七年级下学期期末重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

**基本信息** 该检测卷以跨章节知识整合为核心，通过代数、几何、概率、函数等模块综合题型，考查抽象能力、几何直观、数据意识与模型观念，突出知识逻辑系统性与应用实践性。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数与数感|题1,7,11,17,18,10|实际情境数式运算|从具体数量关系到抽象代数模型，培养运算能力| |几何与空间观念|题2,4,5,8,9,20,21,25|图形变换与推理结合|从基本图形性质到复杂图形综合应用，发展几何直观| |概率与数据意识|题3,14,19|生活情境概率计算|从简单随机事件到复合事件概率，强化数据意识| |函数与模型观念|题6,16,22|实际问题函数建模|从变量关系到函数图像与表达式，体现模型观念|

七年级下学期期末重难点检测卷（培优卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．血小板是从骨髓成熟的巨核细胞胞浆裂解脱落下来的小块胞质，是哺乳动物血液中的有形成分之一，一个血小板的体积约为8立方微米．已知1立方米立方厘米，1立方厘米立方毫米，1立方毫米立方微米，则一个血小板的体积约为（   ）． A．立方米 B．立方米 C．立方厘米 D．立方毫米 【答案】A 【分析】根据已知单位换算关系，逐步将立方微米换算为立方米、立方厘米、立方毫米，再判断选项正误． 【详解】解： 8立方微米立方毫米立方厘米立方米． 2．将两个全等的三角形与按如图所示的位置摆放，其中，，则与互余的角的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据余角的定义，结合对应角相等进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即与互余， ∵， ∴与互余， ∵ ∴，即与互余， 综上，与互余的角有个． 3．某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举所有等可能的选取结果，找出满足题意的结果，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设“嫦娥六号钻取器”为A，“嫦娥七号飞跃器”为B，“鹊桥中继星”为C， 列举从三个模型中随机选取两个的所有结果为： 、、， 共种，它们出现的可能性相同， 其中恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的结果有种，即， 根据概率公式得，所求概率． 4．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 【答案】B 【分析】分当腰长为8和当腰长为4两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意， ①当腰长为8时，三角形三边分别为8，8，4，，能组成三角形，则周长； ②当腰长为4时，三角形三边分别为8，4，4，，不能组成三角形； 综上，则该三角形的周长是． 5．将的短直角边对折到长直角边上，使点与边上点重合，折痕，且有，以下结论正确的是（   ） ①；②；③；④点到直角边、的距离相等． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确折叠后图形相对应的边和角大小不变． 由，得出，因为，由折叠性可知，所以，再由，解得即可判断①，由折叠性可知，若则有，不能同时垂直两条相交线，所以错误即可判断②；由①知，，若，由折叠性可知，是等边三角形，得到，所以即，由②知错误即可判断③；由折叠性可知，，即是的角平分线，所以点到直角边、的距离相等． 【详解】， ， ， 由折叠性可知， ， ， ，即， ，故①正确； 由折叠性可知， 若，则有， 不能同时垂直两条相交线，所以错误，故②错误； ，， 若，由折叠性可知，是等边三角形， ， ，即， 由②知错误，故③错误； 由折叠性可知，，即是的角平分线， 所以点到直角边、的距离相等，故④正确； 故选：D． 6．清明节期间，某校学生代表前往烈士陵园祭扫．队伍乘大巴匀速行驶20分钟到达陵园，活动历时40分钟；活动结束后原路匀速返校，因车流量较大，返程用时比去程多20分钟．设学生离学校的距离为米，离校时间为分钟，下列图象能大致反映与关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得，去程是匀速行驶20分钟，此阶段y随x的增大而增大，图象是从原点出发的上升线段； 活动历时40分钟，学生位置不变，此阶段y随x的增大保持不变，图象为水平线段； 返程用时比去程多20分钟，即返程用时40分钟，且原路返回，所以返程下降段在x轴上的水平长度更长，线段比去程上升段更平缓， 只有A选项符合题意． 7．若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题通过两个方程相加消去参数，再对整理后的式子配方，利用平方数的非负性求出，的值，代入求后计算即可． 【详解】解：令为①，为②， ①+②消去得：， 变形配方得：， ∵平方数为非负数，两个非负数的和为，则每个平方都为， ∴， 解得， 把，代入①得：， 解得， ∴． 8．已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目由于在三角形中未确定大小，所以需要进行分类讨论：（1），作出符合题意的相应图形，由图可得：，根据角平分线的性质得：，在中，，故可得；（2）时，由图可得：，，在中，，故可得；综上可得：． 【详解】解：（1）如图1所示：时， 图1 ∵CD是AB边上的高， ∴，， ∵，， ∴， ∵CE平分， ∴， 在中，， ∴； （2）如图2所示：时， 图2 ∵CD是AB边上的高， ∴，， ∵，， ∴， ∵CE平分， ∴， 在中，， ∴； 综合（1）（2）两种情况可得：． 故选：D． 【点睛】题目主要考查对三角形分类讨论、数形结合思想，主要知识点是三角形的角平分线、高线的基本性质及图形内角的运算，题目难点是在依据题意进行分类讨论的情况下，作出相应的三角形图形． 9．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】过作于点，根据三角形的面积可求出的长度，作点，关于直线对称，由平分，可知点G在上，连接，则，则，故当C，M，G三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，得当与重合时，取得最小值，解答即可． 本题考查三角形中的最短路径，轴对称图形的性质，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过作于点，如图： ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 作点，关于直线对称， ∵平分， ∴点G在上， ∴连接， 则， ∴，    ∵， ∴， 故当C，M，G三点共线时，取得最小值，且最小值为， 根据垂线段最短，得当与重合时，取得最小值， 故的最小值为6． 故选：B． 10．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．有如下结论：①展开式中含x25的项的系数是25；②展开式各项系数之和为64；③用此规律解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二；④展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190．上述结论中，正确的有（     ） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据题干中提供的规律结合杨辉三角可得①错误；写出展开式各项系数，然后相加即可判断②正确；根据得出除以7余1，即可判断③正确；先求出“杨辉三角” 中第20行第3个数为，再根据“杨辉三角” 中第20行第3个数和倒数第3个数相同，即倒数第3个数为190，即可得出答案． 【详解】解：①根据规律可得：展开式中含x25的项的系数是26，故①错误； ②展开式各项系数分别为：，6，15，20，15，6，1，因此各项系数之和为： ，故②正确； ③∵ （a，b，…为各项系数）， 能被7整除， ∴除以7余1， ∴今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二，故③正确； ④从第2行起，每一行的第3个数字分别为 第行的第3个数字为， “杨辉三角” 中第20行第3个数为， ∵“杨辉三角” 中第20行第3个数和倒数第3个数相同，即倒数第3个数为190， ∴展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190，故④正确； 综上，正确的有3个． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．已知，为常数，且为恒等式，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，由，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 12．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 13．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，，则为______度． 【答案】55 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图的应用，解题的关键是根据作图步骤得出线段和角的等量关系，结合三角形内角和定理进行角度计算． 由作图可知是的垂直平分线，故以G为圆心、为半径画弧得从而利用等腰三角形性质得到角的等量关系，结合三角形内角和定理推出相关角的和为；根据及得出的度数，进而计算出的度数，即可作答． 【详解】解：由题意得到：垂直平分， ∴，又由作图知， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为： 14．西葫芦村的某蛋糕店推出了蛋糕盲盒，现在有草莓蛋糕盲盒8个，巧克力蛋糕盲盒12个，抹茶蛋糕盲盒7个，芒果蛋糕盲盒9个，提拉米苏蛋糕盲盒4个，所有蛋糕盲盒包装外形完全相同．若小懂和小颖两人各自随机抽取一个蛋糕盲盒，则两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，能够正确计算各事件发生的次数是解题的关键． 先求出所有蛋糕盲盒的总数量，再分别计算两人选到每种同种口味的概率，利用不放回模型计算最终结果． 首先计算所有蛋糕盲盒的总数量（盒）， 【详解】设两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒为事件，小懂有40种选择，则小颖有剩下的39种可能，所有等可能的结果数为， 两人选同一种口味的所有等可能结果数为， 则概率为． 15．小方将12张宽为、长为（其中）的长方形纸片，先按照如图所示的方式拼成三个相邻的、边长均为的正方形．随后，连接五条线段，并绘制了部分阴影区域．若四边形的面积为15，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】60 【分析】根据四边形的面积为15，可推出，阴影部分的面积等于三个边长为的正方形的面积之和减去空白部分的面积，据此用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：∵四边形的面积为15， ∴， ∴， ∴； ∴ ． 16．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价(元)，日销售量(件)发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件；若设该商品的售价为元，日销售量为y件，则y与x之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件，即可解答． 【详解】解：由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件， 则当售价为260元时，该商品日销售量为（件）； y与x之间的关系式是． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．已知m，n满足，． 求： (1)； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两个式子化简得到与，再由完全平方公式求解即可； （2）由完全平方公式得到，再化简原式，将与代入求解即可． 【详解】（1）解 ：对于， ∵， ∴，移项整理得， 对于，则有， 合并同类项得，即， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴原式， 代入，， 得：原式． 19．如图，在关中平原某座小城的丁字路口，每逢放学时段，接送孩子的车辆与通勤车流交织．按照交通规则，经过这个丁字路口的汽车，只有左转和右转两种行驶方向．经验丰富的老交警统计发现，在无特殊天气、交通管制的情况下，每一辆汽车选择左转或右转的概率完全相等，且彼此的行驶选择互不影响．为了测算该路口的交通调度效率，交通部门统计了某一时段甲、乙、丙三辆连续经过该路口的汽车行驶情况． (1)求甲汽车经过这个丁字路口向左转的概率________； (2)求甲，乙，丙三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率． 【答案】(1) (2)甲，乙，丙三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率为． 【分析】（1）根据题意，结合概率公式即可求解； （2）向左转记为“左”，向右转记为“右”，列举所有可能，可得至少有两辆汽车向左转的情况，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵甲汽车经过这个丁字路口只有左转和右转两种行驶方向，且选择左转或右转的概率完全相等， ∴甲汽车经过这个丁字路口向左转的概率为． （2）解：向左转记为“左”，向右转记为“右”， 列举甲，乙，丙三辆汽车行驶方向的所有可能情况：（左，左，左）、（左，左，右）、（左，右，左）、（左，右，右）、（右，左，左）、（右，左，右）、（右，右，左）、（右，右，右），共种等可能结果，其中，至少有两辆汽车向左转的情况有：（左，左，左）、（左，左，右）、（左，右，左）、（右，左，左），共种，， ∴甲，乙，丙三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率为． 20．如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔与两个城镇，的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了用尺规作图作已知角的平分线、线段的垂直平分线，解决本题的关键是作的平分线，作线段的垂直平分线，两线的交点即为发射塔的位置． 【详解】解：如下图所示，作的平分线， 射线上的任何一点到、的距离相等， 作线段的垂直平分线， 直线上的点到点、的距离相等， 两线交于点， 则点与两个城镇，的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等. 21．如图，，平分，，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设，根据平行线的性质以及已知条件得出，，根据角平分线的定义可得，则，得出，即可求解； （2）设，同（1）的方法求得，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵，． ∴，， 又∵, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 解得：，即 （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，． ∴，， ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 解得：，即 ∴ 22．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出_______，______； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； (3)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 【答案】(1)45；10 (2) (3)12千克 【分析】（1）根据表格的数值可发现规律，重量每增加1千克，指针转过的角度增加，由此可解； （2）根据重量每增加1千克，指针转过的角度增加，即可写出与之间的关系式； （3）设出第一次称重的重量，由条件“第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克”可表示出第二次称重的重量，再根据转过的角与物体的重量之间的关系式表示出两次的旋转角度，由“指针第二次转过的角度比第一次大”建立等式即可． 【详解】（1）解：观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加， 重量为千克时，指针转过的角度为； 当指针转过的角度为时，重量为（千克）； （2）解：∵重量每增加1千克，指针转过的角度增加， ∴转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为； （3）解：设第一次称重的重量为千克， ∵第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克， ∴第二次称重的重量为千克， 由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为， ∴第一次称重转过的角的数值为，第二次称重转过的角的数值为， ∵指针第二次转过的角度比第一次大， ∴， 解得， ∴第一次称重的重量为3千克，第二次称重的重量为（千克）， （千克）， 答：该顾客一共购买了12千克水果． 23．直线，点在直线上，点B在直线之间，，点在直线上，记（）． (1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示） (2)过点作交直线于点（在的右侧）使得．点为平面内一点且满足，直线与直线交于点． （i）如图2，若点在直线上方，求与的数量关系； （ii）如图3，若点在直线下方，是线段延长线的动点，是线段上的动点，且满足，连接，试说明三角形中必有某两个三角形的面积相等． 【答案】(1) (2)（i）（ii）见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的计算，三角形面积的理解，掌握两直线平行，同位角相等、同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． （1）过点作，根据两直线平行，内错角相等即可求解； （2）（i）法一：先可求，，过点作，由平行线的性质可得，过B作，得到，进而可得；法二：先求得，继而得到，再在中，利用三角形内角和为进行求解即可； （ii）法一：通过证明，得到，再根据两直线平行，直线上任意一点到直线的距离相等即可求解；法二：通过证明，得到，再同法一即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）（i）法一：∵且， ∴，， 过点作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 过B作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； 法二：∵且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∴， （ii）法一：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设三角形的面积为，三角形BFG的面积为，三角形的面积为， 三角形的面积为， ， 点到的距离相等，则， ∴，（或，∴）， 即三角形的面积与三角形的面积相等． 法二：∵，， ∴，， ∵， ∴设，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设三角形的面积为，三角形的面积为，三角形的面积为， 三角形的面积为， ， 点到的距离相等，则， ∴，（或，∴） 即三角形的面积与三角形的面积相等． 24．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3)64 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设，根据题意易得，，再根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 25．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期期末重难点检测卷（培优卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．血小板是从骨髓成熟的巨核细胞胞浆裂解脱落下来的小块胞质，是哺乳动物血液中的有形成分之一，一个血小板的体积约为8立方微米．已知1立方米立方厘米，1立方厘米立方毫米，1立方毫米立方微米，则一个血小板的体积约为（   ）． A．立方米 B．立方米 C．立方厘米 D．立方毫米 2．将两个全等的三角形与按如图所示的位置摆放，其中，，则与互余的角的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（     ） A． B． C． D． 4．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 5．将的短直角边对折到长直角边上，使点与边上点重合，折痕，且有，以下结论正确的是（   ） ①；②；③；④点到直角边、的距离相等． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ 6．清明节期间，某校学生代表前往烈士陵园祭扫．队伍乘大巴匀速行驶20分钟到达陵园，活动历时40分钟；活动结束后原路匀速返校，因车流量较大，返程用时比去程多20分钟．设学生离学校的距离为米，离校时间为分钟，下列图象能大致反映与关系的是（   ） A．B． C． D． 7．若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 10．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．有如下结论：①展开式中含x25的项的系数是25；②展开式各项系数之和为64；③用此规律解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二；④展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190．上述结论中，正确的有（     ） A．2 B．3 C．1 D．4 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．已知，为常数，且为恒等式，则________． 12．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 13．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，，则为______度． 14．西葫芦村的某蛋糕店推出了蛋糕盲盒，现在有草莓蛋糕盲盒8个，巧克力蛋糕盲盒12个，抹茶蛋糕盲盒7个，芒果蛋糕盲盒9个，提拉米苏蛋糕盲盒4个，所有蛋糕盲盒包装外形完全相同．若小懂和小颖两人各自随机抽取一个蛋糕盲盒，则两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒的概率为_____． 15．小方将12张宽为、长为（其中）的长方形纸片，先按照如图所示的方式拼成三个相邻的、边长均为的正方形．随后，连接五条线段，并绘制了部分阴影区域．若四边形的面积为15，则图中阴影部分的面积是___________． 16．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价(元)，日销售量(件)发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件；若设该商品的售价为元，日销售量为y件，则y与x之间的关系式是___________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知m，n满足，． 求： (1)； (2)的值． 19．如图，在关中平原某座小城的丁字路口，每逢放学时段，接送孩子的车辆与通勤车流交织．按照交通规则，经过这个丁字路口的汽车，只有左转和右转两种行驶方向．经验丰富的老交警统计发现，在无特殊天气、交通管制的情况下，每一辆汽车选择左转或右转的概率完全相等，且彼此的行驶选择互不影响．为了测算该路口的交通调度效率，交通部门统计了某一时段甲、乙、丙三辆连续经过该路口的汽车行驶情况． (1)求甲汽车经过这个丁字路口向左转的概率________； (2)求甲，乙，丙三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率． 20．如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔与两个城镇，的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 21．如图，，平分，，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明． 22．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出_______，______； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； (3)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 23．直线，点在直线上，点B在直线之间，，点在直线上，记（）． (1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示） (2)过点作交直线于点（在的右侧）使得．点为平面内一点且满足，直线与直线交于点． （i）如图2，若点在直线上方，求与的数量关系； （ii）如图3，若点在直线下方，是线段延长线的动点，是线段上的动点，且满足，连接，试说明三角形中必有某两个三角形的面积相等． 24．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 25．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $