专题5.8 分式50道计算题专项训练（5大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦分式核心题型，以50道计算题构建“概念-运算-方程-应用”逻辑链，提炼分母不为零、化简求值、验根等方法，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断分式是否有意义|10道|分母不为零；结合平方根、立方根综合分析|从分式概念到字母取值范围，构建“条件-结论”推理链条| |分式化简求值|10道|因式分解；整体代入；定义新运算（和谐分式）|从基本化简到代数变形，强化符号意识与运算能力| |分式混合运算|10道|通分约分；分式分解；“和常分式”模型|从单一运算到综合变形，培养逻辑推理与转化思想| |解分式方程|10道|去分母；验根；“关联数对”“十字分式方程”模型|从方程解法到增根分析，建立“解法-易错点”防控体系| |列分式方程解决实际问题|10道|等量关系建模；行程、工程、经济问题分析|从数学语言到现实情境，发展应用意识与数据观念|

专题5.8 分式50道计算题专项训练（8大题型） 题型一 判断分式是否有意义 题型二 分式化简求值 题型三 分式混合运算 题型四 解分式方程 题型五 列分式方程并解决实际问题 【经典计算题一 判断分式是否有意义】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）若分式有意义，则分母_______0，则a应满足_______； （2）若分式没有意义，则分母_______0，则x应满足_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有无意义的条件， 对于（1），根据分式有意义可知，可得答案； 对于（2），根据分式没有意义可得，可得答案. 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得； ∵没有意义， ∴， 解得. 故答案为：；；=，. 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，时，分式的值为0，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式无意义的条件和分式值为的条件，熟练掌握分式无意义的条件：分母为；分式值为的条件：分母不为且分子等于是解题的关键．根据分式无意义的条件得到的值，根据分式值为的条件得到的值，最后将、的值代入求解即可． 【详解】解：当时，分式无意义， 即，解得； 当时，分式的值为， 即且，解得， 则． 3．（25-26七年级下·广西崇左·阶段检测）下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 【答案】甲、乙、丙三位同学回答错误，过程见解析 【分析】本题考查了分式的定义和分式有意义的条件，准确分析判断是解题的关键． 分式的分母表示除数，由于除数不能为，所以分式的分母不能为，即当时，分式才有意义，当时，分式无意义，即可得解； 【详解】为何值时，分式有意义？ 根据题意，得， 解得且， 即当且时，分式有意义，所以甲同学的解答错误； 式子是分式，所以乙同学的解答错误； 化简分式， 原式，所以丙同学的解答错误． 4．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，平方根，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据被开方数大于等于和分母不为解出的值，然后求出的值； （2）代入x，y的值求出代数式的值，再利用平方根的定义解题． 【详解】（1）解：因为有意义， ∴， 解得：， ∴ （2）， ∴的平方根为． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 【答案】且， 【分析】根据零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零，可得的取值范围，再把代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且， 当时， ． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）请你把小明的解题过程补充完整． 已知不论x取何值，分式总有意义，求m的取值范围． 解：． 【答案】见解析； 【分析】根据配方法可得，再根据分式有意义的条件可得：，再解不等式即可． 此题主要考查了分式有意义的条件，对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：． ∵不论取何值，该分式总有意义，， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）（1）已知的平方根为，的立方根是3，求的平方根． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了立方根，以及平方根； （1）利用平方根、立方根定义求出x与y的值，即可求出所求； （2）利用算术平方根的非负性求出a与b的值，即可求出所求． 【详解】（1）∵的平方根为， ∴， 解得， ∵的立方根是3， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为； （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·河北邯郸·阶段检测）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【详解】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查了分式为零的条件，解二元一次方程组，分式的求值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到的值为0，然后根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0求解即可； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，分式的值为0， ∴的值为0， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵ ∴ 解得 ∴． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知y＝ ，x取哪些值时，y的值是零?分式无意义?y的值是正数? 【答案】x=0时，y的值是零；x＝时，分式无意义；x＜且x≠0时，y的值是正数 【分析】根据分式的值为零的条件：分子为零、分母不为零；分母为零分式无意义；同号相除得正的法则，逐个解答即可． 【详解】解：x=0时，y的值是零； x＝时，分式无意义； x＜且x≠0时，y的值是正数． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为零的条件，准确分析计算是解题的关键． 【经典计算题二 分式化简求值】 1．（25-26七年级下·全国·单元复习）按要求完成下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． （2）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：， ， ． 2．（2026·七年级下 北京平谷·）已知，求代数式的值． 【答案】3 【详解】解：          ∴原式． 3．（2026·七年级下 山东聊城）化简 ： (1)； (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据分式的减法进行计算即可求解． （2）先根据分式的加减计算括号内的，再将除法转化为乘法，然后根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】（1）解：原式    ． （2）原式  ，  当时，原式． 4．（25-26七年级下·重庆南川·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 5．（2026·七年级下 重庆）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）先根据分式的性质进行变形，然后再利用分式的加减运算可进行求解； （2）根据分式的加法运算可进行求解 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6．（23-24七年级下·湖北黄石·阶段检测）已知x，y，z，a，b，c均为实数，且（其中），求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可求出，进而得到，，，再把所求式子变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 同理可得， 当时，， ∴无意义， ∴， ∴ ． 7．（25-26七年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 【答案】(1)是“和谐分式”，理由见解析 (2)所有符合条件的的值为 【分析】（1）根据题意进行变形即可； （2）根据题意可得和，进而得出答案． 【详解】（1）解： ， 所以，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 因此，是“和谐分式”； （2）解： ， 因为“和谐分式”的值为整数，且x为整数，所以必是整数，即是3的整数因数， ∵3的整数因数是和， ∴和， ∴． 8．（25-26七年级下·上海·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则________，________； (3)化简：． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照题干提供的解题思路分解分式即可； （）仿照题干得，比较分母，得，比较分子，得 ，解得，从而求解； （）分别求出， ，则，然后计算，从而求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴ 比较分母，得 ， 比较分子，得 ，解得 ， 故答案为：，； （3）解：∵ ， ， 原式 ， ∵ ， ∴原式 ． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式化简即可； （2）令，得到，，，然后分和两种情况分别化简计算． 【详解】（1）解：令，则，，， ； （2）解：令，则，，， ， ， 若，则有，解得， ，，， ； 若，则有，，， ； 的值为或． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，且，，小丽和小军在对上述式子进行化简之后，小丽说不论取何值，的值都比的值大；小军说不论取何值，的值都比的值大，请你判断他们谁的结论正确，并说明理由． 【答案】小军的说法正确．见解析 【详解】解：小军的说法正确． 理由：， ， ． ， ， ， ． 【经典计算题三 分式混合运算】 1．（2026·七年级下 安徽合肥·）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（2026·七年级下 江苏无锡）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先对括号内通分计算，再约分，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值. 【详解】解： ， 当时， 原式． 4．（23-24七年级下·全国·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算顺序和分式的通分和约分是解题关键． （１）先给括号内通分相减后，再将除法化为乘法，约分即可； （２）首先对括号内的式子通分，再进行分式加减，合并同类项；接下来将除法转化为乘法，并根据分式乘法法则进行计算，化简即可得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)， (3)； 【分析】（1）利用“值分式”的定义进行逐一判断即可； （2）利用“2值分式”的定义列出，根据多项式恒等对应项系数相等列方程求解即可； （3）先分别化简A、B的分子，再通分计算，约分后得到的常数即为值；先对进行通分化简，结合的关系，再利用完全平方公式推导的取值． 【详解】（1）解：① ② 因此，②是关于x的“4值分式”； （2）解：由题意得：， 则， 去分母得：， 整理得：， 则， 解得：； （3）解：由题意得：， ， ， 由于分式与是关于x的“k值分式”， 则； ， ， ， ， ． 6．（2023七年级下 贵州遵义）解方程组． 【答案】 【分析】设，，，原方程组整理得到，设，进而用k表示出x、y、z，然后代入，求得k的值，即可解答． 【详解】解：设，，， 则原方程组变形为， 通分整理得， 设， 则， 解得，代入， 得， 解得， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）若，，求多项式的值． 【答案】18 【分析】先根据异分母分式加减法可得，即；再对所求代数式因式分解，然后将、整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ． 8．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【分析】先计算单项式乘以多项式，完全平方公式，分式的减法，再计算分式的除法，然后合并同类项，最后化简的值，代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ， 原式． 9．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 【答案】(1)减少，减小 (2)①2；②2、3、5 (3) 【分析】本题考查分式的性质. （1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵ ∴随着的增大，的值减小. 故答案为：减小；减小； （2）解：①∵， ∴当时，的值无限接近， ∴的值无限接近； ②∵为整数，x的值为正整数， ∴为整数，， ∴或2或4， ∴x的值可为2、3、5； （3）解：∵，， ∴， ∴. 10．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 【答案】(1)与互为“和常分式”，“和常值” (2)①；②或 (3) 【分析】（1）计算，观察结果是否为整数即可； （2）①根据，计算出的表达式即可；②对分式D进行化简得，故是的因数，由此得出的可能值； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【详解】（1）解： 与互为“和常分式”． ∵，， ∴， “和常值”． （2）解：①∵与互为“和常分式”，且“和常值”， ∴． 两边同乘，得， ∴ ． ②． ∵分式的值为正整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或． （3）解：∵与互为“和常分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 【经典计算题四 解分式方程】 1．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程． (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，可得，可得到关于m的方程，即可求解； （2）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据此方程的解是正数，即可求解． 【详解】（1）解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 即， 把代入整式方程得：， 解得； （2）解：去分母得：， 解得， ∵此方程的解是正数， ∴且， ∴且． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关联数对 【概念理解】 如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是，所以数对是关于的分式方程的“关联数对”． 任务： (1)判断下列数对是不是关于的分式方程的“关联数对”． ①_________；②_________．（填“是”或“不是”） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)①不是；②是 (2) 【分析】（1）根据“关联数对”定义逐个求解并与对比即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，把数对及解代入方程即可求解. 【详解】（1）解：①当时， ，解得：， ∵ ， ∴不是关于的分式方程的“关联数对”； ②当时， ，解得：， ∵， ∴是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①不是；②是； （2）解：由条件可知：，   ， 整理得：， 解得. 3．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值 ． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据十字分式方程的定义解答即可求解； （）根据十字分式方程的定义得，，再利用完全平方公式的变形运算解答即可求解； （）根据十字分式方程的定义得，进而由可得，，再代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵ 为十字分式方程，可化为， ∴，； （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴； （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∵时， ∴， ∵关于的十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴，， ∴． 4．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)且 (2)且 (3)的值为或或 (4)或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 【详解】（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段测试）按要求完成以下问题： (1)计算图中阴影所示绿地的面积； (2)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了列代数式和分式方程无解的知识点，熟练掌握分式方程无解分两种情况是解题的关键． （1）利用分割法且阴影部分的面积，列出代数式即可； （2）根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和增根分类讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， 去分母得， ， 整理为：， 当时，， 当时，整式方程无解， 当时，， ， ， ， ， ， 经检验是原方程的解， 分式方程无解时，或． 6．（25-26七年级下·河北沧州·期末）（1）计算： ① ② ③ （2）小亮同学解分式方程的步骤如下： 解：方程两边同乘最简公分母， 去分母，得，…………① 去括号，得，…………② 移项，合并同类项得．…………③ 系数化为1，得…………④ 检验：当时，是原分式方程的解． 同学们，他的解答正确吗？如果不正确，请指出从第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程． 【答案】（1）①；②；③；（2）不正确，从第②步开始出现错误，见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，解分式方程． （1）①根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； ②根据整式的混合运算进行计算即可求解； ③根据分式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据解分式方程的步骤进行计算即可求解． 【详解】解：（1）① ② ③ （2）答：不正确，从第②步开始出现错误，正确的解答过程如下： 解：方程两边同乘最简公分母， 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项得 系数化为1，得 检验：当时，， 是原分式方程的解． 7．（25-26七年级下·广东韶关·期末）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 【答案】（1），；，； （2）； （3）总共倒出的水量是，水不能被倒完，因为； （4） 【分析】（1）观察题目给出的、等例子，发现分母为两个连续正整数的乘积时，分式可拆分为这两个数的倒数之差．因此直接推导得，推广到一般式； （2）倒出次的总水量是前个分式的和，即．根据（1）的规律，将每一项拆为两个倒数的差，拆项后中间项相互抵消，最终仅剩首项和末项，相加即可得到结果； （3）将每一项()拆为，抵消中间项后得到和为，分析的取值，因为正整数，，故，即总倒出水量始终小于，因此水不能被倒完； （4）将方程左边的每一项()拆为，抵消中间项后左边化简为，因此化简后的方程为，求解此分式方并检验即可． 【详解】（1）解：根据已知规律，， 可得；(为正整数)； 故答案为：，；，． （2）解：倒出次后总水量为； （3）解：倒出次后总水量为． ∵(为正整数)，即总倒出水量始终小于， ∴容器中的水不能被倒完； （4）解：原方程左边=， 因此方程化为， 两边同时减去，得， 两边同乘()，得， 解得； 检验：将代入分母，，，…，， ∴是原方程的解； 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的规律探索、异分母分式的减法以及解分式方程，核心是裂项相消法的综合应用．从具体的数字规律出发，提炼出的通用裂项规律，再通过“消去中间项、保留首尾项”的技巧，把复杂的分式求和转化为简单的计算问题． 8．（23-24七年级下·福建福州·期末）阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为2，________． (2)关于x的方程的两个解分别为2，_________． (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1)4． (2)． (3)． 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x1与x2的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵2×4=8，2+4=6， ∴方程的两个解分别为x1=2，x2=4． 故答案为：4． （2）解：方程变形得：， 由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为； 则x1=2，x2=； 故答案为：． （3）解：方程整理得： ， 得2x1=n1或2x1=n， 可得x1=，x2=， 则原式=． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 9．（25-26七年级下·重庆万州·阶段检测）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 10．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）阅读材料，下列关于的方程： 的解为：，；    的解为：，； 的解为：，；    的解为：，； 根据这些材料解决下列问题： (1)方程的解是____________； (2)方程的解是____________； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据所给材料的解题方法即可求解； （2）根据材料中方程的解法求解即可； （3）先将方程化为，再利用材料中的解法求解即可． 【详解】（1）解：方程 的解为， 故答案为：， （2）由方程可得或， 解得，， 故答案为：， （3）将方程变形为， 可得或， 解得， 【点睛】此题考查了解分式方程，解题的关键是将方程化为的形式求解． 【经典计算题五 列分式方程并解决实际问题】 1．（25-26七年级下·湖南永州·期末）年月日，永州队夺得“湘超”冠军，他们用拼搏诠释了“永冲锋”精神．为推动我市足球运动新的热潮，某文旅公司在“湘超”期间两次购进“永冲锋”吉祥物产品进行销售，第一次用元购进的吉祥物比第二次用元购进吉祥物的数量多个，且第二次购进的吉祥物的单价是第一次购进吉祥物的单价的倍，请问该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为多少元? 【答案】元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系列方程或不等式是解本题的关键．设该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元，则第二次购进单价为元，根据第一次购进的吉祥物比第二次购进吉祥物的数量多个的数量关系列分式方程，化简求解后并检验，最终得出第一次购进的单价． 【详解】解：设该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元，则第二次购进单价为元． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元． 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是 (2)我不赞同甲队同学的看法，见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键． （1）设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是，再列方程得，求解即可； （2）先根据题意求出两车的路程与所需的时间，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是． （2）解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点． 3．（2026·七年级下 重庆）某农场种植了水稻、大豆、玉米三种农作物，种植总面积为亩．已知水稻种植了亩，且玉米的种植面积比大豆种植面积的倍少亩． (1)求大豆、玉米的种植面积分别是多少亩？ (2)收割时，收割玉米所用天数比收割大豆多，且每日收割玉米的亩数比每日收割大豆的亩数多亩．求收割大豆需要多少天？ 【答案】(1)大豆的种植面积为亩，玉米的种植面积为亩 (2)天 【分析】（1）设大豆的种植面积为亩，玉米的种植面积为亩，根据“种植总面积为亩”，列出方程，即可求解； （2）设收割大豆需要天，则收割玉米需要天，根据“每日收割玉米的亩数比每日收割大豆的亩数多亩．”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设大豆的种植面积为亩，玉米的种植面积为亩，则 ． ∴． ∴（亩）． 答：大豆的种植面积为亩，玉米的种植面积为亩． （2）解：设收割大豆需要天，则收割玉米需要天，则 ． 解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：收割大豆需要天． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该区域投放了20辆型和30辆型电单车 (2)采购这两种电单车总共需要花费元 【分析】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解． （2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解． 【详解】（1）解：设该区域投放了辆型和辆型电单车． 由题意得：， 解得：， 答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车． （2）解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴总花费为（元）． 答：采购这两种电单车总共需要花费元． 5．（25-26七年级下·重庆巫山·阶段检测）列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 【答案】(1)杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份 (2)杂酱小面每小时增产25份 【分析】（1）设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份，根据“2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份”列方程解答即可． （2）设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份，根据“完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份， 根据题意可得， ∴， ∴， 答：杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份． （2）解：设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份， ∴， ∴， 经检验知：是原方程的解， 答：杂酱小面每小时增产25份． 6．（2026·七年级下 河北邯郸）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 【答案】(1)原解答不正确，从第二步开始出错，正确过程见解析 (2)原正方形边长为12厘米 【分析】（1）先按去括号法则检查原式，发现原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号后合并同类项，即可解答． （2）明确两个矩形的长宽：根据“长宽比相等”列方程，求解，验证边长为正数，得结果． 【详解】（1）解：原解答不正确，从第二步开始出错． 正确过程： ． （2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和． 根据“长宽比相等”，列方程： 解得 验证：时，，符合实际意义． 答：原正方形边长为12厘米． 7．（25-26七年级下·上海虹口·期末）《上海市初中毕业升学体育统一考试项目成绩评价标准》规定，女生800米跑成绩若在3分39秒至3分26秒之间（含端点），可获得附加分分；若成绩达到3分25秒及以上，可获得附加分1分（统一考试总分仍为15分）． 在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少54秒．那么按照上述评价标准，在这次计时跑步中，这名女生的成绩是否能获得附加分？请说明理由． 【答案】能获得附加分 【分析】本题考查了分式方程的行程问题，根据题意列出方程并求解，参照结果的成绩范围，则可判断是否能获得附加分． 【详解】解：能获得附加分． 设这名女生的成绩为分，则这名男生跑完1000米所用的时间为分， 根据题意，得， 解得， 分钟=3分36秒，在3分39秒至3分26秒之间，所以可获得附加分分． 8．（2026·七年级下 河南平顶山）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工15天完成了总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同工作了50天，总工程全部完成． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队施工一天需要各项支出9000元，乙队施工一天需要各项支出4000元． ①如果两队施工的天数一共是130天，怎样安排施工任务，可以恰好完工？所需施工费用是多少？ ②如果工期不超过75天，怎样安排施工任务（施工天数需为整数），可以最大限度地节省开支？支出的最少金额是多少元？ 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需要180天 (2)①甲队施工50天，乙队施工80天，可以恰好完工，所需施工费用为770000元；②甲队施工53天，乙队施工74天，可以最大限度地节省开支，支出最少的金额是773000元，且比预期工期少用1天 【分析】（1）设乙队单独施工1天能完成总工程的，根据甲队完成的任务量乙队完成的任务量总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，此题得解； （2）①设甲队施工的天数是天，则乙队施工的天数是天时，两队恰好完成．列方程求解，再根据方程的解，求出施工经费即可； ②根据甲、乙的工作效率及施工费用，得到乙队施工天数多一些，更节省开支．设乙队施工75天，甲队施工天，可以完成任务．列方程求解得到，再计算金额即可． 【详解】（1）解：由题意，可得甲队单独完成这项工作需要（天）， 则甲队1天能完成总工作量的． 设乙队单独完成这项工作需要天，则乙队施工1天能完成总工作量的． 依题意可列方程为， 解得． 经检验是方程的解． 答：甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需要180天． （2）解：①两队施工的天数一共是130天，设甲队施工的天数是天， 则乙队施工的天数是天时，两队恰好完成． 依题意可列方程为， 解得． 乙队施工的天数是（天）． 总支出是， 当时，． 因此甲队施工50天，乙队施工80天，可以恰好完工，所需施工费用为770000元． ②由题意可知，甲队施工1天需支出9000元，乙队施工1天需支出4000元， 乙队2天的支出是8000元，其2天的工作量相当于甲队1天的工作量， 因此乙队施工天数多一些，更节省开支． 假设乙队施工75天，甲队施工天，可以完成任务． 依题意可列方程为， 解得． 为整数， 的值取53，即甲队施工53天． 又甲队半天的工作量等于乙队1天的工作量， 乙队只需要施工74天． 支出的最少金额为（元）． 答：甲队施工53天，乙队施工74天，可以最大限度地节省开支，支出最少的金额是773000元，且比预期工期少用1天． 9．（24-25七年级下·重庆开州·阶段检测）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)12万元，10万元 (2)15万元 【分析】（1）设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得，解方程即可． （2）设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得， 解得， ∴， 答：A款机器人价格为12万元，B款机器人价格为万元． （2）解：设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得， 解得． 答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元． 10．（25-26七年级下·湖北襄阳·阶段测试）有甲、乙两个兴趣班，原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的，如果从乙兴趣班调人到甲兴趣班，甲、乙兴趣班的人数比是，甲兴趣班原来有多少人？ 【答案】人 【分析】本题主要考查了分式方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设原来乙兴趣班有人，则原来甲兴趣班有人，根据题意可列分式方程，求解即可． 【详解】解：设原来乙兴趣班有人，则原来甲兴趣班有人， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原来甲兴趣班人数为：（人）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.8 分式50道计算题专项训练（8大题型） 题型一 判断分式是否有意义 题型二 分式化简求值 题型三 分式混合运算 题型四 解分式方程 题型五 列分式方程并解决实际问题 【经典计算题一 判断分式是否有意义】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）若分式有意义，则分母_______0，则a应满足_______； （2）若分式没有意义，则分母_______0，则x应满足_______． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，时，分式的值为0，求的值． 3．（25-26七年级下·广西崇左·阶段检测）下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 4．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）请你把小明的解题过程补充完整． 已知不论x取何值，分式总有意义，求m的取值范围． 解：． 7．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）（1）已知的平方根为，的立方根是3，求的平方根． （2）已知，求． 8．（25-26七年级下·河北邯郸·阶段检测）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知y＝ ，x取哪些值时，y的值是零?分式无意义?y的值是正数? 【经典计算题二 分式化简求值】 1．（25-26七年级下·全国·单元复习）按要求完成下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 2．（2026·七年级下 北京平谷·）已知，求代数式的值． 3．（2026·七年级下 山东聊城）化简 ： (1)； (2)先化简，再求值：，其中 4．（25-26七年级下·重庆南川·期中）先化简，再求值：，其中 5．（2026·七年级下 重庆）计算： (1)． (2)． 6．（23-24七年级下·湖北黄石·阶段检测）已知x，y，z，a，b，c均为实数，且（其中），求的值． 7．（25-26七年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 8．（25-26七年级下·上海·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则________，________； (3)化简：． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，且，，小丽和小军在对上述式子进行化简之后，小丽说不论取何值，的值都比的值大；小军说不论取何值，的值都比的值大，请你判断他们谁的结论正确，并说明理由． 【经典计算题三 分式混合运算】 1．（2026·七年级下 安徽合肥·）计算：． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（2026·七年级下 江苏无锡）先化简，再求值：，其中． 4．（23-24七年级下·全国·阶段检测）计算： (1) (2) 5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 6．（2023七年级下 贵州遵义）解方程组． 7．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）若，，求多项式的值． 8．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）先化简，再求值．，其中． 9．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 10．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 【经典计算题四 解分式方程】 1．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程． (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关联数对 【概念理解】 如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是，所以数对是关于的分式方程的“关联数对”． 任务： (1)判断下列数对是不是关于的分式方程的“关联数对”． ①_________；②_________．（填“是”或“不是”） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 3．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值 ． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 4．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段测试）按要求完成以下问题： (1)计算图中阴影所示绿地的面积； (2)若关于的方程无解，求的值． 6．（25-26七年级下·河北沧州·期末）（1）计算： ① ② ③ （2）小亮同学解分式方程的步骤如下： 解：方程两边同乘最简公分母， 去分母，得，…………① 去括号，得，…………② 移项，合并同类项得．…………③ 系数化为1，得…………④ 检验：当时，是原分式方程的解． 同学们，他的解答正确吗？如果不正确，请指出从第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程． 7．（25-26七年级下·广东韶关·期末）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 8．（23-24七年级下·福建福州·期末）阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为2，________． (2)关于x的方程的两个解分别为2，_________． (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 9．（25-26七年级下·重庆万州·阶段检测）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 10．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）阅读材料，下列关于的方程： 的解为：，；    的解为：，； 的解为：，；    的解为：，； 根据这些材料解决下列问题： (1)方程的解是____________； (2)方程的解是____________； (3)解方程：． 【经典计算题五 列分式方程并解决实际问题】 1．（25-26七年级下·湖南永州·期末）年月日，永州队夺得“湘超”冠军，他们用拼搏诠释了“永冲锋”精神．为推动我市足球运动新的热潮，某文旅公司在“湘超”期间两次购进“永冲锋”吉祥物产品进行销售，第一次用元购进的吉祥物比第二次用元购进吉祥物的数量多个，且第二次购进的吉祥物的单价是第一次购进吉祥物的单价的倍，请问该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为多少元? 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 3．（2026·七年级下 重庆）某农场种植了水稻、大豆、玉米三种农作物，种植总面积为亩．已知水稻种植了亩，且玉米的种植面积比大豆种植面积的倍少亩． (1)求大豆、玉米的种植面积分别是多少亩？ (2)收割时，收割玉米所用天数比收割大豆多，且每日收割玉米的亩数比每日收割大豆的亩数多亩．求收割大豆需要多少天？ 4．（25-26七年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 5．（25-26七年级下·重庆巫山·阶段检测）列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 6．（2026·七年级下 河北邯郸）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 7．（25-26七年级下·上海虹口·期末）《上海市初中毕业升学体育统一考试项目成绩评价标准》规定，女生800米跑成绩若在3分39秒至3分26秒之间（含端点），可获得附加分分；若成绩达到3分25秒及以上，可获得附加分1分（统一考试总分仍为15分）． 在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少54秒．那么按照上述评价标准，在这次计时跑步中，这名女生的成绩是否能获得附加分？请说明理由． 8．（2026·七年级下 河南平顶山）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工15天完成了总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同工作了50天，总工程全部完成． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队施工一天需要各项支出9000元，乙队施工一天需要各项支出4000元． ①如果两队施工的天数一共是130天，怎样安排施工任务，可以恰好完工？所需施工费用是多少？ ②如果工期不超过75天，怎样安排施工任务（施工天数需为整数），可以最大限度地节省开支？支出的最少金额是多少元？ 9．（24-25七年级下·重庆开州·阶段检测）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 10．（25-26七年级下·湖北襄阳·阶段测试）有甲、乙两个兴趣班，原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的，如果从乙兴趣班调人到甲兴趣班，甲、乙兴趣班的人数比是，甲兴趣班原来有多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $