样本数据的平均数为3，可得 ，则， 新增一个数据3后，数据变为 ， 则新数据的平均数为 ， 已知原数据 的方差为 2 ，根据方差公式可得 ， 则， 所以新数据的方差为，, 则 ，化简可得 ，解得. 5．（24-25高三上·云南昆明·期中）在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了枝花的高度（单位：），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（    ）    A．样本花卉高度的极差不超过 B．样本花卉高度的中位数不小于众数 C．样本花的高度的平均数不小于中位数 D．样本花升高度小于的占比不超过 【答案】D 【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用中位数和众数的定义可判断B选项；利用平均数公式求出样本花卉高度的平均数，可判断C选项；计算出样本花升高度小于的占比，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的极差为，A错； 对于B选项，样本花卉高度的众数为， 设样本花卉高度的中位数为， 前三个矩形的面积和为， 前四个矩形的面积和为，故， 由中位数的定义可得，解得，则， 所以，样本花卉高度的中位数小于众数，B错； 对于C选项，由频率分布直方图可知， 样本花卉高度的平均数为， 且，所以，样本花的高度的平均数小于中位数，C错； 对于D选项，由B选项可知，样本花升高度小于的占比为，D对. 故选：D. 6．（24-25高一下·河南许昌·期末）（多选）为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（    ） A．a的值为0.030 B．抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C．2000名考生中约有10名成绩优秀 D．估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 【答案】ABD 【分析】根据频率之和为、极差、优秀率、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 解得，A选项正确. 根据频率分布直方图，， 所以极差介于40分至60分之间，B选项正确. 90分以上频率为，对应有人，C选项错误. 成绩介于70分至90分之间的频率为， 所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，D选项正确. 故选：ABD 7．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）（多选）电影南京照相馆在全国各地热映，某影院连续天的观影人数单位：百人依次为，，，，，，，，则这组数据的（    ） A．众数为 B．中位数为 C．平均数为 D．第百分位数为 【答案】AC 【分析】由样本数据的数字特征依次判断选项即可. 【详解】对于A，160出现的次数最多，故众数是160，故A正确； 对于B，将数据从小到大排列为80，90，120，160，160，160，170，180， 共八个数据，则中位数是第4位与第5位的平均数，即中位数是，故B错误； 对于C，平均数为，故C正确； 对于D，，故第百分位数为从小到大的第3位数，即120，故D错误. 8．（24-25高一下·重庆·期中）（多选）重庆复旦中学化学选修课的“化学有机小组”对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数大很多，则下面叙述可能正确的是（ ） A．这组数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．这组数据中可能有极端小的值 D．这组数据中的众数可能和中位数相同 【答案】ACD 【分析】根据中位数与平均数与整体的关系进行判断即可得答案. 【详解】一组数据的中位数比平均数大很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值， 即可能有异常值，故正确； 当数据近似对称时，平均数与中位数应接近相等，故错误； 一组数据的中位数比平均数大很多，众数可能和中位数相同，故正确. 故选：. 9．（2026·甘肃武威·模拟预测）（多选）已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（    ） A．若的极差为9，则 B．若的80%分位数是6，则 C．若的平均数为3，则 D．若，则的方差为6.8 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，其极差为9，所以，所以，故A正确； 对于B，中共5个数，，则80%分位数是从小到大排列后第4个数和第5个数的平均数， 因为80%分位数是6，则，即得，解得，故B正确； 对于C，由，解得，故C错误； 对于D，当时，由C项知的平均数为3，故的方差为，故D正确． 10．（25-26高一上·江西景德镇·期末）（多选）我校AB两班同时参加了一次数学阶段性测试，其中A班50人，B班40人，A班的平均成绩为116分，方差是360；B班的平均成绩是102.5分，方差是450.下列说法正确的是（    ） A．A班最高分比班高 B．A班成绩比B班成绩更集中 C．AB两班全部人的平均成绩是110分 D．AB两班全部人的成绩方差是445 【答案】BCD 【分析】根据两班的平均数与方差的意义可直接判断A，B；利用平均数与方差公式计算可判断C，D两项. 【详解】对于A，因题干中没有提及班级的最高分情况，故无法判断A正确； 对于B，因A班成绩的方差360小于B班成绩的方差450，则成绩更集中，故B正确； 对于C，AB两班全部人的平均成绩为，故C正确； 对于D，AB两班全部人的成绩方差为 ，故D正确. 故选：BCD. 11．（2026·广西贵港·三模）一组按照从小到大排列的数据，其平均数为，则___________． 【答案】 【分析】借助平均数定义结合从小到大排列要求计算即可得. 【详解】由题意可得， 整理得， 故或，又，故. 12．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知一组数据：2，13，10，5，7，，13的平均数为8，则该组数据的中位数为________. 【答案】7 【分析】根据已知列出方程求解得出.进而将数据由小到大排列，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，解得. 将这组数据从小到大排列可得，2，5，6，7，10，13，13. 所以该组数据的中位数为7. 故答案为：7. 13．（24-25高一上·安徽淮北·开学考试）小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表： 步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 天数 3 7 5 12 3 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是__________． 【答案】、 【分析】根据众数、中位数的定义及表格数据求众数和中位数. 【详解】由众数的定义，根据表格知走万步共有12天，即众数为， 由中位数的定义，根据表格知第15、16个数据分别为、，即中位数为. 故答案为：、 14．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知样本数据，，，，的平均数为4，方差为2，则样本数据，，，，的平均数和方差分别为________和________． 【答案】 10 18 【分析】根据平均数及方差的计算公式计算即可得解. 【详解】由题意知， . 所以 . . 15．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为________；身高方差为________. 【答案】 166 38 【分析】运用总体样本均值和方差公式进行求解即可. 【详解】总体样本均值为：； 总体样本方差为：. 故答案为：166；38 16．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）郧阳中学倡导学生“文明用餐，减少浪费”，为了解午餐的浪费情况，对高一高二年级在工作日（周一到周五）进行了连续四周的调查，得到这两个年级每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理､描述和分析.下面给出了部分信息： ①高一年级每日餐余重量的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，）： ②高一年级每日餐余重量在这一组的是：6.1  6.6  7.0  7.0  7.0  7.8 ③高二年级每日餐余重量如下： 1.4  2.8  6.9  7.8  1.9  9.7  3.1  4.6  6.9  10.8 6.9  2.6  7.5  6.9  9.5  7.8  8.4  8.3  9.4  8.8 ④两个年级这20天每日餐余重量的平均数､中位数､众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 高一 6.4 7.0 高二 6.6 7.2 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)结合上表，在两个年级中，“文明用餐，减少浪费”做得较好的年级是______；理由是______． (3)结合我们学校高一高二年级每日餐余重量的样本数据，估计我们学校三个年级一年（按240个工作日计算，假设每个年级人数相同）的餐余总重量． 【答案】(1)6.8，6.9 (2)高一，平均数和中位数均较小 (3)4680 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）比较两个年级的中位数和平均数即可； （3）直接根据两个年级的平均数计算即可． 【详解】（1）根据频率分布直方图，高一年级前3组（、、）的天数分别为1、2、5，共天， 第4组（）的数是6.1、6.6、7.0、7.0、7.0、7.8，共6天， 高一年级调研数据的中位数为第10个数和第11个数和的一半， 故中位数， 高二年级20个工作日的餐余重量出现次数最多的是6.9，共出现4次，故众数是6.9，即． （2）从中位数、平均数上看，高一年级的中位数较小，平均数也较小，说明浪费的少，因此，做得较好的是高一年级． （3）考虑两个年级整体的平均值为（千克）， 则三个年级一年的餐余总重量为（千克）． 17．（25-26高一下·四川内江·阶段检测）某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 【答案】(1) (2)众数为，平均数为，中位数为. 【分析】（1）根据频率之和等于1求解即可； （2）根据众数、平均数、中位数的定义，结合频率直方图计算可得. 【详解】（1）由频率直方图可得，解得. （2）由图可知，第三组的矩形最高，所以众数为； 平均数， 因为前2组的频率之和， 前3组的频率之和， 所以中位数位于区间内，则中位数为. 18．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校高一年级和高二年级分别有学生3 000名和2 000名，该校为了了解本校高一和高二两个年级的学生在五一假期期间的课外阅读情况，利用简单随机抽样的方法在两个年级分别抽取100名学生，记录每人假期期间每天的平均阅读时间（单位:分钟），得到如图所示的频率分布直方图: (1)求高一和高二两个年级的100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数（保留整数）. (2)两个年级的100名学生在五一假期期间平均每天阅读时间超过一个小时的百分比各是多少? (3)从众数和平均数两个角度来分析两个年级的阅读情况（每组的值用该组的中点值作代表）. 【答案】(1)82，77 (2)， (3)答案见解析 【分析】（1）先根据频率分布直方图所有矩形面积和为1求出高一的未知参数，再分别计算高一、高二的累积频率，确定第80百分位数所在分组，最后代入百分位数计算公式求出对应结果； （2）1小时等于60分钟，分别统计高一、高二平均阅读时间超过60分钟的累计频率，即可得到两个年级对应情况的百分比； （3）先根据频率分布直方图得到两个年级阅读时间的众数，再以每组中点为代表计算两个年级的平均阅读时间，最后对比两个年级的众数和平均数结果，分析两个年级的阅读情况. 【详解】（1）由题可知，， 所以. 设高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为m，则，解得. 设高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为n， 则，解得. （2）高一年级100名学生在五一假期期间，阅读时间超过一个小时的百分比为， 高二年级100名学生在五一假期期间，阅读时间超过一个小时的百分比为. （3）由频率分布直方图可知，高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为75， 平均数为. 高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为65， 平均数为. 由此可以看出，无论从阅读时间的众数来讲，还是从阅读的平均时间来看，高一年级都明显高于高二年级，所以高一学生的阅读情况要好于高二学生的阅读情况，这可能与高二的学业加重有关. 19．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，利用分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得． 各组的组中值依次为，对应频率依次为， 所以数据的平均数 ， 所以估计这100个样本数据的平均数为． （2）解：由于样本数据在与内的频率之比为， 所以两组的总平均数为， 所以总方差． 20．（24-25高一上·贵州遵义·期末）某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 【答案】(1) (2)平均数小于中位数 (3) 【分析】（1）利用频率分布表的性质求解平均数即可. （2）利用频率分布直方图的性质求解平均数和中位数，再比较大小即可. （3）先求出样本平均数，再结合样本方差公式求解方差即可. 【详解】（1）由题意得 . （2）因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 设平均数为，中位数为， 由题意得 ， ， 因为， 所以中位数在中， 由中位数性质得， 解得，而， 可得中位数大于平均数. （3）因为男同学与女同学的人数之比为， 且女生有20人，所以男生有人， 由题意得， 则样本方差为. 学科网（北京）股份有限公司 $