专题3.10 整式的乘除80道计算题专项训练（8大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦整式乘除8大题型80题，以题载法构建"概念-运算-应用"三阶训练体系，强化运算能力与几何直观的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同底数幂运算|10题|含逆用求值与规律探究|从幂的基本性质到符号意识培养| |单项式/多项式乘法|20题|化简求值与错解分析|整式乘法法则的递进应用| |乘法公式|20题|基础运算与几何面积验证|代数形式与几何直观的转化| |混合运算与科学记数法|30题|综合运算与实际问题解决|从单一运算到多知识点融合|

专题3.10 整式的乘除80道计算题专项训练（8大题型） 题型一 同底数幂的乘法及其逆用 题型二 单项式乘法相关运算及求值问题 题型三 多项式乘法相关运算及求值问题 题型四 乘法公式相关基础运算 题型五 乘法公式在几何图形中的应用 题型六 整式的混合运算 题型七 同底数幂的除法与科学记数法的综合应用 题型八 整式的四则运算 【经典计算题一 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（23-24七年级下·河南鹤壁·月考）已知，判断a＋b和ab的大小关系． 【答案】． 【分析】利用幂的乘方和积的乘方将式子化简得到：，，，即可求出a＋b和ab的大小关系． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方，求出． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】，-25 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式=． 3．（25-26七年级下·四川达州·月考）已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法及其逆用、积的乘方的逆用、幂的乘方运算法则，得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）根据已知，求值 (1)已知，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2)10 【分析】（1）根据幂的乘方法则和同底数幂相乘法则把变形为，然后把整体代入计算即可； （2）根据积的乘方法则和同底数幂相乘法则得出，则可求出、的值，然后代入计算即可. 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解： ， ， ，解得， ，解得， . 5．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂相乘及积的乘方运算，再合并同类项即可； （2）根据积的乘方逆运算进行化简求值． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 【答案】(1)x的值为3 (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算将变形为再计算即可； （2）由题意得，将变形为，再代入化简即可； （3）根据幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算将变形为，再代入即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为3． （2）解：∵，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：∵，， ∴． 7．（22-23七年级下·贵州遵义·月考）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b，可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么． (1)填空： ； (2)计算：； (3)探索与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)8 (3)，见解析 【分析】（1）根据定义解答即可； （2）根据定义解答即可； （3）设，，，可得，，2k=21，再根据同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：6． （2）解：∵，， ∴，． ∴． （3）解：，理由如下： 设，，， ∴，，2k=21， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 8．（25-26七年级下·福建宁德·月考）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：当m，n都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求x的值． 解：法一：∵，．，． 法二：∴．．． ②比较与的大小． 解：，，，． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求x的值． (2)比较，与的大小． (3)定义两个正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方法则以及同底数幂相乘的运算法则，将变形为，从而可得，求解即可； （2）利用幂的乘方法则将三个数变成幂相同的数，比较底数的大小，即可得出结果； （3）设，则，设，则，结合幂的运算法则求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：，，， ， ； （3）解：设，则，设，则， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 9．（24-25七年级下·重庆·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘方、根式、绝对值的运算法则，分别化简每一项，再合并计算； （2）可以利用积的乘方逆运算，将底数互为倒数的幂进行结合进而计算得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： 10．（23-24七年级下·安徽·月考）找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 【答案】（1）；；（2）1622600；（3） 【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题； （2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可； （3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题． 【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝； 13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝； （2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103） ＝ ＝1622600； （3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503） ＝23×＝． 【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率． 【经典计算题二 单项式乘法相关运算及求值问题】 11．（22-23七年级下·上海）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 1 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和代数式求值，正确计算是解题的关键． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据单项式乘以单项式的运算法则得出，，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴． 13．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知等式成立，求的值． 【答案】2 【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：， ∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴ ． 14．（24-25七年级下·四川达州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 16．（25-26七年级下·江西赣州·专项练习）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值． （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义可得，再根据整式的乘法进行计算即可求解； （3）将字母的值代入（2）的化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： （3）解：当时， 17．（25-26七年级下·全国·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键． （1）先算乘方，乘法，绝对值，最后算加减． （2）设，，原式为，变形得到，再利用抵消法计算； （3）先将小数化为分数、带分数化为假分数，再结合乘法分配律的逆运算逐个计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：设，， 则原式 ； （3）解： ； 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到的值． （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， ∴，， ∴，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， ∴原式． 一题多解法 （2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 19．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）如图，是我国古代四大智力玩具之一的七巧板，相传已有上千年历史，由于通过七巧板可以拼出丰富多彩的美丽图案，因此也有人称七巧板为“东方魔板”．它是由5块等腰直角三角形、1块正方形或1块平行四边形组成，其中，解决下列问题． (1)三角形的面积_____；图5、6所组成梯形面积_____（用含的代数式表示）； (2)猜想图3、4的面积有什么关系，说一下理由； (3)请用七巧板再拼出一种你喜欢的图形，画出来，并简单分享下你的想法． 【答案】(1)； (2)图3的面积等于图4的面积的一半．理由见解析 (3)图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了七巧板的认识，面积的计算，根据题意得到正方形的边长是解题的关键． （1）根据题意可知，，，然后根据三角形和梯形的面积公式计算即可； （2）由（1）可知，，从而得到，然后利用三角形和平行四边形的面积公式，分别计算图形3和图形4的面积，即可得出结论； （3）根据七巧板的性质画出合适的图形即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ∴三角形的面积； 如图， 由题意可知，，， ∴， ∴图5、6所组成梯形面积； 故答案为：；． （2）解：图3的面积等于图4的面积的一半．理由如下， 由（1）可知，， ∴， ∴图3的面积， 图4的面积， ∴图3的面积等于图4的面积的一半． （3）解：如下图为所求， 这是一个“爱心”的形状，用简单的形状组合出了让人感到温暖的图形． 20．（25-26七年级下·山西朔州·月考）8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【答案】(1) (2)87 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，单项式乘以多项式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积为： ； （2）解：当，时， 板的总面积为： ． 【经典计算题三 多项式乘法相关运算及求值问题】 21．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式法则展开，再去括号合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 22．（25-26七年级下·上海青浦·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】1 【分析】根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． 24．（22-23七年级下·陕西西安·月考）已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题考查多项式乘以多项式，完全平方式，熟练掌握运算规则是解题的关键．由题意可知，代入代数式，然后利用多项式乘以多项式和完全平方式即可求解． 【详解】解：， ， ． 25．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）按要求解答问题： (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据单项式乘单项式、多项式乘多项式法则展开，然后去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可； （2）将A、B代入，然后根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：∵， ∴ ． 26．（25-26七年级下·山西长治·月考）综合与实践 数学活动--探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历，亮亮在其中任意画的方框，方框内的数字分别用表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． 【特例探究】（1）计算图①中方框内的结果：___________， ___________； 【推理演绎】（2）亮亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整； 证明：设，则． ．．．．．． 【类比应用】（3）乐乐学习亮亮的方法，借助2025年8月份的日历，继续进行如下探究：在日历中用“十字框”框住五个数（字母表示如图③所示），再探究“”的值的规律．请你帮他写出结论，并说明理由． 、 【答案】（1）7；7；（2）见详解；（3）的值保持不变，始终为，理由见详解 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据题意直接进行求解即可； （2）由题意可知，然后进行求解即可； （3）设，则有，然后计算的值即可． 【详解】解：，； 故答案为7；7； （2）证明：设，则， ∴ ； ∴方框内“”的结果都不变； （3）设，则有， ∴ ； ∴的值保持不变，始终为． 27．（25-26七年级下·陕西西安·月考）为了给同学们提供更多的活动空间，某校对校园空地进行改造．如图，在长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建两个大小一样的乒乓球场地，两个乒乓球场地中间以及乒乓球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个乒乓球场地的占地面积； (2)当，时，若乒乓球场地每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价50元，求整个长方形场地的造价． 【答案】(1)平方米 (2)9850元 【分析】（1）把两个乒乓球场地平移为一个长方形，求出这个长方形的长和宽，即可求出面积； （2）先求出乒乓球场地和其余场地的面积，再根据每平方米的造价求解即可． 【详解】（1）解： （平方米）． 答：这两个乒乓球场地的占地面积平方米． （2）解：场地的总面积为 （平方米）， 其余场地的面积为 （平方米）， 当，时， 乒乓球场地的面积（平方米）， 其余场地的面积（平方米）， 总造价为（元）． 答：整个长方形场地的造价是9850元． 28．（2025七年级下·全国·专题练习）将一个正方形的一组对边的长增加，另一组对边的长减少，得到的长方形的面积与这个正方形边长减少所得到的正方形的面积相等．求这个长方形的面积． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 设原来正方形的边长为，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设原正方形的边长为． 由题意，得， 解得， ∴这个长方形的面积为． 答：这个长方形的面积是． 29．（24-25七年级下·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解； （3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值． 本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题知：，，，， ，， ， ∴长方形窗户的总面积为． （2）解：根据题意可得， ， ， ， ， ∴ ． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．（25-26七年级下·四川眉山·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式 ． (2)的展开式共有 项，系数和为 ． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期 ． (4)直接写出的展开式中第三项的系数 ． (5)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)二 (4)420 (5)2 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键： （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）根据给出的等式，得出规律进行作答即可； （3）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案； （4）求出的第三项为，令，进行求解即可； （5）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 ； （2）观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项， 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 依次类推，的展开式的系数和为； （3）∵，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （4）的展开式的第三项为， 的展开式的第三项为； 的展开式的第三项为； ∴的展开式的第三项为， ∴的展开式的第三项为 ∴的展开式的第三项的系数为； （5）∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 【经典计算题四 乘法公式相关基础运算】 31．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用乘法公式进行有理数简便计算．主要用到完全平方公式和平方差公式，将原式变形为符合公式的形式，即可简化计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 32．（25-26七年级下·福建泉州·期中）、都是自然数，且是一个完全平方数，求的值． 【答案】23 【分析】本题考查完全平方式． 首先设，根据题意可知，并可用表示的形式．根据为自然数，讨论符合题意的的取值，进而代入求得的值． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∵为自然数，则且或且， 当且时，此时无解； 当且时，此时， ∵是自然数，是自然数， ∴或， 代入验证， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意． 即的值为． 33．（25-26七年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，将103表示为100与3的和进行计算； （2）先将5化为6-1，再连续应用平方差公式逐步化简式子． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】第（1）题：核心技巧是凑整 + 完全平方公式，将接近整百的数拆分，简化计算；第（2）题：核心技巧是构造平方差公式，通过将 5 转化为 6−1，连续使用平方差公式，实现 “连锁化简”． 34．（25-26七年级下·四川成都·月考）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将乘式展开，以为主元进行合并同类项，不含的一次项，即一次项系数为零，结合常数项是，求出，的值； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， 当，时， 原式， ， ． 35．（25-26七年级下·四川成都·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) 100 (3) (4) 【分析】（1）先计算0指数幂，负整数指数幂，有理数乘方，再计算加减法； （2） 化为，利用完全平方和公式计算； （3）先算， 再计算乘除法； （4）原式化为 ，利用平方差公式计算，再运用积的乘方与完全平方公式计算． 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式 ． 36．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式写成第个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）将原式变形为，利用，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； （3）解：原式 ． 37．（25-26七年级下·陕西西安·月考）阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本为运输量，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)，求的值 (2)求的最小值． (3)如图，线段，点是线段上任意一点，以为边向上作正方形，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （2）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （3）设，则，根据得到，再化简，配方求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， （2）解： ， ， 当时，有最小值； （3）解：设，则， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴当时，面积的最大值为． 38．（25-26七年级下·全国·周测）已知一个长方形的长、宽分别为，，且．求这个长方形的周长和面积． 【答案】周长为10，面积为 【分析】（1）周长：直接利用长方形周长公式，先计算长与宽的和，再乘以，无需复杂变形； （2）面积：设长为，宽为，利用完全平方公式，结合已知条件整体求的值，即长方形的面积． 【详解】解：设，． ①求周长： 周长． ②求面积： 设，．则：，且． 由完全平方公式得： ． ∵长方形面积为长宽， ∴面积为． 综上，周长为，面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用、整式的运算及长方形的周长与面积公式，解题关键是通过换元法，将长和宽看作整体，利用公式变形简化计算，避免直接求解的复杂过程． 39．（24-25七年级下·全国·课后作业）在整式中，■表示运算符号“－”“×”中的某一个，▲表示一个整式． (1)若，求出整式▲． (2)已知的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的运算符号及▲的值． 【答案】(1) (2)■表示的运算符号是“×”，▲的值为4． 【分析】本题考查平方差公式，整式的混合运算．熟练掌握整式的运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）利用整式的运算法则，进行计算即可； （2）根据的计算结果是二次单项式，▲是常数项，得到“■”表示运算符号“×”，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． （2）解：■表示的运算符号是“×”，▲的值为4． 【点拨】∵的计算结果是二次单项式，▲是常数项时， ∴“■”表示运算符号“×”， ∴， ∴， ∴， 故■表示的运算符号是“×”，▲的值为4． 40．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2) (3)，画图见解析 (4)2号卡片的边长为 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方式的特点以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， ∴． （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片8张，2号卡片3张，3号卡片10张， 即，，， ∴． （3）解：∵拼成的图形是正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ∴边长一定是完全平方式， ∵1号、2号、3号卡片各9张纸片的总面积为：， ∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去）， 此时正方形的边长分别为：，，， ∵由图形可得：， ∴最大正方形的边长为， 画图如下： （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ∴， ，即2号卡片的边长为． 【经典计算题五 乘法公式在几何图形中的应用】 41．（25-26七年级下·河北张家口·月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙）． (1)上述操作能验证的等式是________（选填序号）； ①；②； ③． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】（1）观察图甲与图乙，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可； （2）①已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果． 【详解】（1）解：由图可得，， ∴题目操作能验证的等式是②； （2）解：①由（1）得，， ∵， ∴， ∴； ②由题意得， ． 42．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图1，从边长a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是______（填字母）； A．；            B． (2)应用所得的公式计算：已知，，则的值为______； (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)36 (3) 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）根据平方差公式求出，即可求解； （3）将式子中的4化为，运用平方差计算即可． 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解： ． 43．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （3）令，，则，，根据计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 解得； （2）解：由图可得，阴影部分的面积， ，， ， 阴影部分的面积； （3）解：令，， 则，， ． 44．（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像， (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)63平方米 【分析】（1）根据大长方形的面积减去中间正方形的面积即可求解； （2）将，代入（1）中化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （平方米） 答：绿化的面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米） 答：绿化的面积为63平方米． 45．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）图形可以形象直观显示数量关系．根据图1可以得到基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式： ． (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则 ． (3)如图4，是个边长分别为、、的直角三角形和个边长为的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系推导出、、的数量关系式． (4)如图5，直角中，，，，点是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将大正方形的面积拆分为3个小正方形和6个长方形的面积，据此写出恒等式； （2）将展开，根据结果判断、、的值，再求和即可； （3）将大正方形的面积分为1个小正方形和4个直角三角形，写出等式，化简后得到结果； （4）由（3）的结论可计算出，结合垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用面积法求出此时的长即可． 【详解】（1）解：由图可知，恒等式为； （2）解：， ∴需要张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片， ∴，，， ∴； （3）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， ∴， ∴； （4）解：由（3）可知，直角中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，此时， ∴的最小值为． 46．（25-26七年级下·全国·假期作业）（1）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等，则 ． （2）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等；为边上一点，且与的周长相等，求（用含，的式子表示）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，完全平方公式及多项式的乘法以及线段的和差关系，解答本题的关键是仔细审题，细化解题思路，难度较大． （1）根据与的周长相等可得出，再由，联立求解方程组即可解出的长； （2）设，则，根据与的周长相等得出，从而设，可得出的表达式，设，可得出的表达式，进而求出的值． 【详解】解：（1）∵与的周长相等， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）设，则， ∵与的周长相等， ∴， 设， ∴， ∴， 设，同理可得， ∴， ∵即， ∴． 47．（25-26七年级下·辽宁抚顺·专项练习）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 48．（25-26七年级下·广西玉林·专项练习）【问题情境】我们通常用作差法比较代数式的大小．例如：已知，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为所以，． 【数学思考】（1）如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的正方形，此正方形的面积为． ①用含的代数式分别表示=___________，___________； ②比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 【拓展探究】（2）已知两个等腰直角三角形（和）的直角边长分别为和（）．将这两个等腰直角三角形按如图4方式放置在一起，连接．如果是线段的中点，连接．请比较与的面积大小． 【答案】（1）①；②＜ （2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键． （1）①根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的与的值；②然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可； （2）根据和表示三角形的面积，然后运用作差法解题即可． 【详解】解：（1）①，， ②， ； 故答案为：①，；②； （2）， ， ， ， ， ， ． 49．（24-25七年级下·江苏常州·期中）综合与实践 【阅读材料1】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，几何问题也可以转化为代数问题解决． 如常用两种方法计算同一图形面积，得到等式．将边长为b的正方形如图1所示放置在边长为a的正方形中， _______（用含有a，b的代数式表示）；如图2沿虚线分割成两个形状大小相同的梯形，则_______，那么可以构建等式_______． 【阅读材料2】如图3，学校打算用长的篱笆围成长方形生物园饲养小兔．怎样围可使小兔的活动范围尽可能大？可以用以下方法探索： 将围栏抽象成长方形，设一边为，面积为，用含的代数式表示_______； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越_______（填“大”或“小”），面积越大：即当_______时，S最大． 【深入思考】归纳以上结论：若，则当_______（填a，b满足的关系）时，的值最大，请结合以上材料利用数轴说明． 【实践应用】如图5，为扩大小兔活动范围，现决定利用一面长度为n（）的墙扩大范围，篱笆总长12m，要求使长方形的一边包含整个墙，请直接写出当长方形一边长x满足何条件时（用含有n的式子表达），围成的面积最大． 【答案】[阅读材料1]；；；[阅读材料2]，小，；[深入思考]；[实践应用] 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，整式的乘法与图形的面积； [阅读材料1]图1，根据大正方形的面积减去小正方形的面积；图2根据两个梯形的面积和计算，进而得出等式； [阅读材料2]根据长方形的面积公式计算即可求解，根据列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越小（填“大”或“小”），面积越大； [深入思考]仿照例题，构造边长为的长方形与边长为的正方形，通过比较面积，求得面积最大时，； [实践应用]根据题意表示出长方形的另一边，进而根据面积最大时，正方形的面积大于长方形的面积，得出的关系式，即可求解． 【详解】解：[阅读材料1]如图1，，如图2，， ∴ 故答案为：；；． [阅读材料2]设一边为，面积为，用含的代数式表示； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越小，面积越大； ∴ 解得，即当时，S最大． 故答案为：，小，． [深入思考]∵ 设，则， 当相差越小时，越大 ∴ 如图，设，四边形是正方形，边长为，， ∵，求的最大值，则大于 设为原点，则长方形的面积为，正方形的面积为， ∴当时，，此时面积最大，即取得最大值 故答案为：． [实践应用] 长方形一边长为，则另一边长为， ∴，即时，面积最大， 50．（25-26七年级下·上海金山·期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 【答案】（1）；（2）①0.5；②20；（3）322． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可； （2）①根据进行计算即可；②由题意得，根据，求出，再根据求出的值，由代入计算即可； （3）根据，求出，再根据进行计算即可． 【详解】解：（1）整体上是保持为的正方形，因此面积为，拼成图2的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）①， ， 又， ； ②如图，，，，则， ， ， 即， ， ， 解得， ， ， ， ； （3），即，而，， ， ， ，即， 【经典计算题六 整式的混合运算】 51．（2025七年级下·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于熟练掌握运算法则．根据平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解： ． 52．（25-26七年级下·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 2030 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式等，解题的关键是掌握以上运算法则． 先对多项式进行化简，然后根据给出的等式进行整理，最后整体代入求值即可． 【详解】解： ∵ ∴，代入上式得， 原式． 53．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知多项式A与单项式的差，除以，所得的商是，求A． 【答案】 【分析】本题主要多项式的运算，掌握相关运算法则、正确列式是解题的关键． 根据题意可得，利用除法运算中被除数、除数和商的关系求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ． 54．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若，，，试说明∶． 【答案】见解析 【分析】本题考查整式的乘法运算，先利用完全平方公式和平方差公式化简Q和P的值，然后利用比差法解答即可． 【详解】证明： ， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 55．（24-25七年级下·全国·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算． （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 的代数式中不含的一次项， ，， ， ， 时，； （3）解：， ， ， ， ，， ，即， ． 56．（23-24七年级下·四川成都）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公式变形应用，整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ， 去括号得：， 合并同类项得：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，， 阴影部分的面积为：． 57．（25-26七年级下·广东广州·专项练习）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a、b的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）利用，代入求值即可； （4）延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为，结合已知条件分别表示出阴影部分的图形和的表达式，再将二者相加，结合，，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：在图1中，由图可知，， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． （2）解：在图2中，由图可知，，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （3）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴． （4）解：如图，延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为， ∵正方形边长为m，正方形边长为n，E为的中点， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， 即阴影部分面积的和为6． 58．（24-25七年级下·河南许昌·专项练习）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． (3)若，那么与满足下列_____关系． A．    B．    C．    D． 【答案】(1)； (2) (3)C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用．正确用含、、的代数式表示出、、、是解题的关键． （1）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将，，代入计算，即可求解； （2）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差，即可； （3）先分别用含、、的代数式表示出、、、，再代入进行运算，即可求解． 【详解】（1）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 将，，代入，得出，， 故答案为：；． （2）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 故． （3）解：由（1）和（2）得出，，， 故， 将，代入，得， 整理得：， 即， 故答案为：C． 59．（25-26七年级下·河南商丘·专项练习）【问题背景】“算两次”是一种重要的数学思想，即用两种不同的方法表示同一个量如图形面积），从而建立等式．如图1，将一个长为、宽为的长方形沿虚线剪成四个相同的小长方形，再按图2拼成一个正方形． (1)观察图2，用两种方法表示阴影部分（中间小正方形）的面积，可得到的等量关系是_____． A．    B． C．    D． (2)已知，求的值． (3)如图3，在六边形中，对角线和相交于点，四边形和四边形都为正方形，若，正方形和正方形面积的和为36，求阴影部分的面积． 【答案】(1)D (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式解决几何问题，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）利用几何图形的面积公式进行表示即可； （2）利用完全平方公式进行求解即可； （3）设，，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：阴影部分（中间小正方形）的面积为或， ∴， 故选：D； （2）解：， ； （3）解：设，， 则，两边平方，得， ． ， ， 解得， ． 60．（23-24七年级下·河北保定·专项练习）问题情景：分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___； ___； ___． 探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现： ； ； 归纳猜想：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c存在某种关系，请你猜想并用式子表示出a，b，c之间的关系． 验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并验证你猜想的结论． 解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出m的值． 【答案】问题情境 ：（x＋1）2  ，（3x－5）2，（2x＋6）2；归纳猜想：＝4ac；验证结论：（答案不唯一）如：＋4x＋4， 验证：见解析；解决问题：m＝2 【分析】问题情景：可用完全平方公式进行分解因式； 归纳猜想：根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想b2=4ac； 验证结论：可用完全平方公式进行验证； 解决问题：多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2=4ac，可列[-（2m+8）]2=4（m+2）（m+7），进而求出m的值． 【详解】问题情境 ：（x＋1）2  ，（3x－5）2，（2x＋6）2 归纳猜想： ＝4ac 验证结论：（答案不唯一）如：＋4x＋4， 验证：因为＝＝16，4ac＝4×1×4＝16. 所以＝4ac 解决问题：根据题意，得 2＝4（m＋2）（m＋7） 4＋32m＋64＝4（＋9m＋14） 4＋32m＋64＝4＋36m＋56 m＝2 【点睛】本题考查了学生的归纳总结能力和完全平方公式的综合应用，以及对因式分解的理解和应用，综合性较强． 【经典计算题七 同底数幂的除法与科学记数法的综合应用】 61．（2026·七年级下 陕西西安）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查实数的混合运算，解决问题的关键是掌握绝对值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式乘方的运算法则，按运算顺序逐步化简．先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再分别计算负整数指数幂、二次根式的平方和零指数幂，最后按从左到右的顺序进行加减运算得出结果． 【详解】解：， ， 62．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，零指数幂与负整数指数幂，先去括号，把除法变为乘法把分式化简，同时进行整式的混合运算，再根据负整数指数幂与零指数幂求得，最后代入求值． 【详解】解：原式 当时，原式． 63．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式； （2）． 64．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 65．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）逆用同底数幂的除法及幂的乘方即可求解； （2）将分别变形成底数为2的幂，再运用同底数幂的乘法及一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∵ ，， ； （2）解：， ， ． 66．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知一个小立方体的棱长为． (1)这个小立方体的体积为多少立方米？（用科学记数法表示） (2)用多少个这种小立方体才能摆成一个棱长为的大正方体？ 【答案】(1)立方米 (2)个 【分析】本题考查了负整数指数幂、科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，熟练掌握负整数指数幂的运算是解题关键． （1）根据负整数指数幂的运算、科学记数法的定义即可得； （2）利用一个大正方体的体积除以一个小立方体的体积即可得． 【详解】（1）解：（立方米）， 答：这个小立方体的体积为立方米． （2）解：∵一个棱长为的大正方体的体积为（立方米）， ∴（个）， 答：用个这种小立方体才能摆成一个棱长为的大正方体． 67．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 68．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求y的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求t的值． 【答案】(1)4；64； (2)60； (3)①；②． 【分析】（1）根据规定即可求得答案； （2）根据规定易得，，，再结合已知条件利用同底数幂乘法法则计算后即可求得答案； （3）①根据规定易得，，然后将原式利用幂的乘方法则变形后即可求得答案； ②结合①中所求可得，，然后将两式相乘并利用同底数幂乘法法则可求得的值，进而求得与的关系，将其代入原式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 69．（23-24七年级下·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 70．（23-24七年级下·河南郑州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0， (2)①证明见详解；②【，】 【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 【详解】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，16】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 【经典计算题八 整式的四则运算】 71．（25-26七年级下·重庆·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式的运算法则进行括号内的运算，合并同类项，再进行整式的除法，然后对运用完全平方公式和非负性求出x和y的值，最后将其代入计算即可． 【详解】解： ， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 72．（23-24七年级下·广东深圳）已知关于的多项式除以，余数为，除以，余数为，求多项式除以的余式． 【答案】 【分析】根据题意可得 ，为含的多项式，，为含的多项式，把得，把得，把即可求解． 此题考查了整式的除法，弄清因式与积之间的关系，列出等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，为含的多项式， ，为含的多项式， 把得， 把得， 得，， 多项式除以的余式为． 73．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 74．（25-26七年级下·河南郑州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（用简便方法计算）． 【答案】(1)0； (2)； (3)； (4)4． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ； （3） 解： ； （4） 解： = = = ． 75．（2025·河北唐山·三模）已知、是多项式，是单项式，，，且是单项式． (1)求单项式； (2)嘉嘉给的是，请你通过计算推断嘉嘉给出的能否使成为完全平方式． 【答案】(1) (2)嘉嘉给出的能使成为完全平方式 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）计算后根据其结果为单项式即可求得答案； （2）结合中所求计算，判断结果是否为完全平方式即可． 【详解】（1）解：，， ， 、是多项式，是单项式，是单项式， ； （2）解：，，， ， 嘉嘉给出的能使成为完全平方式． 76．（24-25七年级下·安徽宿州·专项练习）某同学用长为、宽为的小长方形（如图）若干个拼成不同的大长方形，如图、图和图是拼成的不完整的长方形，已知砖块中间无缝隙．根据图示回答下列问题： (1)图中的空白面积为______；（用含，的代数式表示） (2)求图中的空白面积；（用含，的代数式表示） (3)若图和图中的空白面积分别为，，求图中的小长方形面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解决本题的关键是把长方形的长与宽用含、的代数式表示出来，再根据长方形的面积公式用含、的代数式把各部分的面积表示出来． （1）根据小长方形的摆放位置可知正方形的边长为，所以正方形的面积为，用正方形的面积减去个小长方形的面积即可得到空白部分的面积； （2）根据小长方形的摆放位置可知大长方形的长为，宽为，可知长方形的面积为，用大长方形的面积减去个小长方形的面积，即可得到空白部分的面积； （3）根据图中空白部分的面积为可得：，根据图中空白部分的面积为，可得：，解方程求出的值，即为小长方形的面积． 【详解】（1）解：由图可知小长方形的面积为， 由图可知，正方形的边长为， 正方形的面积为， 空白部分的面积为； （2）解：由图可知，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 图中共有个小长方形， 图4中的空白面积为：； （3）解：图中的空白面积为：， ， 图中的空白面积为：， ， 解得：， 图中的小长方形的面积为． 77．（24-25七年级下·上海·期中）已知，如图，四边形是梯形，、相互平行，在上有两点E和F，此时四边形恰好是正方形，已知，，，（单位：米）其中，，现有甲乙两只蚂蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是a（米/秒），乙的速度是（米/秒）． (1)用含a、b的代数式表示： ①甲走到点C时，用时________秒； ②当甲走到点C时，乙走了________米； ③当甲走到点C时，此时乙在点M处，的面积是________平方米； ④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时________秒． (2)它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由． 【答案】(1)①；②；③；④ (2)会有第二次相遇，用时秒 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用一次一次方程和数形结合的思想解答． （1）①根据路程速度时间可得结论； ②根据速度时间路程可得结论； ③根据三角形的面积公式可得结论； ④这一次相遇，用时t秒，根据总路程和列方程可得结论； （2）根据总路程，列方程可得结论． 【详解】（1）解：（1）①甲走到点C时，用时：（秒）； 故答案为：； ②（米） 则当甲走到点C时，乙走了米； 故答案为：； ③， ∴的面积＝（平方米）， 故答案为：； ④设这一次相遇，用时t秒， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：假设还有第二次相遇，设第二次x秒时相遇，则此时一定相遇在上， 根据题意得： ， 答：两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间是秒． 78．（25-26七年级下·云南昆明·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的运算法则． 先对整式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】解： ， 将，代入上式得， 原式． 79．（23-24七年级下·四川达州·专项练习）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）． (1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式； (2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关． 【答案】(1)①S阴影＝(a＋b)2−4ab；②S阴影=(a−b)2​；（a＋b）2−4ab＝（a−b）2 (2)S阴影＝a2−2ab＋b2 (3)见解析 【分析】（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S阴影＝S大正方形−4S基本图形；②直接根据正方形EFGH的边长求正方形EFGH的面积； （2）先证明四边形ABCD是正方形，然后用S阴影＝S正方形−4S基本图形； （3）把S1，S2分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S1−S2，即可证明m与x无关． 【详解】（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2． ∵四个基本图形的面积为4ab， ∴S阴影＝(a＋b)2−4ab； ②∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝EF＝a−b， ∴S阴影＝EH2＝(a−b)2； ∴（a＋b）2−4ab＝（a−b）2． （2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b， ∴四边形EFGH是正方形， ∴S阴影＝MN2−4ab＝(a＋b)2−4ab， 即S阴影＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2． （3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b， m＝S1−S2 ＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b ＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2 ＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2 ＝3b2−ab ∴S与x无关． 【点睛】本题主要考查了利用有关代数式表示图形的面积．合理利用代数式把图形的面积表示出来是解题的关键． 80．（23-24七年级下·浙江嘉兴·专项练习）（图1），把边长为b的正方形放在长方形ABCD中，其中正方形的两条边分别在AD，CD上，已知AB＝a（a＜2b），BC＝4a． （1）请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积； （2）将另一长方形BEFG放入（图1）中得到（图2），已知BE＝a，BG＝b； ①长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍，求的值； ②若长方形PQMF的面积为2，求阴影部分的面积（用含b的代数式表示）． 【答案】（1）4a2-b2；（2）①；② 【分析】（1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可； （2）①用代数式表示出AG=a-b，AH=4a-b，CE =a，结合“长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍”列出等式，即可求解；②由“长方形PQMF的面积为2”，可得a=2b-2，结合影部分面积=长方形AGPH面积+长方形ECNM面积，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得：阴影部分的面积=a∙4a-b2； （2）①∵AB=a，BG=b， ∴AG=a-b， ∵AD=BC=4a，DH=b， ∴AH=4a-b， ∵BE＝a，BC=4a， ∴CE=4a-a=a， ∵长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍， ∴（a-b）（4a-b）=6.5×a×（a-b）， ∴3a=4b， ∴=； ②如图2，PQ=EF-EM=b-（a-b）=2b-a，QM=QN-MN=b-a， ∵长方形PQMF的面积为2， ∴（2b-a）（b-a）=2，即：， ∴a-2b=±2， ∵a＜2b， ∴a-2b=-2，即：a=2b-2， ∵图2中阴影部分面积=长方形AGPH面积+长方形ECNM面积=（a-b）（4a-b）+a（a-b） =． 【点睛】本题主要考查几何图形与代数式，方程综合，掌握整式的混合运算，用整式表示阴影部分面积，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.10 整式的乘除80道计算题专项训练（8大题型） 题型一 同底数幂的乘法及其逆用 题型二 单项式乘法相关运算及求值问题 题型三 多项式乘法相关运算及求值问题 题型四 乘法公式相关基础运算 题型五 乘法公式在几何图形中的应用 题型六 整式的混合运算 题型七 同底数幂的除法与科学记数法的综合应用 题型八 整式的四则运算 【经典计算题一 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（23-24七年级下·河南鹤壁·月考）已知，判断a＋b和ab的大小关系． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26七年级下·四川达州·月考）已知，，且，求的值． 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）根据已知，求值 (1)已知，求的值． (2)若，求的值． 5．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）计算 (1) (2) 6．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 7．（22-23七年级下·贵州遵义·月考）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b，可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么． (1)填空： ； (2)计算：； (3)探索与的大小关系，并说明理由． 8．（25-26七年级下·福建宁德·月考）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：当m，n都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求x的值． 解：法一：∵，．，． 法二：∴．．． ②比较与的大小． 解：，，，． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求x的值． (2)比较，与的大小． (3)定义两个正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，．求的值． 9．（24-25七年级下·重庆·月考）计算： (1) (2) 10．（23-24七年级下·安徽·月考）找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 【经典计算题二 单项式乘法相关运算及求值问题】 11．（22-23七年级下·上海）先化简，再求值：，其中． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 13．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知等式成立，求的值． 14．（24-25七年级下·四川达州·期中）计算： (1)； (2)． 15．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 16．（25-26七年级下·江西赣州·专项练习）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 17．（25-26七年级下·全国·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 19．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）如图，是我国古代四大智力玩具之一的七巧板，相传已有上千年历史，由于通过七巧板可以拼出丰富多彩的美丽图案，因此也有人称七巧板为“东方魔板”．它是由5块等腰直角三角形、1块正方形或1块平行四边形组成，其中，解决下列问题． (1)三角形的面积_____；图5、6所组成梯形面积_____（用含的代数式表示）； (2)猜想图3、4的面积有什么关系，说一下理由； (3)请用七巧板再拼出一种你喜欢的图形，画出来，并简单分享下你的想法． 20．（25-26七年级下·山西朔州·月考）8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【经典计算题三 多项式乘法相关运算及求值问题】 21．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 22．（25-26七年级下·上海青浦·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 24．（22-23七年级下·陕西西安·月考）已知，求代数式的值． 25．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）按要求解答问题： (1)解方程：； (2)已知，求的值． 26．（25-26七年级下·山西长治·月考）综合与实践 数学活动--探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历，亮亮在其中任意画的方框，方框内的数字分别用表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． 【特例探究】（1）计算图①中方框内的结果：___________， ___________； 【推理演绎】（2）亮亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整； 证明：设，则． ．．．．．． 【类比应用】（3）乐乐学习亮亮的方法，借助2025年8月份的日历，继续进行如下探究：在日历中用“十字框”框住五个数（字母表示如图③所示），再探究“”的值的规律．请你帮他写出结论，并说明理由． 、 27．（25-26七年级下·陕西西安·月考）为了给同学们提供更多的活动空间，某校对校园空地进行改造．如图，在长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建两个大小一样的乒乓球场地，两个乒乓球场地中间以及乒乓球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个乒乓球场地的占地面积； (2)当，时，若乒乓球场地每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价50元，求整个长方形场地的造价． 28．（2025七年级下·全国·专题练习）将一个正方形的一组对边的长增加，另一组对边的长减少，得到的长方形的面积与这个正方形边长减少所得到的正方形的面积相等．求这个长方形的面积． 29．（24-25七年级下·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 30．（25-26七年级下·四川眉山·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式 ． (2)的展开式共有 项，系数和为 ． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期 ． (4)直接写出的展开式中第三项的系数 ． (5)若，求的值． 【经典计算题四 乘法公式相关基础运算】 31．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 32．（25-26七年级下·福建泉州·期中）、都是自然数，且是一个完全平方数，求的值． 33．（25-26七年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 34．（25-26七年级下·四川成都·月考）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 35．（25-26七年级下·四川成都·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 36．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 37．（25-26七年级下·陕西西安·月考）阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本为运输量，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)，求的值 (2)求的最小值． (3)如图，线段，点是线段上任意一点，以为边向上作正方形，求面积的最大值． 38．（25-26七年级下·全国·周测）已知一个长方形的长、宽分别为，，且．求这个长方形的周长和面积． 39．（24-25七年级下·全国·课后作业）在整式中，■表示运算符号“－”“×”中的某一个，▲表示一个整式． (1)若，求出整式▲． (2)已知的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的运算符号及▲的值． 40．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【经典计算题五 乘法公式在几何图形中的应用】 41．（25-26七年级下·河北张家口·月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙）． (1)上述操作能验证的等式是________（选填序号）； ①；②； ③． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 42．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图1，从边长a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是______（填字母）； A．；            B． (2)应用所得的公式计算：已知，，则的值为______； (3)应用所得的公式计算：． 43．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 44．（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像， (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 45．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）图形可以形象直观显示数量关系．根据图1可以得到基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式： ． (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则 ． (3)如图4，是个边长分别为、、的直角三角形和个边长为的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系推导出、、的数量关系式． (4)如图5，直角中，，，，点是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 46．（25-26七年级下·全国·假期作业）（1）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等，则 ． （2）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等；为边上一点，且与的周长相等，求（用含，的式子表示）． 47．（25-26七年级下·辽宁抚顺·专项练习）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 48．（25-26七年级下·广西玉林·专项练习）【问题情境】我们通常用作差法比较代数式的大小．例如：已知，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为所以，． 【数学思考】（1）如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的正方形，此正方形的面积为． ①用含的代数式分别表示=___________，___________； ②比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 【拓展探究】（2）已知两个等腰直角三角形（和）的直角边长分别为和（）．将这两个等腰直角三角形按如图4方式放置在一起，连接．如果是线段的中点，连接．请比较与的面积大小． 49．（24-25七年级下·江苏常州·期中）综合与实践 【阅读材料1】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，几何问题也可以转化为代数问题解决． 如常用两种方法计算同一图形面积，得到等式．将边长为b的正方形如图1所示放置在边长为a的正方形中， _______（用含有a，b的代数式表示）；如图2沿虚线分割成两个形状大小相同的梯形，则_______，那么可以构建等式_______． 【阅读材料2】如图3，学校打算用长的篱笆围成长方形生物园饲养小兔．怎样围可使小兔的活动范围尽可能大？可以用以下方法探索： 将围栏抽象成长方形，设一边为，面积为，用含的代数式表示_______； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越_______（填“大”或“小”），面积越大：即当_______时，S最大． 【深入思考】归纳以上结论：若，则当_______（填a，b满足的关系）时，的值最大，请结合以上材料利用数轴说明． 【实践应用】如图5，为扩大小兔活动范围，现决定利用一面长度为n（）的墙扩大范围，篱笆总长12m，要求使长方形的一边包含整个墙，请直接写出当长方形一边长x满足何条件时（用含有n的式子表达），围成的面积最大． 50．（25-26七年级下·上海金山·期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 【经典计算题六 整式的混合运算】 51．（2025七年级下·全国·专题练习）化简：． 52．（25-26七年级下·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 53．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知多项式A与单项式的差，除以，所得的商是，求A． 54．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若，，，试说明∶． 55．（24-25七年级下·全国·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 56．（23-24七年级下·四川成都）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 57．（25-26七年级下·广东广州·专项练习）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 58．（24-25七年级下·河南许昌·专项练习）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． (3)若，那么与满足下列_____关系． A．    B．    C．    D． 59．（25-26七年级下·河南商丘·专项练习）【问题背景】“算两次”是一种重要的数学思想，即用两种不同的方法表示同一个量如图形面积），从而建立等式．如图1，将一个长为、宽为的长方形沿虚线剪成四个相同的小长方形，再按图2拼成一个正方形． (1)观察图2，用两种方法表示阴影部分（中间小正方形）的面积，可得到的等量关系是_____． A．    B． C．    D． (2)已知，求的值． (3)如图3，在六边形中，对角线和相交于点，四边形和四边形都为正方形，若，正方形和正方形面积的和为36，求阴影部分的面积． 60．（23-24七年级下·河北保定·专项练习）问题情景：分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___； ___； ___． 探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现： ； ； 归纳猜想：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c存在某种关系，请你猜想并用式子表示出a，b，c之间的关系． 验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并验证你猜想的结论． 解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出m的值． 【经典计算题七 同底数幂的除法与科学记数法的综合应用】 61．（2026·七年级下 陕西西安）计算：． 62．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期中）先化简，再求值：，其中． 63．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)． 64．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）计算： (1) (2) 65．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 66．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知一个小立方体的棱长为． (1)这个小立方体的体积为多少立方米？（用科学记数法表示） (2)用多少个这种小立方体才能摆成一个棱长为的大正方体？ 67．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 68．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求y的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求t的值． 69．（23-24七年级下·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 70．（23-24七年级下·河南郑州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【经典计算题八 整式的四则运算】 71．（25-26七年级下·重庆·月考）先化简，再求值：，其中． 72．（23-24七年级下·广东深圳）已知关于的多项式除以，余数为，除以，余数为，求多项式除以的余式． 73．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）计算： (1)． (2)． 74．（25-26七年级下·河南郑州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（用简便方法计算）． 75．（2025·河北唐山·三模）已知、是多项式，是单项式，，，且是单项式． (1)求单项式； (2)嘉嘉给的是，请你通过计算推断嘉嘉给出的能否使成为完全平方式． 76．（24-25七年级下·安徽宿州·专项练习）某同学用长为、宽为的小长方形（如图）若干个拼成不同的大长方形，如图、图和图是拼成的不完整的长方形，已知砖块中间无缝隙．根据图示回答下列问题： (1)图中的空白面积为______；（用含，的代数式表示） (2)求图中的空白面积；（用含，的代数式表示） (3)若图和图中的空白面积分别为，，求图中的小长方形面积． 77．（24-25七年级下·上海·期中）已知，如图，四边形是梯形，、相互平行，在上有两点E和F，此时四边形恰好是正方形，已知，，，（单位：米）其中，，现有甲乙两只蚂蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是a（米/秒），乙的速度是（米/秒）． (1)用含a、b的代数式表示： ①甲走到点C时，用时________秒； ②当甲走到点C时，乙走了________米； ③当甲走到点C时，此时乙在点M处，的面积是________平方米； ④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时________秒． (2)它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由． 78．（25-26七年级下·云南昆明·期中）先化简，再求值：，其中，． 79．（23-24七年级下·四川达州·专项练习）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）． (1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式； (2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关． 80．（23-24七年级下·浙江嘉兴·专项练习）（图1），把边长为b的正方形放在长方形ABCD中，其中正方形的两条边分别在AD，CD上，已知AB＝a（a＜2b），BC＝4a． （1）请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积； （2）将另一长方形BEFG放入（图1）中得到（图2），已知BE＝a，BG＝b； ①长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍，求的值； ②若长方形PQMF的面积为2，求阴影部分的面积（用含b的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $