专题5.5 分式方程重难点题型专训（3个知识点+10大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦分式方程核心知识点，系统梳理分式方程的定义（分母含未知数）、解法（去分母化为整式方程及验根）、应用（行程、工程等实际问题），构建从概念理解到解法掌握再到实际应用的完整学习支架，衔接整式方程知识，为后续方程学习奠定基础。 该资料以10大题型分类突破重难点，结合即时训练与经典例题，突出实际问题情境（如无人机配送行程问题、非遗手作工程问题）。通过无解问题训练推理意识，实际应用培养模型观念，自我检测助力查漏补缺。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固提升，有效发展数学思维与应用意识。

专题5.5 分式方程重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 分式方程的定义 题型二 根据分式方程解的情况求值 题型三 分式方程无解问题 题型四 列分式方程 题型五 解分式方程(化为一元一次) 题型六 分式方程的行程问题! 题型七 分式方程的工程问题 题型八 分式方程的经济问题 题型九 分式方程和差倍分问题 题型十 分式方程的其它实际问题 拓展训练一 列出分式方程并解决实际问题 知识点一：分式方程 1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2. 分式方程的重要特征 （1）是方程； （2）分母中含有未知数． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 知识点二：解分式方程 1. 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程的一般步骤 【即时训练】 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）若，那么的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（2026七年级下·辽宁沈阳·专题练习）方程的解是_________． 知识点三：分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·重庆大足·期末）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设高铁列车的平均速度为，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来天用水，现在这些水可多用4天，则现在每天比原来少用水______t． 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列关于的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是____________；是分式方程的是____________．（填序号） 1．（24-25七年级下·天津和平·期末）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 2．（2023七年级下·全国·专题练习）下列关于x的方程中，整式方程的个数是（　　） （1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 4．（2023七年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【经典例题二 根据分式方程解的情况求值】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【例2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2026·七年级下 黑龙江佳木斯）关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）方程有增根，则的值是________． 4．（2026·七年级下 山东淄博）已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【经典例题三 分式方程无解问题】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【例2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 1．（2023七年级下·全国·专题练习）下列判断正确的是（　　） A．解分式方程必定产生增根 B．若分式方程的根是零，则必定是增根 C．解分式方程必须验根 D．x＝3是方程＝2+的根 2．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列有四个结论： ①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变； ②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为或 其中正确的结论是______（填写序号） 4．（25-26七年级下·四川德阳·期末）按要求作答： (1)计算：． (2)已知，求的值． (3)分解因式：． (4)已知关于的分式方程无解，求的值． 【经典例题四 列分式方程】 【例1】（25-26七年级下·山东济南·期中）年月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试．已知在一次配送中无人机的飞行路程为海里，快艇的航线路程为海里，无人机的平均速度是快艇的倍，且无人机比快艇的配送时间少分钟．设快艇的平均速度为海里/小时，根据题意可列分式方程（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·全国·期末）今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨,王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程__________． 1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）清明前夕，某校组织学生前往烈士陵园进行扫墓．已知烈士陵园距离学校，甲、乙两班乘坐不同的大巴同时从学校出发，甲班的平均速度是乙班的1.2倍，结果甲班比乙班早到．若设乙班的平均速度为，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期中）小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·上海·期中）某工人要完成个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工个零件，加工个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，设原计划每分钟加工个零件，则可列方程为：______． 4．（2025·七年级下 云南玉溪）顺丰速运为应对“618”全球购物节，启用搭载神经网络算法的星链分拣机器人．单个机器人每小时分拣量比人工分拣员多150个包裹，完成7500个包裹分拣耗时与人工处理5000个包裹时长相等．为确保人机协同的最优资源配置，传统分拣员每小时应分拣多少个包裹？ 【经典例题五 解分式方程(化为一元一次)】 【例1】（25-26七年级下·四川内江·期中）若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例2】（2023七年级下 湖北武汉）方程的解是______． 1．（25-26七年级下·湖北十堰·阶段测试）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，，的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级下·福建厦门·期末）根据表格信息，m的值等于（   ） x的值 3 m 分式的值（a，b为常数） 无意义 0 2 A． B．7 C． D．8 3．（2026·七年级下 山西大同）无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 4．（2026·七年级下 河北）如图，有两张卡片分别写有A，B两个分式． (1)化简； (2)若，请解该方程． 【经典例题六 分式方程的行程问题!】 【例1】（25-26七年级下·山东东营·期末）2025年12月25日，首届粤港澳大湾区低空经济高质量发展大会在广州海珠区举行，“无人机送外卖”正式走进了人们的日常生活．若某外卖订单配送快递员骑行路程为，无人机走直线路程为，无人机速度是快递员速度的3倍，若两者同时配送，无人机比快递员早到22分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列分式方程（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河北邢台·期末）魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为___________． 1．（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）自城市精细化管理（改造）工作开展以来，甘南藏族自治州碌曲县不断把城市精细化（改造）管理工作作为打造“五无甘南”创建“十有家园、七美碌曲”的有力推手．为加快推进城市精细化，该州建成了多条快速干线，小洁开车从家到单位有两条路线，A路线为全长千米的普通道路，路线全长千米，其中包含有快速干线，走路线比走路线的平均速度提高，时间节省小时，由此可列方程，则方程中表示的是（   ） A．走路线的速度 B．走路线的速度 C．走路线的用时 D．走路线的用时 2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京·阶段检测）甲和乙计划前往距学校的图书馆，甲先出发步行前往，乙在30分钟后骑自行车前往，最终甲和乙同时抵达图书馆．若将甲和乙的运动过程看作匀速运动，已知乙的速度比甲的速度快，求甲的速度．设甲的速度为，请根据题意列出方程___________． 4．（25-26七年级下·山西长治·期中）下面是学习分式方程的应用时，老师在课堂上展示的一道实际问题，以及两名同学根据题意列出的方程，我们一起来分析并解决它： 分式方程的应用 长治到太原的距离约为，长治到郑州的距离约为，一辆从长治开往太原的大巴速度比从长治开往郑州的大巴速度快，结果从长治到太原和郑州的行驶时间相同．求这两辆大巴的速度． 芳芳同学：    橙橙同学： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)芳芳同学所列方程中表示的实际意义是________；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． 【经典例题七 分式方程的工程问题】 【例1】（25-26七年级下·福建厦门·期末）学校图书馆有600册图书需整理．由于图书管理员当天还需完成其他任务，实际每小时整理的图书比原计划增加了，结果提前完成整理这600册图书的任务．小禾根据这一情景中的数量关系列出方程，则该方程中的未知数表示的意义为（   ） A．实际每小时整理图书的数量 B．原计划每小时整理图书的数量 C．实际完成整理图书所需的时间 D．原计划完成整理图书所需的时间 【例2】（25-26七年级下·山西忻州·期末）以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某工程队修一条公路，原计划每天修米，实际每天比原计划多修米，原计划修完公路所需时间是实际的倍，所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）学校计划对教学楼前的绿植进行翻新养护，这项工作如果由甲园艺师单独完成，需要m天，如果由甲、乙两位园艺师合作，可提前3天完成，乙园艺师单独做每天可以完成这项绿植养护工作的（   ） A． B． C． D． 3．（2023七年级下·广东佛山·阶段测试）甲、乙两队修建一条水渠，甲先完成工程的三分之一，乙后完成工程的三分之二，两队所用的天数为；甲先完成工程的三分之二，乙后完成工程的三分之一，两队所用天数为；甲、乙两队同时工作完成的天数为，已知比多5，是的2倍多4，那么甲单独完成此项工程需要___________天． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【经典例题八 分式方程的经济问题】 【例1】（25-26七年级下·山东威海·期中）某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）小明现有本金5万元，准备投资理财，方案是1年后返还3万元，2年后返还万元，设收益率为，那么该方案的收益率应该满足的方程是__ ． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 2．（23-24七年级下·福建莆田·期末）在欧拉的著作《代数引论》中有这样一道趣题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同．甲农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖得15个铜板．”乙农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个铜板．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设甲农妇带了个鸡蛋，列出方程，现有以下结论：①甲农妇所卖鸡蛋的单价是；②乙农妇所卖鸡蛋的单价是；③100个鸡蛋所卖得的钱数是；④所列方程依据的等量关系是甲乙农妇卖得的钱数相同．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（25-26七年级下·陕西安康·期末）笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买两种型号毛笔共500支，A型号毛笔的单价是B型号毛笔的单价的1.4倍，购买A型号毛笔共花费4200元，购买B型号毛笔共花费4500元设B型号毛笔的单价是x元/支，则可列分式方程为________． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高，若用360元等额资金分别购进A、B两类配件，则A类配件的数量比B类配件的数量少3个． (1)求A、B两类机器人配件每个的进价； (2)3月，该科技店用5400元购进A类配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 【经典例题九 分式方程和差倍分问题】 【例1】（25-26七年级下·上海普陀·阶段检测）某公司第一季度总共生产80万部手机．已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部的电影，手机比手机快190秒，设手机的下载速度为，则正确的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·湖南郴州·期中）甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘个，乙摘个所用时间比甲摘个所用时间多分钟，求甲摘个草莓、乙摘个草莓时间分别为多少小时．设甲摘个草莓时间为小时，则可列分式方程为______． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙三个数依次大，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）将三支长度相同的蜡烛 同时点燃，当蜡烛 剩一半时，蜡烛 和蜡烛 剩余部分的长度之比为 ，当蜡烛 剩一半时，蜡烛 和蜡烛 剩余部分的长度之比为 ，若整个燃烧过程中，每支蜡烛燃烧速度均保持不变，则当蜡烛 剩一半时，蜡烛 和蜡烛 剩余部分的长度之比为___________． 4．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期末）列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【经典例题十 分式方程的其它实际问题】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段检测）某班学生参加植树活动，甲组每小时植树x棵，乙组比甲组每小时多植树2棵，甲组种60棵与乙组种66棵所用时间相同，则x的值为（  ） A．18 B．20 C．22 D．24 【例2】（23-24七年级下·湖北十堰·阶段测试）小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 1．（2024七年级下·浙江宁波·阶段测试）某水池有编号为①，②，…，⑤的5个进水水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表，则5个水管齐开，（   ）小时可把水池灌满． 水管号 ①② ②③ ①④ ②④ ③⑤ 时间（小时） 6 12 18 A．3 B． C．4 D． 2．（2024七年级下·浙江温州·阶段测试）有两个相邻的手机门市甲和乙，甲购进了几只某种型号的手机，定好了售价．一个月后，乙也购进了几只同样的手机，售价与甲相同，但进价比甲降低了，因而利润率比甲提高了12个百分点．那么甲经销这种手机的利润率是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·重庆梁平·期末）如图所示的电路的总电阻为，若，则__________． ， 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）中考体育项目中，若要取得男生1000米项目的满分成绩，需在3分50秒内跑完全程．男生甲同学第一次模拟测试未拿满分，经过训练，第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍，结果比第一次提前了15秒到达终点，那么甲同学第二次模拟测试取得满分成绩了吗？请说明理由． 【拓展训练一 列出分式方程并解决实际问题】 【例1】（2024·七年级下 云南红河）为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（    ） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）黄元米果也称“黄米果”，起源于唐，兴盛于明，属客家特色点心，早在明朝正德年间就被列为贡品．某特产店批发了A，B两种不同型号的黄元米果，已知A型黄元米果的单价比B型黄元米果的单价多元，且用120元购买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄元米果的数量相同，则A型黄元米果的单价是________元． 1．（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）现有若干防疫口罩，疫情防控人员计划将这些口罩分为两批，分别在两周内分发完毕．第一周将第一批口罩数量按照1：3：4的比例分发给、、三个小区且全部分完．第二周先拿出第二批口罩数量的20%分发给社区工作人员，再将剩余口罩的分发给小区，则小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9.若、小区两周收到的口罩数量之比为3：4，则小区第二周收到的口罩数量与口罩总数量之比为（　　） A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：41 A B C 三个小区口罩总量 第一周 第二周 2．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段测试）10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个正数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他数的几何平均数（称为和的几何平均数）报出来，若报出来的数如图所示，则报的人心里想的数是（　　） A． B． C．2 D． 3．（2023七年级下·浙江台州·阶段测试）排成一行的学生，从左到右1至3报数，最后一个人报2．从右到左1至报数，最后一个人报1，这里与3互质．凡是报过1的学生出列，其余原地不动，共留下62名，其中只有21对学生原来相邻．原来有___________名学生；的值是___________． 4．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期中）列方程解下列问题： 某农场去年春季种植苹果和桃子共收获．今年春季苹果产量比去年增加，桃子产量比去年增加，苹果和桃子的总产量比去年增加． (1)去年春季苹果和桃子的产量各多少千克？ (2)今年春季收获果实时，该农场安排两组工人分别采摘苹果和桃子，每小时采摘苹果的质量是采摘桃子质量的倍，两组工人同时开始劳动，结果采摘桃子的工人比采摘苹果的工人提前15分钟完成采摘任务．问采摘苹果组的工人每小时采摘苹果多少千克？ 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 4．（2026·七年级下 河南周口）《百骏图》是清代绘画珍品，被汴绣艺人以精湛技艺绣制于锦缎之上，生动再现了百匹骏马的形态与神韵，栩栩如生，令人赞叹不已．如图，汴绣作品绣面的主体部分是一个长为，宽为的矩形，经过装裱处理后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，求边框的宽度．设边框的宽度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 6．（2026·七年级下 山东菏泽）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 7．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产10个，结果延期8天完成 B．每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成 C．每天比原计划少生产10个，结果延期8天完成 D．每天比原计划少生产10个，结果提前8天完成 8．（25-26七年级下·重庆·期中）我们定义：形如：（、不为零），且两个解分别为，的方程为“十字分式方程”． 例如为“十字分式方程”，可化为，，． 再如为“十字分式方程”，可化为 ，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则， （2）若“十字分式方程”的两个解分别为，，则的值为． （3）若关于的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），则的值为2． 正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（25-26七年级下·福建福州·阶段检测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得27个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得12个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）对于实数进行如下次操作：；；；；．下列说法：①若，则；②若的值是1，则；③的值为2，则的值为．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）满足方程：的正整数有序数对个数为______． 12．（25-26七年级下·四川成都·期末）定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为________． 13．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）根据近期国际市场油价变化情况，国家为确保市场稳定供应采取相关联动及补贴政策，今年6月份每升汽油的价格是去年6月份每升汽油的价格的倍，小方用300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升，设去年6月份每升汽油的价格为x元，则可列出方程为______． 14．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）对于非零的两个实数，规定．如果，那么x的值为_____． 15．（25-26七年级下·重庆九龙坡·月考）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调，“绿水青山就是金山银山”，为践行习总书记重要思想，开创生态文明新时代．安全村是生态文明建设示范村，已知安全村原有绿化植物紫薇、马兰、叶子花的数量之比，为加强生态文明建设，安全村决定增加紫薇、马兰、叶子花的种植量，经村委会测算，增加种植马兰的数量是增加种植这三种绿化植物之和的，此时，现有马兰的数量与现有的三种绿化植物总量之比为，而紫薇与叶子花的总量之比为，则安全村增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是：______． 16．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 17．（25-26七年级下·四川成都·期中）按要求解题： (1)解方程：； (2)分解因式：． 18．（2026·七年级下 云南昆明）“翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 19．（25-26七年级下·广东东莞·期末）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 20．（25-26七年级下·全国·期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 分式方程重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 分式方程的定义 题型二 根据分式方程解的情况求值 题型三 分式方程无解问题 题型四 列分式方程 题型五 解分式方程(化为一元一次) 题型六 分式方程的行程问题! 题型七 分式方程的工程问题 题型八 分式方程的经济问题 题型九 分式方程和差倍分问题 题型十 分式方程的其它实际问题 拓展训练一 列出分式方程并解决实际问题 知识点一：分式方程 1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2. 分式方程的重要特征 （1）是方程； （2）分母中含有未知数． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【答案】 ②③④⑥ ①⑤ 【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断． 【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程； 对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程． 故答案为：②③④⑥；①⑤ 知识点二：解分式方程 1. 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程的一般步骤 【即时训练】 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）若，那么的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：， ， ∴， 检验：当时，分母， 因此是原分式方程的解． 2．（2026七年级下·辽宁沈阳·专题练习）方程的解是_________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是去分母将分式方程转化为一元一次方程．先在方程两边同乘去分母，得到一元一次方程，再解得，最后检验，确认是原方程的解． 【详解】解： 方程两边同乘去分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 故答案为：． 知识点三：分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·重庆大足·期末）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设高铁列车的平均速度为，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用表示出普通列车的平均速度，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用，即可列出方程． 【详解】解：由题意可得，普通列车的平均速度为， ∵乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用， ∴列方程为：． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来天用水，现在这些水可多用4天，则现在每天比原来少用水______t． 【答案】 【分析】先分别求出原来每天的用水量和现在每天的用水量，然后通过作差得出现在每天比原来少用水的量，涉及分式的运算． 【详解】解：①计算原来每天的用水量 ： 原来天用水吨，所以原来每天的用水量为吨． ②计算现在每天的用水量： 现在这些水可多用天，总天数为天，因此现在每天的用水量为吨． ③求现在每天比原来少用的水量： 差值为原来每日用水量减去现在每日用水量：． 化简：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题关键是根据题意分别表示出原来和现在每天的用水量，再进行分式的减法运算． 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列关于的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要判断一个方程是否为分式方程，关键依据是：分母中含有未知数的方程．我们需要逐一分析每个选项的分母是否含有未知数． 【详解】解：A、，分母是常数，不含有未知数，是整式方程，不符合题意； B、，虽然分母含有，但分子中含有根号，属于无理方程，不是分式方程，不符合题意； C、，分母中含有未知数，是分式方程，符合题意； D、，分母含有根号，是无理方程，不是分式方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题关键是明确分式方程的核心特征是分母中含有未知数，同时注意区分整式方程和无理方程． 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是____________；是分式方程的是____________．（填序号） 【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨ 【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程． ∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨． 故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨． 【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程． 1．（24-25七年级下·天津和平·期末）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 2．（2023七年级下·全国·专题练习）下列关于x的方程中，整式方程的个数是（　　） （1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答.分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断. 【详解】解：（1）； （2）； （3）+x＝都符合整式方程的定义； （4）+1＝x属于分式方程. 故选：C. 【点睛】本题考查了整式方程，分式方程，熟练掌握各自的定义，并灵活准确判断是解题的关键． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2023七年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程． 【详解】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程， （2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程， （3）是分式，不是分式方程， （4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 【经典例题二 根据分式方程解的情况求值】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【答案】A 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是分式方程的解 ∴将代入原方程，得 计算得 整理得 即 【例2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 【答案】 【分析】将代入分式方程，即可求解的值． 【详解】解：是关于的分式方程的解， 代入方程得：，化简得：， 解得：． 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【详解】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 2．（2026·七年级下 黑龙江佳木斯）关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 3．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）方程有增根，则的值是________． 【答案】0 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义确定增根的值，再代入整式方程计算即可得到的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得： ， 整理得 ， 原分式方程有增根， ， 解得， 把代入得： 解得． 4．（2026·七年级下 山东淄博）已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【答案】 【分析】先解分式方程得到x关于k的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合分式方程分母不为零的隐含条件求解，即可得到k的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为负数， ， 解得 又， 即， 解得， ． 【经典例题三 分式方程无解问题】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出m的值. 【详解】解：∵ 原分式方程有增根， ∴ 最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘，得， 把代入整式方程，得， 解得. 【例2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 1．（2023七年级下·全国·专题练习）下列判断正确的是（　　） A．解分式方程必定产生增根 B．若分式方程的根是零，则必定是增根 C．解分式方程必须验根 D．x＝3是方程＝2+的根 【答案】C 【分析】根据分式方程增根的意义判断即可． 【详解】解：A、解分式方程可能产生增根，故A错误； B、若分式方程的根式零，不一定是增根，故B错误； C、解分式方程必须验根，故C正确； D、x＝3是增根，分式方程无解，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查解分式方程及分式方程的解、增根的定义，熟练掌握分式方程的解法及解、增根的定义是解题的关键. 2．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵无解， ∴或， 当，， 当，即，将代入，解得：， ∴当无解，则的值为或． ∴根据选项，故选：A． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列有四个结论： ①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变； ②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为或 其中正确的结论是______（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查分式的基本性质，分式方程的解法，根据分式的基本性质，利用完全平方公式求代数式的值，分式方程的解法依次分析即可作出判断．掌握相应的知识点是解题的关键． 【详解】解：：①把分式中的，都扩大倍得：，分式的值不变，故结论①正确； ②若， 则，即， ∴， 此时分式的分母为零，无意义， ∴在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为，故结论②正确； ③若，则， ∴，即， ∴，故结论③正确； ④方程两边同乘以，得： ， 整理得：， 当时，一元一次方程无解，此时； 当时，则， 解得：或， 综上所述，或或时，关于的方程无解，故结论④错误； ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 4．（25-26七年级下·四川德阳·期末）按要求作答： (1)计算：． (2)已知，求的值． (3)分解因式：． (4)已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)0、或 【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂除法，单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据，进行计算即可； （3）用公式法分解因式即可； （4）先去分母得出，根据，得出或，代入求出a的值即可；根据方程无解，即无解，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解： ； （4）解：， 去分母得：， 关于的分式方程无解， ①， 解得：或， 当时，，即， 解得：， 当时，， 解得：； ②方程无解， 即无解， 且， 解得：． 综上，a的值为：0、或． 【点睛】本题主要考查了分式方程无解问题，因式分解，整式混合运算，完全平分公式变形求值，解题的关键熟练掌握相关运算法则，因式分解的方法． 【经典例题四 列分式方程】 【例1】（25-26七年级下·山东济南·期中）年月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试．已知在一次配送中无人机的飞行路程为海里，快艇的航线路程为海里，无人机的平均速度是快艇的倍，且无人机比快艇的配送时间少分钟．设快艇的平均速度为海里/小时，根据题意可列分式方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设快艇的平均速度为海里小时，则无人机的平均速度为海里小时，利用无人机比快艇配送时间少分钟的等量关系列方程即可． 【详解】解：设快艇的平均速度为海里小时，则无人机的平均速度为海里小时，快艇的配送时间为小时，无人机的配送时间为小时， 根据题意得：． 【例2】（23-24七年级下·全国·期末）今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨,王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出正确的等式关系是解决本题的关键． 根据去年王厨师花200元购买大葱可得，去年大葱的单价为元千克，然后根据今年价格是去年的3倍可得，今年大葱的单价为元千克，最后根据去年王厨师购买大葱的质量比今年购买的质量多10千克可得，今年花480元购买的大葱质量为千克，则今年的单价也可表示为元千克，进而即可列出式子解答． 【详解】解：根据题意得去年大葱的单价为元千克， ∵今年价格是去年的3倍， ∴今年大葱的单价为元千克， 根据题意得，今年花480元购买的大葱质量为千克， ∴今年的单价也可表示为元千克， ∴可列方程：， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）清明前夕，某校组织学生前往烈士陵园进行扫墓．已知烈士陵园距离学校，甲、乙两班乘坐不同的大巴同时从学校出发，甲班的平均速度是乙班的1.2倍，结果甲班比乙班早到．若设乙班的平均速度为，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲班比乙班早到，列方程即可. 【详解】解：设乙班平均速度为，则甲班平均速度为 由题意，得. 2．（25-26七年级下·河南南阳·期中）小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“实际总阅读时间原计划总阅读时间多花的10天”这一等量关系，分别表示出各段时间即可列出方程． 【详解】解：∵设总页数为，原计划每天读页， ∴原计划总阅读时间为天． ∵实际先读页，每天读页，剩余页数阅读量降为原来的一半， ∴读前页的时间为天，剩余页数为，后续每天阅读量为，读完剩余页数的时间为天． ∵ 实际比原计划多花天读完， ∴可得方程． 因此A选项正确． 3．（23-24七年级下·上海·期中）某工人要完成个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工个零件，加工个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，设原计划每分钟加工个零件，则可列方程为：______． 【答案】 【分析】根据题意可知：用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，即可列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 4．（2025·七年级下 云南玉溪）顺丰速运为应对“618”全球购物节，启用搭载神经网络算法的星链分拣机器人．单个机器人每小时分拣量比人工分拣员多150个包裹，完成7500个包裹分拣耗时与人工处理5000个包裹时长相等．为确保人机协同的最优资源配置，传统分拣员每小时应分拣多少个包裹？ 【答案】传统分拣员每小时应分拣300个包裹 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，涉及工作总量、工作效率与工作时间的关系．解题的关键是根据“机器人完成个包裹分拣耗时与人工处理个包裹时长相等”这一等量关系，设出未知数并列出分式方程，求解后检验方程的解是否符合实际意义．​ 先设传统分拣员每小时分拣​x个包裹，由此得出机器人每小时分拣​个包裹；再根据“工作时间工作总量工作效率”，分别表示出机器人分拣个包裹和人工分拣个包裹的时间；最后根据两者时间相等列出分式方程，求解并检验解的合理性，得到传统分拣员每小时的分拣量． 【详解】解：设人工分拣员每小时分拣量为 x个包裹，则机器人每小时分拣量为个，根据题意得：     解得：                     经检验是原方程的解，且符合题意． 答：传统分拣员每小时应分拣个包裹． 【经典例题五 解分式方程(化为一元一次)】 【例1】（25-26七年级下·四川内江·期中）若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知方程化简，求出的值，再取倒数得到 ． 本题主要考查分式的化简计算，掌握分式的运算法则是关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 【例2】（2023七年级下 湖北武汉）方程的解是______． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 1．（25-26七年级下·湖北十堰·阶段测试）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，，的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先观察已知方程及其解的规律，将所求方程变形，凑出与已知规律形式一致的方程，再根据规律求解得到x的值． 【详解】解：对所求方程变形： 原方程 ， 方程两边同时加1得：， 设，则方程变形为， 根据已知规律，该方程的解为，， 当时： ∵ ， ∴ ， 当时： ∵ ， ∴ ， 因此方程的两个解为 ，． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期末）根据表格信息，m的值等于（   ） x的值 3 m 分式的值（a，b为常数） 无意义 0 2 A． B．7 C． D．8 【答案】A 【分析】利用分式无意义时分母为零和分式值为零时分子为零的条件，解分式方程，求出常数a和b，再根据分式值为2列方程求解m． 本题考查了分式无意义的条件，分式的值为0的条件，求分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式的值为0的条件是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴，即， ∴； ∵当时，分式值为0， ∴，即， ∴， ∴该分式为. 当时，分式值为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， 故选：A． 3．（2026·七年级下 山西大同）无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 【答案】60 【分析】设人工巡检速度为，列出方程解出后乘以即可得出无人机巡检速度． 【详解】解：设人工巡检速度为， ， 解得，， 经检验：是原方程的根且符合题意， 无人机速度为． 4．（2026·七年级下 河北）如图，有两张卡片分别写有A，B两个分式． (1)化简； (2)若，请解该方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算，化简即可； （2）根据分式方程的解法求解即可； 【详解】（1）解： ． （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ∴． 经检验，是原分式方程的解． 【经典例题六 分式方程的行程问题!】 【例1】（25-26七年级下·山东东营·期末）2025年12月25日，首届粤港澳大湾区低空经济高质量发展大会在广州海珠区举行，“无人机送外卖”正式走进了人们的日常生活．若某外卖订单配送快递员骑行路程为，无人机走直线路程为，无人机速度是快递员速度的3倍，若两者同时配送，无人机比快递员早到22分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列分式方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 根据题意，快递员速度为，无人机速度为；快递员配送时间为小时，无人机配送时间为小时；无人机早到22分钟，即小时，故快递员时间减无人机时间等于时间差，据此即可列出分式方程． 【详解】解：设外卖员配送速度为， 根据题意可列分式方程， 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·河北邢台·期末）魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，分式方程的行程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时；根据距离相等，甲比乙早到1小时，即乙所用时间比甲多1小时，列出方程． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时千米， 乙跑完全程所需时间为小时， 甲跑完全程所需时间为小时； 由甲比乙早到1小时，得， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）自城市精细化管理（改造）工作开展以来，甘南藏族自治州碌曲县不断把城市精细化（改造）管理工作作为打造“五无甘南”创建“十有家园、七美碌曲”的有力推手．为加快推进城市精细化，该州建成了多条快速干线，小洁开车从家到单位有两条路线，A路线为全长千米的普通道路，路线全长千米，其中包含有快速干线，走路线比走路线的平均速度提高，时间节省小时，由此可列方程，则方程中表示的是（   ） A．走路线的速度 B．走路线的速度 C．走路线的用时 D．走路线的用时 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，代数式的实际意义，百分比的应用，理解行程三要素的关系是解题关键． 根据题意，方程表示走路线与走路线的时间差为小时，其中表示速度，通过比较方程与时间差表达式可确定的含义． 【详解】解：设走路线的速度为，则走路线的时间为， 走路线的速度为，则走路线的时间为， 时间差为，与给定方程对比， 可知，即走路线的速度． 故选：． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设乙船在静水中的速度为里/时，则甲船在静水中的速度为里/时，根据相遇时乙船行驶了48里，可得乙船的航行时间为小时，甲船的航行时间为小时，即可得出关于的分式方程． 【详解】设乙船在静水中的速度为里/时，则甲船在静水中的速度为里/时，根据题意得， 即． 故选：B． 3．（25-26七年级下·北京·阶段检测）甲和乙计划前往距学校的图书馆，甲先出发步行前往，乙在30分钟后骑自行车前往，最终甲和乙同时抵达图书馆．若将甲和乙的运动过程看作匀速运动，已知乙的速度比甲的速度快，求甲的速度．设甲的速度为，请根据题意列出方程___________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 甲先出发30分钟，乙后出发同时到达，即甲所用时间比乙多0.5小时，根据速度和时间关系列方程 【详解】解：∵甲的速度为 ，乙的速度比甲的速度快， ∴乙的速度为 ， ∴甲行驶所用时间为 小时，乙行驶所用时间为 小时， ∵由于甲先出发30分钟（即0.5小时），且两人同时到达， ∴甲所用时间比乙多0.5小时， 根据题意可列方程： ． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·山西长治·期中）下面是学习分式方程的应用时，老师在课堂上展示的一道实际问题，以及两名同学根据题意列出的方程，我们一起来分析并解决它： 分式方程的应用 长治到太原的距离约为，长治到郑州的距离约为，一辆从长治开往太原的大巴速度比从长治开往郑州的大巴速度快，结果从长治到太原和郑州的行驶时间相同．求这两辆大巴的速度． 芳芳同学：    橙橙同学： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)芳芳同学所列方程中表示的实际意义是________；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． 【答案】(1)长治到郑州的大巴速度；两辆（或长治到太原或长治到郑州）大巴车的行驶时间 (2)长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为 【分析】（1）根据题意和所列方程可得答案； （2）选芳芳的解法，解方程求出x的值，检验后求出的值即可得到答案；选橙橙的解法，解方程求出t，再根据速度等于路程除以时间求出对应的速度即可． 【详解】（1）解：根据题意可得芳芳同学所列方程中表示的实际意义是长治到郑州的大巴速度；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是两辆（或长治到太原或长治到郑州）大巴车的行驶时间． （2）解：选芳芳同学的解法： ， 去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意 ； 答：长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为 选橙橙的解法： ， 去分母得， 解得， ，， 答：长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为． 【经典例题七 分式方程的工程问题】 【例1】（25-26七年级下·福建厦门·期末）学校图书馆有600册图书需整理．由于图书管理员当天还需完成其他任务，实际每小时整理的图书比原计划增加了，结果提前完成整理这600册图书的任务．小禾根据这一情景中的数量关系列出方程，则该方程中的未知数表示的意义为（   ） A．实际每小时整理图书的数量 B．原计划每小时整理图书的数量 C．实际完成整理图书所需的时间 D．原计划完成整理图书所需的时间 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 通过对比实际情境与方程结构，可知方程中的表示原计划每小时整理图书的数量． 【详解】解：设原计划每小时整理图书的数量为，则原计划所需时间为， ∵实际每小时整理数量增加， ∴实际每小时整理数量为，实际所需时间为， ∵提前完成， ∴， 该方程与小禾所列方程一致， ∴表示原计划每小时整理图书的数量， 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·山西忻州·期末）以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个， 根据题意得，， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某工程队修一条公路，原计划每天修米，实际每天比原计划多修米，原计划修完公路所需时间是实际的倍，所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，假设总工程量为单位“1”，根据题意列出方程即可得出结果． 【详解】解：假设总工程量为单位“1”， 原计划需要时间为， 实际需要时间为， 故可得方程． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）学校计划对教学楼前的绿植进行翻新养护，这项工作如果由甲园艺师单独完成，需要m天，如果由甲、乙两位园艺师合作，可提前3天完成，乙园艺师单独做每天可以完成这项绿植养护工作的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定二人的工作效率为：，甲的工作效率为，则乙的工作效率为：，解答即可； 【详解】解：甲、乙两位园艺师合作，可提前3天完成，故二人用天完成， 故二人的工作效率为：， 由甲园艺师单独完成，需要m天， 故甲的工作效率为：， 故乙的工作效率为：； 3．（2023七年级下·广东佛山·阶段测试）甲、乙两队修建一条水渠，甲先完成工程的三分之一，乙后完成工程的三分之二，两队所用的天数为；甲先完成工程的三分之二，乙后完成工程的三分之一，两队所用天数为；甲、乙两队同时工作完成的天数为，已知比多5，是的2倍多4，那么甲单独完成此项工程需要___________天． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用． 设甲单独完成此项工程需要天，乙单独完成此项工程需要天，可得，，的表达式，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设甲单独完成此项工程需要天，乙单独完成此项工程需要天，则 依题意得：， 即． ∵是的2倍多 ∴， 化简得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴甲单独完成此项工程需要30天． 故答案为：30． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 【经典例题八 分式方程的经济问题】 【例1】（25-26七年级下·山东威海·期中）某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用；根据题目中的等量关系列出对应的方程是解题关键． 根据题意，第一次购买x杯奶茶花费15元，单价为元/杯；第二次购买时，单价降低1元，即元/杯，购买数量增加2杯，即杯，总花费减少1元，即14元，据此列方程并变形，与选项对比． 【详解】∵ 第二次单价为元/杯，数量为杯，总花费为元， ∴ 方程为， 变形得， 即． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）小明现有本金5万元，准备投资理财，方案是1年后返还3万元，2年后返还万元，设收益率为，那么该方案的收益率应该满足的方程是__ ． 【答案】 【分析】本题考查了收益率，熟练掌握定义是解题的关键． 根据现值原理，未来现金流的折现值之和应等于初始投资本金． 【详解】解：设收益率为，则一年后返还3万元的现值为 ，两年后返还万元的现值为 ，两者之和等于本金5万元， 故得方程 ， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，结合单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，即可得出答案． 【详解】解：设采购x个篮球，可得方程为； 设标价都为每个y元，可得方程为； 故选项A符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级下·福建莆田·期末）在欧拉的著作《代数引论》中有这样一道趣题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同．甲农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖得15个铜板．”乙农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个铜板．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设甲农妇带了个鸡蛋，列出方程，现有以下结论：①甲农妇所卖鸡蛋的单价是；②乙农妇所卖鸡蛋的单价是；③100个鸡蛋所卖得的钱数是；④所列方程依据的等量关系是甲乙农妇卖得的钱数相同．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，①乙农妇所带鸡蛋的个数为（）个，由卖得15个铜板即可判断；②甲农妇带了个鸡蛋，由乙农妇卖得个铜板即可判断；③100个鸡蛋所卖得的钱数是，即可判断；④由等量关系：甲乙农妇卖得的钱数相同，即可判断； 找出等量关系式，理解每个量是解题的关键． 【详解】解：①乙农妇所带鸡蛋的个数为（）个，甲农妇所卖鸡蛋的单价是， 故①正确，符合题意； ②乙农妇所卖鸡蛋的单价是， 故②正确，符合题意； ③100个鸡蛋所卖得的钱数是 ， 故③错误，不符合题意； ④等量关系：甲乙农妇卖得的钱数相同， 故④正确，符合题意； 综上所述：①②④正确； 故选：B． 3．（25-26七年级下·陕西安康·期末）笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买两种型号毛笔共500支，A型号毛笔的单价是B型号毛笔的单价的1.4倍，购买A型号毛笔共花费4200元，购买B型号毛笔共花费4500元设B型号毛笔的单价是x元/支，则可列分式方程为________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．设B型号毛笔单价为x元/支，则A型号毛笔单价为元/支；根据总花费和单价，可求出A、B型号毛笔的数量，再根据总数量为500支列方程． 【详解】解：A型号毛笔数量为，B型号毛笔数量为，总数量为500支， 故列分式方程为． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高，若用360元等额资金分别购进A、B两类配件，则A类配件的数量比B类配件的数量少3个． (1)求A、B两类机器人配件每个的进价； (2)3月，该科技店用5400元购进A类配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 【答案】(1) A类配件每个进价72元，B类配件每个进价45元 (2) 购进A类配件50个，B类配件40个 【分析】（1）设B类配件的进价为未知数，根据A、B进价的关系表示出A的进价，再结合“360元购买时A的数量比B少3个”列分式方程求解； （2）设购进两类配件的数量，根据总进价和总利润列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设B类配件每个进价为元，则A类配件每个进价为（元）， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 则， 答：A类配件每个进价72元，B类配件每个进价45元． （2）解：设购进A类配件个，购进B类配件个， 根据题意可得 解得， 答：购进A类配件50个，B类配件40个． 【经典例题九 分式方程和差倍分问题】 【例1】（25-26七年级下·上海普陀·阶段检测）某公司第一季度总共生产80万部手机．已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部的电影，手机比手机快190秒，设手机的下载速度为，则正确的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据“手机比手机快190秒”列方程即可． 【详解】解：设手机下载速度为， 则手机下载速度为 下载时间为 秒， 下载时间为秒， 所以方程为， 故选B． 【例2】（23-24七年级下·湖南郴州·期中）甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘个，乙摘个所用时间比甲摘个所用时间多分钟，求甲摘个草莓、乙摘个草莓时间分别为多少小时．设甲摘个草莓时间为小时，则可列分式方程为______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，即可 【详解】设甲摘个草莓时间为小时， 分钟等于小时， ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“数量=总价÷单价”，分别表示出笔记本和绘画本的购买数量，再根据“笔记本数量比绘画本多2本”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设购买一本笔记本需元，绘画本单价是笔记本单价的倍， ∴绘画本的单价为元． ∵用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本， ∴笔记本数量为本，绘画本数量为本． ∵笔记本比绘画本多本， ∴可列方程为． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙三个数依次大，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设乙数为，则甲数为，丙数为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设乙数为，则甲数为，丙数为， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 即甲数为，乙数为，丙数为， 故选：C． 3．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）将三支长度相同的蜡烛 同时点燃，当蜡烛 剩一半时，蜡烛 和蜡烛 剩余部分的长度之比为 ，当蜡烛 剩一半时，蜡烛 和蜡烛 剩余部分的长度之比为 ，若整个燃烧过程中，每支蜡烛燃烧速度均保持不变，则当蜡烛 剩一半时，蜡烛 和蜡烛 剩余部分的长度之比为___________． 【答案】 【分析】设蜡烛的长度为，蜡烛，，燃烧的速度分别是、、，根据当蜡烛剩一半时，蜡烛和蜡烛剩余部分的长度之比为：，得到①；根据当蜡烛剩一半时，蜡烛和蜡烛剩余部分的长度之比为：，得到②，解方程组即可求解． 【详解】解：设蜡烛的长度为，蜡烛，，燃烧的速度分别是、、， 由题意可知，蜡烛剩一半所用时间 此时蜡烛剩余部分的长度为： 蜡烛剩余部分的长度： 依题意， 整理，得①； 蜡烛剩一半所用时间 此时蜡烛剩余部分的长度为： 蜡烛剩余部分的长度： 由题意，可得， 整理，得②． 联立①②得 解得： 蜡烛剩一半所用时间 此时蜡烛剩余部分的长度为： 蜡烛剩余部分的长度： 蜡烛和蜡烛剩余部分的长度之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 4．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期末）列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【答案】(1)制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟 (2)升级后制作一对“一字扣”需20分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用等知识． （1）设制作一对“花扣”需要x分钟，根据制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟列出方程，解方程即可求解； （2）设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟，根据50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的列分式方程，解分式方程即可求解． 【详解】（1）解：设制作一对“花扣”需要x分钟，则制作一对“一字扣”需分钟． 由题意得， 解得， ． 答：制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟； （2）解：设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟， 由题意得， 整理得， 去分母得， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴分钟． 答：升级后制作一对“一字扣”需20分钟． 【经典例题十 分式方程的其它实际问题】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段检测）某班学生参加植树活动，甲组每小时植树x棵，乙组比甲组每小时多植树2棵，甲组种60棵与乙组种66棵所用时间相同，则x的值为（  ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据题意，甲组每小时植树x棵，乙组每小时植树棵，甲组种60棵的时间与乙组种66棵的时间相等，建立方程求解即可． 【详解】解：设甲组每小时植树棵，则乙组每小时植树棵， 甲组种60棵所需时间为小时，乙组种66棵所需时间为小时， 根据时间相等，列方程： ， 解得：， 经检验是原方程的解，符合题意， 故选：B． 【例2】（23-24七年级下·湖北十堰·阶段测试）小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 【答案】10 【分析】设原计划每天完成页，根据总用时32天列出分式方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到答案． 【详解】解：设原计划每天完成页， 由题意得：， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得或， 经检验和都是原方程的解，但不符合实际意义，舍去， 所以小张原计划每天完成10页． 1．（2024七年级下·浙江宁波·阶段测试）某水池有编号为①，②，…，⑤的5个进水水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表，则5个水管齐开，（   ）小时可把水池灌满． 水管号 ①② ②③ ①④ ②④ ③⑤ 时间（小时） 6 12 18 A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设单独开①，②，③，④，⑤进水水管灌满水池需要的时间分别为a，b，c，d，e小时，根据题意列出方程组，利用整体思想解方程组，得到答案．本题考查的是分式方程的应用，灵活运用整体思想是解题的关键． 【详解】解：设单独开①，②，③，④，⑤进水水管灌满水池需要的时间分别为a，b，c，d，e小时， 由题意得：， ，得 则⑥， ，得 ∴ ∴ ∴5个水管齐开，4小时可把水池灌满， 故选：C． 2．（2024七年级下·浙江温州·阶段测试）有两个相邻的手机门市甲和乙，甲购进了几只某种型号的手机，定好了售价．一个月后，乙也购进了几只同样的手机，售价与甲相同，但进价比甲降低了，因而利润率比甲提高了12个百分点．那么甲经销这种手机的利润率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了分式的应用题，解题的关键是要区分利润率比甲提高了12个百分点，还是利润比甲提高了12个百分点． 首先假设甲购进手机的进价为元，售价为元．那么甲购进手机的利润率，乙购进手机的进价为，那么乙的利润是．根据利润率乙比甲提高了12个百分点，即甲经销这种手机的利润乙经销这种手机利润．那么可解的的值，则甲经销这种手机的利润率即可得解． 【详解】解：设甲购进手机的进价为元，售价为元． 根据题意得， 解得：， ∴甲经销这种手机的利润率， 故选：B． 3．（25-26七年级下·重庆梁平·期末）如图所示的电路的总电阻为，若，则__________． ， 【答案】 【分析】根据并联电阻的特点，总电阻为，，代入得，求出，根据即可得到答案． 【详解】根据并联电阻的特点，总电阻为，， 则有：， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题属于跨学科题型，考查了根据并联电阻的特点列分式方程求解，熟记并运用是解题的关键． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）中考体育项目中，若要取得男生1000米项目的满分成绩，需在3分50秒内跑完全程．男生甲同学第一次模拟测试未拿满分，经过训练，第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍，结果比第一次提前了15秒到达终点，那么甲同学第二次模拟测试取得满分成绩了吗？请说明理由． 【答案】取得满分，见解析 【分析】设甲同学第一次模拟测试用时秒，则第二次模拟测试用时秒，根据“第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍”建立分式方程求解，再求出甲同学第二次模拟测试的时间即可． 【详解】解：能取得满分，理由如下： 设甲同学第一次模拟测试用时秒，则第二次模拟测试用时秒 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 那么第二次模拟测试用时秒，而3分50秒秒， 由于， 故甲同学第二次模拟测试取得满分成绩， 答：甲同学第二次模拟测试取得满分成绩． 【拓展训练一 列出分式方程并解决实际问题】 【例1】（2024·七年级下 云南红河）为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（    ） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解题的关键；设原来的平均速度是，则现在的平均速度为，根据时间少用90min列出分式方程并求解即可． 【详解】解：设原来的平均速度是，则现在的平均速度为， 由题意得： 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 即原来的平均速度是， 故选：C． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）黄元米果也称“黄米果”，起源于唐，兴盛于明，属客家特色点心，早在明朝正德年间就被列为贡品．某特产店批发了A，B两种不同型号的黄元米果，已知A型黄元米果的单价比B型黄元米果的单价多元，且用120元购买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄元米果的数量相同，则A型黄元米果的单价是________元． 【答案】6 【分析】本题考查分式方程的实际应用，注意结果要检验，设型黄元米果单价为元，则型黄元米果的单价为元，根据“用120元购买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄元米果的数量相同”这个等量关系列式子，求解即可． 【详解】解：设型黄元米果单价为元，则型黄元米果的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则A型黄元米果的单价是6元． 故答案为：6． 1．（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）现有若干防疫口罩，疫情防控人员计划将这些口罩分为两批，分别在两周内分发完毕．第一周将第一批口罩数量按照1：3：4的比例分发给、、三个小区且全部分完．第二周先拿出第二批口罩数量的20%分发给社区工作人员，再将剩余口罩的分发给小区，则小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9.若、小区两周收到的口罩数量之比为3：4，则小区第二周收到的口罩数量与口罩总数量之比为（　　） A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：41 【答案】B 【分析】先设出相应的量，利用题意表示出它们的关系，再列式求解即可． 【详解】解：设第一批和第二批口罩数量分别为a和b，小区第二周收到的口罩数量为x，由题意可得如下信息： A B C 三个小区口罩总量 第一周 第二周 ∵小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9， ∴， ∴， 由、小区两周收到的口罩数量之比为3：4， ∴、、三个小区两周收到的口罩数量之和的比为， ∴即， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式的应用，解题关键是正确理解题意，根据其中的比例关系正确表示出第一周和第二周的A和B两个小区的口罩数量，以及求出a和b的数量关系，本题较为抽象，学生在审题上易出现困难． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段测试）10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个正数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他数的几何平均数（称为和的几何平均数）报出来，若报出来的数如图所示，则报的人心里想的数是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型问题，分式方程的应用，设报的人心中想的为，按照顺时针的顺序推下去，每个人心中所想的数分别为，根据题意可得，，，，，最后列出方程，即可解答． 【详解】解：设报的人心中想的为，按照顺时针的顺序推下去，每个人心中所想的数分别为， 根据题意可得，，，，， 即，，，，， 可得，，，，， 故可得， 解得（舍去负数）， 故选：B． 3．（2023七年级下·浙江台州·阶段测试）排成一行的学生，从左到右1至3报数，最后一个人报2．从右到左1至报数，最后一个人报1，这里与3互质．凡是报过1的学生出列，其余原地不动，共留下62名，其中只有21对学生原来相邻．原来有___________名学生；的值是___________． 【答案】 125 4 【分析】本题主要考查数论基础，题目难度较大，设原来队伍有人，队伍从左到右编号为，则第一次报1的有人，编号为，其中 ；按照题目要求进行排列，最后可得，即可求值. 【详解】解：设原来队伍有人，队伍从左到右编号为， 第一次报1的有人（报数规则为1，2，3循环）： 报1的人编号为，其中     ； 第二次报1的有人（报数规则为1，2，…，m循环）：报1的人编号为，其中； 两次都报1的人满足条件：，即， ∵ ， ∴，， 两次都报1的编号为，，共计有 人，     首先，第一次让报1的人出列，出列人数为，剩余的人相邻2人一组（共组）和最右边一个一人组；第二次让报1但第一次未报1的人出列，出列人数为：， 另一方面， 第二次出列的除最右边一人外，都是由一部分第一次留下来的二人组中出来的人， ∴最后留下来的一人组数就是第二次出列的人数减1，即 根据题意得 ， 第一次留下来的个二人组中有个组在第二次每组出列一人变成了一人组， ∴留下二人组的个数 ，即； 代入得： 又由近似：， ， ， ∴ 故答案为：125；4 . 4．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期中）列方程解下列问题： 某农场去年春季种植苹果和桃子共收获．今年春季苹果产量比去年增加，桃子产量比去年增加，苹果和桃子的总产量比去年增加． (1)去年春季苹果和桃子的产量各多少千克？ (2)今年春季收获果实时，该农场安排两组工人分别采摘苹果和桃子，每小时采摘苹果的质量是采摘桃子质量的倍，两组工人同时开始劳动，结果采摘桃子的工人比采摘苹果的工人提前15分钟完成采摘任务．问采摘苹果组的工人每小时采摘苹果多少千克？ 【答案】(1)去年春季苹果产量为，桃子产量为. (2)采摘苹果组的工人每小时采摘苹果 【分析】（1）设去年春季苹果产量为，桃子产量为.根据题意，得，解答即可； （2）设每小时采摘桃子的质量为，则每小时采摘苹果的质量是，根据题意，，解答即可． 【详解】（1）解：设去年春季苹果产量为，桃子产量为. 根据题意，得， 解得， 答：去年春季苹果产量为，桃子产量为. （2）解：设每小时采摘桃子的质量为，则每小时采摘苹果的质量是， 根据题意，， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：采摘苹果组的工人每小时采摘苹果． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据分式方程的增根是使最简公分母的的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母，解得， 即方程的增根为， 方程两边同乘，得， 展开整理得：， 移项化简得：， 将代入得， 解得． 4．（2026·七年级下 河南周口）《百骏图》是清代绘画珍品，被汴绣艺人以精湛技艺绣制于锦缎之上，生动再现了百匹骏马的形态与神韵，栩栩如生，令人赞叹不已．如图，汴绣作品绣面的主体部分是一个长为，宽为的矩形，经过装裱处理后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，求边框的宽度．设边框的宽度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据装裱后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：设边框的宽度为，根据题意可列方程为． 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先对分式因式分解约分，再根据x为正整数的条件，结合选项验证得到正确结果． 【详解】解：原式， A．若，解得，不符合x为正整数，排除； B．若，∴，解得，是正整数，符合条件； C．若，整理得，方程无解，排除； D．若，∴，解得，不是正整数，排除． 6．（2026·七年级下 山东菏泽）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 【答案】C 【分析】设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过路段时的速度． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 ∴路段的速度是米/秒． 7．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产10个，结果延期8天完成 B．每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成 C．每天比原计划少生产10个，结果延期8天完成 D．每天比原计划少生产10个，结果提前8天完成 【答案】B 【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推得题目缺失的条件． 【详解】解：∵设实际每天生产零件个，给定方程为， ∴原计划每天生产个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天， ∴原计划用时比实际多8天，即实际生产提前8天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）我们定义：形如：（、不为零），且两个解分别为，的方程为“十字分式方程”． 例如为“十字分式方程”，可化为，，． 再如为“十字分式方程”，可化为 ，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则， （2）若“十字分式方程”的两个解分别为，，则的值为． （3）若关于的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），则的值为2． 正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】（1）由 ，，根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出，的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出，，从而可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：（1）对于 ， ，，符合十字分式方程定义， ，，故（1）正确． （2）方程 可化为 ， 根据定义得，． ．故（2）错误． （3）原方程变形：两边同时减1得 ， 整理得 ， ， ，符合十字分式方程定义， ， ，即 ， 又， ， ， 得 ，， 代入得 ，故（3）正确． 综上，正确的结论共2个． 9．（25-26七年级下·福建福州·阶段检测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得27个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得12个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，设甲的单价为a个铜板，乙的单价为b个铜板，根据卖得的钱数相同以及交换鸡蛋后的卖价关系列出方程即可． 【详解】解：设甲的单价为a个铜板，乙的单价为b个铜板， 则甲卖自己的鸡蛋得钱个铜板，乙卖自己的鸡蛋得钱个铜板， ∴， ∵甲卖乙的鸡蛋按甲的单价得27铜板，乙卖甲的鸡蛋按乙的单价得12铜板， ∴，， ∴， ∴，即， 故选A． 10．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）对于实数进行如下次操作：；；；；．下列说法：①若，则；②若的值是1，则；③的值为2，则的值为．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算和化简以及解分式方程，关键是通过递推计算前3项，发现的循环为3，再结合循环性质分别对三个说法进行验证． ①先根据迭代式推导的表达式，发现，若，则直接得，再代入迭代过程验证，判断该说法是否正确． ②利用循环为3的性质，得、，将转化为；代入和的表达式，解方程求出的值，再验证是否符合条件． ③先计算一个循环的乘积；将除以3得余数为1，确定前项的乘积为；令乘积等于2，解方程求出，进而求出的值，最后验证． 【详解】解：根据题意，，，， 可见3个为循环，即． ①若，因，故． 验证：时，，，，符合条件，①正确． ②若，因，，故． 代入表达式：，解得． 验证：时，，，和为1，符合条件，②正确． ③∵，， ∴， 解得，即，解得，验证符合条件，③正确． 综上，三个说法均正确，共3个． 故选：D． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）满足方程：的正整数有序数对个数为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了非一次不定方程的知识点，解答本题的关键是求出的取值范围．化简方程，根据题意得出，，分别代值求解即可； 【详解】解：∵不定方程， ∴， ∴， 由题意可知， 当时，， 当时，， 当时，n不是整数， 当时，， 当时，n不是整数， 当时，n不是整数， 当时，n不是整数， 当时，． 故方程：的正整数有序数对为：，，，，共4个． 故答案为：4． 12．（25-26七年级下·四川成都·期末）定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为________． 【答案】2或4/4或2 【分析】先根据新定义和已知条件求出a，b的值，再把关于x的方程化为分式方程，去分母转化为整式方程，根据方程无解求出k的值即可． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， ， ， ， 整理得：， 整理得：， 关于x的方程无解， 当时，原方程无解， 即， 当，时是增根，原方程无解， 即或， 即， 综上实数k的值为2或4． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了解分式方程，理解新定义，求出a，b的值是解题的关键，同时理解分式方程无解的意义． 13．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）根据近期国际市场油价变化情况，国家为确保市场稳定供应采取相关联动及补贴政策，今年6月份每升汽油的价格是去年6月份每升汽油的价格的倍，小方用300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升，设去年6月份每升汽油的价格为x元，则可列出方程为______． 【答案】 【分析】设去年6月份每升汽油的价格为x元，则今年6月份每升汽油的价格为元，根据“300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升”列出方程即可． 【详解】解：设去年6月份每升汽油的价格为x元，则今年6月份每升汽油的价格为元， 根据题意可列方程为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程． 14．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）对于非零的两个实数，规定．如果，那么x的值为_____． 【答案】0 【分析】根据新定义的运算规则，列出关于的分式方程，解分式方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 由 得： ， 方程两边同乘得： ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解， ∴x的值为0． 15．（25-26七年级下·重庆九龙坡·月考）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调，“绿水青山就是金山银山”，为践行习总书记重要思想，开创生态文明新时代．安全村是生态文明建设示范村，已知安全村原有绿化植物紫薇、马兰、叶子花的数量之比，为加强生态文明建设，安全村决定增加紫薇、马兰、叶子花的种植量，经村委会测算，增加种植马兰的数量是增加种植这三种绿化植物之和的，此时，现有马兰的数量与现有的三种绿化植物总量之比为，而紫薇与叶子花的总量之比为，则安全村增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是：______． 【答案】 【分析】设紫薇、马兰、叶子花的原有数量分别为，，，增加数量分别为x，y，z，则紫薇、马兰、叶子花的现有数量分别为，，，因此增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是，根据所给数量关系列出方程组，通过等量代换用含h的代数式表示出x和，代入即可求解． 【详解】解：设紫薇、马兰、叶子花的原有数量分别为，，，增加数量分别为x，y，z， 则紫薇、马兰、叶子花的现有数量分别为，，， 由题意知：， 由得：，， 将代入，得，解得， 由③得：， 将代入，得， 解得， 因此， 即增加种植紫薇的数量与现有的这三种绿化植物总量之比是， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程、方程组的实际应用，计算量较大，解题的关键是根据题意列出方程组，通过等量代换求解． 16．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）先求出分式方程的解，再根据方程的解是得出答案； （2）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得出方程的解，再根据有增根可得，然后求出m的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． ∵方程的解是， ∴，且， 解得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 当时，． ∵方程有增根， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 17．（25-26七年级下·四川成都·期中）按要求解题： (1)解方程：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； （2）解： ． 18．（2026·七年级下 云南昆明）“翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 【答案】乙同学每天读书页 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页，根据读书天数总页数每天读的页数，以及两人读书的天数差列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页， 由题意可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙同学每天读书页． 19．（25-26七年级下·广东东莞·期末）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1) 甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2) 48000元 【分析】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 20．（25-26七年级下·全国·期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 【答案】(1)A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元 (2)1 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，分式方程的工程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）（元）．设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元，根据题意列出分式方程求解，从而可求得A型口罩的单价； （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：，从而可得，同理可得，，从而可求得． 【详解】（1）解：（元）． 设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元． （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：， ∴， ∴，即． 同理，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $