高一下学期期末重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

**基本信息** 高一下学期期末培优卷聚焦向量、复数、立体几何及概率统计重难点，通过仿射坐标系、抽奖概率等创新情境，考查数学抽象与逻辑推理能力，适配培优目标。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量运算、复数三角形式、立体几何判定|如第4题结合棣莫弗定理考查复数运算，体现数学思维| |多选题|3/18|概率统计、立体几何动态问题|第10题通过数据特征判断考核合格，发展数据观念| |填空题|3/15|折叠问题、分层抽样|第14题平面四边形折叠求外接球表面积，强化空间观念| |解答题|5/77|仿射坐标系、复数证明、概率应用|第15题仿射坐标系下向量综合应用，第19题抽奖概率模型，突出应用意识与创新思维|

高一下学期期末重难点检测卷（培优卷） 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在中，下列命题正确的个数是 ①；②；③点为的内心，且，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数. 【详解】逐一考查所给的命题： ①由向量的减法法则可知：，题中的说法错误； ②由向量加法的三角形法则可得：，题中的说法正确； ③因为， 即； 又因为， 所以， 即， 所以△ABC是等腰三角形.题中的说法正确； ④若，则，据此可知为锐角，无法确定为锐角三角形，题中的说法错误． 综上可得，正确的命题个数为2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．已知平面向量，满足：，．平面向量为单位向量，且，，满足：，，其中，，则的表达式是（   ） A． B． C．－1 D． 【答案】A 【分析】设，，根据向量垂直数量积为0，以及得出的关系，根据向量夹角公式得出即可. 【详解】由题意，设，，其中 则， 由于，， 则， ， 即，则，解得或， 当时，，代入得不符合题意， 当时，，代入得符合题意， 则. 故选：A. 3．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为， 因为， 所以有，   ，设，， 因此有 因为， 所以有， 而， 所以， 当时，有最大值，当，xy有最小值， 所以的取值范围是 故选：B 【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键. 4．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 5．如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，当三点共线，且时，有最小值，利用勾股定理求出答案即可. 【详解】过点作，交于点，交于点， 过点作，交于点，连接， 取中点，连接， 根据题意，因为， 所以当三点共线，且时， ，且有最小值，如图所示， 在中，，， 所以， 在中，， 所以， 在中，， 所以， 所以的最小值为， 故选：A. 6．正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定平面截棱柱的截面位置及截成的几何体的形状，一个三棱台和一个五面体，再分别计算三棱台的体积和三棱柱的体积，进而可得体积比值. 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. 7．下列命题中正确的是（    ） A．若是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面 B．若直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线和平面满足，不在平面内，则 【答案】D 【分析】选项A∶由线面平行的判定定理，可以判断A的真假； 选项B∶根据线面平行的定义及几何特征，可以判断B的真假； 选项C∶根据线面平行的定义及几何特征，可以判断C的真假； 选项D∶根据线面平行的判定定理，可以判断D的真假；进而得到答案． 【详解】选项A∶如果，是两条直线，且，那么平行于经过但不经过的任何平面，故A错误； 选项B∶如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行或异面，故B错误； 选项C∶平行于同一条直线的两个平面可能平行也可能相交，故C错误； 选项D∶过直线作平面，设，    又 又 又且 ．因此D正确． 故选：D． 8．在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线线角，线面角以及二面角的定义，可得，，，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】解：如图，取中心中点连接，使得， 由题可知，，，且，，均为锐角， 由于平面，平面，所以, 又,平面， 所以平面，平面，故, 因此，， 因为，所以， 因为，所以， 所以 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱，的中点，动点P在线段上，动点Q在正方形内（包含边界），平面，则（    ） A． B．PQ的最大值为 C．存在P，Q，使得平面 D． 【答案】BCD 【分析】A选项，根据动点所在平面与已知平面平行，确定动点所在位置，进行判断线线平行；B选项，根据P，Q两点的移动轨迹，确定取最大值时P，Q两点的位置，计算最大值；C选项，当P，Q两点都在平面中时，可满足平面，故根据P，Q两点的移动轨迹判断即可；D选项，根据平面的平行线上的点到平面的距离都相等可将动点通过平行线转化为定点，从而保证同底等高的棱锥体积不变． 【详解】 如图，连接，，，． 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面； 因为，且平面， 所以平面平面； 因为平面，平面，所以平面； 又平面平面，所以点在线段上， 故与不一定平行，A错误． 由A可知，当与或重合时，取最大值为，B正确； 当点与点重合，点与点重合时，平面，C正确； 因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， ，D正确． 10．某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】BD 【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否存在得分低于分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于分的合格要求. 【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为， 故甲的考核不一定合格，A错误； 对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数， 因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确； 对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为， 故丙的考核不一定合格，C错误； 对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为， 若有一个工作日的得分为，由， 可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于， 故丁的考核一定合格，D正确. 11．某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（    ）． A． B．A与B互斥但不对立 C．C与D对立 D． 【答案】ACD 【分析】本题依据互斥事件、对立事件的概念以及概率计算即可判断. 【详解】对A、B，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 故决赛的两人要么来自同一个班级，要么来自不同的班级，故事件A和事件B不可能同时发生， 故事件A和事件B互斥且对立，故，故A正确，B不正确. 对C，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 先进行半决赛的两人如果来自同一班级，则后进行半决赛的两人也来自同一班级， 故事件C和事件D互斥且对立，故C正确. 由上述可知，事件A和事件B互斥且对立，事件C和事件D互斥且对立， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是______． 【答案】 【详解】从这7张卡片中随机抽取3张，总共， 已知所抽取卡片上数字的最小值为2， 必须抽到2，且不能抽到1， 第一种情况，只抽到一张2，另外2张卡片必须从3，4，5，6中选取， 故不同的抽取数为； 第二种情况，抽到2张2，另外1张卡片必须从3，4，5，6中选取， 故不同的抽取数为 所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是：． 13．某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次的零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取的甲、乙两个批次的样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数为________. 【答案】50 【分析】设为从抽样后的甲批次样本中抽到i个一级品，为从抽样后的乙批次样本中抽到i个一级品（i=0，1，2），利用可求得的值. 【详解】设为从抽样后的甲批次样本中抽到i个一级品， 为从抽样后的乙批次样本中抽到i个一级品（i=0，1，2）， X为抽到的4个零件中一级品的总数量，且，则， 故易有， 又，，则. ，， 故，解得或（舍），即. 此时甲批次总体，样本； 乙批次总体未知，样本， 根据题意，抽样方法为按比例分层抽样，则，代入解得. 故答案为：50. 14．如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【分析】取的中点E，由已知可得为二面角的平面角，利用余弦定理求出，利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，则得的中点O为三棱锥的外接球的球心，即可得到外接球的半径，进而求出表面积. 【详解】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求：； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； (3)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，，点分别为中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合，即可求解； （2）由，分别求得和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解； （3）设，求得，根据，求得，再由，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：在仿射坐标系中，向量分别为同向的单位向量， 可得，且，所以， 因为向量，可得， 所以， 所以. （2）解：在仿射坐标系中，由， 可得，且， 所以， ，可得， ， 因为向量与的夹角为， 可得， 解得. （3）解：在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上， 设，其中，所以， 因为，点分别为中点，可得 又因为分别为中点，可得， 所以， 可得， 因为，所以，即，即， 又由向量，且， 所以， 因为，可得， 代入得， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 16．设复数和满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，利用共轭复数的定义及复数的相关概念计算即可； （2）根据条件式及共轭复数的意义变形得，再结合第一问的结论证明即可； （3）利用第一问与第二问结论证明即可. 【详解】（1）设， 则，， 显然，得证； （2）由已知， 又由（1）知， 所以，得证； （3）因为，所以，即有， 所以， 由（2）知， 所以，得证. 【点睛】思路点睛：利用共轭复数的定义及几何意义并注意设问之间的递进关系一一证明即可. 17．用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 【答案】 【分析】根据斜二测画法的步骤作图即可. 【详解】（1）画正六棱锥的底面的直观图． ①在正六边形中，取对角线所在直线为轴，取与垂直的对称轴为轴，两轴相交于点（如图（1）所示）． （2）画相应的轴和轴，两轴交于点，使． 以为及的中点，在轴上取， 在轴上取， 以点为中点画平行于轴，并且等于， 再以点为中点画平行于轴，并且等于． ③连接，则得到水平放置的正六边形的直观图． （3）在直观图中画六棱锥的顶点，连接，以所在直线为轴． 过作与轴对应的轴，在上取点，使． 连接，，，，，（如图（2）所示）． （4）擦去轴、轴、轴，将被遮挡住的线画为虚线， 便得到正六棱锥的直观图（如图（3）所示）． 18．某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为； (2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为； （ii），，证明见解析. 【分析】（1）根据茎叶图给出的数据，利用平均数、标准差公式直接计算；（2）（i）由数学平均分的差异说明该同学正确的成绩应该是数学比英语多10分，找到可能的数据，利用标准差验证；（ii）给定线性转换公式，并验证. 【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、， 则， ， （2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分， 所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了； 若英语132分数学142分，则； 若英语134分数学144分，则； 所以是英语132分数学142分统计反了. 所以英语正确的平均分， 英语正确分数的标准差； （ii）设转换公式为，则， 所以，将代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为：，下面证明 因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为， 则转换后的平均分； 因为， 所以转换后的标准差， 即转换公式满足条件得证. 【点睛】利用转换公式建立新旧数据平均数与标准差的关系，确定的取值是关键. 19．某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； (2)当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）事件与事件不相互独立，理由见解析 【分析】（1）根据古典概型求解概率； （2）（i）根据事件的独立性计算事件的概率（ii）根据事件的独立性定义验证事件的相互独立 【详解】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型. 记事件“甲获得一等奖”，则，， 所以，所以甲获得一等奖的概率为； （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中 （i）先不考虑额外中奖情况，事件“乙中二等奖”， 由（1）知，；， 再考虑额外中奖的情况，事件“乙中二等奖”， 因为这两个事件为互斥事件，所以顾客乙中二等奖的概率为； （ii）由（1）知；，；，； ，. 则，，与相互独立. 所以. 因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 . 因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以 又 所以，所以事件与事件不相互独立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末重难点检测卷（培优卷） 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在中，下列命题正确的个数是 ①；②；③点为的内心，且，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知平面向量，满足：，．平面向量为单位向量，且，，满足：，，其中，，则的表达式是（   ） A． B． C．－1 D． 3．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 7．下列命题中正确的是（    ） A．若是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面 B．若直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线和平面满足，不在平面内，则 8．在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱，的中点，动点P在线段上，动点Q在正方形内（包含边界），平面，则（    ） A． B．PQ的最大值为 C．存在P，Q，使得平面 D． 10．某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（    ）． A． B．A与B互斥但不对立 C．C与D对立 D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是______． 13．某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次的零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取的甲、乙两个批次的样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数为________. 14．如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求：； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； (3)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，，点分别为中点，求的最小值． 16．设复数和满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明： (1)； (2)； (3)． 17．用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 18．某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 19．某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； (2)当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $