专题03分式方程及应用类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 聚焦分式方程九类核心题型，以分类突破构建"解法-应用-拓展"三维训练体系，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|1典例+2变式|分组化简法、规律探究法|从特殊方程解法到分式拆分规律迁移| |特殊问题|2典例+7变式|增根分类讨论、无解双情况分析|增根与无解的概念辨析及参数求解逻辑| |应用拓展|6典例+15变式|行程/工程/经济问题建模、几何面积转化|实际问题抽象为分式方程的完整思维链|

专题03 分式方程及应用九类题型 典例详解 类型一、分组化简解特殊分式方程 类型二、分式方程有增根问题 类型二、分式方程无解问题 类型四、分式方程的特殊解问题 类型五、新定义的分式方程 类型六、分式方程的行程问题 类型七、分式方程的工程问题 类型吧、分式方程的经济问题与方案问题 类型九、分式方程的几何问题 压轴专练 类型一、分组化简解特殊分式方程 【典例1】（2025·广东韶关·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先将原分式方程化简为，再去分母，将分式方程转化为整式方程，再解方程即可，注意要验根． 【详解】解： ； 方程的两边同乘，得：， 解得：， 经检验，当时，， ∴原方程的解为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东韶关·期末）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 【答案】（1），；，； （2）； （3）总共倒出的水量是，水不能被倒完，因为； （4） 【分析】（1）观察题目给出的、等例子，发现分母为两个连续正整数的乘积时，分式可拆分为这两个数的倒数之差．因此直接推导得，推广到一般式； （2）倒出次的总水量是前个分式的和，即．根据（1）的规律，将每一项拆为两个倒数的差，拆项后中间项相互抵消，最终仅剩首项和末项，相加即可得到结果； （3）将每一项()拆为，抵消中间项后得到和为，分析的取值，因为正整数，，故，即总倒出水量始终小于，因此水不能被倒完； （4）将方程左边的每一项()拆为，抵消中间项后左边化简为，因此化简后的方程为，求解此分式方并检验即可． 【详解】（1）解：根据已知规律，， 可得；(为正整数)； 故答案为：，；，． （2）解：倒出次后总水量为； （3）解：倒出次后总水量为． ∵(为正整数)，即总倒出水量始终小于， ∴容器中的水不能被倒完； （4）解：原方程左边=， 因此方程化为， 两边同时减去，得， 两边同乘()，得， 解得； 检验：将代入分母，，，…，， ∴是原方程的解； 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的规律探索、异分母分式的减法以及解分式方程，核心是裂项相消法的综合应用．从具体的数字规律出发，提炼出的通用裂项规律，再通过“消去中间项、保留首尾项”的技巧，把复杂的分式求和转化为简单的计算问题． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）用你发现的规律解答下列问题．，， (1)计算_______． (2)探究_______．（用含有n的式子表示） (3)若的值为，求n的值． (4)解方程： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，解题的关键是要能发现其规律和拆分法的应用． （1）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案； （2）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案； （3）结合（2）中所求，进而分解各数，化简求得n的代数式，然后建立关于n的方程，即可求解； （4）先化简左边得出，进而得出，即，求解即可得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴， 解得： 经检验：为原方程的解； （4）解： ∴，即， ∴， ∴， 经检验：为原方程的解． 类型二、分式方程有增根问题 【典例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． （1）先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； （2）先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （3）分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． 【详解】（1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 【变式2-1】（24-25八年级上·河北承德·阶段检测）关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 【答案】嘉嘉，理由见解析， 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解． 【详解】解：嘉嘉的说法正确 理由如下： 将的两边同时乘约去分母化简得． 若分式方程有增根，增根可能是或． 当时，． 当时，得到，该式子不成立，则该分式方程的增根不可能为． 故嘉嘉的说法正确，并求得． 故答案为：嘉嘉． 【变式2-2】（23-24八年级下·四川成都·期中）在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. （1）解分式方程时产生了增根，则据此求出这个增根即可； （2）首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或据此求出的值，代入整式方程求出的值即可； （3）首先根据用含的式子表示出，然后根据关于的方程 有整数解，求出的值即可. 【详解】（1）解：解分式方程时产生了增根， ∴， 解得， 故答案为：； （2）， ， ． 将代入方程得：．不符合条件． 将代入方程得：． ． 综上所述，． （3）， ， ． ∵． ∴． ∵为整数， ∴， ∴． 综上所述，． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 【答案】 【分析】先对原分式方程进行整理，然后通过去分母化为整式方程求解，再根据分式方程增根的定义，即整式方程的解使原分式方程的分母为，求出对应的的值．本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程增根的定义（使分式方程分母为的根）以及分式方程化为整式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：原方程整理，得，即， 方程两边乘，得， 解得． ∵整式方程的解x是分式方程的增根， 或，即或， 或， 解得或（舍）， 时，方程有增根． 【变式2-4】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 类型二、分式方程无解问题 【典例3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 【变式3-1】（2026·四川南充·二模）已知关于x的分式方程无解，则实数m的值为______． 【答案】 【分析】先转化成整式方程，分式方程无解，根据增根即可求解． 【详解】解：， 方程两边都乘以，得， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是方程的增根， 则， 解得：． 【变式3-2】（24-25八年级下·山西晋城·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务 关于“分式方程无解问题”的研究报告研究对象：关于的分式方程的无解问题． 研究思路：化为一元一次方程将使分式方程无解的的值代入求出的值． 问题提出：若关于的分式方程无解，求的值． 问题分析：分式方程无解问题需要考虑两种情况： ①去分母后，所得的整式方程（一元一次方程）无解，将这个一元一次方程化为的形式，只需即可． ②原分式方程有增根（除增根外无其他解），将最简公分母等于0后，将求得的的值代入去分母后的一元一次方程，最后求得的值． 解题过程： 解：原分式方程去分母，得，整理得． ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当 时，，解得．综上所述，的值为或． 任务： (1)上述材料中解题过程体现的数学思想是___________（填序号）．①数形结合思想；②分类讨论思想；③整体思想；④建模思想 (2)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)② (2)的值为或2 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据解题过程进行判断即可； （2）将原分式方程化为，然后分两种情况讨论，求出结果即可． 【详解】（1）解：上述材料中解题过程体现的数学思想是分类讨论思想； 故答案为：② （2）解：， 去分母得：， 整理得：， ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当时，，解得； 综上所述，的值为或2． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东威海·期中）已知关于的分式方程．当为何值时此方程无解？ 两位同学对此有不同的看法（如下表）：你认为谁的说法有道理，请说明理由并求出的值． 小临同学 这题很简单，只需要考虑分式方程有增根的情况就可以啦！ 小港同学 你说的不全面！能使方程无解的情况可不能只考虑分式方程解为增根的情况． 【答案】 小港同学的说法有道理，理由见解析；或或 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，关键是无解需分情况讨论； 分式方程无解包括有增根和分式方程化成的整式方程无解两种情况，分类讨论即可． 【详解】答：小港同学的说法有道理， ， 整理得：， ， ∵分式方程无解， ∴①分式方程有增根； ∴或 ∴或 当时，，； 当时，，； ②整式方程无解，，， 综上：小港同学的说法有道理，当或或时，此方程无解． 【变式3-4】（24-25九年级下·广东深圳·期中）下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 【答案】四，见解析 【分析】本题考查了实解分式方程． 观察解分式方程的步骤，找出错误，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：小虎是从第四步开始出现错误， ①若，则方程无解，此时 ②若， ， 若方程无解，则为增根，即 综上，或． 【变式3-5】（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【答案】第三步错误，见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得，第一步， 整理，得，第二步， 当，即时，此时满足原方程无解， 当时，， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， ∴第三步出现错误． 类型四、分式方程的特殊解问题 【典例4】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，首先解分式方程，得到x关于a的表达式，注意分母不为零的条件；然后根据x为整数且，确定整数a的取值；最后验证每个a是否满足原方程有整数解且． 【详解】解：∵ 分式方程 ，且 ， 两边乘 得：， 整理得：， ∴ （其中 )． 设 （t为整数且 ）， 则 ， 变形得：． ∵ a为整数， ∴ 为整数， 即 是4的约数：， ， ． ∴ ， 对应 ． 但 ，排除 ， ∴ ． 代入求a： 时，； 时，； 时，； 时，； 时，． 当 时，原方程无解，无效． 验证各a值均使x为整数且， ∴ 整数a有5个：3， 1， ， ， 故选：C． 【变式4-1】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【分析】先解分式方程，用表示方程的解，根据方程的解是整数的要求得出的值，即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴， ∵关于的分式方程的解是整数， ∴时，解得：或； 时，解得：或； 时，解得：或； ∵， ∴， ∴，解得：， 综上可得：满足条件的整数的值为或或或或， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 【变式4-2】（24-25八年级上·重庆·期末）若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解以及完全平方式，理解分式方程的增根以及完全平方式的定义是正确解答的前提． 由分式方程的解为整数以及增根的意义可求出或或，然后根据完全平方式定义得到或，即可得到满足条件的整数． 【详解】解：关于的分式方程的解是，且解为整数，a为整数， 或且， 解得或或或， 而当时，分式方程有增根， ， 或或， 是一个完全平方式， ， 或， 故 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级上·重庆江津·期末）若关于的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查分式方程的解和完全平方式，根据题意是一个完全平方式，得，求出的所有可能值；再根据分式方程的解为整数，确定的值即可． 【详解】是一个完全平方式， ， 或． 分式方程的解是，是整数， 是2的倍数， 又是原分式方程的增根， ， ， 故答案为：4． 类型五、新定义的分式方程 【典例5】（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数a（）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，则n的值______． 【答案】1 【分析】根据“友好数对”的定义列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：数对是关于的分式方程的“友好数对”， ，，且，即， 根据“友好数对”的定义，得， 解分式方程， 移项得， 解得， 方程的解满足， ， 解得， 检验：当时，各分母均不为，符合定义要求， 故． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为 ，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 【变式5-2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 【变式5-3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有_____ ．（填字母） A． B．  C． 　 D． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时， 分式方程， 解得， ∵， ∴是“关联数对”； 把代入方程， 解方程：，得， 计算， ∴不是“关联数对”； 把代入方程， 解方程：，此方程无解， ∴不是“关联数对”， 把代入方程， 解方程：，得， ， ∴不是“关联数对”， 故答案为：A； （2）解：∵是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴， 解得， ∴， 解得． 【变式5-4】（2023八年级下·江苏南京·竞赛）我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：十字分式方程变形为， 可化为， ∴，或 ∴； （2）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 类型六、分式方程的行程问题 【典例6】（25-26八年级下·山西临汾·期中）司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度是 【分析】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据乘坐型车比乘坐型车少用小时列分式方程求解即可． 【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是， 根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：型车的平均速度是. 【变式6-1】（2026·重庆武隆·二模）列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． (1)据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ (2)甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 【答案】(1)去年有3万人参赛，今年有万人参赛 (2)甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时 【分析】（1）设去年有万人参赛，则今年有万人参赛，根据“今年与去年共有万人参赛”列方程求解即可； （2）设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时，根据“甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年有万人参赛，则今年有万人参赛， 根据题意得， 解得， ∴今年参赛的人数为（万人）， 答：去年有3万人参赛，今年有万人参赛； （2）解：设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴乙全程的平均速度为（公里/小时）， 答：甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时． 【变式6-2】（2026·江苏常州·一模）为了响应市政府“绿色出行”的号召，姜老师决定每天不再开私家车上班了，改为每天骑电瓶车上班．已知姜老师家与学校的距离为4公里，他开私家车的速度是骑电瓶车速度的3倍．经过测算，姜老师发现骑电瓶车要比开私家车多花8分钟到校．求姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时多少公里？ 【答案】姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时60公里． 【分析】本题利用路程、速度、时间的关系“时间路程速度”，根据骑电瓶车比开私家车多花8分钟的等量关系列分式方程求解，解题时需要统一时间单位，分式方程求解后要检验． 【详解】解：设姜老师骑电瓶车的平均速度为每小时公里，则开私家车的平均速度为每小时公里． 8分钟小时． 根据题意列方程得： 方程两边同乘得： 化简得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则开私家车的平均速度为（公里/小时） 答：姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时60公里． 类型七、分式方程的工程问题 【典例7】（2026·山西吕梁·二模）新型城镇化建设是我国现代化建设的重要战略，为落实“新型城镇化建设”的工作要求，某市对城郊结合部一段全长为1950米的民生道路进行升级改造，铺设透水沥青路面．施工队铺设650米后，为加快新型城镇化建设进度，后续每天的施工效率比原计划提高，最终共用25天完成了全部改造任务．问原计划每天铺设路面多少米？ 【答案】66米 【分析】设原计划每天铺设路面米，根据题意列出分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天铺设路面米，根据题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天铺设路面66米． 【变式7-1】（2026·重庆·二模）为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的计划的施工量比乙工程队每月的计划的施工量多200米． (1)甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ (2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 【答案】(1)甲工程队计划施工280米，乙工程队计划施工80米 (2)50 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，能够正确把握题目中的等量关系是解题的关键． （1）根据题意可设乙工程队计划每月施工米，则甲工程队计划每月施工米，根据工作总量=工作时间工作效率，即可列式求解； （2）根据题意可设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元，根据工作时间=工作总量工作效率，即可列式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队计划每月施工米，则甲工程队计划每月施工米， 由题意得，， 解得， ， 则甲工程队计划每月施工280米，乙工程队计划每月施工80米； （2）解：设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元， 由题意得，， 解得， 经检验符合题意， 则， 即甲工程队每月施工费用为50万元． 【变式7-2】（2026·山东济南·二模）某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． (1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 【答案】(1)型每小时搬运材料，型每小时搬运材料 (2)有3种方案：方案1：购买2台型机器人，9台型机器人：方案2：购买4台型机器人，6台型机器人；方案3：购买6台型机器人，3台型机器人 【分析】（1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型机器人台，购买型机器人台，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意得： ， 整理得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：型每小时搬运材料，型每小时搬运材料； （2）解：设购买型机器人台，购买型机器人台， 由题意得： ， ， ， 、取正整数 或或， ∴有3种方案： 方案1：购买2台型机器人，9台型机器人： 方案2：购买4台型机器人，6台型机器人； 方案3：购买6台型机器人，3台型机器人． 类型吧、分式方程的经济问题与方案问题 【典例8】（2026·重庆·模拟预测）列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需80元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需140元． (1)求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； (2)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 【答案】(1) “经典臊子面”的单价是10元，“特色黄牛面”的单价是20元 (2) 第三季度面粉的单价是12元 【分析】（1）根据“总价臊子面单价数量+黄牛面单价数量”列二元一次方程组求解； （2）根据“数量总价单价”列出第二季度和第三季度的购买的面粉数量，再根据第二季度和第三季度购买的面粉数量之间的关系列方程求解． 【详解】（1）解：设“经典臊子面”的单价为元，“特色黄牛面”的单价为元， 可列式得， 解得， 答：“经典臊子面”的单价为元，“特色黄牛面”的单价为元． （2）解：设第二季度平均每千克面粉的价格为元， 则第三季度平均每千克面粉的价格为（元）， 列式为， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元）， 答：第三季度面粉的单价为12元． 【变式8-1】（2026·福建漳州·模拟预测）某果园种植的沃柑和皇帝柑品质优良，深受消费者喜爱．某游客第一次到果园购买，发现用720元购买沃柑的数量，比用相同金额购买皇帝柑的数量多12千克，且皇帝柑的单价是沃柑的1.25倍． (1)求沃柑、皇帝柑的单价． (2)因口感上佳，该游客第二次购买这两种水果．沃柑按原单价销售，皇帝柑的单价每千克降低元，皇帝柑的购买数量比第一次增加千克．若第二次一共购买两种水果70千克，共花费940元，求a的值． 【答案】(1)沃柑单价为12元/千克，皇帝柑单价为15元/千克． (2)的值为1． 【分析】（1）设沃柑单价为未知数，根据单价倍数关系表示皇帝柑单价，利用数量差的条件列分式方程求解； （2）先计算第一次购买皇帝柑的数量，再结合第二次购买的总数量、总花费条件列一元二次方程，舍去不符合题意的根得到的值． 【详解】（1）解：设沃柑的单价为元/千克，则皇帝柑的单价为元/千克． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：沃柑单价为12元/千克，皇帝柑单价为15元/千克． （2）解：第一次购买皇帝柑的数量为（千克）． 第二次购买皇帝柑的数量为千克， 第二次购买沃柑的数量为千克． 根据题意，得． 整理得． 解得（舍去）． 答：的值为1． 【变式8-3】（2026·重庆江津·三模）端午佳节是中国的传统节日，吃粽子象征着祈福安康，寄托着人们对美好生活的期盼．某食品厂为迎接端午节，特别生产甜粽和咸粽两款粽子．已知生产盒甜粽和生产盒咸粽的成本相同，生产盒甜粽的成本比生产盒咸粽的成本多元． (1)求每盒甜粽和每盒咸粽的成本； (2)该食品厂线上销售粽子礼盒，每盒咸粽的售价比每盒甜粽的售价少，端午节当天两款粽子礼盒销售额都为元，咸粽比甜粽多售出盒．求每盒咸粽的售价． 【答案】(1) 每盒甜粽的成本为120元，每盒咸粽的成本为100元． (2) 每盒咸粽的售价为135元． 【分析】（1）设每盒甜粽的成本为元，每盒咸粽的成本为元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设每盒甜粽的售价为元，则每盒咸粽的售价为元，根据题意列出分式方程，求解即可，注意检验． 【详解】（1）解：设每盒甜粽的成本为元，每盒咸粽的成本为元， 根据题意得，， 解得， 答：每盒甜粽的成本为120元，每盒咸粽的成本为100元． （2）解：设每盒甜粽的售价为元，则每盒咸粽的售价为元， 根据题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 每盒咸粽的售价为：（元）， 答：每盒咸粽的售价为135元． 类型九、分式方程的几何问题 【典例9】（2026·河南·一模）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的3倍． 单价（元） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m a 160 长方形木板 b 600 (1)填空：__________，__________；（用含m的代数式表示） (2)求m的值； (3)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完． 【答案】(1)； (2)m的值为8 (3)制作竖式木箱12个，横式木箱4个，恰好将木板用完 【分析】（1）根据“数量总价单价”分别表示出正方形木板和长方形木板的数量 （2）根据（1）中结果，结合两者数量关系列出分式方程求解； （3）先根据第（1）问算出正方形木板20块、长方形木板60块，再根据两种木箱的用料，列出方程组求解，就能得到各自的制作数量． 【详解】（1）解： 根据题意得：，； （2）解：根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． m的值为8． （3）解：由（2）可知，， 即正方形木板有20块，长方形木板有60块． 设制作竖式木箱x个，横式木箱y个． 由题意，得， 解得 答：制作竖式木箱12个，横式木箱4个，恰好将木板用完． 【变式9-1】（21-22八年级上·湖北武汉·期末）【问题提出】（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积． 方法1 　　，方法2 　　； 【问题应用】（2）若，，求和的值； 【应用拓展】（3）如图1，“丰收1号”小麦试验田是边长为 的正方形去掉一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分，如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． ①求高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ ②若，高的单位面积产量比低的单位面积产量多，求的值． 【答案】（1）；．（2），．（3）24 【分析】（1）利用正方形面积差的关系求出阴影面积；再根据各部分面积和得到阴影面积； （2）根据（1）将分解后代入a+b=6求出a-b，即可求出a与b的值； （3）①将两块地单位产量相除即可得到答案； ②将b=1代入，解分式方程即可． 【详解】解：（1）方法1用大正方形的面积减去小正方形的面积； 方法2两个小长方形面积之和． 故答案为：；． （2）， ， ， ， ， ，． （3）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量， “丰收2号”小麦试验田的单位面积产量， ， ， “丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． ②由题意得，， 解得，． 经检验，a=24是原方程的解， ∴的值是24． 【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的应用，分式的混合运算，分式方程的实际应用，正确掌握平方差的计算公式并应用是解题的关键． 【变式9-2】（17-18七年级下·浙江杭州·期末）某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方方形“图中阴影部分”区域摆放作品． （1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽； （2）如图2，若大长方形的长和宽分别为和． ①直接写出1个小长方形周长与大长方形周长之比； ②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，试求的值，     【答案】（1）小长方形的长和宽分别为20米、5米；（2）①1个小长方形周长与大长方形周长之比是；②． 【分析】（1）设小长方形的长和宽分别为米、米，根据大长方形的长和宽可建立二元一次方程组，然后解方程即可得； （2）①先参照题（1）的方法，建立一个二元一次方程组，然后结合长方形的周长公式，解方程即可得； ②先根据面积公式可得与的等式关系，再根据①建立的方程组，代入求解即可得． 【详解】（1）设小长方形的长和宽分别为米、米 则 解得 答：小长方形的长和宽分别为20米、5米； （2）①设小长方形的长和宽分别为米、米 则 ①②得 则1个小长方形周长与大长方形周长之比为，即1个小长方形周长与大长方形周长之比是； ②由题意得： 由①建立的方程组可得： 化简得 ，即． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，还涉及到整体代换的数学思想．依据图形，正确建立方程组是解题关键． 【变式9-3】（25-26八年级上·北京房山·期末）《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 【答案】 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键．设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为，依题意，得． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：边衬的宽度为． 1.（25-26八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程有增根，则增根是___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的增根，分式方程的增根是使原分式方程中分母为零的未知数的值，因此令分母，即可求得增根． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴令分母， 解得． 故增根为． 故答案为：． 2.（24-25八年级下·陕西汉中·期末）若关于的方程无解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程，根据题意，先由去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1得到，再由分式方程无解得到，确定关于的方程求解即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 关于的方程无解， ，即，则， 解得：． 3.（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解． 根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是和解方程 ∴解为， 将代入原方程： ， ， ， ． 4.（2026·云南临沧·二模）在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 【答案】模型每分钟输出生成速度是分钟 【分析】利用时间 = 总量 ÷ 速度 的关系，结合两种模型的时间差建立方程求解； 【详解】解：设模型每分钟输出生成速度是 ，则模型每分钟输出生成速度是 ，根据题意列方程得， ， 解得，， 经检验是原分式方程的解且符合实际． 则分钟， 答：模型每分钟输出生成速度是分钟． 5.（2026八年级下·吉林长春·专题练习）若关于x的方程无解，则m的值为______． 【答案】2 【详解】解：， 去分母，得， 得， ∵方程无解， ∴方程有增根， ∴， 解得． 6.（25-26八年级上·山东淄博·期中）若关于的方程无解，则的取值为_______． 【答案】 【分析】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则． 通过去分母解方程，得到解，当解为增根时方程无解，从而求出即可． 【详解】解： 解得， 当时，分母为零，原方程无解， 故， 解得， 故答案为：． 7.（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）某居民小区实施绿化改造工程，由甲、乙两个工程队合作完成，已知乙工程队单独完成这项工程所需要天数是甲工程队单独完成这项工程所需天数的若由乙工程队单独施工天后，再由甲、乙两队合作天即可完成全部工程． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元，为缩短工期，由甲、乙两队同时合作施工，求需要的施工预算总费用不足一天的按一天计算． 【答案】(1)甲队单独完成这项过程需要25天，则乙队单独完成这项工程需要20天 (2)万元 【分析】（1）设甲队单独完成这项过程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要天， 然后根据题意列分式方程求得x的值，再求得的值即可解答； （2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用即可． 【详解】（1）解：设甲队单独完成这项过程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要天，  根据题意，得， 解得，  经检验，是原方程的解，且符合题意，  则，  答：甲队单独完成这项工程需要25天，乙队单独完成这项工程需要20天． （2）解：设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，  则有，  解得．  因为不足一天的按一天计算， 所以工期为12天． 所以需要施工费用：（万元）．  答：需要的施工预算总费用是万元． 8.（24-25八年级上·全国·寒假作业）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 9.（2026·重庆渝中·三模）列方程解下列问题： 露营是当下非常流行的休闲方式，“栖野”露营用品店为促销，向某工厂定制了一批露营套装作为赠品，每套套装由个露营灯和个挂饰配套组成．已知工厂里一名工人每天可生产个露营灯或者个挂饰． (1)工厂现安排名工人分工生产露营灯和挂饰，要使每天生产的露营灯和挂饰恰好全部配套，应安排多少名工人生产露营灯？ (2)该店月份投入了元定制露营套装，月份每套露营套装的成本比月份提高了元，月投入资金比月多元，且定制的露营套装的数量是月的，求月份每套露营套装的成本是多少元？ 【答案】(1)应安排名工人生产露营灯 (2)月份每套露营套装的成本是元 【分析】（1）根据“挂饰数量=露营灯数量”的配套关系，设生产露营灯的工人数为，用含的式子表示出露营灯和挂饰的总数，列一元一次方程求解； （2）根据“月定制数量=月定制数量”的数量关系，设月每套成本为元，用含的分式表示两个月的定制数量，列分式方程求解，最后检验分母不为，确认解有效． 【详解】（1）解：设安排名工人生产露营灯，则名工人生产挂饰， 根据题意可得， 即， 解得， 故应安排名工人生产露营灯． （2）解：设月份每套露营套装的成本是元，则月份每套露营套装的成本是元， 根据题意可得， 即， ， 解得， 当，，故是原方程的解， 故月份每套露营套装的成本是元． 10.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求的值． (3)利用（2）中所求得的的值，分解因式：________． 【答案】(1)“丰收2号”小麦的单位面积产量高 (2)的值为3 (3) 【分析】（1）因为总产量相等，所以面积小的试验田，其单位面积产量就高，分别求出“丰收1号”和“丰收2号”的面积，并比较大小，即可求解； （2）根据题（1）的结果和题意列出等式，求解即可； （3）由（2）知，，利用十字相乘法进行因式分解即可得． 【详解】（1）解：由题意，得“丰收1号”小麦的单位面积产量， “丰收2号”小麦的单位面积产量， ，且， ∴， ∴， ∴， ∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （2）解：由题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴的值为3． （3）解：由（2）知，， ∴． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用、分式方程的解法、以及利用十字相乘法分解因式，根据题意列出分式方程是解题关键． 11.（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，“丰收号”小麦试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收号”单位面积产量为_______，“丰收号”单位面积产量为_______（结果用含的式子表示）； (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由； (3)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求的值． 【答案】(1)， (2)“丰收号”单位面积产量高，理由见解析 (3) 【分析】本题考查分式方程的应用，找出等量关系，列出分式方程是解题关键． （1）根据单位面积产量总产量试验田面积，即可作答； （2）根据得出，即可得出，即可得出答案； （3）根据高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍可得，根据，结合平方差公式得出，解方程求出值，检验即可得答案． 【详解】（1）解：∵“丰收号”小麦试验田的面积为，“丰收号”小麦试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为 ，“丰收号”单位面积产量为 ， 故答案为：， （2）解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴“丰收号”单位面积产量高． （3）解：∵高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 经检验：是分式方程的解，且符合题意． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式方程及应用九类题型 典例详解 类型一、分组化简解特殊分式方程 类型二、分式方程有增根问题 类型二、分式方程无解问题 类型四、分式方程的特殊解问题 类型五、新定义的分式方程 类型六、分式方程的行程问题 类型七、分式方程的工程问题 类型吧、分式方程的经济问题与方案问题 类型九、分式方程的几何问题 压轴专练 类型一、分组化简解特殊分式方程 【典例1】（2025·广东韶关·模拟预测）解方程：． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东韶关·期末）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）用你发现的规律解答下列问题．，， (1)计算_______． (2)探究_______．（用含有n的式子表示） (3)若的值为，求n的值． (4)解方程： 类型二、分式方程有增根问题 【典例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【变式2-1】（24-25八年级上·河北承德·阶段检测）关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 【变式2-2】（23-24八年级下·四川成都·期中）在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 【变式2-4】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 类型二、分式方程无解问题 【典例3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【变式3-1】（2026·四川南充·二模）已知关于x的分式方程无解，则实数m的值为______． 【变式3-2】（24-25八年级下·山西晋城·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务 关于“分式方程无解问题”的研究报告研究对象：关于的分式方程的无解问题． 研究思路：化为一元一次方程将使分式方程无解的的值代入求出的值． 问题提出：若关于的分式方程无解，求的值． 问题分析：分式方程无解问题需要考虑两种情况： ①去分母后，所得的整式方程（一元一次方程）无解，将这个一元一次方程化为的形式，只需即可． ②原分式方程有增根（除增根外无其他解），将最简公分母等于0后，将求得的的值代入去分母后的一元一次方程，最后求得的值． 解题过程： 解：原分式方程去分母，得，整理得． ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当 时，，解得．综上所述，的值为或． 任务： (1)上述材料中解题过程体现的数学思想是___________（填序号）．①数形结合思想；②分类讨论思想；③整体思想；④建模思想 (2)若关于的分式方程无解，求的值． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东威海·期中）已知关于的分式方程．当为何值时此方程无解？ 两位同学对此有不同的看法（如下表）：你认为谁的说法有道理，请说明理由并求出的值． 小临同学 这题很简单，只需要考虑分式方程有增根的情况就可以啦！ 小港同学 你说的不全面！能使方程无解的情况可不能只考虑分式方程解为增根的情况． 【变式3-4】（24-25九年级下·广东深圳·期中）下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 【变式3-5】（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 类型四、分式方程的特殊解问题 【典例4】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式4-1】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【变式4-2】（24-25八年级上·重庆·期末）若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为________． 【变式4-3】（23-24八年级上·重庆江津·期末）若关于的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数的值为______． 类型五、新定义的分式方程 【典例5】（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数a（）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，则n的值______． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【变式5-2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【变式5-3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有_____ ．（填字母） A． B．  C． 　 D． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． 【变式5-4】（2023八年级下·江苏南京·竞赛）我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 类型六、分式方程的行程问题 【典例6】（25-26八年级下·山西临汾·期中）司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【变式6-1】（2026·重庆武隆·二模）列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． (1)据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ (2)甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 【变式6-2】（2026·江苏常州·一模）为了响应市政府“绿色出行”的号召，姜老师决定每天不再开私家车上班了，改为每天骑电瓶车上班．已知姜老师家与学校的距离为4公里，他开私家车的速度是骑电瓶车速度的3倍．经过测算，姜老师发现骑电瓶车要比开私家车多花8分钟到校．求姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时多少公里？ 类型七、分式方程的工程问题 【典例7】（2026·山西吕梁·二模）新型城镇化建设是我国现代化建设的重要战略，为落实“新型城镇化建设”的工作要求，某市对城郊结合部一段全长为1950米的民生道路进行升级改造，铺设透水沥青路面．施工队铺设650米后，为加快新型城镇化建设进度，后续每天的施工效率比原计划提高，最终共用25天完成了全部改造任务．问原计划每天铺设路面多少米？ 【变式7-1】（2026·重庆·二模）为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的计划的施工量比乙工程队每月的计划的施工量多200米． (1)甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ (2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 【变式7-2】（2026·山东济南·二模）某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． (1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 类型吧、分式方程的经济问题与方案问题 【典例8】（2026·重庆·模拟预测）列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需80元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需140元． (1)求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； (2)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 【变式8-1】（2026·福建漳州·模拟预测）某果园种植的沃柑和皇帝柑品质优良，深受消费者喜爱．某游客第一次到果园购买，发现用720元购买沃柑的数量，比用相同金额购买皇帝柑的数量多12千克，且皇帝柑的单价是沃柑的1.25倍． (1)求沃柑、皇帝柑的单价． (2)因口感上佳，该游客第二次购买这两种水果．沃柑按原单价销售，皇帝柑的单价每千克降低元，皇帝柑的购买数量比第一次增加千克．若第二次一共购买两种水果70千克，共花费940元，求a的值． 【变式8-3】（2026·重庆江津·三模）端午佳节是中国的传统节日，吃粽子象征着祈福安康，寄托着人们对美好生活的期盼．某食品厂为迎接端午节，特别生产甜粽和咸粽两款粽子．已知生产盒甜粽和生产盒咸粽的成本相同，生产盒甜粽的成本比生产盒咸粽的成本多元． (1)求每盒甜粽和每盒咸粽的成本； (2)该食品厂线上销售粽子礼盒，每盒咸粽的售价比每盒甜粽的售价少，端午节当天两款粽子礼盒销售额都为元，咸粽比甜粽多售出盒．求每盒咸粽的售价． 类型九、分式方程的几何问题 【典例9】（2026·河南·一模）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的3倍． 单价（元） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m a 160 长方形木板 b 600 (1)填空：__________，__________；（用含m的代数式表示） (2)求m的值； (3)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完． 【变式9-1】（21-22八年级上·湖北武汉·期末）【问题提出】（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积． 方法1 　　，方法2 　　； 【问题应用】（2）若，，求和的值； 【应用拓展】（3）如图1，“丰收1号”小麦试验田是边长为 的正方形去掉一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分，如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． ①求高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ ②若，高的单位面积产量比低的单位面积产量多，求的值． 【变式9-2】（17-18七年级下·浙江杭州·期末）某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方方形“图中阴影部分”区域摆放作品． （1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽； （2）如图2，若大长方形的长和宽分别为和． ①直接写出1个小长方形周长与大长方形周长之比； ②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，试求的值，     【变式9-3】（25-26八年级上·北京房山·期末）《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 1.（25-26八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程有增根，则增根是___________． 2.（24-25八年级下·陕西汉中·期末）若关于的方程无解，求的值． 3.（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 4.（2026·云南临沧·二模）在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 5.（2026八年级下·吉林长春·专题练习）若关于x的方程无解，则m的值为______． 6.（25-26八年级上·山东淄博·期中）若关于的方程无解，则的取值为_______． 7.（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）某居民小区实施绿化改造工程，由甲、乙两个工程队合作完成，已知乙工程队单独完成这项工程所需要天数是甲工程队单独完成这项工程所需天数的若由乙工程队单独施工天后，再由甲、乙两队合作天即可完成全部工程． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元，为缩短工期，由甲、乙两队同时合作施工，求需要的施工预算总费用不足一天的按一天计算． 8.（24-25八年级上·全国·寒假作业）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 9.（2026·重庆渝中·三模）列方程解下列问题： 露营是当下非常流行的休闲方式，“栖野”露营用品店为促销，向某工厂定制了一批露营套装作为赠品，每套套装由个露营灯和个挂饰配套组成．已知工厂里一名工人每天可生产个露营灯或者个挂饰． (1)工厂现安排名工人分工生产露营灯和挂饰，要使每天生产的露营灯和挂饰恰好全部配套，应安排多少名工人生产露营灯？ (2)该店月份投入了元定制露营套装，月份每套露营套装的成本比月份提高了元，月投入资金比月多元，且定制的露营套装的数量是月的，求月份每套露营套装的成本是多少元？ 10.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求的值． (3)利用（2）中所求得的的值，分解因式：________． 11.（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，“丰收号”小麦试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收号”单位面积产量为_______，“丰收号”单位面积产量为_______（结果用含的式子表示）； (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由； (3)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $