第二十章《勾股定理》 期末专题突破训练（二） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦勾股定理的系统性应用，融合基础计算、实际建模与探究推理，通过分层题型构建“概念-应用-拓展”逻辑链，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-5/7-8/10-12、填空13-15、解答18-20|勾股定理直接计算、图形性质分析（如等腰三角形高）|从概念到基本计算，建立边长关系认知| |实际应用|选择3/5/14、填空14/17、解答24|实际问题抽象为直角三角形模型、方程求解|实际情境到数学模型，培养应用意识| |综合拓展|选择6/9/11、填空16、解答21-23/25|分类讨论（第三边）、代数推理（勾股数公式）、面积法证明|从应用到拓展，培养推理能力和创新意识|

2026年人教版八年级下学期数学期末专题突破： 第二十章《勾股定理》训练（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，每个小正方形的边长为，，，是小正方形的顶点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.在中，斜边，则的值为(    ) A. B. C. D. 无法计算 3.九章算术卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽，问绳索的长是多少？根据题意求出绳索的长为(    ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 4.点到原点的距离为(    ) A. B. C. D. 5.智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本某智能物流机器人在仓库中需从货架点出发，先向正东方向行驶米到达点，再向正北方向行驶米到达点为优化路线，若机器人从点沿直线方向直接行驶到点，则线段的长为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.已知一个直角三角形的两条边长分别是和，则第三边长是(    ) A. 或 B. C. D. 7.小明学过勾股定理后，用三块正方形纸片以顶点相连，按如图所示的方式组成图案，正方形和的面积分别为和若使所围成的三角形是直角三角形，则正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在等腰三角形中，，，则高的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，以所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，以作为平面直角坐标系的单位长度，点的坐标是，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 10.已知，，为的三边长，且满足，则它的形状为(    ) A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 11.如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的数为(    ) A. B. C. D. 12.已知中，，，分别是，，的对边，下列条件不能判定是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. ，， 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 13.如图，将一张长方形纸片沿折叠，使，两点重合，点落在点处已知，，则线段的长是          ． 14.如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了米到，底端滑动到，那么的长是           15.如图，是等腰三角形，，点在轴的正半轴上，点的坐标是，则点的坐标是          ． 16.如图，在中，为上一点，，，，，则的长为          ． 17.一艘小船上午点从某港口出发，它以海里时的速度向北航行，小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里时的速度向西航行，则上午点时两艘小船相距          海里． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 如图，已知是线段上的一点，，，，，，求证：． 19.本小题分 如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积 20.本小题分 如图，每个小方格的边长都为． 求图中格点四边形的面积．请探究与的位置关系，并说明理由． 21.本小题分 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． 在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形； 在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，； 如图，是不是直角？请说明理由； 22. 本小题分 小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理如图，她用激光笔从量角器左边边缘点处发出光线，经量角器圆心处此处放置平面镜反射后，反射光线落在右边光屏上的点处也在量角器的边缘上，为量角器的中心，，，三点共线，，小丽在实验中还记录下了，依据记录的数据，求量角器的半径长． 23.本小题分 在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表： 其中，为正整数，且． 观察表格，当，时，此时对应的，，的值能否为直角三角形三边的长说明你的理由． 用含，的代数式表示：          ，          ，          ． 以，，为边长的三角形是否一定为直角三角形请说明理由． 24.本小题分 周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 项目课题 探究风筝离地面的垂直高度 项目背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度 测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直线段小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，测得水平距离的长为米，且线圈里的米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米 问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： 根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． 若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米 问题解决 25.本小题分 【阅读材料】 勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，在对它的证明方法中很多都用到了出入相补原理，即把一个平面图形从一处移至它处，面积不变如果把图形分割成几块，那么各部分面积之和等于原来图形的面积． 【解决问题】 小红用硬纸板做成了如图所示的两个全等的直角三角形两直角边的长分别为和，斜边长为和一个以为直角边的等腰直角三角形，然后把它们拼成了如图所示的一个直角梯形． 请你根据小红的操作，利用下面的图形证明勾股定理 如果，，求的面积． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键． 根据勾股定理即可得到，，的长度，进行判断即可． 【解答】解：根据勾股定理可以得到：，． ． ． 是等腰直角三角形． ． 故选C． 2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  【分析】 本题考查的是点到坐标轴及原点的距离，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．根据点的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【解答】 解：点的坐标为到原点的距离：． 故选：． 5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  【解析】在中，，，，，  在中，，． 15.【答案】  16.【答案】  【解析】解：作于点，于点，则，，，． 17.【答案】  18.【答案】证明：在中，，，， ． 在中，，，， ． ，，，． 是直角三角形，是斜边．．   【解析】略 19.【答案】解：连结，，，，又，又，，又，四边形  【解析】略 20.【答案】【小题】 解：，， ． 【小题】 解：理由： 由勾股定理，得，， ． 为直角三角形，且．．   【解析】 略  略 21.【答案】【小题】 解：略； 【小题】 略； 【小题】 连接，，，，， ，是直角．   【解析】 略  略  见答案 22.【答案】解：，设．，在中，，，，解得．．量角器的半径长为．  【解析】略 23.【答案】【小题】 解：能． 理由如下：当，时，，，． ， ，，的值能为直角三角形三边的长． 【小题】 【小题】 以，，为边长的三角形一定为直角三角形． 理由如下：， ， ． 以，，为边长的三角形一定为直角三角形．   【解析】 略  略  略 24.【答案】【小题】 解：在中，根据勾股定理，得． 米米． 答：风筝离地面的垂直高度是米． 【小题】 解：设风筝上升到了点的位置，过点作于点． 由题意，知米．，米， 在中，根据勾股定理，得， 米米． 答：此时风筝上升了米．   【解析】 略  略 25.【答案】【小题】 ， ， 即，． 【小题】 是直角三角形，，， 由勾股定理，得．   【解析】 略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $