七年级下学期期末重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 七年级下学期期末培优卷，通过“倒立数对”“☆运算”等创新定义、重庆小面定价等生活情境及动态几何问题，考查抽象能力、模型意识与空间观念，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|分式意义、平行线性质、统计基础|三角板旋转问题（第5题）考查几何直观| |填空题|6/18|因式分解、数据估计、规律探究|水果等级统计（第12题）体现数据意识| |解答题|9/72|方程应用、乘法公式几何意义、动态几何|图形剪拼验证公式（第21题）培养推理能力，动态射线旋转（第25题）发展创新意识|

七年级下学期期末重难点检测卷（培优卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．某校八年级班名学生的健康状况被分成组，第组的频数是，第，组的频率之和为，第组的频率是，则第组的频数是（　　） A． B． C． D． 2．分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 3．下列说法中正确的个数为（   ） ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④相等的角是对顶角． ⑤连接两点间的线段，叫作这两点间的距离． ⑥如果，则点是的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．已知，那么与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 5．如图，一副三角板中两个直角顶点叠放在一起，其中，保持三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①；②随着的变化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 8．下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 9．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 10．设，，满足，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．8 D．9 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．已知，则的值为_______． 12．某种水果按照果径大小可分为四个等级：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批该种水果中随机抽取100个，根据果径分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 果径范围（单位：） 个数 10 30 40 20 若该采购商采购的这批水果共计2000个，估计等级为“精品果”的个数是_____． 13．如图，已知、相交于点，则____________． 14．如图是小云画的一个电路图，已知，移动滑动变阻器至一位置，此时干路电流．若总电压，则的值为_______． 15．已知： （1）； （2）； （3）；猜想规律如下： （其中为正整数，且）． 利用上面猜想的结论计算：_____________． 16．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积是______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 19．先化简，再求值：，其中． 20．列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需78元． (1)求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； (2)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 21．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） (2)【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 22．我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”.求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 23．新冠无情，人间有爱，线上教学，云端战“疫”﹒疫情期间，某中学积极组织开展线上教学，复学后，该校为了解学生线上和线下不同阶段的学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后对线下教学质量测评．根据第一次测评的数学成绩制成频数分布直方图（图1）． 复学一个月后，根据第二次测评的数学成绩得到如下统计表： 成绩 人数 1 3 3 8 15 m 6 根据以上图表信息，完成下列问题： (1)______； (2)请在图2中作出两次测评的数学成绩折线统计图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； (3)请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 24．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 25．已知：，E，G是上的点，F，H是上的点． (1)如图①，，求证：； (2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期期末重难点检测卷（培优卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．某校八年级班名学生的健康状况被分成组，第组的频数是，第，组的频率之和为，第组的频率是，则第组的频数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了频率和频数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由第组的频数除以总人数即得出第组的频率，再用减去其它组的频率，即可求出第组的频率，最后用总人数乘第组的频率即可求出第组的频数． 【详解】解：根据题意可知第组的频率为， 第组的频率， 第组的频数是， 故选：B． 2．分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零． 根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果． 【详解】当时， ， 即， 解得： ， 当，时，分式的值为零 故选：D． 3．下列说法中正确的个数为（   ） ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④相等的角是对顶角． ⑤连接两点间的线段，叫作这两点间的距离． ⑥如果，则点是的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查平面几何基本概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到结果． 【详解】解：①根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故①正确； ②根据垂线的基本性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确； ③点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，故③错误； ④相等的角不一定是对顶角，例如同位角可以相等但不是对顶角，故④错误； ⑤两点间距离是指连接两点间的线段的长度，不是线段本身，故⑤错误； ⑥若，当点不在线段上时，点不是的中点，故⑥错误； 综上，正确的说法共2个，故选A． 4．已知，那么与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 【答案】A 【分析】将，变化为指数相同的形式，再根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴． 5．如图，一副三角板中两个直角顶点叠放在一起，其中，保持三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①；②随着的变化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①依据，，可得； ②依据，即可得到； ③画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，； ④画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①，， ，故①正确； ②， ， ，是定值，故②错误； ③如图1所示， 当时，， ， 如图2所示， 当时，， ， 当时，则或，故③正确； ④设，则． 如图 由②可知，， ， 解得：， 即， ， ； 如图 由①得：， ， ， ， ， ． 此时或； 故④错误． 综上所述：正确的个数有个． 6．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由是“的倒立数对”，得到，推出，根据，，得到，，推出，则，再化简所求式子得到，即可求解． 【详解】解：是“的倒立数对”， 如果，那的值可以是，吗？ ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， 即的整数值有，，共个， 故选：B． 7．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用平移后对应线段平行且相等、对应角相等，结合线段长度、周长与面积公式逐一判断结论． 【详解】解：由平移可知，在上，因此，①正确； 平移距离相等，即，②正确； 平移后对应角相等，故，③正确； 四边形的周长， 周长为12，， 周长，④正确； ， ， 阴影面积 梯形的面积 ⑤错误， 综上，正确的个数为4． 8．下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 9．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组． 根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 10．设，，满足，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．8 D．9 【答案】C 【分析】此题考查了分式的加减法，利用已知条件和，将表达式的分子用平方和表示，再通过因式分解简化每个分式，最后求和． 【详解】解：∵ ，，   ∴ ， 同理，，， 又 ∵ ， ∴ （注：由条件知 ，同理其他分母也不为零）， 同理，，， ∴ 原式． 故选：C． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．已知，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加法、解二元一次方程组，熟练掌握分式的加法法则是解题关键． 先计算等式右边的加法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 12．某种水果按照果径大小可分为四个等级：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批该种水果中随机抽取100个，根据果径分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 果径范围（单位：） 个数 10 30 40 20 若该采购商采购的这批水果共计2000个，估计等级为“精品果”的个数是_____． 【答案】 【分析】先计算抽取样本中精品果的频率，再根据用样本估计总体的思想，用总体总个数乘以样本频率，得到这批水果中精品果个数的估计值. 【详解】解：由题意可得，样本中精品果的频率为， 故个水果中，精品果的个数估计为 . 13．如图，已知、相交于点，则____________． 【答案】 【分析】由平行线的性质，得出，，，，即恰转换为一个周角，故可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 14．如图是小云画的一个电路图，已知，移动滑动变阻器至一位置，此时干路电流．若总电压，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，由电路图可知，该电路为并联电路，经过的支路电流与、经过的支路电流形成干路电流，根据设的电阻为，则、的电阻之和为，列出分式方程求解x的值即为所得结果． 【详解】解：由电路图可知，该电路为并联电路，经过的支路电流与、经过的支路电流形成干路电流，设的电阻为，则、的电阻之和为， 由题意知，， 解得， 即的值为． 故答案为：． 15．已知： （1）； （2）； （3）；猜想规律如下： （其中为正整数，且）． 利用上面猜想的结论计算：_____________． 【答案】 【分析】将所求式子变形为，根据题目材料设，，，得到，再代入变形式子计算即可． 【详解】解： ∵，设，，， ∴ ， ， ∴， ∴． 16．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积是______． 【答案】93 【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积. 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为. 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ． 18．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组的解法，掌握先求解公共未知数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求解参数是解题的关键． 由于两个方程组的解相同，先联立两个方程组中只含的方程，解出公共解；再将公共解代入含的方程，得到关于的方程组并求解；最后把的值代入，计算出结果． 【详解】解：两个方程组的解相同，根据题意得 解得 解得 ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，根据零指数幂求出的值，代入化简结果计算即可. 【详解】解： 原式 ， ， 将代入，原式． 20．列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需78元． (1)求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； (2)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 【答案】(1)“经典臊子面臊子面”的单价是7元，“特色黄牛面”的单价是10元 (2)第三季度面粉的单价是12元 【分析】（1）设“经典臊子面”的单价是x元，“特色黄牛面”的单价是y元．利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二季度面粉的单价是m元，则第三季度面粉的单价是元，利用数量总价单价，结合第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，可列出关于m的分式方程，解之经检验后可得出第二季度面粉的单价，再将其代入中，即可求出第三季度面粉的单价． 【详解】（1）解：设“经典臊子面”的单价是x元，“特色黄牛面”的单价是y元．由题意，得 ， 解得， 答：“经典臊子面”的单价是7元，“特色黄牛面”的单价是10元； （2）解：设第二季度面粉的单价是m元，则第三季度面粉的单价是元．由题意得 ． 解得． 经检验，是所列方程的解． ∴． 答：第三季度面粉的单价是12元． 21．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） (2)【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)①5；②阴影部分的面积为128． 【分析】（1）结合图形直接写出答案即可； （2）①利用完全平方公式计算即可；②利用完全平方公式计算即可； （3）①设，，则，，再利用完全平方公式计算即可；②设，，求得，，利用完全平方公式求得，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：①观察图3，大正方形的面积可表示为，小正方形的面积可表示为； ②与之间的关系：； （2）解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）解：①设，，则，， ∵， ∴； ②设，， 由题意得，，， ∵正方形， ∴， ∵，即， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为128． 22．我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”.求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 【答案】(1)2 (2)常数 (3)的值为：3或7或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式相加并计算即可； （2）将两式相加并计算，根据E与F关于C的“合值”为1求得a的值即可． （3）根据与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，可得，从而得到，再由分式的值为正整数，可得取1或5或，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 与关于的“合值”为：2； 故答案为：2； （2），， ， 与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， 所以能与分母进行约分，且约分后分子为， 若与约分，则，解得， 时，，符合题意； 若与约分，则，解得（舍去）； ； （3），， ， 与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， ， ， ， 分式的值为正整数，为整数， 是的整数倍， 取1或5或， 此时的值为：3或7或． 23．新冠无情，人间有爱，线上教学，云端战“疫”﹒疫情期间，某中学积极组织开展线上教学，复学后，该校为了解学生线上和线下不同阶段的学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后对线下教学质量测评．根据第一次测评的数学成绩制成频数分布直方图（图1）． 复学一个月后，根据第二次测评的数学成绩得到如下统计表： 成绩 人数 1 3 3 8 15 m 6 根据以上图表信息，完成下列问题： (1)______； (2)请在图2中作出两次测评的数学成绩折线统计图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； (3)请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 【答案】(1)14 (2)见详解 (3)320人 【分析】（1）根据条形统计图求出第一次的测评人数，再结合频数统计表即可求出m： （2）根据各组的频数绘图即可； （3）求出第二次线下教学质量优秀所占的百分比，再用全校总人数乘以该百分比即可求解． 【详解】（1）第一次测评总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50（人）， ∵两次测评人数相等， ∴m=50-(1+3+3++8+15+6)=14（人）， 故答案为：14； （2）结合（1）的结果，绘图如下： 由图可知：第一次线上教学测评质量较差高分值的学生较少，第二次线上教学的测评质量明显上升，高分值学生人数较多； （3）（人）， 即：复学一个月后该校800名八年级学生的数学成绩优秀的人数为320人． 【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、折线统计图，掌握各组频数之和等于样本容量以及数形结合的思想是解答本题的关键． 24．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，首先阅读材料、掌握材料分解因式的方法，类比材料中提供的解题思路解答即可． 首先在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式； 在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： 25．已知：，E，G是上的点，F，H是上的点． (1)如图①，，求证：； (2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）由题意得：，当时，运动停止．由得，然后分两种情况，根据角的和差列方程求解即可； （3）由题意设，则，根据角平分线和平行线的性质得到，则，则，过点作，则，由平行线的传递性可得，则，则，即可求解比值． 【详解】（1）证明：如图①， ， ， ， ， ； （2）解：由题意得：，当时，运动停止． 由得， ①当时，， 解得， ， ， ②当时，， 解得， ， ， 综上所述，的度数为或； （3）解：， 设，则， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， 过点作， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $