专题5.3 分式的乘除重难点题型专训（3个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦分式的乘除运算核心知识点，系统梳理分式乘法（分子分母积为积的分子分母）、除法（除式分子分母颠倒后相乘）、乘方（分子分母分别乘方）及混合运算（先乘方再乘除后加减）的原理，构建从基础法则到综合运算的递进式学习支架。 该资料以5大题型分层训练为特色，搭配即时训练、经典例题（如警犬上下山平均速度计算）及拓展训练，通过实际情境问题培养学生运算能力（数学思维）与应用意识（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后助力学生自我检测、查漏补缺，提升分式运算综合解题能力。

专题5.3 分式的乘除重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 分式乘法 题型二 分式除法 题型三 分式乘除混合运算 题型四 分式乘方 题型五 含乘方的分式乘除混合运算 拓展训练一 分式的混合运算 知识点一：分式的乘除 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为． 2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则A表示的分式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·七年级下 河北唐山）已知，则整式______． 知识点二：分式的乘方 一般地，当n是正整数时，，即．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：（其中n为正整数）________． 知识点三：分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：_________． 【经典例题一 分式乘法】 【例1】（25-26七年级下·全国·期末）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·七年级下 湖北襄阳）计算的结果是___． 1．（2026·七年级下 广东广州）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·阶段检测）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级下·全国）警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是________ 4．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【经典例题二 分式除法】 【例1】（25-26七年级下·山东烟台·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 1．（2026·七年级下 河北邯郸）化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）小明准备完成如图所示的这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． (1)求被墨水污染的部分； (2)小明认为当时，原分式的值为1，你同意小明的说法吗？为什么？ 【经典例题三 分式乘除混合运算】 【例1】（25-26七年级下·全国·周测）化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·单元复习）___________． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（23-24七年级下·全国·课堂例题）一艘船往返于相距50千米的两个码头．已知水的流速为2千米/时，船在静水中的速度为千米/时，那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知被除式和商求除式已知被除式和商求除式中的某一项 若，则m的值为________． 4．（25-26七年级下·河南商丘·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题四 分式乘方】 【例1】（25-26七年级下·河南信阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）_________． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 3．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）计算：________．（结果只含有正整数指数幂） 4．（25-26七年级下·吉林长春·期中）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______； (2)根据图2所得的公式： ①若，则的值是______； ②若，求的值； (3)如图3，某学校有一块四边形空地于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为50平方米，米，则种花区域的面积和是______ 【经典例题五 含乘方的分式乘除混合运算】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·期末）当，时，____． 1．（23-24七年级下·广东佛山·期末）关于代数式的值，以下结论不正确的是（    ） A．当取互为相反数的值时，的值相等 B．当取互为倒数的值时，的值相等 C．当时，越大，的值就越大 D．当时，越大，的值就越大 2．（2023七年级下·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）________；              （2）________； （3）________；   （4）________； （5）________． 4．（24-25七年级下·山东东营·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，，先化简再求值：； （3）已知，，先分解因式，再求值：． 【拓展训练一 分式的混合运算】 【例1】（23-24七年级下·河北保定·期末）若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ） A．1 B．x C． D．4 【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示） 1．（2023七年级下·全国·专题练习）若分式的值为整数，则正整数x的个数为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（23-24七年级下·天津和平·期末）有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　） A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______（填序号）． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）当取何值时，式子的值为正数？ 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 3．（25-26七年级下·广西崇左·阶段检测）下列各计算过程中，正确的是（） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 5．（23-24七年级下·全国·假期作业）一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 6．（2025·七年级下 四川南充）若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 9．（23-24七年级下·重庆万州·期中）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 10．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知有序代数式串：，对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，；第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，，；依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：，，，，； ②第次操作后得到的新代数式与第次操作后得到的新代数式相同； ③第次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 11．（2025·七年级下 四川自贡）在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取_____． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）定义两种运算：，，则_________． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的值为3，则的值为______． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：_________． 15．（23-24七年级下·湖南长沙·月考）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且，则的值为______ ． 16．（23-24七年级下·北京·期末）计算： 17．（2026·七年级下 四川南充）已知：，求的值． 18．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．求“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 分式的乘除重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 分式乘法 题型二 分式除法 题型三 分式乘除混合运算 题型四 分式乘方 题型五 含乘方的分式乘除混合运算 拓展训练一 分式的混合运算 知识点一：分式的乘除 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为． 2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则A表示的分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 2．（2025·七年级下 河北唐山）已知，则整式______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法和除法；根据题意可得，利用分式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 知识点二：分式的乘方 一般地，当n是正整数时，，即．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：（其中n为正整数）________． 【答案】 【详解】解：． 知识点三：分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解． 【详解】解： 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：_________． 【答案】 【分析】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分． 分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：， 故答案为：． 【经典例题一 分式乘法】 【例1】（25-26七年级下·全国·期末）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟知运算法则和因式分解是解题的关键．通过因式分解分母并利用符号变化简化表达式． 【详解】解：原式 = ， 故选： C． 【例2】（2026·七年级下 湖北襄阳）计算的结果是___． 【答案】 【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解． 【详解】解：原式． 1．（2026·七年级下 广东广州）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘除法法则，分式乘法法则，分别计算各选项后判断正误即可． 【详解】解：选项A：，∴A计算正确； 选项B：，∴B计算错误； 选项C：，∴C计算错误； 选项D：，∴D计算错误． 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·阶段检测）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 3．（2024七年级下·全国）警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是________ 【答案】120米/分 【分析】本题考查了分式乘法的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上山的路程为S，则上、下山的总路程为，可逐步求得上下山的总时间，最后利用平均速度等于上、下山的总路程除以总时间，计算即得答案． 【详解】解：设上山的路程为， 则由题意得，平均速度为(米/分)， 故答案为：120米/分． 4．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【经典例题二 分式除法】 【例1】（25-26七年级下·山东烟台·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别利用完全平方公式、合并同类项法则、积的乘方及幂的乘方法则、分式除法法则对各选项计算即可判断． 【详解】解：A．， 原计算错误，故此选项不符合题意； B．， 原计算错误，故此选项不符合题意； C．， 原计算正确，故此选项符合题意； D．当时，， 原计算错误，故此选项不符合题意． 【例2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 1．（2026·七年级下 河北邯郸）化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可． 【详解】解：原式 ， ∵结果为整式， ∴必为分子因子之一，即、 或． ∵不是分子因子， 故不可能是； 故选A． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 【答案】 【分析】本题为新定义运算题，先根据给定的两种运算定义，将目标式中的新运算转化为常规分式，再依据分式除法法则及平方差公式进行化简计算即可． 【详解】解：根据新定义运算：，，则， ∴ ． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）小明准备完成如图所示的这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． (1)求被墨水污染的部分； (2)小明认为当时，原分式的值为1，你同意小明的说法吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不同意，理由见解析 【分析】（1）根据除数=被除数÷商列式求解即可； （2）根据除数不能等于0解答即可． 【详解】（1）解：∵ ． ∴被墨水污染的部分为． （2）解：不同意，理由如下： 时，除数，原式没意义， ∴当时，原式的值不为1． 【经典例题三 分式乘除混合运算】 【例1】（25-26七年级下·全国·周测）化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原式括号内的部分通分合并，再将除法转化为乘法，然后把每个选项代入“”的位置，化简后检验结果是否为． 【详解】解：∵ 原式 = = 又 ∵ ∴ 原式 = = = ． 又 ∵ 化简结果为 ． ∴ ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及乘除运算法则，通过化简原式建立关于“”的等式来求解． 【例2】（25-26七年级下·全国·单元复习）___________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再化除法为乘法，进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·课堂例题）一艘船往返于相距50千米的两个码头．已知水的流速为2千米/时，船在静水中的速度为千米/时，那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析，用静水速度减去水流速度表示出逆水速度，用静水速度加上水流速度表示出顺水速度，然后用路程除以速度分别表示出逆水行驶的时间和顺水行驶的时间，最后用顺水行驶的时间除以逆水行驶的时间即可解答． 【详解】解：由题意得：船在顺水中的速度是千米/时，船在逆水中的速度是千米/时， 则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除应用，解题的关键是表示出顺水行驶的时间和逆水行驶的时间． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知被除式和商求除式已知被除式和商求除式中的某一项 若，则m的值为________． 【答案】 【分析】利用分式的除法计算法则求解即可，考虑到． 【详解】解：由题意可知，，，故且 ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式除法的运算，熟练掌握是解决本题的关键． 4．（25-26七年级下·河南商丘·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可求解； （2）运用乘法公式进行运算即可求解； （3）先算乘方和负整数指数幂，再算乘除即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【经典例题四 分式乘方】 【例1】（25-26七年级下·河南信阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算法则及完全平方公式的应用，根据相关法则逐一计算各选项判断正误即可． 【详解】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故A选项正确； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故B选项错误； ∵完全平方公式为， ∴，故C选项错误； ∵分式的乘方，分子分母分别乘方， ∴，故D选项错误． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）_________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】先根据分式的乘方法则和幂的运算法则化简已知等式左边的表达式，再通过指数运算得出结果，从而求出的值. 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘方和除法运算，在进行分式运算时，要牢记分式乘方、除法的运算法则，注意符号的处理. 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别根据分式的乘方法则计算出结果，再判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）计算：________．（结果只含有正整数指数幂） 【答案】 【分析】先计算负整数指数幂，再计算分式的乘方及乘除即可． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期中）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______； (2)根据图2所得的公式： ①若，则的值是______； ②若，求的值； (3)如图3，某学校有一块四边形空地于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为50平方米，米，则种花区域的面积和是______ 【答案】(1) (2)①28；②7 (3)112平方米 【分析】（1）根据图2中“阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积”即可得出答案； （2）①由（1）的结论即可得出答案；②由，再整体代入计算即可得出答案； （3）设，则，再表示出种草区域的面积和，最后代入后整体求值即可． 【详解】（1）解：∵图2中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， ∴大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又∵阴影部分两个正方形的面积之和等于大正方形的面积减去两个长方形的面积， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴； （3）解：设， ∵，， ∴， ∵在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为50平方米， ∴， ∴种花区域的面积和为， 即种花区域的面积和是112平方米． 【经典例题五 含乘方的分式乘除混合运算】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘方运算，运用指数运算法则：及幂的运算性质是解题的关键． 逐个选项运用分式乘方法则和幂的运算性质计算，判断结果是否正确，注意符号和指数的运算． 【详解】解：A、∵，∴A错误，不符合题意； B、∵， ∴B错误，不符合题意； C、∵，∴C错误，不符合题意； D、∵，∴ ， 与右边相等，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·全国·期末）当，时，____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，首先根据分式的乘除运算法则进行计算，把分式化简可得原式，然后再把，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为： ． 1．（23-24七年级下·广东佛山·期末）关于代数式的值，以下结论不正确的是（    ） A．当取互为相反数的值时，的值相等 B．当取互为倒数的值时，的值相等 C．当时，越大，的值就越大 D．当时，越大，的值就越大 【答案】D 【分析】根据相反数的性质，倒数的性质以及不等式的性质来解决代数式的值即可； 【详解】当a取互为相反数的值时，即取m和-m，则-m+m=0， 当a取m时，① ，当a取-m时，② ， ①=②，故A正确； B、当a取互为倒数的值时，即取m和 ，则 ， 当a取m时，①，当a取时，② ①=②，故B正确； C、可举例判断，由＞1得，取a=2，3（2＜3） 则＜ ， 故C正确； D、可举例判断，由得，取a=，（＞） ， 故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，不等式的性质和代数式求值的知识，正确理解题意是解题的关键． 2．（2023七年级下·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）________；              （2）________； （3）________；   （4）________； （5）________． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 4．（24-25七年级下·山东东营·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，，先化简再求值：； （3）已知，，先分解因式，再求值：． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】（1）先计算分式的乘方运算，然后按照分式的乘除混合运算法则计算即可； （2）将第一项的分子用平方差公式分解因式，将其分母用完全平方公式分解因式，同时计算分式的乘方运算，然后按照分式的乘除混合运算法则计算即可，得到结果后再将各式代入求值； （3）先用提公因式法和完全平方公式分解因式，得到结果后再将各式代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 把，代入上式，得：； （3） ， 把，代入上式，得： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，含乘方的分式乘除混合运算，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，代数式求值等知识点，熟练掌握分式的运算法则及因式分解的方法是解题的关键． 【拓展训练一 分式的混合运算】 【例1】（23-24七年级下·河北保定·期末）若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ） A．1 B．x C． D．4 【答案】C 【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意． 【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意； B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意； C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意； D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简． 【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 1．（2023七年级下·全国·专题练习）若分式的值为整数，则正整数x的个数为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先根据分式的混合运算化简，然后再根据其值为整数确定x的值即可解答． 【详解】解： ＝ ＝， ∵分式的值为整数， ∴或或或且， ∴正整数或2或5或1或6或9，共6个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的化简、分式的值为整数的条件等知识点，正确化简分式是解答本题的关键． 2．（23-24七年级下·天津和平·期末）有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　） A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 【答案】A 【分析】先求出每种方式草皮的面积，再5000元除以面积，即可得出答案；列出算式两种草皮单价之比为：，再求出即可． 【详解】解：方式一种植草皮每平方米的单价是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝（元）； 方式二种植草皮每平方米的单价是5000÷（x2﹣4a2）＝＝（元）， ∵x+2a＞x﹣2a， ∴＞， ∴用方式一比用方式二种植草皮的单价高， 两种草皮单价之比为： ＝• ＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式与分式的混合运算的应用，解此题的关键是能关键题意列出算式，熟练进行计算． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①⑤ 【分析】利用运算法则对每个式子进行计算，然后判断对错． 【详解】解：①计算 原式，∴①正确． ②计算 原式，∴②错误． ③计算； 原式，∴③错误． ④计算； 原式，∴④错误． ⑤计算 原式，∴⑤正确． 综上，正确的是①⑤． 故答案是：①⑤． 【点睛】本题考查了分式的乘方、乘除运算，解题关键是熟练掌握分式乘方、乘除的运算法则，准确进行计算． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）当取何值时，式子的值为正数？ 【答案】且 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，分式的值，先根据乘除混合运算法则，进行化简，再根据分式的值为正数，则分子分母同号，且要保证分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：原式． 因为式子的值为正数，所以，即． 又因为式子中，需满足， 所以当，且时，式子的值为正数． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算和完全平方公式的因式分解，掌握先对多项式因式分解，再通过约分简化计算的技巧是解题的关键． 先对分母的多项式进行因式分解，再观察分子分母的公因式，通过约分简化分式乘法运算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 约去公因式 得 ， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义要求分母不为0，且除法运算中除式不能为0，据此列出不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：依题意， 则，，， 解得，且， 故选：D． 3．（25-26七年级下·广西崇左·阶段检测）下列各计算过程中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键．分式乘除运算时，除法需转化为乘法并注意约分，根据分式的乘除运算依次计算判断即可． 【详解】解：对于A：，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：，故D正确； 故选：D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把所给的等式利用分式的乘除混合运算法则化简，然后结合积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 5．（23-24七年级下·全国·假期作业）一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】根据题意得到队伍的速度为，队尾战士的速度为，可以得到他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是，化简即可求解 【详解】解：由题意得：分钟． 故选：C 【点睛】本题考查了根据题意列分式计算，理解题意正确列出分式是解题关键． 6．（2025·七年级下 四川南充）若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，分式的除法，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，同时掌握分式除法运算法则． 【详解】解：由可得， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行分式的除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先判断分母能否与分子的因式产生公因式，若不存在公因式则无法进行分式化简，据此分析各选项． 【详解】解：A、当时，，能化简，故该选项不符合题意； B、当时，，能化简，故该选项不符合题意； C、当时，，无法进行分式化简，故该选项符合题意； D、当时，，能化简，故该选项不符合题意． 9．（23-24七年级下·重庆万州·期中）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，据此找到规律，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ …… ， ， 由,即①正确； 由，则，即，故②错误； 由，，故③正确； 由当时，，故④正确； 由，可知不是定值，故⑤错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查的分式乘和除法，掌握分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键． 10．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知有序代数式串：，对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，；第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，，；依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：，，，，； ②第次操作后得到的新代数式与第次操作后得到的新代数式相同； ③第次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查规律类探索、分式的除法，准确找出代数式串变化的规律是解题的关键．根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式，，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新代数式串： ，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新代数式串：，，，，，， 第5次操作后得到新代数式串：，，，，，，， 第6次操作后得到新代数式串：，，，，，，，， 第7次操作后得到新代数式串：，，，，，，，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第次操作得到的新代数式与第次、第次操作后得到的新代数式相同，与第次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数串按照，，，，，的顺序循环出现，且每个循环中代数式的乘积为， 第次操作后所得新代数式串中有个代数式，， 前个代数式的积为，第至第个代数式的积为， 第次操作后得到的代数式串之积为，故③正确， 综上所述，说法正确的有个， 故选：B． 11．（2025·七年级下 四川自贡）在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 先对分式进行化简，再根据分式有意义的条件进行分析求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， 在化简过程中，消去了， 因此． 因此，只能取2． 故答案为：2． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）定义两种运算：，，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的值为3，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘除运算法则，结合因式分解对分子分母进行分解后约分，对原式进行化简，得到化简后的分式形式，进而结合已知的化简结果，可解决求值的问题． 【详解】解：由题可知：， ， ， 解得：， 故答案为：． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：_________． 【答案】 【分析】根据分式乘方的法则先分别对两个分式进行乘方运算，再将除法转化为乘法，最后进行约分计算． 【详解】解：原式= ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方和除法运算，解题关键是熟练掌握分式乘方、除法的运算法则，先乘方，再将除法转化为乘法进行计算． 15．（23-24七年级下·湖南长沙·月考）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且，则的值为______ ． 【答案】2 【分析】设，即有：，化简：，则有：，，，设，，即，，， ，则问题即可得解． 【详解】结合a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数进行下述运算， 设， 则有：， 即有：， 化简：， 则有：，，， 设，， 即，，， 则有：，， 即有：， 则有：， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和性质是解题的关键． 16．（23-24七年级下·北京·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法，首先把分式的分子、分母分别分解因式，再约去分子、分母的公因式化为最简分式即可． 【详解】解： ． 17．（2026·七年级下 四川南充）已知：，求的值． 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式，分式的约分化简，再根据非负数的性质求出a与b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 18．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．求“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍． 【答案】“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的倍 【详解】解：由题意得， ． 则“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的倍． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先因式分解、，再按照先乘方再乘除的运算顺序，利用分式的乘除法法则进行化简即可． （2）先因式分解、、，再按照先乘方再乘除的运算顺序，利用分式的乘除法法则进行化简即可． （3）先因式分解、，再按照先乘方再乘除的运算顺序，利用分式的乘除法法则进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的乘除法法则和运算顺序是解题关键． 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)元； (3)存在，或7或5或1． 【分析】此题考查整式的混合运算，掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键． （1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果； （3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可． 【详解】（1）解：原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：， 则油漆这个铁盒需要的钱数是： 元； （3）铁盒的全面积是， 底面积是， 假设存在正整数n，使， 则， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时或7或5或1． 学科网（北京）股份有限公司 $