七年级下学期期末重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 七年级下学期期末提高卷，聚焦核心素养，通过平移、方程组、统计图表等知识，设计动态光束、规律探究等问题，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平移、方程组解法、完全平方|结合车标平移（几何直观）、接力游戏（运算能力）| |填空题|6/18|幂运算、平行线性质、统计图表|动态光束平行（空间观念）、“弦和”方程组（创新意识）| |解答题|9/72|配方法、统计分析、几何综合|慈善捐款利润模型（模型意识）、三等分线规律探究（推理能力）|

七年级下学期期末重难点检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 2．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】先根据去分母时，两边都要乘以2判断，再根据代入法求出方程组的解． 【详解】解：丙同学出现错误，去分母时，18应该乘以2，正确的过程如下： ， 解：由①，得， 将③代入②，得， 去分母，得，即， 解得， 将代入③，得． 3．已知多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A．9 B．9或 C． D．9或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方式的形式列出关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵多项式是完全平方式，完全平方公式为 ∴对应公式可得，，，中间项满足 整理得 分两种情况计算： 当时，，解得 当时，，解得 ∴的值为或． 4．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 5．设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式化简求值，根据已知求出，代入 化简即可解答 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 故选：A． 6．某校计划举行一场体育比赛，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一个，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．下列说法正确的是（　　） A．本次调查采用的是全面调查 B．在这次调查中，该校一共调查了180名学生 C．“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是 D．在这次调查中，选择足球项目的学生有50名 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．根据调查方式以及统计图数据计算对选项逐一判断即可． 【详解】解：A．由题可知：学校随机抽取了部分学生进行调查，本次调查采用的是抽样调查，故选项A说法错误，不符合题意； B．该校一共调查了（人），故选项B说法错误，不符合题意； C．“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是，故选项C说法错误，不符合题意； D．在这次调查中，选择足球项目的学生有（人），故选项D说法错误，不符合题意． 故选：D． 7．为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是这笔钱的总金额为，解关于，的方程组． 设钢笔每支元，日记每本元，这笔钱的总金额为，根据题意可得，进而求出，即可求出答案． 【详解】解：设钢笔每支元，日记本每本元，这笔钱的总金额为 a 元  ，由题意可知 ， 解关于，的方程组得： ， ∴这笔钱全部用来买钢笔可买100支，全部用来买日记可买300本． 故选：D 8．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒 【答案】C 【分析】设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设灯旋转的时间为秒， 灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒， 灯先转动2秒，灯才开始转动， ，即， 由题意，分以下三种情况： ①如图，当时，， ， ， ， ，即， 解得，符合题设； ②如图，当时，， ， ， ， ，即， 解得符合题设； ③如图，当时，， ， 同理可得：，即， 解得，不符题设，舍去； 综上，灯旋转的时间为1秒或秒， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键． 9．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干给出的式子总结规律，将所求式子变形后匹配规律计算，根据题干规律得，变形所求式子后代入公式计算即可． 【详解】解： ； ； ； ……， 由此可得， 当时，， ∴， ∴， ∴ ． 10．如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第二次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第三次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，，…；第次操作，分别作和的三等分线，交点为．若度，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，则，，从而可得，结合，得出，分别表示出、、，得出规律即可． 【详解】解：如图，过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， …， ∴， ∵， ∴． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．已知，，m，n为正整数，求=________． 【答案】/ 【分析】先将已知条件中转化为以为底的幂，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式子变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴将，代入得： 原式． 12．已知，则______；______． 【答案】 【分析】先对等式右边通分，再根据分式相等时分母相同则分子相等，对应系数相等列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 解得． 13．，则的值为______． 【答案】 【分析】对所求多项式因式分解后，将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 14．已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）过拐点作平行线，利用内错角相等，将大角拆成两个分别等于和的小角，得到数量关系； （2）过两个拐点分别作平行线，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等，将目标角拆分为两部分，再用含，，的式子表示． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，， ， ． 15．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A．科普，B．文学，C．体育，D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图： 小亮根据这两幅不完整的统计图得出以下五个结论：①样本容量为400 ；②类型B的人数为120人；③类型C所占百分比为；④类型C所对应的扇形的圆心角为126°； ⑤类型D的人数是类型B的人数的．你判断一下小亮结论中错误的是_______ ． （请填写序号） 【答案】③ 【分析】根据A类100人占25%可计算样本容量，根据D占10%可计算类型D的人数，可得类型B的人数，根据C类140人÷总样本容量即可得所占百分比，类型C所占百分比×360°可得所对扇形的圆心角度数，根据类型B，类型D的人数即可判断⑤． 【详解】100÷25%=400(人)， ∴样本容量为400， 故①正确； 类型D的人数是400×10%=40(人)， ∴类型B的人数为：400-100-140-40=120(人)， 故②正确； 140÷400×100%=35%， ∴类型C所占百分比为35%， 故③错误； 360°×35%=126°， ∴类型C所对应的扇形的圆心角为126°， 故④正确； 类型B的人数为120人，类型D的人数是40人， ∴类型D的人数是类型B的人数的， 故⑤正确； 故说法错误的是：③． 【点睛】本题主要考查统计图的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的知识是解题的关键． 16．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“弦和”方程组．对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组，则的值为_____． 【答案】或1 【分析】根据“弦和”方程组的定义得到，即或，解方程组得到或，分别代入，根据对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组求出a、b的值，进而可知的值． 【详解】解：∵“弦和”方程组的解满足， ∴， 可得或 解得：或； 把代入得，即 ∵对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组， ∴， 解得：， 此时； 把代入得，即 ∵对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组， ∴， 解得：， 此时； 综上所述，的值为或1． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据整式的乘法和分式的混合运算法则化简原式，再计算m的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再用单项式乘以单项式计算即可 （2）用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，最后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，最后合并同类项 【详解】（1）解：      ； （2）解： ； （3）解： ． 19．解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 把①代入②得， 解得， 把代入得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得， 解得， 把代入得， ∴， ∴原方程组的解为． 20．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 【答案】(1)①；②4052 (2) (3)；， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根据题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：①的系数：； ②的展开式中，的系数 ∵是由2026个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2026个2的和， ∴. （2）解：的系数为： 不含项则， ∴． （3）解：购进型箱，型箱，利润： 整理得： 因利润与无关，故， ∴， 21．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 b a 0.30 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有多少人？ 【答案】(1)60，0.15； (2)见解析 (3)约有1200人． 【分析】（1）根据频率频数总数求解即可； （2）根据（1）所求值补全频数分布直方图即可； （3）用学生总人数乘以成绩“优”等的频率求解即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：（人）， 答：该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有1200人． 22．我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项.使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，应用广泛． (1)配方法因式分解：； (2)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为多少？ 【答案】(1) (2)是等边三角形； (3)四边形的面积最大值为8． 【分析】（1）模仿例题，将变为，然后配方，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）先移项，再配方，利用非负数的性质求解a、b、c即可解答； （3）设，则，根据题意表示出四边形的面积，根据二次函数的性质解答，即可获得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 则， ∴， ∴， 即是等边三角形； （3）解：设，则， ∵， ∴四边形的面积， ∵，， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为8． 23．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 24．综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式排成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ． (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图． (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为正方形大卡片内，图3中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖面积记为、，若，，，求出大正方形面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，，若，当的长度变化时，，之间满足怎样的数量关系，使的值始终保持不变，请直接写出答案： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)134 (4) 【分析】（1）正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积又等于1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片这四张卡片的面积之和，据此可得答案； （2）画一个长方形的两个邻边分别为和即可； （3）分别表示出，根据，，求出即可得到答案； （4）设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关解题． 【详解】（1）解：图2是一个边长为的大正方形，则其面积为， 图2是由1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片组合而成，则其面积为， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由图可知：， ， ∵，， ∴， 由题意得，面积为的图形是正方形，且其边长为， ， ， ， ， ∴， 大正方形面积为134； （4）设，由图可知， ， ∴ ， 若为定值，则将不随的变化而变化， 即， ． 25．如图，点在直线上，点在直线上，点在之间，且满足． (1)试说明：； (2)如图，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）过点作，可得，即得，即得到，即可求证； （）作，设，则，，根据平行线的性质可得，，进而得到，即可求证； （）作，设，则，，同理（）解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，作， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：，理由如下： 如图，作， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期期末重难点检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．已知多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A．9 B．9或 C． D．9或 4．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 5．设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．某校计划举行一场体育比赛，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一个，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．下列说法正确的是（　　） A．本次调查采用的是全面调查 B．在这次调查中，该校一共调查了180名学生 C．“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是 D．在这次调查中，选择足球项目的学生有50名 7．为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 8．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒 9．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第二次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第三次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，，…；第次操作，分别作和的三等分线，交点为．若度，那么（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．已知，，m，n为正整数，求=________． 12．已知，则______；______． 13．，则的值为______． 14．已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 15．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A．科普，B．文学，C．体育，D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图： 小亮根据这两幅不完整的统计图得出以下五个结论：①样本容量为400 ；②类型B的人数为120人；③类型C所占百分比为；④类型C所对应的扇形的圆心角为126°； ⑤类型D的人数是类型B的人数的．你判断一下小亮结论中错误的是_______ ． （请填写序号） 16．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“弦和”方程组．对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组，则的值为_____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．先化简，再求值：，其中． 18．计算： (1) (2) (3) 19．解二元一次方程组： (1)； (2)． 20．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 21．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 b a 0.30 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有多少人？ 22．我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项.使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，应用广泛． (1)配方法因式分解：； (2)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为多少？ 23．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 24．综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式排成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ． (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图． (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为正方形大卡片内，图3中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖面积记为、，若，，，求出大正方形面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，，若，当的长度变化时，，之间满足怎样的数量关系，使的值始终保持不变，请直接写出答案： ． 25．如图，点在直线上，点在直线上，点在之间，且满足． (1)试说明：； (2)如图，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $