期末复习：空间中的共面问题、空间中的共线问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

**基本信息** 聚焦空间共面与共线问题，通过多几何体典例构建逻辑推导体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间中的共面问题|3例+3变式（含正方体、直四棱柱等）|四点共面证明、平面交线作图|基于公理3及推论，构建点线面共面的判定逻辑链| |空间中的共线问题|3例+3变式（含长方体、空间四边形等）|三点共线证明、三线共点论证|依托公理2，形成平面交线与点共线的推理路径|

期末复习：空间中的共面问题、空间中的共线问题专项训练 期末复习：空间中的共面问题、空间中的共线问题专项训练 考点目录 空间中的共面问题 空间中的共线问题 考点一 空间中的共面问题 例1．（25-26高一下·山东泰安·月考）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)与的交点R就是所求的交点，理由见解析 【分析】（1）通过证明直线与、分别相交于同一点，得出与相交，从而证明四点共面； （2）先确定平面与平面的交线为，再根据在平面内，得出与平面的交点即为与的交点. 【详解】（1）如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，因为F为的中点，所以且，则；同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. （2）设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以.又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 例2．（25-26高一下·江苏徐州·月考）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且. (1)求证：四点共面； (2)延长交延长线于点，延长交延长线于点，求证：； (3)设平面将该正方体分成上、下两个几何体，求两几何体的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）在上取一点，根据正方体的性质得后即可得证； （2）由相似三角形可得，，以点为原点建立平面直角坐标系，计算所在直线方程，根据点在直线上即可证明； （3）结合（2）根据三棱锥的体积计算即可求解. 【详解】（1）在上取一点，使得，连接， 在中，因为，所以且， 因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，且，则四边形是平行四边形， 所以，故， 所以四点共面； （2）在正方体中，， 所以，则，解得， 同理，则，解得， 以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系如图所示： 则，，， 设所在直线为， 则，解得， 所以所在直线为， 将代入可得，， 所以在所在的直线上，故； （3）由（2）可知，， ， ， 所以平面截正方体下半部分体积为， 而正方体的体积为， 故平面截正方体下半部分体积为正方体的一半， 所以平面将该正方体分成上、下两个几何体的体积之比为. 例3．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出侧面与底面三角形的面积即可得解； （2）根据棱锥的体积公式求解； （3）利用两条平行线确定一个平面，证明四点共面即可. 【详解】（1）由题意，， 在三角形中，， 所以， 所以. （2）, 因为三棱锥的高， 所以. （3）连接， 因为分别为的中点，所以且. 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面. 变式1．（25-26高一下·福建泉州·月考）在正方体中，、分别为与的中点 (1)作出平面与平面的交线，并写出作图步骤； (2)求证：四点共面 【答案】(1)作图及步骤见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连接交于，结合平面的基本性质确定交线即可； （2）连接，首先证得，再由中位线性质有，最后由平行线的传递性即可证. 【详解】（1）连接交于，则为所求交线； （2）连接， 因为，知为平行四边形，则， 因为分别为与的中点，由中位线知，所以， 所以四点共面. 变式2．（25-26高一下·四川南充·月考）如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点. (1)求证：、、、四点共面； (2)若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证、、、四点共面，只需证明，利用中位线定理及平行的传递性即可证明； （2）令，由正弦定理求得，分别求出所以圆柱的侧面积，圆柱的底面积，正三棱柱的侧面积，正三棱柱的底面积，根据剩余几何体的表面积即可求解. 【详解】（1）由于，分别为，中点，所以， 又，所以， 所以、、、四点共面； （2）令，则，解得， 所以圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积为， 正三棱柱的侧面积为， 正三棱柱的底面积为， 所以剩余几何体的表面积. 变式3．（25-26高一下·云南大理·月考）如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论； （2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 考点二 空间中的共线问题 例1．（25-26高一下·福建龙岩·月考）在长方体中，是和的交点，与平面交于点.    (1)证明：三点共线. (2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）证明平面，又平面，平面平面，可证，，三点共线． （2）连接，可得，可求四棱锥的体积． 【详解】（1）因为平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 即三点共线.    （2）连接，则与相似， 所以， 所以， 在中，作，交于点，则， 所以. 例2．（25-26高一下·广东深圳·月考）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． (1)求证：三线交于点P； (2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）连接，，可得到且，则EC与相交，设交点为P，则能得到P平面ABCD，平面，结合平面平面，即可得证； （2）可证明P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，即可得证 【详解】（1）证明：连接，， 正方体中，E，F分别是的中点， ∴且， ∵且， ∴且， ∴EC与相交，设交点为P， ∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD； 又∵，平面，∴平面， ∴P为两平面的公共点， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P； （2） 在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H， 则FH平面，∴平面，又平面ABCD， ∴平面平面ABCD， 同理，平面平面ABCD， 平面平面ABCD， ∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上， ∴P，E，H三点共线． 例3．（25-26高一下·广西玉林·月考）在如图所示的七面体中，四边形为边长为2的正方形， 平面，，且，，，分别是，，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若直线交于点，直线交平面于点，证明：，，三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用三棱锥体积转换思想，先求三棱锥的体积，再确定底面积，最后得点到平面的距离即可 【详解】（1）解： 记到平面的距离为， 在中，，， ∴， （2）证明：∵， ∴与确定平面， ∵，平面，且，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面，平面， ∴点在直线上，则，，三点共线. 变式1．（25-26高一下·湖南株洲·月考）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.    (1)求证：； (2)设与交于点，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由中位线性质和线段成比例即可得证. （2）利用两个平面内的公共点在两个平面的交线上，即可得证. 【详解】（1）、分别是、的中点， ， ，， . （2）因为， ，平面， 所以平面，同理平面. 所以是平面与平面的公共点， 又平面平面， 所以，所以三点共线 变式2．（25-26高一下·河北唐山·月考）如图，在四面体中作截面，若与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点. （1）求证:直线平面； （2）求证:点在直线上. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】利用公理1证得：点平面,点平面即可; 利用公理3证得：点、、都在平面与平面的交线上即可; 【详解】证明：∵平面，直线,平面 ∵平面，直线， ∴平面∴直线平面. 证明：∵直线，平面，∴平面. 由（1）知，平面，∴在平面与平面的交线上， 同理可知，也在平面与平面的交线上， ∴由公理3知,，，三点共线， ∴点在直线上. 【点睛】本题主要考查利用公理1和公理3证明线在面内和点共线问题;利用公理3证得点、、都在平面与平面的交线上是求解本题的关键; 属于中档题,常考题型. 变式3．（25-26高一下·山西运城·月考）在正方体中，、分别为、的中点，，，如图. （1）若交平面于点，证明：、、三点共线； （2）线段上是否存在点，使得平面平面，若存在确定的位置，若不存在说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且. 【分析】（1）先得出为平面与平面的交线，然后说明点是平面与平面的公共点，即可得出、、三点共线； （2）设，过点作交于点，然后证明出平面平面，再确定出点在上的位置即可. 【详解】（1），平面，平面，所以，点是平面和平面的一个公共点，同理可知，点也是平面和平面的公共点，则平面和平面的交线为， 平面，平面，所以，点也是平面和平面的公共点，由公理三可知，，因此，、、三点共线； （2）如下图所示： 设，过点作交于点， 下面证明平面平面. 、分别为、的中点，， 平面，平面，平面. 又，平面，平面，平面， ，、平面，因此，平面平面. 下面来确定点的位置： 、分别为、的中点，所以，，且，则点为的中点， 易知，即，又，所以，四边形为平行四边形，， 四边形为正方形，且，则为的中点，所以，点为的中点，， 因此，线段上是否存在点，且时，平面平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：空间中的共面问题、空间中的共线问题专项训练 期末复习：空间中的共面问题、空间中的共线问题专项训练 考点目录 空间中的共面问题 空间中的共线问题 例1.(25-26高一下山东泰安月考)在正方体 BCD-4GD中，E,F分别为DG,BC的中点，ACOBD=P 考点一 空间中的共面问题 AC∩EF= 2,如图 D E C ()求证：D,B,E,F四点共面 AC (2)作出直线与平面BDEF 的交点R的位置并给出理由。 例2.(25-26高一下江苏徐州月考)如图，已知ABCD-AB'CD是棱长为3的正方体，点E在AA'上，点F在 CC上，且AE=FC'=L. D' E B (I)求证：EBFD四点共面： (②延长DE交D4延长线于点M,延长DF交DC延长线于点W,求证：B∈W, 期末复习：空间中的共面问题、空间中的共线问题专项训练 (3)设平面EBFD'将该正方体分成上、下两个几何体，求两几何体的体积之比 期末复习：空间中的共面问题、空间中的共线问题专项训练 ABCD-ABC D A4=4 例3.(25-26高一下浙江嘉兴期中)如图，己知直四棱柱 的底面是边长为2的正方形， E,F AA,AB 分别为 的中点 D A B E A B D-ACD (1)求三棱锥 的表面积： E-DDC (2)求三棱锥 的体积： E、F、C、D (3)求证： 四点共面 变式1.(25-26高一下福建泉州月考)在正方体 6CD-ABCD中，E、F分别为A8与AD日 的中点 A D E Ai.c.--.-c--- D C ACD BDD (1)作出平面 与平面 的交线，并写出作图步骤； (2)求证：E,F,B,D四点共面 3 期末复习：空间中的共面问题、空间中的共线问题专项训练 ABC-ABC 变式2.(25-26高一下四川南充月考)如图，正三棱柱 内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为 4若D,E分别为 BAC中点 B C B (I)求证：D、E、B、C四点共面： ABC-ABC (2)若从圆柱中把该正三棱柱 挖掉，求剩余几何体的表面积 变式3.(25-26高一下·云南大理月考)如图，四边形ABCD和四边形ABEF都是梯形，BC/AD,BEI/AF,且 BC=AD,BE=)FA,G,H分别为FA,FD的中点 2 2 F G: A D B (I)求证：四边形BCHG是平行四边形； (2)求证：C,D,F,E四点共面. 期末复习：空间中的共面问题、空间中的共线问题专项训练 考点二 空间中的共线问题 例1.(25-26高一下·福建龙岩·月考)在长方体 BCD-ABCD中，M是4C和AD的交点，BD与平面4BC 交于点N. D M B C B ()证明：B,N,M三点共线 (2)若 B=BC=4,BB为长方体 BCD-4BCD的一条高且，BA=6,求四棱锥N-ACD 体积 例2.(25-26高一下广东深圳月考)如图所示，在正方 ABCD-ABCD中，B,F分别是 AB,AA 的中点 D B 11 D E B CE,DF,DA (1)求证： 三线交于点P: DE (②)在(I)的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H,求证：P,E,H三点共线. 期末复习：空间中的共面问题、空间中的共线问题专项训练 AABCDC 例3.(25-26高一下·广西玉林月考)在如图所示的七面体 中，四边 AB,CD为边长为2的正方形， 4+平面A,BC0,CG∥M,且CG=M=2.M,V,P分别 ,且 CCBG,CD的中点 C A M P B 0)求点C到平面P的距离， @若直线4C交PN于点5，直线1C交Y面P .AC 于点F,证明：M,E,F三点共线 变式1.(25-26高一下湖南株洲月考)如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G,H 分别在BC,CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2 A E B G (1)求证：EF/GH: (2)设EG与FH交于点P,求证：P,A,C三点共线， 6 期末复习：空间中的共面问题、空间中的共线问题专项训练 变式2.(25-26高一下·河北唐山月考)如图，在四面体ABCD中作截面PQR,若P吧与CB的延长线交于点M, RO DB K 与 N RP DC 的延长线交于点， “与的延长线交于点. (1)求证：直线MNc平面PQR: (2)求证：点K在直线MN上 变式3.(2526商-下山西运城月考》在正方休1C中，B、F分别为 D,C.BG的中点， AC∩BD=P AC∩EF=Q ，如图 D E A C B (山若4C交平面EFBD于点R,证明：P、D、R三点共线： (2)线段4C上是香存在点M,使得平面BDM/平面BD,者存在碗定M的位置，若不存在说明理由 >