专题5.4 分式的加减重难点题型专训（2个知识点+10大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦分式的加减核心知识点，以分式的通分为基础，涵盖最简公分母确定、通分步骤，先掌握同分母分式加减，再通过通分实现异分母分式转化，进而延伸至整式与分式加减、混合运算及实际应用，构建递进式学习支架。 资料通过10大题型+拓展训练+自我检测的系统设计，包含工程问题、行程问题等实际应用场景，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过化简求值、恒等式推理提升运算能力与推理意识，用分式表达数量关系强化数学语言应用。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识要点。

专题5.4 分式的加减重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 同分母分式加减法 题型二 通分 题型三 最简公分母 题型四 异分母分式加减法 题型五 整式与分式相加减 题型六 分式加减混合运算 题型七 分式加减的实际应用 题型八 分式加减乘除混合运算 题型九 分式化简求值 题型十 已知分式恒等式，确定分子或分母 拓展训练一 分式混合运算 知识点一：分式的通分 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母． 3. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·重庆·期中）将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据最简公分母是，将分式变为，分子和分母都乘以，即可得出答案． 【详解】． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的通分，确定最简公分母是通分的关键． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）把，通分，则= ， = . 【答案】 【分析】先找出，的最简公分母，再利用分式的性质将，的分母均化为即可． 【详解】解：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查分式通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 知识点二：分式的加减 1. 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 2. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·重庆·期中）若 ，则A 是（　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出关于的等式，求出的值即可． 【详解】 解：∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）化简：______ 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，将异分母化为同分母得，将结果化为最简分式或整式，即可求解；掌握分式加减的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（2026·七年级下 河北石家庄）若与“（   ）”内的算式的和为，则“（    ）”内的算式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“一个加数和另一个加数”列出算式，再化简即可得到结果． 【详解】解：设括号内的算式为， 由题意得， ． 【例2】（25-26七年级下·河北石家庄·期末）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，将所求表达式拆分为两个分式的差，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可． 【详解】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 2．（24-25七年级下·北京平谷·期中）当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（        ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求分式的值，数字的变化规律，通过计算发现当时与当时所得的代数式的值和为是解题的关键． 根据当时，，当时，，可得，求和即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时所求的代数式的值为， 这些分式的值的和等于， 故选：D． 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）化简 的结果是_______． 【答案】 【分析】先化成同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题二 通分】 【例1】（23-24七年级下·河北邢台·期末）用替换分式中的n后，经过化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入进行化简即可得到答案． 【详解】由题意得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，渗透了整体代入的数学思想，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）将分式和进行通分时，分母可因式分解为_________，分母可因式分解为_________，因此最简公分母是_________． 【答案】 【分析】根据平方差公式即可分解a2－9，再提取公因式可分解9－3a，找系数的最小公倍数，字母的最高次幂，即可得出最简公分母． 【详解】解：∵a2－9＝（a＋3）（a－3）， 9－3a＝3（3－a）＝－3（a－3）， ∴分式和的最简公分母为－3（a＋3）（a－3）． 故答案为：（a＋3）（a－3），－3（a－3），－3（a＋3）（a－3）． 【点睛】本题考查了分式的通分，通分的关键是分解各个分母，找出最简公分母． 1．（2026七年级下·全国·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 2．（2023·七年级下 山东临沂）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 【详解】原式 . 故选B． 【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用． 3．（25-26七年级下·上海·期末）计算：_____．（结果用不含负整数指数幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了通分，约分，分解因式，负整数指数幂，将负指数转化为分式形式，然后把分母利用平方差公式分解因式，再约分后把分母通分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【答案】，， 【分析】根据约分的定义，先将，的分子分母分别分解因式，再约去它们的公因式，将两个分式化成最简分式，再根据通分的定义，将两个分式化成同分母的分式，最后根据同分母分式相加减的法则，将两个分式相加，把最后结果化成最简分式即可；本题考查了分式的约分、通分以及同分母分式相加减，熟练掌握约分、通分的概念以及同分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以这两个分式的最简公分母是， 所以， 所以． 【经典例题三 最简公分母】 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列选项正确的是（    ） A．分式，的最简公分母是 B． C． D．分式中的a，b同时扩大2倍值不变 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简公分母和分式的性质，A中两个分式的最简公分母为；根据分式的基本性质可判断B、C、D；分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的代数式，分式的值不变． 【详解】解：A．分式的最简公分母是，原说法错误，不符合题意； B．，原说法错误，不符合题意； C．，原说法正确，符合题意； D．分式 中的a，b同时扩大2倍变为，即分式 中的a，b同时扩大2倍值变为原来的2倍，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【答案】C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 2．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母，根据最简公分母的定义即可解答，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：分式与的最简公分母是为， 故选：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 【答案】 3 5或10 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义，系数部分取分母系数的最小公倍数，变量部分取各变量因式的最高次幂，即可求出、的值． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，第二个分式的分母为 ， 根据最简公分母的定义，其系数应为各分母系数的最小公倍数，字母部分应包含所有字母因式，且各字母的指数取其在各分母中出现的最大指数 ∵最简公分母为 ． ∴两个分母系数和的最小公倍数为，且的最高次幂为． ∵的最高次幂为 ， ∵两个分母系数和的最小公倍数为， 当2与互质时，它们的最小公倍数为，解得； 当2是的因数时，它们的最小公倍数为 综上，或， 解得： 或 ， 故答案为：，或． 4．（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【答案】，， 【分析】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法即可判断． 【详解】解：，，的最简公分母是， 通分后为，，． 【经典例题四 异分母分式加减法】 【例1】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如果，，那么代数式与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了异分母分式的加减运算，首先求出，然后相加求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知两个式子：：，：，其中，则__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查分式的比较大小．先将式子通分转化为同分母分式，再化简，最后与式子比较大小． 【详解】解：对进行化简， ， ∵，且，分式分母均不为， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·湖北荆门·阶段检测）若，，则等于（　　） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题利用平方差公式分解所求代数式，再代入x，y的表达式化简计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若实数m、n、t满足且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查比较两个分式的大小，掌握用作差法比大小是解题的关键． 通过作差法比较两个分式的大小，利用分式通分和不等式的性质判断差的正负，即可求解． 【详解】解：=， ，， ，， ，即， ． 故选：B． 3．（2023·七年级下 江苏苏州）定义：对于正实数a，b，若存在实数m，使得，称m为关于a，b的巧数．已知，则关于a，b的巧数的最小值为______． 【答案】2 【分析】先对进行化简得到，再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当且仅当时，等号成立， ∴关于a，b的巧数的最小值为． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，（） (1)若，则_____（填“”“”或“”） (2)若，判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）用作差法求得，即可求解； （2）同（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∵ ∴ ∴， 即； （2），理由如下 ∵ ∴ 又∵， ∴， 即． 【经典例题五 整式与分式相加减】 【例1】（2026·七年级下 广西南宁）如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 又∵ ∴ 【例2】（2024·七年级下 辽宁大连）化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法运算，先约分再相加即可．本题也可以先通分再约分，但相比先约分再计算要麻烦些，因此在有多种方法可解的情况，寻找最简捷的方法． 【详解】解：； 故答案为：． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，用a表示c的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入消去b，进行化简即可得到结果． 【详解】解：把代入，得 ， ， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，列代数式．熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2023·七年级下 河北）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 3．（23-24七年级下·四川广安·期末）若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查分式的性质及化简求值，由可得，进而得到，然后分情况讨论即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， 当时，，即，此时； 当时，； 故答案为：或． 4．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，值为0 【分析】题目主要考查分式和整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据整式的乘法运算及分式的混合运算法则计算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴取，原式． 【经典例题六 分式加减混合运算】 【例1】（23-24七年级下·安徽合肥·阶段检测）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式运算，根据题意，将代入，化简即可得到答案，熟练掌握代数式运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故选：A． 【例2】（2023七年级下·全国·专题练习）填空： _________ （填“>”、“=”、“<”）． 【答案】> 【分析】根据题意有：x+10，即有，，由，可得，即问题随之得解． 【详解】解：根据题意有：x+10， ∴， 即： ， ∵， ∴， 即， ∴>， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的性质以及分式混合运算，掌握分式的混合运算，并得到是解答本题的关键． 1．（23-24七年级下·河南周口·期中）当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的求值， 先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，进而求解即可． 【详解】解：当和时， ， ∴， ∵当时，． ∴其和等于0． 故选：D． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】当时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得或；同理当时，可得为整数，求出（舍去）；由此即可得到答案． 【详解】解：当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或； 当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，或； 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求未知数，熟知分离常数法和分式的运算法则是解题的关键． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 4．（23-24七年级下·江苏盐城·周测）先化简，再求值：，其中 【答案】，3 【分析】先根据分式的加减混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【点睛】灵活运用分式的加减混合运算法则以及完全平方公式是解题的关键． 【经典例题七 分式加减的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·山西晋城·期中）王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升．（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了分式运算的实际应用，分别表示出这两条路的时间，再利用作差法比较分式大小即可． 【详解】解：设两条路的长度为S， 在①路用时为， 在②路用时为， ， ∵， ∴， 由题意可知S、x、y都大于0， ∴，即， ∴， ∴①路用时较小． 故选：A． 2．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题考查列代数式的知识，根据工作时间工作总量工作效率，表示出原计划所用时间，以及现在所用时间，利用原计划所用时间现在所用时间，即可解题． 【详解】解：由题意得，原计划所用时间为：天， 现在所用时间为：天， 工厂完成这个订单的时间比原计划提前天， 故选：B． 3．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 4．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道，一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大，采光越好．在某房间的设计图中，房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为m，，且．小明提出，若把该房间窗户与房间地面的面积都增加a，采光会更好．你认为小明的说法正确吗？ 【答案】正确 【分析】本题主要考查了分式的加减运算及作差法比较大小，熟练掌握作差法比较分式大小的方法是解题的关键． 通过计算增加面积前后窗户与地面面积的比值之差，判断差值的正负，从而确定采光是否变好． 【详解】解：设原来窗户面积与地面面积的比值为， 增加面积后，新比值为． ∵ 又 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴把该房间窗户与地面的面积都增加a，采光更好，小明的说法正确． 【经典例题八 分式加减乘除混合运算】 【例1】（25-26七年级下·浙江温州·假期作业）动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】路程一定时，时间与速度成反比，通过表示出提速前后的时间，即可求出提速后时间缩短到原来的多少． 【详解】解：设动车原来的平均速度为， ∵路程为， ∴原来行驶的时间为． ∵提速后平均速度变为原来的倍， ∴提速后速度为， ∴提速后行驶时间为， ∴提速后时间与原来时间的比值为． 即时间可缩短到原来的． 【例2】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段检测）某同学回家的路上经过一个山坡，已知上山速度为每秒米，下山速度为每秒米，这位同学先上坡，再下坡，且上坡与下坡所走的路程相等，那么在这个上下坡过程中这位同学的平均速度是______． 【答案】每秒米 【分析】本题考查分式的混合运算；得到平均速度的等量关系是解决本题的关键． 平均速度＝总路程总时间，设单程的路程为，表示出上坡下坡的总时间，把相关数值代入化简即可． 【详解】解：设单程的路程为， 上坡需要的时间为，下坡需要的时间为， ∴总时间为， ∴上下坡的平均速度为． 故答案为：每秒米． 1．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为． ． 故选：C． 2．（2025·七年级下 河北唐山）下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：（   ）已知该题化简的结果是，则括号内的式子为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了分式混合运算，括号内的式子为，进行分式混合运算，即可求解；能熟练进行分式混合运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故选：C． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，长方形与长方形的面积都是1，过点作直线平行于，其与交于点，与的延长线交于点，且长方形与长方形面积相等．若，则__________．（用含m，n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，分式乘法，加法，如图，过点作平行线交于点，则，，求出，设，则，，根据长方形与长方形面积相等，建立方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作平行线交于点，则，， ∵，长方形与长方形的面积都是1， ∴， ∴， 设，则，， ∵长方形与长方形面积相等， ∴，即， ∴， ∴，即． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）若，且为整数，请对先化简再求值． 【答案】；3 【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，再代入求解即可． 【详解】解： ∵，且为整数， ∴或0或1， 为使原式有意义，需满足，分母不为0，除数不为0， 即，， ∴，，， ∴， 当时， 【经典例题九 分式化简求值】 【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段测试）下面4个分数中，分数值最大的是（其中x是不为0的自然数）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的约分，将每个分式化简后比较数值大小即可 【详解】解：A.， B.， C.， D.， ∵， ∴因此分数值最大的是选项B， 故选：B 【例2】（2023七年级下·甘肃平凉）已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于______． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先对分子分母因式分解，得到分子分母有公因式，则，得到，代入求值即可． 【详解】解：，， 分子分母有公因式， ∵是一个既约分数， ∴， 即， 故 故答案： 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知a，b，c，d是正整数，且，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件及等式分析可得只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立，从而确定，代入求值即可． 本题考查分式的化简求值，利用已知等式分析出只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立是解题的关键． 【详解】解：∵a，b，c，d是正整数，且， ∴只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立， ∴， ∴． 故选：D 2．（23-24七年级下·河北邢台·期末）嘉嘉在做“先化简、再求值：，其中．”时，误将中2x前的系数2漏掉，那么他的计算结果与正确结果（    ） A．相等 B．相差 C．和为0 D．积为 【答案】B 【分析】根据分式的加减混合运算法则求出两个分式的化简式，再代入求值进行比较即可． 【详解】 当 时 原式= 当x=1时 原式= 故答案选B 【点睛】本题考查分式的加减混合运算法则分别将两个分式化简，代入求值，再作差是解题关键． 3．（23-24七年级下·四川达州·月考）当时，的值为___________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的分式通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式， 故答案为：． 4．（2026·七年级下 浙江杭州）已知实数a，b均为正数，记为a，b的算术平均数，为a，b的调和平均数． (1)当，时，求其算术平均数和调和平均数． (2)试比较a，b的算术平均数和调和平均数的大小，并说明理由． 【答案】(1)算术平均数为，调和平均数为 (2)算术平均数调和平均数，当且仅当时等号成立 【分析】（1）根据题意代入即可求解； （2）利用作差法即可比较． 【详解】（1）解：根据题意得，当，时，算术平均数为，调和平均数为； （2）解：， ， ， 即，当且仅当时等号成立． 【经典例题十 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 【例2】（25-26七年级下·山东泰安·期末）若常数M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 将等式左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，再利用平方差公式求解的值． 【详解】解：由，左边通分得， 则， 展开得， 即， 比较系数得， 则， 故答案为：． 1．（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·重庆北碚·阶段检测）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 3．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【答案】 【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可. 【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变， ∴设（为常数）， 等式两边同乘，得 ， 整理得 ， ∵该等式对任意恒成立， ∴多项式对应系数相等，即， 且 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知其中，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减，解二元一次方程组，熟练掌握异分母的分式相减的法则是解决此题的关键．根据分式的加减，先通分，转化为同分母的分式相减，将其相减后，与等号的右边对比，列出关于、的二元一次方程组，求出、的值，将其代入计算即可． 【详解】解：将等式的左边相减，得：， 根据左右两边相等，可得：， 解得： ． 【拓展训练一 分式混合运算】 【例1】（25-26七年级下·山东威海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，需要通分和化简，选项A在计算过程中符号处理错误，导致等式不成立；选项B、C、D通过通分和化简后等式均成立． 【详解】解：A、∵ ，， ∴， 通分得 ， 又 ∵， ∴ ，但右边为，故等式不成立； B、∵ ，， ∴ 左边，与右边相等，故正确； C、∵ 分母相同， ∴，与右边相等，故正确； D、通分后公分母为， ∴，，， 左边 = ，与右边相等，故正确； 故选：A． 【例2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）以下结论：①（a﹣b）2＝（b﹣a）2；②（a﹣b）3＝（b﹣a）3；③|a﹣b|＝|b﹣a|；④（a﹣b）2＝a2﹣b2；⑤，其中正确结论的序号为 _____． 【答案】①③ 【分析】根据乘方的意义判断①和②，根据绝对值的概念判断③，根据完全平方公式判断④，根据异分母分式减法运算法则判断⑤． 【详解】解：（a﹣b）2＝[﹣（b﹣a）]2＝（b﹣a）2，正确，故①符合题意； （a﹣b）3＝[﹣（b﹣a）]3＝﹣（b﹣a）3，原结论错误，故②不符合题意； |a﹣b|＝|﹣（b﹣a）|＝|b﹣a|，正确，故③符合题意； （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原结论错误，故④不符合题意； ，原结论错误，故⑤不符合题意； 正确结论的序号为①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查绝对值的意义，乘方的运算，分式的加减法，完全平方公式，理解乘方和绝对值的意义，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构是解题关键． 1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）设，则的整数部分等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了整数问题的综合应用．由于， 由此可以得到， 然后即可求出的整数部分． 【详解】解：当，3，…，2011， 因为， 所以， ， …， ， ． 于是有， 故的整数部分等于4． 故选：A． 2．（2024·七年级下 江苏无锡）已知实数满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的为（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减、求代数式的值，由得出即可判断①；由结合得出，代入计算即可判断②；由得出，结合即可判断③；由得出，结合，代入计算即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， 解得：，故④错误， 综上所述，正确的是①②③， 故选：C． 3．（23-24七年级下·北京门头沟·期中）当分别取2017、2016、2015、、2、1时，计算分式值，所得结果相加的和为___． 【答案】 【分析】把1、2、3、、2016、2017分别代入得到分式的值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 把1、2、3、、2016、2017分别代入得，、、、、、， 所得结果相加的和为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，总结出数字的变化规律是解题的关键． 4．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． 【答案】(1)当时， (2)若是正整数，的正整数值是12或15． 【分析】（1）先求出的值，再根据当时，，，即可得出； （2）先求出的值，再根据和都是正整数，得出的取值，进一步得到的取值，然后分类讨论，即可得到的正整数值． 【详解】（1）当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴，， ∴ （2）∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵和都是正整数， ∴是正整数， ∴可取4，8， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述：当是正整数，的正整数值是12或15． 【点睛】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则，求出的值和的正整数值是解题的关键． 1．（2025·七年级下 河南焦作）计算的结果为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的运算，牢记分式加减的运算法则是解题的关键． 根据分式加减的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故选：B． 2．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件整理出，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，可得， ∴ ． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 4．（2023·七年级下 河北张家口）若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【答案】A 【分析】通过作差法比较即可． 【详解】解： ， 故二者不相等； 当时，，前者较大； 当时，，后者较大． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式运算，掌握作差法，分式的加减运算是解题的关键． 5．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果，，是正数，且满足，，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先根据题意得出a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1， ∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b， ∴ = = = =2 故选：C 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 6．（25-26七年级下·河北石家庄·阶段检测）一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】设工作总量为1，根据甲乙合作完成时间得到合作工作效率，结合甲单独完成时间得到甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再根据时间工作总量工作效率，计算乙单独完成需要的时间． 【详解】解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 7．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 【答案】D 【分析】本题考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系，列代数式；用到的知识点为：纯墨水的体积总体积相应的浓度．算出第一次倒出溶液后乙瓶中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的体积，比较即可． 【详解】解： 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（）， 此时乙瓶中红墨水所占体积的比例为，乙瓶中蓝墨水所占体积的比例为，故A正确； 又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 此时甲瓶中蓝墨水的总量是毫升，乙瓶中红墨水有：毫升， 故B正确，D不正确； 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同，故C正确； 故选：D． 8．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）将7张如图1的两边长分别为a和b（，a与b都为正整数）的长方形纸片按图2的方式不重叠放在长方形内，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等，设，若，k为整数，则a可取的值的个数为（   ） A．0个 B．3个 C．5个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据左上角与右下角的阴影部分的面积相等．可得，从而得到，再由，可得，从而得到b取1，3，9，即可求解． 【详解】解：因为左上角与右下角的阴影部分的面积相等， 所以， 所以，   因为 ， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为k为整数， 所以取1，2，3，4，6，12， 因为b为正整数 所以b取1，3，9， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 因为， ∴， ∴a可取的值的个数为0． 9．（25-26七年级下·全国·周测）已知a为整数，且为正整数，则所有符合条件的a的值的和是（   ） A．0 B．12 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．本题考查了分式的混合运算，正确分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 设（为正整数） 且， ，解得。 为整数 。 令，则且为整数， 原式 当时，，是正整数，此时，即 当时， 。 则。 此时不是正整数 唯一符合条件的整数的值是4。 所有符合条件的的值的和是4 故选：C． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式进行通分，变形为，即，通过计算多项式乘多项式将等式右边展开，于是可得，进而可得，结合已知条件，将原式变形为，即，然后利用同底数幂的乘法及等式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了通分，等式的性质，计算多项式乘多项式，去括号，等式的性质，同底数幂的乘法，代数式求值等知识点，进行通分并将原式由分式变形为整式是解题的关键． 11．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）分式、、的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的确定，根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可． 【详解】解：分母分解因式：，，；系数最小公倍数为12，字母a最高次幂为，字母b最高次幂为b，因式最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）化简：=___________． 【答案】 【分析】 本题为分式化简，先通分合并括号内的整式与分式，再将除法转化为乘法，约分后得到最简形式． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（25-26七年级下·广东潮州·期末）已知，且，则______． 【答案】 【分析】由已知条件 可得 ，进而求出 和 的表达式，代入第二个方程化简求解． 本题考查了分式的化简求值，掌握基本概念是解题关键． 【详解】由 ， 得 ， 即 则 由 两边乘以分母（），得 整理得 则， 代入 ，， 分子 分母 由 知 ， 故 ， 因此 ． 故答案为：． 14．（2023七年级下·广东深圳）已知：，则________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先整理，结合，得，再整理，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 故答案为： 15．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知实数满足，则代数式________． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简计算，灵活运算是解题的关键． 由已知条件可得，由于，将方程变形为，进而求出，将所求代数式的分子和分母同时除以，代入计算即可． 【详解】解：由，得， 因为（若，代入方程不成立）， 所以将方程两边除以，得，即 则， 所求代数式为， 分子和分母同时除以， 得， 故答案为：． 16．（2026·七年级下 甘肃武威）化简： 【答案】 【详解】解：原式 17．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知，其中． (1)判断A与B的大小关系，并说明理由． (2)若a为整数时，设，求整数y的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键 （1）利用作差法比较与的大小关系即可； （2）先根据分式的加减运算法则计算，得出，再根据为大于0的整数，为整数，即可确定的值，从而求出整数的值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， 为大于0的整数，为整数， 或， 或或或， ， ， ． 18．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 【答案】(1)， (2)方式二更省时 【分析】（）根据题意列式计算即可求解； （）利用作差法解答即可求解； 本题考查了分式的应用，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，完成这张祝福贺卡，方式一需要小时，方式二需要小时， 故答案为：，； （2）解：， ∵，，，， ∴，， ∴， 即， ∴方式二更省时． 19．（25-26七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据整式的混合运算法则以及分式的混合运算法则进行化简，再根据负整数指数幂、零指数幂求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20．（25-26七年级下·四川内江·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 (3)在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 【答案】(1)是， (2) (3) 【分析】（1）根据“和整分式”的定义求，再根据分式的加减法法则计算，并判断； （2）根据“和整分式”的定义可得，再去分母，并整理，然后根据对应系数相等得出答案； （3）先确定，再根据题意讨论可得答案． 【详解】（1）解：是，理由如下：∵ ， ∴A与B是和整分式，“和整值”； （2）解：∵C与D是“和整分式”，且“和整值”， ∴， 去分母，得， 整理，得， ∴， 解得； （3）解：∵，且x为正整数，分式D也为正整数， ∴当或，分式D也为正整数， 解得或（舍）， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 分式的加减重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 同分母分式加减法 题型二 通分 题型三 最简公分母 题型四 异分母分式加减法 题型五 整式与分式相加减 题型六 分式加减混合运算 题型七 分式加减的实际应用 题型八 分式加减乘除混合运算 题型九 分式化简求值 题型十 已知分式恒等式，确定分子或分母 拓展训练一 分式混合运算 知识点一：分式的通分 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母． 3. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·重庆·期中）将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）把，通分，则= ， = . 知识点二：分式的加减 1. 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 2. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·重庆·期中）若 ，则A 是（　） A． B．2 C．3 D． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）化简：______ 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（2026·七年级下 河北石家庄）若与“（   ）”内的算式的和为，则“（    ）”内的算式是（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河北石家庄·期末）若，则______． 1．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京平谷·期中）当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（        ） A． B．1 C． D． 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）化简 的结果是_______． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【经典例题二 通分】 【例1】（23-24七年级下·河北邢台·期末）用替换分式中的n后，经过化简结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）将分式和进行通分时，分母可因式分解为_________，分母可因式分解为_________，因此最简公分母是_________． 1．（2026七年级下·全国·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·七年级下 山东临沂）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海·期末）计算：_____．（结果用不含负整数指数幂的形式表示） 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【经典例题三 最简公分母】 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列选项正确的是（    ） A．分式，的最简公分母是 B． C． D．分式中的a，b同时扩大2倍值不变 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 2．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 4．（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【经典例题四 异分母分式加减法】 【例1】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如果，，那么代数式与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知两个式子：：，：，其中，则__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 1．（25-26七年级下·湖北荆门·阶段检测）若，，则等于（　　） A． B．0 C．4 D． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若实数m、n、t满足且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（2023·七年级下 江苏苏州）定义：对于正实数a，b，若存在实数m，使得，称m为关于a，b的巧数．已知，则关于a，b的巧数的最小值为______． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，（） (1)若，则_____（填“”“”或“”） (2)若，判断和的大小关系，并说明理由． 【经典例题五 整式与分式相加减】 【例1】（2026·七年级下 广西南宁）如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·七年级下 辽宁大连）化简：______． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，用a表示c的代数式为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·七年级下 河北）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（23-24七年级下·四川广安·期末）若，则的值为______． 4．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 【经典例题六 分式加减混合运算】 【例1】（23-24七年级下·安徽合肥·阶段检测）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023七年级下·全国·专题练习）填空： _________ （填“>”、“=”、“<”）． 1．（23-24七年级下·河南周口·期中）当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如果，那么________，________． 4．（23-24七年级下·江苏盐城·周测）先化简，再求值：，其中 【经典例题七 分式加减的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山西晋城·期中）王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升．（写出化简后的结果） 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 2．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 3．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道，一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大，采光越好．在某房间的设计图中，房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为m，，且．小明提出，若把该房间窗户与房间地面的面积都增加a，采光会更好．你认为小明的说法正确吗？ 【经典例题八 分式加减乘除混合运算】 【例1】（25-26七年级下·浙江温州·假期作业）动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段检测）某同学回家的路上经过一个山坡，已知上山速度为每秒米，下山速度为每秒米，这位同学先上坡，再下坡，且上坡与下坡所走的路程相等，那么在这个上下坡过程中这位同学的平均速度是______． 1．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·七年级下 河北唐山）下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：（   ）已知该题化简的结果是，则括号内的式子为（   ） A． B． C． D．不能确定 3．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，长方形与长方形的面积都是1，过点作直线平行于，其与交于点，与的延长线交于点，且长方形与长方形面积相等．若，则__________．（用含m，n的代数式表示） 4．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）若，且为整数，请对先化简再求值． 【经典例题九 分式化简求值】 【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段测试）下面4个分数中，分数值最大的是（其中x是不为0的自然数）（   ） A． B． C． D． 【例2】（2023七年级下·甘肃平凉）已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于______． 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知a，b，c，d是正整数，且，则 （    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北邢台·期末）嘉嘉在做“先化简、再求值：，其中．”时，误将中2x前的系数2漏掉，那么他的计算结果与正确结果（    ） A．相等 B．相差 C．和为0 D．积为 3．（23-24七年级下·四川达州·月考）当时，的值为___________________． 4．（2026·七年级下 浙江杭州）已知实数a，b均为正数，记为a，b的算术平均数，为a，b的调和平均数． (1)当，时，求其算术平均数和调和平均数． (2)试比较a，b的算术平均数和调和平均数的大小，并说明理由． 【经典例题十 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26七年级下·山东泰安·期末）若常数M，N满足，则_______． 1．（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 2．（25-26七年级下·重庆北碚·阶段检测）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知其中，为常数，求的值． 【拓展训练一 分式混合运算】 【例1】（25-26七年级下·山东威海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）以下结论：①（a﹣b）2＝（b﹣a）2；②（a﹣b）3＝（b﹣a）3；③|a﹣b|＝|b﹣a|；④（a﹣b）2＝a2﹣b2；⑤，其中正确结论的序号为 _____． 1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）设，则的整数部分等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·七年级下 江苏无锡）已知实数满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的为（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 3．（23-24七年级下·北京门头沟·期中）当分别取2017、2016、2015、、2、1时，计算分式值，所得结果相加的和为___． 4．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． 1．（2025·七年级下 河南焦作）计算的结果为（    ） A．0 B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 4．（2023·七年级下 河北张家口）若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 5．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果，，是正数，且满足，，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 6．（25-26七年级下·河北石家庄·阶段检测）一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 7．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 8．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）将7张如图1的两边长分别为a和b（，a与b都为正整数）的长方形纸片按图2的方式不重叠放在长方形内，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等，设，若，k为整数，则a可取的值的个数为（   ） A．0个 B．3个 C．5个 D．无数个 9．（25-26七年级下·全国·周测）已知a为整数，且为正整数，则所有符合条件的a的值的和是（   ） A．0 B．12 C．4 D．8 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）分式、、的最简公分母是______． 12．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）化简：=___________． 13．（25-26七年级下·广东潮州·期末）已知，且，则______． 14．（2023七年级下·广东深圳）已知：，则________． 15．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知实数满足，则代数式________． 16．（2026·七年级下 甘肃武威）化简： 17．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知，其中． (1)判断A与B的大小关系，并说明理由． (2)若a为整数时，设，求整数y的值． 18．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 19．（25-26七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 20．（25-26七年级下·四川内江·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 (3)在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 学科网（北京）股份有限公司 $