七年级下学期期末重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

**基本信息** 七年级下学期期末数学提高卷，融合几何直观、运算能力与模型意识，通过《算法统宗》行程问题、龙舟比赛等文化与生活情境设题，适配期末重难点巩固与思维提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|轴对称图形、科学记数法、命题判断|七巧板考几何直观，龙舟赛考概率计算| |填空题|6/18|代数式求值、阴影面积、角平分线|中国结面积融代数几何，平面镜时间考轴对称| |解答题|9/72|幂运算、全等证明、函数建模|倍长中线法培养推理能力，商品降价数据考模型意识|

七年级下学期期末重难点检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列由七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形找不到任何一条直线使图形折叠后重合，不是轴对称图形，故A不符合题意； 选项B、该图形找不到任何一条直线使图形折叠后重合，不是轴对称图形，故B不符合题意； 选项C、该图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形，故C符合题意； 选项D、该图形找不到任何一条直线使图形折叠后重合，不是轴对称图形，故D不符合题意． 2．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来．”已知某种梅花的花粉直径是，这个数用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，这个数用科学记数法表示是． 3．下列命题中，假命题是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理，领补角的定义，垂直的定义分析选项即可． 【详解】解：由题意可知： A. 同旁内角互补，两直线平行；命题正确，是真命题，故不符合题意； B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；命题正确，是真命题，故不符合题意； C. 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角；命题错误，例如这两个角都是，故是假命题，符合题意； D. 在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c；命题正确，是真命题，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查真假命题的判定，解题的关键是掌握平行的判定，领补角定义，垂直的定义． 4．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 5．中国古代数学成就显著，《算法统宗》中有这样的叙述：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半．”大意是：要去路程为里的某关口，第一天腿脚利落快速行走，第二天起，因为脚痛每天只能走前一天一半的路程，设第一天行走里，则此人第三天晚上距离关口的路程（里）与（里）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意表示出前三天行走的路程，再根据剩余路程等于总路程减去已走路程得出函数关系式即可． 【详解】解：∵第一天行走里，从第二天开始每天走的路程是前一天的一半， ∴第二天行走路程为里，第三天行走路程为里， ∵总路程为里， ∴，整理得． 6．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由角平分线的尺规作图可判断图①；垂直平分线的尺规作图可判断图②；由平行线和等边对等角性质可判断图③；由三线合一性质可判断图④． 【详解】解：图①，由作图得，是的平分线，符合题意； 图②，由作图得，是的垂直平分线，不符合题意； 图③，由作图得， ∴ ∴ 由作图得， ∴ ∴ ∴是的平分线，符合题意； 图④，由作图得，，垂直平分 ∴是的平分线，符合题意． 综上所述，判断正确的是①③④． 7．如图，将一张剪开的矩形纸片沿着所在直线错位拼接，点在一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由平行线的性质得到，求出，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由平行线的性质可知， ， ， ． 8．已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 9．如图，在中，，，若 ，那么的面积是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积，根据和的高相同得，，同理可得，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 10．已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．已知，则的值是______． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，对比等式两边对应项系数，得到关于m、n的方程，求出m、n的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 整理得， 对比对应项系数得：，， 解得：，， ． 12．图1为自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的边长为____． 【答案】10 【分析】由图2阴影面积列出方程化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式求解即可． 【详解】解：根据图2所示的阴影部分面积为60可得： ， 展开化简：， ， ∴，即． 根据图3所示的阴影部分面积为60可得：． ∴大正方形面积：． ∴未裁剪前大正方形红布的边长为． 13．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 【答案】/47度 【分析】根据角平分线的定义求出和的度数，过点作，利用平行公理推论得到，再根据两直线平行内错角相等，将转化为与的和即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过点作（在点左侧），如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．平面镜中电子钟示数为“12：11”，实际时间是__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：平面镜中电子钟示数为“”，实际时间是． 故答案为：． 15．某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为________件． 【答案】190 【分析】从表中可以看出每降价10元，日销量增加5件，日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价），将已知数据代入上式即可求得要求的量． 【详解】解：从表中可以看出每降价10元，日销量增加 5件， ∴降价之前的日销量为件， ∴日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价）， ∴售价为440元时，日销量件， 故答案为：190． 【点睛】本题考查了函数，正确理解题意找出日销量的关系式是解题的关键． 16．我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0.2 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算幂的乘除法． （2）利用积的逆运算求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 18．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算法则，同底数幂的乘法的逆运算法则，即可解答； （2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，进行计算即可； （3）先将，，转化为同指数幂，再比较底数的大小，即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：，且， ， ， ． （3）解：，，，且， ， 即． 19．某景区计划改造一块边长为米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为米的装饰区域，其余区域铺设为走道． (1)分别计算花坛和装饰区域的面积； (2)若，，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用． 【答案】(1)花坛的面积为平方米，装饰区域的面积为平方米 (2)铺设走道的总费用为6030元 【分析】（1）直接套用长方形的面积公式“长方形面积长宽”求出花坛的面积和花坛与装饰区域的总面积，再用花坛与装饰区域的总面积减去花坛面积求出装饰区域的面积； （2）用正方形的面积减去长方形的面积，求得走道的面积，用走道的面积乘以每平方米走道铺设的费用算出总花费． 【详解】（1）解：花坛的面积：平方米， 装饰区域和花坛的面积： =平方米， 装饰区域的面积： 平方米． 答：花坛的面积为平方米，装饰区域的面积为平方米． （2）解：走道的面积： （平方米）， 当，时，（平方米）， （元）， 答：铺设走道的总费用为6030元． 20．综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 【答案】（1）15；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合角的和差即可解答； （2）过点作，根据平行线的性质得到，求出，即可证明，即可说明； （3）过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义结合角的和差求出，进而求出，推出，推出，利用角的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写着数字，0，1，2的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这四张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为；再把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，乙从这三张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，若，则甲获胜；否则乙获胜． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)所有可能出现的结果有12种 (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查了用列举法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的概率是解题的关键． （1）用用列表法或画树状图法，即可求出答案； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，即得答案． 【详解】（1）（1）方法一：由题意可列表如下，      0 1 2 0 1 2 由表可知，可能出现的等可能结果共有12种； 方法二，画树状图如下： 可能出现的等可能结果共有12种； （2）这个游戏公平，理由如下： 由列表（或树状图）可知，共用12种等可能的结果， 的情况有6种， P（甲获胜） ∵的情况有6种， P（乙获胜）， 这个游戏对双方公平． 22．如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先推导和的角的关系，再结合，利用全等三角形来证明全等； （）先通过角的推导证明， 得， 则，再证明， 得，求得的值，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画线段的中点C； (2)在图2中，作，交于点E； (3)在图3中，O为角平分线的交点，作出点C； (4)在图4中，作三角形，使得它与全等且与共一边． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图所示，取格点E、F，连接交于C，可证明，则，故点C即为所求； （2）如图所示，取格点F，连接并延长交于E，可证明，则，则可证明，故点E即为所求； （3）取格点E、F，延长交于点C，可证明，则，故点C即为所求； （4）设分别与格线交于G、H，连接，并延长分别交格线于D、E，根据网格的特点可知G、H分别为的中点，则可证明，则可证明，进而可证明，同理可证明；取格点M、N，连接并延长，交于R，连接交于K，连接并延长交于T，连接，由网格的特点可知点M为的中点，则可证明得到，由网格的特点可得点K为的中点，则可证明得到，则可证明，同理可证明，故． 【详解】（1）解：如图所示，点C即为所求； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：如图所示，点C即为所求； （4）解：如图所示，即为所求； 24．如图，中，，点从点出发沿着向点以每秒2个单位的速度向点运动，到点之后停止，当点运行1秒钟之后，点从出发，以每秒钟1个单位的速度向点运动，到点后停止，当点离开点第秒时的面积为，求与之间的函数关系式．    【答案】 【分析】根据题意可得，进行分类讨论：当时，当时，再根据三角形面积公式即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：根据题意可得： ∵，点P的速度为每秒2个单位向点运动，到点之后停止， ∴，即 当时， ∵，，， ∴； 当时， ∵，，， ∴， ∴． ∴， ∴与之间的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，解题的关键是根据题意，得出两直角边的表达式，再根据三角形面积公式列出函数关系式． 25．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期期末重难点检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列由七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 2．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来．”已知某种梅花的花粉直径是，这个数用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 3．下列命题中，假命题是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 4．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 5．中国古代数学成就显著，《算法统宗》中有这样的叙述：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半．”大意是：要去路程为里的某关口，第一天腿脚利落快速行走，第二天起，因为脚痛每天只能走前一天一半的路程，设第一天行走里，则此人第三天晚上距离关口的路程（里）与（里）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 7．如图，将一张剪开的矩形纸片沿着所在直线错位拼接，点在一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 9．如图，在中，，，若 ，那么的面积是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 10．已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．已知，则的值是______． 12．图1为自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的边长为____． 13．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 14．平面镜中电子钟示数为“12：11”，实际时间是__________． 15．某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为________件． 16．我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．计算： (1) (2) 18．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 19．某景区计划改造一块边长为米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为米的装饰区域，其余区域铺设为走道． (1)分别计算花坛和装饰区域的面积； (2)若，，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用． 20．综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 21．甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写着数字，0，1，2的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这四张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为；再把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，乙从这三张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，若，则甲获胜；否则乙获胜． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 22．如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 23．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画线段的中点C； (2)在图2中，作，交于点E； (3)在图3中，O为角平分线的交点，作出点C； (4)在图4中，作三角形，使得它与全等且与共一边． 24．如图，中，，点从点出发沿着向点以每秒2个单位的速度向点运动，到点之后停止，当点运行1秒钟之后，点从出发，以每秒钟1个单位的速度向点运动，到点后停止，当点离开点第秒时的面积为，求与之间的函数关系式．    25．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $