专题18分式方程（5知识点+10题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题18分式方程 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 分式方程的定义】 2 【题型2 根据分式方程的解的情况求值】 4 【题型3 分式方程无解问题】 6 【题型4 列分式方程】 9 【题型5 解分式方程】 11 【题型6 分式方程的行程问题】 13 【题型7 分式方程的工程问题】 15 【题型8 分式方程的经济问题】 19 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 22 【题型10 分式方程的其他实际问题】 24 1. 知识目标：精准掌握分式方程的定义，能区分分式方程与整式方程；熟练掌握分式方程的解法、验根步骤；理解分式方程增根、无解的本质区别；掌握列分式方程解应用题的完整流程。 2. 能力目标：能快速判断分式方程、根据方程解的情况求参数；熟练解决分式方程无解、有增根类参数题；可独立完成各类分式方程实际应用题（行程、工程、经济、和差倍分等）。 3. 素养目标：掌握“分式方程转化为整式方程”的转化思想，理解验根的必要性，培养严谨的方程运算思维和数学建模能力。 4. 易错目标：规避解分式方程忘记验根、增根与无解混淆、去分母漏乘常数项、应用题缺少双重检验等高频错误。03 知识•梳理 知识点1：分式方程的定义 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 核心判定标准：看分母是否含未知数（常数字母、参数不算未知数）。 3. 区分整式方程：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数，这是二者唯一区别。 知识点2：分式方程的解法（必考核心） 1. 解题总口诀：一化、二解、三验、四写 2. 详细步骤： ① 去分母（化分式为整式）：方程两边同乘最简公分母，消去所有分母，转化为一元一次整式方程；注意：方程中所有项（含常数项）必须全部乘公分母，禁止漏乘。 ② 解整式方程：按照一元一次方程解法，移项、合并同类项、系数化为1，求出未知数的值。 ③双重验根（必不可少）：将解代入最简公分母，若公分母≠0，是原方程的根；若公分母=0，是增根，原方程无解。 ④ 写结论：明确写出方程的解或无解。 知识点3：增根与无解的核心概念 1. 增根定义：分式方程去分母后得到的整式方程有解，但该解使原分式方程分母为0，导致原方程无意义，这个解叫做增根。 2. 分式方程无解的两种情况： ① 转化后的整式方程本身无解； ② 整式方程有解，但所有解都是增根，原分式方程无有效解。 3. 核心区别：有增根≠无解，有增根是整式方程有解但全部作废；无解包含整式无解、全是增根两种情况。 知识点4：列分式方程解应用题通用步骤 通用口诀：审、设、列、解、验、答 1. 审：审题，找准题目中的等量关系； 2. 设：合理设未知数（一般问什么设什么，可间接设）； 3. 列：根据等量关系列出分式方程； 4. 解：按照分式方程解法解方程； 5. 验（双重检验）：一验是否为分式方程的根，二验是否符合实际意义； 6. 答：规范书写答案。 知识点5：高频应用模型核心等量关系 1. 行程问题：时间=路程÷速度、相遇/追及时间差关系 2. 工程问题：工作时间=工作总量÷工作效率（常设总量为1） 3. 经济问题：单价=总价÷数量、利润率、折扣、均价问题 4. 和差倍分：利用数量和、差、倍数关系构建分式等量式 04 题型•汇总 【题型1 分式方程的定义】 解题技巧： 1. 唯一判定依据：分母中含有未知数； 2. 只看原式，不看化简后形式，化简为整式方程的原式仍为分式方程； 3. 分母含常数、含参数字母（非未知数）均不属于分式方程。 易错提醒：误将化简后的整式方程判定为整式方程，忽略原式分母含未知数；混淆未知数与常数参数。 【典例1】．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 【变式1】．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，据此逐一判断各方程即可. 【详解】解：∵ 方程①分母为和，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∵ 方程②分母为和，均含，∴ 是分式方程； ∵ 方程③可化为：，分母中含，∴ 是分式方程； ∵ 方程④可化为：，分母为，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∴ 是关于的分式方程的有②③. 故选：C. 【变式2】．请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【答案】 ②③④⑥ ①⑤ 【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断． 【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程； 对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程． 故答案为：②③④⑥；①⑤ 【题型2 根据分式方程的解的情况求值】 解题技巧：已知正负解求范围时，先解出含参数的未知数表达式，再结合正负列不等式，同时排除增根对应的参数值。 易错提醒：只算参数值，忽略分母不为0的限制，出现增根情况。 【典例2】．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 【变式1】．关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出m的值. 【详解】解：∵ 原分式方程有增根， ∴ 最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘，得， 把代入整式方程，得， 解得. 【变式2】．关于x的分式方程有增根，则m的值为___________． 【答案】3 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，． 【变式3】．若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【答案】1或2 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意分两种情况求得m的值即可． 【详解】解： 原方程去分母得：， 整理得：， 当时，该方程无解，符合题意， 解得：， 当时，原分式方程无解， 那么， 即， 则， 解得：， 综上，m的值为1或2． 【题型3 分式方程无解问题】 解题技巧：务必分类讨论，不可遗漏任意一种情况；先找增根，再代入整式方程求参数，最后汇总所有符合条件的参数值。 易错提醒：只考虑增根情况，忽略整式方程本身无解的情况；参数取值遗漏。 【典例3】．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 【变式1】．若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程，能够掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 先解方程得，再由方程无解得，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ①， ∵关于的方程无解， ∴，即； 把代入①，得，解得． 【变式2】．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 【变式3】．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 【题型4 列分式方程】 解题技巧： 1. 找准核心等量：比值、差值、倍数、时间、效率、单价等除法型数量关系； 2. 分式方程核心特征：含有除法型等量关系，无法用整式方程直接表示； 3. 设未知数后，用含未知数的分式表示相关量，根据相等关系列方程。 易错提醒：等量关系颠倒；误用整式方程替代分式方程；遗漏题目限定条件。 【典例4】．某书店对课外书实行优惠销售，每本书降价2元．小明发现，降价后用240元购买的课外书数量，比降价前多10本．求每本书的原价是多少元？设每本书的原价为元，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“数量=总价÷单价”，分别表示出降价前后购买课外书的数量，再根据“降价后购买数量比降价前多10本”的等量关系列方程． 【详解】解：设每本书原价为元，则降价后每本书的价格为元， 根据题意得：． 【变式1】．我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“绫罗各一尺总价120文”的等量关系列方程． 【详解】解：1丈=10尺， 绫罗总长度为 尺， 设绫布有尺， 罗布长度为尺， 绫布总售价为896文， 绫布每尺价格为文， 同理可得，罗布每尺价格为文， 绫、罗各一尺共值钱120文， ， 移项整理得． 【变式2】．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“抚州采茶戏”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做5个、甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等．若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为________． 【答案】 【详解】解：由工程问题公式：工作量工作效率工作时间， 由题意，可知甲工作组的工作效率为每天做x个，乙工作组的工作效率为每天做个， 由“甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等”，列方程， 得． 【变式3】．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的长方形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为，根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，题目中存在的等量关系为：，据此列分式方程即可． 【详解】根据题意，可得 故答案为： 【题型5 解分式方程】 解题技巧：常数项绝对不能漏乘公分母；验根是得分关键，不可省略步骤。 易错提醒：漏乘常数项；省略验根步骤；增根未舍去，错误写解。 【典例5】．解方程： 【答案】 【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解： 两边同时乘， 得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 方程的解为． 【变式1】．解分式方程：． 【答案】 【详解】解： 经检验，原方程的解为． 【变式2】．解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【分析】方程两边同时乘，化为整式方程，解整式方程，并检验，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 解得：， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 【变式3】．解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）根据解分式方程的基本步骤解答即可． （2）根据解分式方程的基本步骤解答即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根． （2）解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得 整理，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，原分式方程无解． 【题型6 分式方程的行程问题】 解题技巧： 1. 通常设原速度或现速度为未知数； 2. 用分式表示两种状态的行驶时间； 3. 根据“时间差、时间相等”列方程； 4. 结果必须检验：速度、时间为正数，符合实际。 【典例6】．在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲乙的出发时间和同时到达的条件，找时间等量关系列方程即可，总路程为100米，利用时间=路程÷速度表示两人走完全程的时间，再根据时间关系列方程． 【详解】解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为， ∴甲走完全程的总时间为 ∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为， ∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间， 因此列方程得． 【变式1】．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【答案】 【分析】根据它们所需时间与规定时间的关系列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 由题意可列方程：. 【变式2】．“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 【变式3】．山西大同云冈石窟是中国三大石窟艺术宝库之一，其中既有印度、中西亚艺术元素，也有希腊、罗马建筑造型、装饰纹样、相貌特征等等，反映出与世界各大文明之间的渊源关系．某游客从酒店驾车前往景区，有两条路线可选： 路线一：沿城市主干道行驶，全程36千米； 路线二：经绕城高速行驶，全程45千米． 已知路线二的平均速度是路线一的2.5倍，且走路线二比路线一少用27分钟．求路线一的平均速度． 【答案】路线一的平均速度为40千米/时． 【分析】设路线一的速度是千米/时，则路线二的平均速度是千米/时．再根据走路线二比路线一少用27分钟．列方程计算即可． 【详解】解：设路线一的速度是千米/时，则路线二的平均速度是千米/时． 根据题意，得． 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：路线一的平均速度40千米/时． 【题型7 分式方程的工程问题】 解题技巧： 1. 设单人/单机工作效率为未知数； 2. 合作效率为各效率之和； 3. 根据工期长短、时间差值列分式方程； 4. 杜绝整数思维，工程效率必用分式表示。 【典例7】．由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原来每小时送件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数量，再根据“时间总件数每小时送件数”分别表示出原来和现在送件外卖所用的时间，最后根据时间关系列方程即可． 【详解】解：∵原来平均每小时送件外卖，现在每小时比原来多送件， ∴现在平均每小时送件， ∴原来送件外卖所用时间为小时，现在送件外卖所用时间为小时， ∵现在送件的时间比原来少用小时， ∴原来所用时间现在所用时间， 即列方程得． 【变式1】．某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 【答案】 【分析】根据工作效率的关系表示出原计划每天生产零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，分别得到原计划与实际完成任务所需时间，最后利用“实际比原计划提前5天完成”的等量关系列方程． 【详解】解：设实际每天生产零件个，则原计划每天生产零件个，原计划完成所需时间为天，实际完成所需时间为天，根据实际提前5天完成任务，列方程得． 【变式2】．为了改善部分经济困难家庭的居住条件，某市计划在一定时间内完成万平方米的保障房建设任务．后来市政府调整了计划，不仅保障房建设任务比原计划增加了，而且还要提前年完成建设任务．经测算，要完成新的计划，平均每年需要比原计划多建设万平方米的保障房，那么按新的计划，平均每年应建设多少万平方米的保障房？ 【答案】 按新的计划，平均每年应建设万平方米的保障房 【分析】设出原计划平均每年建设的保障房面积，然后可表示出新计划平均每年建设的保障房面积，根据原计划完成时间比新计划完成时间多年的等量关系列出分式方程，求解后得到新计划平均每年建设的保障房面积． 【详解】解：设原计划平均每年建设万平方米保障房，则新计划平均每年建设万平方米保障房， 根据题意得，， 方程两边同乘，得， 展开并整理得， 因式分解得， 解得，（不符合实际题意，舍去）， 经检验，当时，， 是原分式方程的解， 则新计划平均每年建设面积为（万平方米）． 答：按新的计划，平均每年应建设万平方米的保障房． 【变式3】．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工15天完成了总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同工作了50天，总工程全部完成． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队施工一天需要各项支出9000元，乙队施工一天需要各项支出4000元． ①如果两队施工的天数一共是130天，怎样安排施工任务，可以恰好完工？所需施工费用是多少？ ②如果工期不超过75天，怎样安排施工任务（施工天数需为整数），可以最大限度地节省开支？支出的最少金额是多少元？ 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需要180天 (2)①甲队施工50天，乙队施工80天，可以恰好完工，所需施工费用为770000元；②甲队施工53天，乙队施工74天，可以最大限度地节省开支，支出最少的金额是773000元，且比预期工期少用1天 【分析】（1）设乙队单独施工1天能完成总工程的，根据甲队完成的任务量乙队完成的任务量总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，此题得解； （2）①设甲队施工的天数是天，则乙队施工的天数是天时，两队恰好完成．列方程求解，再根据方程的解，求出施工经费即可； ②根据甲、乙的工作效率及施工费用，得到乙队施工天数多一些，更节省开支．设乙队施工75天，甲队施工天，可以完成任务．列方程求解得到，再计算金额即可． 【详解】（1）解：由题意，可得甲队单独完成这项工作需要（天）， 则甲队1天能完成总工作量的． 设乙队单独完成这项工作需要天，则乙队施工1天能完成总工作量的． 依题意可列方程为， 解得． 经检验是方程的解． 答：甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需要180天． （2）解：①两队施工的天数一共是130天，设甲队施工的天数是天， 则乙队施工的天数是天时，两队恰好完成． 依题意可列方程为， 解得． 乙队施工的天数是（天）． 总支出是， 当时，． 因此甲队施工50天，乙队施工80天，可以恰好完工，所需施工费用为770000元． ②由题意可知，甲队施工1天需支出9000元，乙队施工1天需支出4000元， 乙队2天的支出是8000元，其2天的工作量相当于甲队1天的工作量， 因此乙队施工天数多一些，更节省开支． 假设乙队施工75天，甲队施工天，可以完成任务． 依题意可列方程为， 解得． 为整数， 的值取53，即甲队施工53天． 又甲队半天的工作量等于乙队1天的工作量， 乙队只需要施工74天． 支出的最少金额为（元）． 答：甲队施工53天，乙队施工74天，可以最大限度地节省开支，支出最少的金额是773000元，且比预期工期少用1天． 【题型8 分式方程的经济问题】 解题技巧： 1. 抓住“总价不变、单价变化、数量变化”的关联关系； 2. 用分式表示变化前后的采购数量； 3. 根据数量差、数量相等列方程。 【典例8】．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有株，则符合题意的方程是 （   ） 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这批椽有x株，则一株椽的价钱为，拿一株椽后，剩余株，根据剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出方程即可． 【详解】解：设这批椽有x株，依题意得 ． 【变式1】．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【答案】 【分析】先根据题目给出的单价关系表示出A款玩偶的单价，再根据数量等于总金额除以单价的关系，分别表示出两款玩偶的购进数量，最后根据A款数量比B款少50个的等量关系列方程即可； 【详解】解：设B款哪吒玩偶的单价是元，则A款哪吒玩偶单价为元， 根据题意可得购进A款玩偶的数量为个，购进B款玩偶的数量为个， 因为购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，即B款数量减去A款数量等于50， 因此列方程得：． 【变式2】．列方程（组）解决下列问题： 自2025年“渝超”在重庆举办以来，广大民众对足球的关注度越来越高，同时足球用品销售日渐火爆．某商场购进并销售A，B两款足球，已知该商场在10月份购进10个A款足球和30个B款足球，一共花费3800元；11月份购进30个A款足球和60个B款足球，一共花费8400元．已知两次购进的足球价格一致． (1)求A，B两款足球的进价分别为多少元？ (2)12月份，该商场决定再购进一批A，B款足球，由于前两个月销量良好，两款足球进价均上涨了相同的金额，用2700元购进A款足球的数量是用4950元购进B款足球数量的，求两款足球进价的上涨金额． 【答案】(1)A款足球的进价为80元，B款足球的进价为100元． (2)两款足球进价的上涨金额为10元． 【分析】（1）设A，B两款足球的进价为未知数，根据两次进货的总花费列出二元一次方程组，求解得到两款足球的进价； （2）设上涨金额为未知数，根据购进两种足球的数量关系列出分式方程，检验后得到上涨金额 【详解】（1）解：设A款足球的进价为x元，B款足球的进价为y元. 根据题意得 解得 答：A款足球的进价为80元，B款足球的进价为100元； （2）解：设两款足球进价的上涨金额为m元. 涨价后A款足球进价为元，B款足球进价为元. 根据题意得 ： ， 整理得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际题意， 答：两款足球进价的上涨金额为10元． 【变式3】．列方程解下列问题： “百年弦歌，薪火相传；鼎山毓秀，几水涵芳”，在某中学迎来建校周年华诞之际，七年级一班学生自发定制画册与文化衫两类伴手礼，赠予返校校友留念．已知定制本画册和件文化衫共需元，定制本画册和件文化衫共需元． (1)定制一本画册、一件文化衫的单价分别为多少元？ (2)该伴手礼广受校友好评，学校决定加大定制规模以回馈校友．因对内容与品质提出更高要求，画册与文化衫的定制单价均有上调，其中每本画册增加的费用是每件文化衫增加费用的倍．最终，学校花费元定制的画册数量，是花费元定制的文化衫数的，求每件文化衫增加的费用． 【答案】(1)定制一本画册单价为元，一件文化衫单价为元 (2)元 【分析】（）设定制一本画册的单价为元，一件文化衫的单价为元，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设每件文化衫增加的费用为元，则每本画册增加的费用为元，调整单价后画册单价为 元，文化衫单价为 元，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设定制一本画册的单价为元，一件文化衫的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：定制一本画册单价为元，一件文化衫单价为元； （2）解：设每件文化衫增加的费用为元，则每本画册增加的费用为元，调整单价后画册单价为 元，文化衫单价为 元， 由题意得，， 整理得，， 解得， 经检验是原分式方程的解， 答：每件文化衫增加的费用为元． 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 解题技巧：优先梳理量与量之间的除法、比值关系，这是列分式方程的关键，区别于整式和差倍分问题。 【典例9】．我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】充电费和燃油费均为100元时，电动汽车行驶总路程=燃油汽车行驶总路程×3，据此列方程即可. 【详解】解：设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元， ∵电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元， ∴燃油汽车平均每千米的加油费为元， ∵路程=总费用÷每千米费用，总费用均为100元， ∴电动汽车可行驶总路程为，燃油汽车可行驶总路程为， 又∵电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍， ∴． 【变式1】．太阳能是一种可再生资源．现有甲、乙两种品牌的太阳能照明灯，已知相同光照环境下，乙品牌比甲品牌每小时多储存电量，乙品牌储存电量与甲品牌储存电量所用的时间相等，则乙品牌每小时可储存________电量． 【答案】 【分析】设乙品牌每小时可储存电量，根据储存时间相等列分式方程求解并检验即可． 【详解】解：设乙品牌每小时可储存电量，则甲品牌每小时可储存电量， ​， 解得， 经​检验，是原方程的解且符合实际意义， ∴乙品牌每小时可储存电量． 【变式2】．某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 【变式3】．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 【答案】每获得1个碳积分需要步行60步 【分析】设每获得1个碳积分需要步行x步，根据“小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个”列分式方程，解答即可． 【详解】解：设每获得1个碳积分需要步行x步， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每获得1个碳积分需要步行60步． 【题型10 分式方程的其他实际问题】 高频模型与技巧： 1. 浓度问题：浓度=溶质÷溶液，根据混合前后溶质不变列分式方程； 2. 面积问题：边长=面积÷对应边长，利用边长差值、相等关系列式； 3. 平均数问题：平均数=总量÷数量，根据均值变化列方程。 通用解题原则：所有实际问题均遵循“审设列解验答”，重点检验解的正负性、整数性，不符合实际直接舍去。 【典例10】．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总长得到罗布的长度，再利用单价总价钱长度分别表示两种布的单价，最后根据“绫罗各一尺共值钱120文”列出方程即可． 【详解】解：∵ 1丈尺， ∴绫布和罗布总长尺． 设绫布有尺，则罗布长度为尺， ∵单价等于总售价除以长度，绫布总售价为896文， ∴绫布每尺价格为文， 同理，罗布总售价为896文， ∴罗布每尺价格为文， 根据“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”， 可得：． 【变式1】．甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了______千克盐水． 【答案】30 【分析】设第一次从甲杯倒出了x千克盐水，由题意得，据此求解即可． 【详解】解：设第一次从甲杯倒出了x千克盐水， 第一次倒出后甲杯剩余千克盐水，溶质为千克， 乙杯加入x千克后，总质量为千克，溶质为千克， 此时乙杯浓度为：； 从乙杯倒回x千克盐水到甲杯，这部分盐水中的溶质为：， 此时甲杯的总溶质为：， 甲杯总质量回到40千克，且浓度为，所以总溶质也等于千克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第一次从甲杯倒出了30千克盐水． 【变式2】．习总书记强调：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上．”为落实这一要求，某农科院规划了两块正方形试验田开展农业技术研究，相关示意图如下．其中甲种水稻的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，乙种水稻的试验田的边长为米．两块试验田的水稻都收获了千克． (1)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ (2)在（）的计算结果下，若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，请求出m的值． 【答案】(1)高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； (2)． 【分析】（）根据题意分别求出两种水稻的试验田单位面积产量，然后进行除法运算即可得到结果； （）根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵甲种水稻的试验田单位面积产量：， 乙种水稻的试验田单位面积产量：， ∵， ∴， ∴ ， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； （2）解：由题意，可得：， 解这个分式方程得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 【变式3】．近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数． 【答案】2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人 【分析】设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，2025年为万人，根据所给数量关系列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，则2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为万人， 由题意得．                 解得，                     经检验，是原方程的解，且符合实际， ，                     答：2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人． 04 题型•汇总 1．下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 2．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 3．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再结合解为负数，且分式方程分母不为0，确定m的取值范围． 【详解】解：∵原方程为 ，且 ∴方程变形为 两边同乘得 整理得 解得 ∵方程的解为负数 ∴ ∵，∴ ， 解得 又∵分式方程分母不为0，即 ∴，解得 ∵，恒成立 ∴m的取值范围是 4．清明节期间，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家、小新家到中山公园的距离分别是4千米和10千米，小明步行前往，小新则骑免费单车，已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15分钟到达．若设小明步行速度为千米/小时，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小明步行速度为千米/小时，则小新骑车的速度为千米/小时，根据小新提前15分钟到达、以及时间路程速度列出方程即可． 【详解】解：设小明步行速度为千米/小时，则小新骑车的速度为千米/小时， 由题意可列方程为． 5．将分式方程化为整式方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用分式的基本性质统一分母，再给方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程后对比选项即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，． 6．小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据小红的骑行速度表示出小阳的骑行速度，再根据等量关系列方程即可. 【详解】∵ 小红的骑行速度为，小阳的速度是小红速度的倍， ∴ 小阳的速度为， ∵ 两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了，且， ∴ 可得方程. 7．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了，结果提前60天完成了这项任务．设实际每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设实际每天修路公里，则原计划每天修路公里，进而求得实际与原计划完成的时间，依题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设实际每天修路公里，则原计划每天修路公里，则实际完成时间为天，原计划所需时间为天， 依题意得：． 8．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 9．下列关于x的式子是分式方程的是______．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟记分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，逐个判断即可． 【详解】①④的分母中含有未知数，是关于x的分式方程； ②不是方程，故不是关于x的分式方程； ③⑤的分母中不含有未知数，故不是关于x的分式方程； 关于x的分式方程是①④． 故答案为：①④． 10．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数且分母不为零，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解： 方程变形为 去分母，两边同乘得： 整理得： 解得： 由分式方程的解为正数，可得，且即 解得：且． 11．某体育活动中心购买一批排球和计数跳绳．经询价得知，一个排球的价格比一根计数跳绳价格的3倍少8元，花160元购买跳绳与花400元购买排球的数量相同．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程：________． 【答案】 【分析】先设一根跳绳单价为x元，根据题意表示出一个排球的单价， 再利用“总价÷单价=数量”，结合两种购买的数量相同，列出方程即可． 【详解】设一根跳绳的单价为x元， 由题意得，一个排球的价格为元，花160元购买跳绳的数量为，花400元购买排球的数量为， ∵购买数量相同， ∴可列方程． 12．已知分式对一切有意义的都有相同的值，则，应满足关系式______． 【答案】 【分析】设该分式的值恒为常数，根据题意列出等式，整理为关于的恒等式，利用恒等式对应系数相等得到方程组，消去参数即可得到与的关系式． 【详解】解：设分式对一切有意义的的值恒为， 根据题意得（）， 等式两边同乘得， 整理得， 因为该等式对一切有意义的都成立， 所以， 由得 ， 将代入得， 整理得． 13．甲、乙两组学生去距离学校的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为，则根据题意可列出方程是______． 【答案】 【分析】设步行速度为，则骑自行车的速度为，然后根据时间相同建立分式方程． 【详解】解：设步行速度为，则由题意得，． 14．小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为_____ 【答案】 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可得燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可. 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据题意得， ． 15．解分式方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的运算法则进行计算即可． 【详解】解：去分母,得, 去括号,得, 解得， 把代入原方程检验：左边,右边,左边＝右边， 是原方程的解． 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【详解】（1）解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 17．在解分式方程时，小高的解法如下： ………………第一步 ………………第二步 …………………第三步 ………………………………第四步 检验：当时，……第五步 ∴原分式方程的解为………第六步 小高的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小高的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】第二步；等式两边同时乘以同一个数或整式，等式仍然成立；小高的解答过程不正确，正确解答过程见解析 【分析】根据题意可知第二步去分母，依据是等式的性质2；在第三步去括号时，数字1前面的符号没有变号，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，并检验即可． 【详解】解：由题意得，第二步是去分母，去分母的依据是等式两边同时乘以同一个数或整式，等式仍然成立， 小高的解答过程不正确，正确解答如下： ， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 18．2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 【答案】第一次购进的玩具套装每套的进价是40元 【分析】设第一次购进的玩具套装每套的进价是x元，则第二次购进的玩具套装每套的进价是元，根据第二次购进该玩具套装，用2400元购进的数量比第一次少10套，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设第一次购进的玩具套装每套的进价是x元，则第二次购进的玩具套装每套的进价是元， 由题意得， 解得， 经检验是方程的解， 答：第一次购进的玩具套装每套的进价是40元． 19．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某工厂生产甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知生产一个乙型玩偶的成本是生产一个甲型玩偶的成本的2倍，若用400元生产甲型玩偶的数量比用300元生产乙型玩偶的数量多5个． (1)求甲、乙两种型号一个玩偶的生产成本各是多少元？ (2)某玩偶生产厂，于2026年3月份接到一项新订单，已知一组单独制作1个月，完成了总量的，为按时交付，二组加入支援，两组又共同工作了2个月，总订单全部完成，请应用所学的方程知识说明哪个组的工作效率高． 【答案】(1)一个甲型玩偶的生产成本为50元，则一个乙型玩偶的生产成本是100元 (2)一组的工作效率更高 【分析】（1）设一个甲型玩偶的生产成本为x元，则一个乙型玩偶的生产成本是元，根据“用400元生产甲型玩偶的数量比用300元生产乙型玩偶的数量多5个”列方程求解； （2）设总工作量为单位1，二组单独完成全部工作需要x个月，根据题意求出一组和二组的月效率，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：设一个甲型玩偶的生产成本为x元，则一个乙型玩偶的生产成本是元， 根据题意得， 解得， 经检验是分式方程的解且符合实际意义． （元）． 答：一个甲型玩偶的生产成本为50元，则一个乙型玩偶的生产成本是100元． （2）解：设总工作量为单位1，二组单独完成全部工作需要x个月， ∴二组的月工作效率为， 根据题意得： 解得：， 经检验是分式方程的解且符合实际意义， 二组单独完成工作需要8个月，月效率为． 一组月效率为，二组月效率为， ∵， ∴一组的工作效率更高． 20．现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价． 【答案】青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元． 【分析】设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元，根据数量差列方程并 解方程即可． 【详解】解：设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元． 21．2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增．某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元． (1)该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元？ (2)该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台．则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元？ 【答案】(1)A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元 (2)每台A款人形机器人在网上的售价是25万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． （1）设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为万元．根据题意列出方程，解方程即可． （2）设每台A款人形机器人的售价为y万元，则每台B款人形机器人的售价为（万元），根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为万元． 根据题意可得， 解得， 则（万元）． 答：A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元． （2）解：设每台A款人形机器人的售价为y万元， 则每台B款人形机器人的售价为（万元）． 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每台A款人形机器人在网上的售价是25万元． 22．列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 【答案】(1)杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份 (2)杂酱小面每小时增产25份 【分析】（1）设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份，根据“2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份”列方程解答即可． （2）设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份，根据“完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份， 根据题意可得， ∴， ∴， 答：杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份． （2）解：设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份， ∴， ∴， 经检验知：是原方程的解， 答：杂酱小面每小时增产25份． 23．将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 【答案】(1)原解答不正确，从第二步开始出错，正确过程见解析 (2)原正方形边长为12厘米 【分析】（1）先按去括号法则检查原式，发现原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号后合并同类项，即可解答． （2）明确两个矩形的长宽：根据“长宽比相等”列方程，求解，验证边长为正数，得结果． 【详解】（1）解：原解答不正确，从第二步开始出错． 正确过程： ． （2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和． 根据“长宽比相等”，列方程： 解得 验证：时，，符合实际意义． 答：原正方形边长为12厘米． 24．《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 【答案】 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键．设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为，依题意，得． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：边衬的宽度为． 25．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18分式方程 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 分式方程的定义】 2 【题型2 根据分式方程的解的情况求值】 3 【题型3 分式方程无解问题】 3 【题型4 列分式方程】 4 【题型5 解分式方程】 5 【题型6 分式方程的行程问题】 5 【题型7 分式方程的工程问题】 6 【题型8 分式方程的经济问题】 7 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 9 【题型10 分式方程的其他实际问题】 10 1. 知识目标：精准掌握分式方程的定义，能区分分式方程与整式方程；熟练掌握分式方程的解法、验根步骤；理解分式方程增根、无解的本质区别；掌握列分式方程解应用题的完整流程。 2. 能力目标：能快速判断分式方程、根据方程解的情况求参数；熟练解决分式方程无解、有增根类参数题；可独立完成各类分式方程实际应用题（行程、工程、经济、和差倍分等）。 3. 素养目标：掌握“分式方程转化为整式方程”的转化思想，理解验根的必要性，培养严谨的方程运算思维和数学建模能力。 4. 易错目标：规避解分式方程忘记验根、增根与无解混淆、去分母漏乘常数项、应用题缺少双重检验等高频错误。03 知识•梳理 知识点1：分式方程的定义 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 核心判定标准：看分母是否含未知数（常数字母、参数不算未知数）。 3. 区分整式方程：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数，这是二者唯一区别。 知识点2：分式方程的解法（必考核心） 1. 解题总口诀：一化、二解、三验、四写 2. 详细步骤： ① 去分母（化分式为整式）：方程两边同乘最简公分母，消去所有分母，转化为一元一次整式方程；注意：方程中所有项（含常数项）必须全部乘公分母，禁止漏乘。 ② 解整式方程：按照一元一次方程解法，移项、合并同类项、系数化为1，求出未知数的值。 ③双重验根（必不可少）：将解代入最简公分母，若公分母≠0，是原方程的根；若公分母=0，是增根，原方程无解。 ④ 写结论：明确写出方程的解或无解。 知识点3：增根与无解的核心概念 1. 增根定义：分式方程去分母后得到的整式方程有解，但该解使原分式方程分母为0，导致原方程无意义，这个解叫做增根。 2. 分式方程无解的两种情况： ① 转化后的整式方程本身无解； ② 整式方程有解，但所有解都是增根，原分式方程无有效解。 3. 核心区别：有增根≠无解，有增根是整式方程有解但全部作废；无解包含整式无解、全是增根两种情况。 知识点4：列分式方程解应用题通用步骤 通用口诀：审、设、列、解、验、答 1. 审：审题，找准题目中的等量关系； 2. 设：合理设未知数（一般问什么设什么，可间接设）； 3. 列：根据等量关系列出分式方程； 4. 解：按照分式方程解法解方程； 5. 验（双重检验）：一验是否为分式方程的根，二验是否符合实际意义； 6. 答：规范书写答案。 知识点5：高频应用模型核心等量关系 1. 行程问题：时间=路程÷速度、相遇/追及时间差关系 2. 工程问题：工作时间=工作总量÷工作效率（常设总量为1） 3. 经济问题：单价=总价÷数量、利润率、折扣、均价问题 4. 和差倍分：利用数量和、差、倍数关系构建分式等量式 04 题型•汇总 【题型1 分式方程的定义】 解题技巧： 1. 唯一判定依据：分母中含有未知数； 2. 只看原式，不看化简后形式，化简为整式方程的原式仍为分式方程； 3. 分母含常数、含参数字母（非未知数）均不属于分式方程。 易错提醒：误将化简后的整式方程判定为整式方程，忽略原式分母含未知数；混淆未知数与常数参数。 【典例1】．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【变式2】．请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【变式3】．下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【题型2 根据分式方程的解的情况求值】 解题技巧：已知正负解求范围时，先解出含参数的未知数表达式，再结合正负列不等式，同时排除增根对应的参数值。 易错提醒：只算参数值，忽略分母不为0的限制，出现增根情况。 【典例2】．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1】．关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【变式2】．关于x的分式方程有增根，则m的值为___________． 【变式3】．若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【题型3 分式方程无解问题】 解题技巧：务必分类讨论，不可遗漏任意一种情况；先找增根，再代入整式方程求参数，最后汇总所有符合条件的参数值。 易错提醒：只考虑增根情况，忽略整式方程本身无解的情况；参数取值遗漏。 【典例3】．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【变式1】．若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【变式2】．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【变式3】．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【题型4 列分式方程】 解题技巧： 1. 找准核心等量：比值、差值、倍数、时间、效率、单价等除法型数量关系； 2. 分式方程核心特征：含有除法型等量关系，无法用整式方程直接表示； 3. 设未知数后，用含未知数的分式表示相关量，根据相等关系列方程。 易错提醒：等量关系颠倒；误用整式方程替代分式方程；遗漏题目限定条件。 【典例4】．某书店对课外书实行优惠销售，每本书降价2元．小明发现，降价后用240元购买的课外书数量，比降价前多10本．求每本书的原价是多少元？设每本书的原价为元，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“抚州采茶戏”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做5个、甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等．若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为________． 【变式3】．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的长方形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为，根据题意可列方程_____． 【题型5 解分式方程】 解题技巧：常数项绝对不能漏乘公分母；验根是得分关键，不可省略步骤。 易错提醒：漏乘常数项；省略验根步骤；增根未舍去，错误写解。 【典例5】．解方程： 【变式1】．解分式方程：． 【变式2】．解分式方程：． 【变式3】．解分式方程： (1)． (2)． 【题型6 分式方程的行程问题】 解题技巧： 1. 通常设原速度或现速度为未知数； 2. 用分式表示两种状态的行驶时间； 3. 根据“时间差、时间相等”列方程； 4. 结果必须检验：速度、时间为正数，符合实际。 【典例6】．在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【变式2】．“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【变式3】．山西大同云冈石窟是中国三大石窟艺术宝库之一，其中既有印度、中西亚艺术元素，也有希腊、罗马建筑造型、装饰纹样、相貌特征等等，反映出与世界各大文明之间的渊源关系．某游客从酒店驾车前往景区，有两条路线可选： 路线一：沿城市主干道行驶，全程36千米； 路线二：经绕城高速行驶，全程45千米． 已知路线二的平均速度是路线一的2.5倍，且走路线二比路线一少用27分钟．求路线一的平均速度． 【题型7 分式方程的工程问题】 解题技巧： 1. 设单人/单机工作效率为未知数； 2. 合作效率为各效率之和； 3. 根据工期长短、时间差值列分式方程； 4. 杜绝整数思维，工程效率必用分式表示。 【典例7】．由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 【变式2】．为了改善部分经济困难家庭的居住条件，某市计划在一定时间内完成万平方米的保障房建设任务．后来市政府调整了计划，不仅保障房建设任务比原计划增加了，而且还要提前年完成建设任务．经测算，要完成新的计划，平均每年需要比原计划多建设万平方米的保障房，那么按新的计划，平均每年应建设多少万平方米的保障房？ 【变式3】．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工15天完成了总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同工作了50天，总工程全部完成． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队施工一天需要各项支出9000元，乙队施工一天需要各项支出4000元． ①如果两队施工的天数一共是130天，怎样安排施工任务，可以恰好完工？所需施工费用是多少？ ②如果工期不超过75天，怎样安排施工任务（施工天数需为整数），可以最大限度地节省开支？支出的最少金额是多少元？ 【题型8 分式方程的经济问题】 解题技巧： 1. 抓住“总价不变、单价变化、数量变化”的关联关系； 2. 用分式表示变化前后的采购数量； 3. 根据数量差、数量相等列方程。 【典例8】．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有株，则符合题意的方程是 （   ） 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ A． B． C． D． 【变式1】．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【变式2】．列方程（组）解决下列问题： 自2025年“渝超”在重庆举办以来，广大民众对足球的关注度越来越高，同时足球用品销售日渐火爆．某商场购进并销售A，B两款足球，已知该商场在10月份购进10个A款足球和30个B款足球，一共花费3800元；11月份购进30个A款足球和60个B款足球，一共花费8400元．已知两次购进的足球价格一致． (1)求A，B两款足球的进价分别为多少元？ (2)12月份，该商场决定再购进一批A，B款足球，由于前两个月销量良好，两款足球进价均上涨了相同的金额，用2700元购进A款足球的数量是用4950元购进B款足球数量的，求两款足球进价的上涨金额． 【变式3】．列方程解下列问题： “百年弦歌，薪火相传；鼎山毓秀，几水涵芳”，在某中学迎来建校周年华诞之际，七年级一班学生自发定制画册与文化衫两类伴手礼，赠予返校校友留念．已知定制本画册和件文化衫共需元，定制本画册和件文化衫共需元． (1)定制一本画册、一件文化衫的单价分别为多少元？ (2)该伴手礼广受校友好评，学校决定加大定制规模以回馈校友．因对内容与品质提出更高要求，画册与文化衫的定制单价均有上调，其中每本画册增加的费用是每件文化衫增加费用的倍．最终，学校花费元定制的画册数量，是花费元定制的文化衫数的，求每件文化衫增加的费用． 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 解题技巧：优先梳理量与量之间的除法、比值关系，这是列分式方程的关键，区别于整式和差倍分问题。 【典例9】．我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．太阳能是一种可再生资源．现有甲、乙两种品牌的太阳能照明灯，已知相同光照环境下，乙品牌比甲品牌每小时多储存电量，乙品牌储存电量与甲品牌储存电量所用的时间相等，则乙品牌每小时可储存________电量． 【变式2】．某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【变式3】．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 【题型10 分式方程的其他实际问题】 高频模型与技巧： 1. 浓度问题：浓度=溶质÷溶液，根据混合前后溶质不变列分式方程； 2. 面积问题：边长=面积÷对应边长，利用边长差值、相等关系列式； 3. 平均数问题：平均数=总量÷数量，根据均值变化列方程。 通用解题原则：所有实际问题均遵循“审设列解验答”，重点检验解的正负性、整数性，不符合实际直接舍去。 【典例10】．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了______千克盐水． 【变式2】．习总书记强调：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上．”为落实这一要求，某农科院规划了两块正方形试验田开展农业技术研究，相关示意图如下．其中甲种水稻的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，乙种水稻的试验田的边长为米．两块试验田的水稻都收获了千克． (1)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ (2)在（）的计算结果下，若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，请求出m的值． 【变式3】．近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数． 04 题型•汇总 1．下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 3．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．清明节期间，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家、小新家到中山公园的距离分别是4千米和10千米，小明步行前往，小新则骑免费单车，已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15分钟到达．若设小明步行速度为千米/小时，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．将分式方程化为整式方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了，结果提前60天完成了这项任务．设实际每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 9．下列关于x的式子是分式方程的是______．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 10．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 11．某体育活动中心购买一批排球和计数跳绳．经询价得知，一个排球的价格比一根计数跳绳价格的3倍少8元，花160元购买跳绳与花400元购买排球的数量相同．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程：________． 12．已知分式对一切有意义的都有相同的值，则，应满足关系式______． 13．甲、乙两组学生去距离学校的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为，则根据题意可列出方程是______． 14．小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为_____ 15．解分式方程：． 16．解方程： (1)； (2)． 17．在解分式方程时，小高的解法如下： ………………第一步 ………………第二步 …………………第三步 ………………………………第四步 检验：当时，……第五步 ∴原分式方程的解为………第六步 小高的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小高的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 18．2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 19．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某工厂生产甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知生产一个乙型玩偶的成本是生产一个甲型玩偶的成本的2倍，若用400元生产甲型玩偶的数量比用300元生产乙型玩偶的数量多5个． (1)求甲、乙两种型号一个玩偶的生产成本各是多少元？ (2)某玩偶生产厂，于2026年3月份接到一项新订单，已知一组单独制作1个月，完成了总量的，为按时交付，二组加入支援，两组又共同工作了2个月，总订单全部完成，请应用所学的方程知识说明哪个组的工作效率高． 20．现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价． 21．2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增．某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元． (1)该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元？ (2)该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台．则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元？ 22．列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 23．将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 24．《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 25．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $