专题5.2 分式的基本性质重难点题型专训（2个知识点+8大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦分式的基本性质和约分、最简分式两大核心知识点，先以“分子分母乘除同一个不为0的整式分式值不变”夯实基础，再通过约去公因式、判断最简分式构建从性质到应用的学习支架。 资料以8大题型分层设计，搭配即时训练、经典例题及拓展训练，培养学生抽象能力、运算能力和推理意识。如“系数化为整数”题型强化数学语言表达，拓展训练结合泳池面积计算提升应用意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题5.2 分式的基本性质重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型三 约分 题型四 最简分式 题型五 分式的求值 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型七 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型八 求使分式值为整数时未知数的整数值 拓展训练一 用分式的基本性质化简分式 知识点一：分式的基本性质 1. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 2. 用式子表示为，，其中A，B，C是整式． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北承德·月考）已知（其中，且都不是0），下列与的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分式的基本性质，判断各选项是否恒等于 ，选项 C 的分子和分母同时乘以 ，约分后与 相等；其他选项通过反例验证不恒等 【详解】∵ ， 选项 C：， ∴ 选项 C 与 相等， 对于选项 A、B、D，取 ，（满足 且非零）， 则 ， A：， B：， D：， 故 A、B、D 不恒等于 ， 故选C 2．（25-26七年级下·重庆合川·期末）填空：若，则等式右边的分子为_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据，得分母，故等式右边的分子为，即可作答． 【详解】解：∵， ∴分母， 即等式右边的分子为， 故答案为：． 知识点二：约分、最简分式 1. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 2. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式． 【即时训练】 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）化简时，小明、小华两位同学的化简过程如下： 小明：； 小华：．对于他俩的解法，你的看法是（    ） A．都正确 B．小明正确，小华不正确 C．小华正确，小明不正确 D．都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了分式的约分．把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】解：小明的做法是先将分子、分母分解因式，再约分，正确； 小华是把分子、分母乘以，利用平方差公式约去，应注意分式的性质，分子、分母同乘以一个不为0的数， ∴小华不正确． 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 【经典例题一 判断分式变形是否正确】 【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质与分式乘方运算，根据相关运算法则逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：∵分式变形不能直接给分子分母同加1，不满足分式基本性质，变形后值改变，∴A错误． ∵该变形中，分式的分子乘以了，分母乘以了，未乘以同一个整式，不符合分式的基本性质，故B错误． ∵，符合变形规则，∴C正确． ∵，∴D错误． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，且，则代表的整式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质，分子分母同乘一个不为0的数，分式的值不变，求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（23-24七年级下·山东烟台·期中）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 2．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）下列各式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的变形，熟练掌握分式的基本性质和分式的求值是解题的关键．通过化简分式验证每个选项的正确性，选项B的变形中，分子分母同乘了，但未考虑的条件，不符合分式的基本性质． 【详解】解：选项A: ，其中即，变形后分母为，符合分式的基本性质，故不符合题意； 选项B: ，变形中分子分母同乘，但未保证，若则中间步骤分母为零，不符合分式的基本性质，故符合题意； 选项C: ，等式成立，变形正确，故不符合题意； 选项D: ，符合分式的基本性质，故不符合题意． 故选B． 3．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)分子、分母同时乘c (2)分子、分母同时除以x (3)分子、分母同时除以 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以c，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案； （3）根据分式的性质：分式的分子分母都除以，可得答案． 【详解】（1）解：，即分子、分母同时乘c； （2）解：，即分子、分母同时除以x； （3）解：， 即分子、分母同时除以． 【经典例题二 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （1），括号内填写_______． （2），第一个括号内填写_______，第二个括号内填写_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解决本题的关键是根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不等于的数或整式． 根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘以，可得结果为； 根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时除以，可得结果为；根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘以，可得结果为． 【详解】解：根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘以， 可得：， 故答案为：； 根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时除以， 可得：， 根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘以， 可得：． 故答案为：，． 1．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 2．（2026七年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题三 约分】 【例1】（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把代入化简即可． 【详解】解：将代入得 ， 故选：B． 【例2】（2025·七年级下 河南信阳）若M是一个式子，且的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所代表的式子：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的约分，的化简结果为整数，那么约分后的结果不含x和其他字母，那么M一定只含有字母x，且x的指数为2，据此可得答案． 【详解】解：∵M是一个式子，且的化简结果为整数， ∴M中一定只含有字母x，且x的指数为2， ∴符合题意的M可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段测试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果． 【详解】解：∵， ∴括号中应填． 2．（25-26七年级下·青海西宁·期末）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立． 【详解】解：A：∵，， ∴ ，而， ∴，A错误． B：∵， ∴，而， ∴，B错误． C：左边分式分子分母同乘10，得 ，右边为， ∵分母不同， ∴除非，否则不相等，C错误． D：， ∵左边右边， ∴D正确． 故选：D． 3．（25-26七年级下·江西赣州·期末）约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，关键是找到分子、分母的公因式；先对分子和分母因式分解，最后约去公因式． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·福建宁德·期中）某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块空地上建一个长方形游泳池，其余部分建成休息区．下列两种建设方案： 方案1：在长方形中央建设泳池，如图1： 方案2：靠长方形长边建设泳池，如图2． (1)当时，请判断两种方案建设泳池的面积大小，并说明理由． (2)体育训练基地从安全方面考虑，要求所建设的泳池面积与休息区面积之比为．若，则上述两种建设方案是否符合要求，请说明理由． 【答案】(1)方案1的游泳池占地面积更大，见解析 (2)方案1符合要求，方案2不符合要求，见解析 【分析】（1）利用整式的乘法运算得出面积，然后利用作差法比较大小； （2）利用整式的混合运算法则表示出相关面积，然后求出比值即可． 【详解】（1）解：方案1泳池面积：； 方案2泳池面积：； ， ， ， ． ， 方案1的游泳池占地面积更大； （2）解：方案1休息区面积：， 方案2休息区面积：， 当时，， ， 方案1符合要求，方案2不符合要求． 【经典例题四 最简分式】 【例1】（25-26七年级下·山东济宁·期末）下列说法当中正确的是（   ） A．是因式分解 B．若使分式有意义，则 C．的计算结果为 D．是最简分式 【答案】D 【分析】根据因式分解定义、分式有意义条件、积的乘方与幂的乘方及负整数指数幂、最简分式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，该变形不是因式分解，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若使分式有意义，则，解得：，原说法错误，故此选项不符合题意； C．，原说法错误，故此选项不符合题意； D．是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解定义、分式有意义条件、积的乘方与幂的乘方及负整数指数幂、最简分式的定义，掌握相应的知识点是解题的关键． 【例2】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）请你从，，，中选出两个代数式分别作为分子、分母组成一个最简分式，那么这个最简分式可以是_______________（写出一个即可）． 【答案】（不唯一） 【分析】根据最简分式的定义即可求解，最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式． 【详解】解：从，，，中选出两个代数式分别作为分子、分母组成一个最简分式，那么这个最简分式可以是， 故答案为：（不唯一）． 【点睛】本题考查了最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键． 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式，对每个选项进行分析，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； B、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； C、对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式； D、对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式． 综上，答案选C． 2．（2026·七年级下 甘肃平凉）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）把分式化为最简分式为________． 【答案】 【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式或公因数时叫最简分式． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了最简分式，掌握分式的约分，因式分解是解题的关键． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 【答案】（1）这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）这种商品每件的成本是元． 【分析】（1）直接利用总产量除以公顷数=平均每公顷的棉产量得出答案； （2）利用成本（1+a%）=售价，进而得出等式求出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， 答：这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克； （2）设这种商品每件的成本是y元，根据题意可得： y（1+a%）=x， 则y=， 答：这种商品每件的成本是元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，以及分式的化简，正确掌握成本与利润关系是解题关键． 【经典例题五 分式的求值】 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如果，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求分式的值． 由得到，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， 则， ∴． 故选：A． 【例2】（23-24七年级下·福建宁德·月考）若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的减法，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 由已知，将所求表示为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵=， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·重庆南川·期末）已知关于x的多项式：，，下列说法正确的个数有（   ） ①若，则； ②若，，则的值为－506； ③若的值为整数，则满足条件的所有整数x的和为5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程以及整式的加减，将,代入相应的代数式，再根据整式、分式的化简进行判断即可 【详解】解：， ， ， 解得：， 故 ①正确； ， 即， ， 原式， 故②正确； 原式， 由题意得：， ， 和为， 故 ③错误； 综上，正确的有2个； 故答案为：C． 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 【答案】C 【分析】根据分式的性质逐项求解即可． 【详解】解：A、当时，，故选项错误，不符合题意； B、当时，即，无解，故选项错误，不符合题意； C、当时， ∴，故选项正确，符合题意； D、A为整数值时，为整数值， ∴为整数值， ∴或或3或 ∴解得或0或4或，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】题目主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键． 3．（2024·七年级下 四川遂宁）在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则 如图①当时， 如图②当时， 如图③当时， …… 直接写出，当时，______． 【答案】/0.73 【分析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n时，，代入即可． 【详解】解：根据题意可得，当时，， 则当时，， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】本题考查了分式的求值，设参数求解是解答的关键． （1）设，则，，…，，所以，然后进行分式的化简即可得到结论； （2）设，则，，，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可． 【详解】（1）证明：设，则，，…，， …， ， ； （2）解：设，则，，， 所以． 【经典例题六 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）小明叫小刚写一个含有字母的分式，要求不论取何数，该分式都有意义，且分式的值为负．小刚一共写出了下面四组，让小明选出正确的一组，你认为小明应该选（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是分式有意义的条件、利用分式的基本性质判断分式的值的变化，解题关键是熟练掌握分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件及分式的值为负判断各个选项即可． 【详解】解：、当时，分式无意义，故本选项错误； 、无论取何值，分母都大于，且分子小于，则分式的值为负，故本选项正确； 、无论取何值，分式都有意义，但分式的值为正，故本选项错误； 、当时，分式无意义，故本选项错误． 故选：． 【例2】（23-24七年级下·湖南郴州·期末）不改变分式的值，把分式“”前面的负号去掉，则原式=___________ 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质． 将分子提取负号化简即可． 【详解】 故答案为： 1．（2025·七年级下 浙江）地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级与距离震中处测得的最大振幅（单位：）之间的关系为（为常数）．若里氏震级提高2级，则距离震中处测得的最大振幅将增大到原来的（    ） A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则计算，即可解答． 【详解】由，得 ， 即． 故选A． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质等知识，根据分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、∵， ∴不论为何值，分式总有意义，说法正确，故选项不符合题意； B、当时，分式，说法正确，故选项不符合题意； C、分式的值为零， ∴且， ∴，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到， ∴把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握给分式的分子、分母同乘或除以一个非整式，分式的值不变成为解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：由与分母乘以x，则分子也需乘x，即； 由与分子乘以30，则分母也需乘30，即． 故答案为：，． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 【经典例题七 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例1】（23-24七年级下·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【例2】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段检测）不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 1．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 2．（23-24七年级下·河南新乡·月考）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【经典例题八 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 1．（25-26七年级下·广西崇左·月考）是有理数，则的值不能是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子为，分母不为，因为分式的分子不为，所以分式的值不能为，即可解答． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，故选项不符合题意； C、因为分式的分子，所以分式值不可能为，故选项符合题意； D、当时，，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（2023·七年级下 浙江宁波）2022年是宁波外国语学校建校31周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为整数，根据题意求出建校n周年对应年份为，列出式子，化为，则要使得能够整除，则n为1991的因数，据此即可解答． 【详解】由题可知，建校n周年对应年份为， 则年份除以建校周年n为， 要使得能够整除，则n为1991的因数， ∵， ∴或或或，共4个， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·单元复习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查求使分式值为整数时未知数的整数值． 首先将原分式化简为，然后将其表示为整数与分式的和形式，根据值为整数的条件，确定需为1的约数，并排除分母为零的情况． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴的值为整数， ∵为整数， ∴为整数， 要使的值为整数，则为分子1的约数， ∴或， 解得或 ， 当 时原分式分母为零，无意义， ∴舍去， 当时，此时原分式分母均不为零，且值为整数， 验证：当 时，，为整数，满足题意， ∴整数的值为． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 【答案】或或或 【分析】先根据分式的性质进行化简，结果为，再结合题意判断出是的因数，计算出结果，同时注意需要让原分式有意义． 【详解】解：∵原分式有意义， ∴， ∴， ， ∵分式的值为整数，且为整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或或或． 【拓展训练一 用分式的基本性质化简分式】 【例1】（25-26七年级下·山东临沂·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式的判断． 判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可． 【详解】解：①，不是最简分式； ②，不是最简分式； ③，分子与分母无公因式，是最简分式； ④，分母是常数，无变量，不是分式； ⑤，分子与分母无公因式，是最简分式； 综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个． 故选：A． 【例2】（2025·七年级下 山东济宁）已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，分式的值，熟练掌握分式的约分是解题的关键．先得出，再将代入，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入， 得：， 故答案为：． 1．（2023 七年级下·香港）如果和是互不相同的非零数，满足，那么的值是多少？（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 E．2024 【答案】E 【分析】先对已知条件进行化简变形，再将所求式子展开并利用已知条件进行代换求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； ∵，当时，，方程不成立， ∴， ∴方程两边同除以得：， ∴， ∴，即：； 故选B． 【点睛】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）若，则的值是______． 【答案】 【分析】先对已知等式通分整理，得到与的数量关系，再将所求分式变形，利用整体代入法求值． 【详解】解：由分式有意义的条件可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 4．（2023七年级下·浙江·竞赛）已知，且，．求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的运算，先对已知等式整理得到，故，将变形为，再结合基本不等式即可求出最小值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 则， 当且仅当时，等号成立； 因此； 即的最小值为． 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的性质，对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A：当时，分式分母为，分式无意义，即选项A错误； 选项B：当时，分式无意义，故选项B错误； 选项C：当，都扩大倍，分式转变为，即分式的值也扩大三倍，故选项C错误； 选项D：无法再进行化简，故是最简分式，选项D正确． 2．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 3．（23-24七年级下·广东佛山·月考）下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、分式的值为零，则x的值为−2，故此选项错误； B、根据分式的基本性质，等式（x≠0），故此选项错误； C、分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，故此选项正确； D、分式，原式不是最简分式，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 4．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，分式有意义的条件，分式值为0的条件，分式的性质；逐一判断每个小题的正误，对比嘉琪的判断，找出他做对的题目． 【详解】解：①∵分母不含字母，不是分式，∴原题说法错误，嘉琪判断“×”正确． ②∵当时，分母，∴分式无意义，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． ③∵分式值为0需分子为0且分母不为0，分子得，但时分母为0，∴只有满足，原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ④∵分式变形需分子分母同乘除非零整式，此处加2不满足，如时两边不相等，∴原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ⑤∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． 综上，嘉琪做对①、②、⑤． 故选：B． 5．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）用四张相同的长方形纸片，其长，宽分别为a，b（），按图示拼成一个边长为的大正方形．记大正方形面积为，中间小正方形面积为．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的求解能力，分式的求值．结合图形面积公式和完全平方公式进行列式、求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 即， 整理，得， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25七年级下·重庆江津·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可，正确的找到规律，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段测试）设是大于1925的正整数，使得为完全平方数的的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方数的性质，设（N为完全平方数，，1，4，9，16，…，）则，进而得，和都是正整数，都是100的因数，依此即可求解． 【详解】解：设（N为完全平方数，，1，4，9，16，…，） 则， 所以， 即，和都是正整数，都是100的因数，N为完全平方数，，1，4，9，16，…， ∴当时，； 当时，此时不是整数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（舍去）； 故使得为完全平方数的n的个数是4． 故选：A． 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将和分别替换原分式中的和， ∵ ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍． 9．（25-26七年级下·重庆巴南·阶段检测）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以x得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以x得到第3项···，以此类推，下面结论中正确的个数为（   ） ①当时， ； ②； ③第2025项； ④若x为整数，且值为整数，则x的取值个数为4个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查代数式的应用，正确根据已知条件列出代数式是解题的关键． 根据操作规则，推导出和的通项公式，然后逐一验证四个结论是否正确即可． 【详解】解：第1项是， 则 ，即， ， 依此类推，、， 当时， ， 故①正确； ， 故②正确； 第2025项， 故③正确； ， 若x为整数，且值为整数， 则为6的因数， 即或或或， 由于为奇数， 则或, 解得或或1或， 则x的取值个数有4个， 故④正确， 因此结论中正确的有①②③④，共4个， 故选：A． 10．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 【答案】B 【分析】将变形得到，从而推出，再利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：由条件可知， ， ， 又， ． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 12．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 13．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】首先求出，，然后得到，，然后相乘得到，推出，然后将原式通分整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∵ ． 14．（2026·七年级下 河北石家庄）若关于x，y的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为_________． 【答案】 【分析】先由原方程组解得，，再根据方程组的解为整数求出a的值即可． 【详解】解：由原方程组解得，． ∵关于x，y的方程组的解为整数， ∴为整数， ∴是偶数， ∵y为整数， ∴的值为或， 的值可以取，1，，3， a的值为，0，，2， 所有整数a的和为． 15．（23-24七年级下·江苏·周测）若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解决此题． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 16．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 17．（23-24七年级下·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 18．（25-26七年级下·上海·月考）若是不超过1500的正整数，且是最简分数，则的取值有多少个？ 【答案】 【分析】本题考查容斥原理，分式的化简求值，根据得到是最简分数，求出中不能被和整除的数的个数即可． 【详解】解： ， ∵是最简分数， ∴是最简分数， ∵， ∴不能被和整除， ∵是不超过1500的正整数，即， ∴， ∵，，， ∴在和这个范围内，被整除的数有个，被整除的数有个，被整除的数有个， ∴中不能被和整除的数有个， ∴的取值有个． 19．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【答案】(1)， (2)不同意，理由见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：不同意，理由如下： 根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小， ∴不同意小茗同学的观点； （3）解：∵， ∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小， ∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小， ∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2． 20．（25-26七年级下·山东济宁·阶段检测）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】的整数值为，，， 【分析】本题考查了分式的变形（将分式化为整式与分式的和）以及整数的性质（整数的约数特征）；解题的关键是通过凑分母倍数的方式将分式拆分为整式与简单分式的和，再根据“整式与分式的和为整数，则该分式必为整数”确定分母的取值． 先将分式的分子凑成分母的倍数，即，进而拆分为；因分式的值为整数，且是整数，故需为整数，即是的整数因数（，）；分别求解对应的值，得到的整数值（注意，避免分母为0）． 【详解】解： ∵分式的值为整数，且是整数， ∴必须为整数，即是的整数约数． 的整数约数为，，分情况讨论： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得. 综上，的整数值为，，，， 答：的整数值为，，，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 分式的基本性质重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型三 约分 题型四 最简分式 题型五 分式的求值 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型七 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型八 求使分式值为整数时未知数的整数值 拓展训练一 用分式的基本性质化简分式 知识点一：分式的基本性质 1. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 2. 用式子表示为，，其中A，B，C是整式． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北承德·月考）已知（其中，且都不是0），下列与的值相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆合川·期末）填空：若，则等式右边的分子为_____． 知识点二：约分、最简分式 1. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 2. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式． 【即时训练】 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）化简时，小明、小华两位同学的化简过程如下： 小明：； 小华：．对于他俩的解法，你的看法是（    ） A．都正确 B．小明正确，小华不正确 C．小华正确，小明不正确 D．都不正确 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【经典例题一 判断分式变形是否正确】 【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，且，则代表的整式是______． 1．（23-24七年级下·山东烟台·期中）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）下列各式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）下面三个式子：，其中正确的有_____个． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)． 【经典例题二 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （1），括号内填写_______． （2），第一个括号内填写_______，第二个括号内填写_______． 1．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【经典例题三 约分】 【例1】（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·七年级下 河南信阳）若M是一个式子，且的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所代表的式子：_______． 1．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段测试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·青海西宁·期末）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江西赣州·期末）约分：__________． 4．（25-26七年级下·福建宁德·期中）某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块空地上建一个长方形游泳池，其余部分建成休息区．下列两种建设方案： 方案1：在长方形中央建设泳池，如图1： 方案2：靠长方形长边建设泳池，如图2． (1)当时，请判断两种方案建设泳池的面积大小，并说明理由． (2)体育训练基地从安全方面考虑，要求所建设的泳池面积与休息区面积之比为．若，则上述两种建设方案是否符合要求，请说明理由． 【经典例题四 最简分式】 【例1】（25-26七年级下·山东济宁·期末）下列说法当中正确的是（   ） A．是因式分解 B．若使分式有意义，则 C．的计算结果为 D．是最简分式 【例2】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）请你从，，，中选出两个代数式分别作为分子、分母组成一个最简分式，那么这个最简分式可以是_______________（写出一个即可）． 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·七年级下 甘肃平凉）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）把分式化为最简分式为________． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 【经典例题五 分式的求值】 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如果，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·福建宁德·月考）若，则_____． 1．（24-25七年级下·重庆南川·期末）已知关于x的多项式：，，下列说法正确的个数有（   ） ①若，则； ②若，，则的值为－506； ③若的值为整数，则满足条件的所有整数x的和为5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 3．（2024·七年级下 四川遂宁）在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则 如图①当时， 如图②当时， 如图③当时， …… 直接写出，当时，______． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 【经典例题六 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）小明叫小刚写一个含有字母的分式，要求不论取何数，该分式都有意义，且分式的值为负．小刚一共写出了下面四组，让小明选出正确的一组，你认为小明应该选（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·湖南郴州·期末）不改变分式的值，把分式“”前面的负号去掉，则原式=___________ 1．（2025·七年级下 浙江）地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级与距离震中处测得的最大振幅（单位：）之间的关系为（为常数）．若里氏震级提高2级，则距离震中处测得的最大振幅将增大到原来的（    ） A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【经典例题七 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例1】（23-24七年级下·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段检测）不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 1．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南新乡·月考）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【经典例题八 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）当正整数________时，分式的值也为整数． 1．（25-26七年级下·广西崇左·月考）是有理数，则的值不能是（　　） A．1 B． C．0 D． 2．（2023·七年级下 浙江宁波）2022年是宁波外国语学校建校31周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26七年级下·全国·单元复习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数的值为_______． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 【拓展训练一 用分式的基本性质化简分式】 【例1】（25-26七年级下·山东临沂·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（2025·七年级下 山东济宁）已知，且，则的值为______． 1．（2023 七年级下·香港）如果和是互不相同的非零数，满足，那么的值是多少？（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 E．2024 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）若，则的值是______． 4．（2023七年级下·浙江·竞赛）已知，且，．求的最小值． 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 2．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东佛山·月考）下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 4．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 5．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）用四张相同的长方形纸片，其长，宽分别为a，b（），按图示拼成一个边长为的大正方形．记大正方形面积为，中间小正方形面积为．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·重庆江津·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段测试）设是大于1925的正整数，使得为完全平方数的的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 9．（25-26七年级下·重庆巴南·阶段检测）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以x得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以x得到第3项···，以此类推，下面结论中正确的个数为（   ） ①当时， ； ②； ③第2025项； ④若x为整数，且值为整数，则x的取值个数为4个． A．4 B．3 C．2 D．1 10．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 12．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 13．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为________． 14．（2026·七年级下 河北石家庄）若关于x，y的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为_________． 15．（23-24七年级下·江苏·周测）若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 16．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 17．（23-24七年级下·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 18．（25-26七年级下·上海·月考）若是不超过1500的正整数，且是最简分数，则的取值有多少个？ 19．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 20．（25-26七年级下·山东济宁·阶段检测）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 学科网（北京）股份有限公司 $