卷1 一元二次方程能力提优单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合文化传承（杨辉古算问题）、社会热点（镇BA赛事）及生活情境（利润、增长率），全面考查运算能力、模型意识与推理能力，适配单元复习提优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义判断（①）、根的性质（②）、错解分析（⑤）|结合学生易错点设计辨析题| |填空题|6/22|古算建模（13）、新定义运算（15）、根与系数关系（12）|融入杨辉《田亩比类》文化素材| |解答题|9/98|解法综合（17）、几何动态问题（23）、“邻根方程”探究（24）|分层设问，从常规应用到跨知识整合|

卷1 一元二次方程能力提优单元测试卷 （时间：100分钟 满分：150分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026春•牟平区期中）下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：①2x2﹣1＝0是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ②ax2+bx+c＝0中当a＝0时，它不是一元二次方程， ③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3整理得﹣x﹣6＝﹣3，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2026春•雁塔区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2026的值为（　　） A．2026 B．﹣2025 C．2025 D．﹣2026 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2＝a+1，再利用a表示a3，然后利用降次的方法进行计算． 【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴a2﹣a﹣1＝0， ∴a2＝a+1， ∴a3＝a（a+1）＝a2+a＝a+1+a＝2a+1， ∴﹣a3+2a+2026＝﹣（2a+1）+2a+2026＝﹣2a﹣1+2a+2026＝2025． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（2026春•栖霞市期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　） A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 【分析】先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学． 【解答】解：2x2﹣20x+25＝0， 方程左右两边同时除以2可得：，故小明正确； 由等式的性质可得，故小丽正确； 所以， （x﹣5）225， ， 故小红负责的式子出现错误； 故选：C． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 4．（2025春•哈尔滨期中）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．±1 【分析】将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解之求得a的值，在根据一元二次方程的定义求解可得． 【解答】解：由题意得：将x＝0代入方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0中得：a2﹣1＝0， 解得：a＝1或a＝﹣1， ∵a﹣1≠0，即a≠1， ∴a＝﹣1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 5．（2025秋•南宁期末）小州与小冬在解方程x2+bx+c＝0时，小州写错了常数项，得到方程的两个根是2和﹣4，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是﹣1和3，则b与c的值分别是（　　） A．b＝2，c＝﹣8 B．b＝2，c＝﹣3 C．b＝﹣2，c＝8 D．b＝2，c＝3 【分析】利用根与系数关系构建方程组求解． 【解答】解：由题意， ∴b＝2，c＝﹣3． 故选：B． 【点睛】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决问题． 6．（2026•东莞市一模）2026年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【分析】设该小组参加比赛的球队有x支，利用小组赛阶段比赛的总场数＝该小组参赛队伍数×（该小组参赛队伍数﹣1），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该小组参加比赛的球队有x支， 根据题意得：x（x﹣1）＝56， 整理得：x2﹣x﹣56＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， ∴该小组参加比赛的球队有8支． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 7．（2024•阿城区三模）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【分析】如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据第二季度共生产零件182万个可得出方程． 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程—增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 8．（2026春•寿县月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），系数a，b，c满足9a+3b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3 【分析】根据9a+3b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，得到当x＝±3时，满足一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），即可得出结果． 【解答】解：当x＝±3时，使一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）成立， 即方程的解为x1＝3，x2＝﹣3． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2025•江油市二模）关于x的方程kx2+x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且k≠0 B． C． D． 【分析】分k＝0和k≠0两种情况，结合根的判别式Δ≥0求解即可． 【解答】解：分k＝0和k≠0两种情况讨论如下： 当k＝0时，方程化为x﹣2＝0，解得x＝2，原方程有实数根，符合题意； 当k≠0时，当Δ＝1+8k≥0，即时，原方程有两个实数根， 综上，满足条件的k的取值范围为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2026•东昌府区校级模拟）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根； ③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 其中正确的（　　） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解； ②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根； ③由根与系数的关系，可得x1+x2，x1x2，变形得出，•，即可得出方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，； ④利用求根公式，可得出x0，变形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax0+b）2． 【解答】解：①∵a+b+c＝0， ∴当x＝1时，ax2+bx+c＝a+b+c＝0， ∴x＝1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故说法①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴﹣4ac＞0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，故说法②错误； ③∵若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0， ∴x1+x2，x1x2， ∴，•， ∴方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，，故说法③正确； ④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴x0， ∴±2ax0+b， ∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故说法④正确． ∴正确的结论有①③④． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 二．填空题（共6小题，第11-12每题3分，13-16每题4分，共22分） 11．（2024春•启东市月考）若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　3　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义及绝对值的性质进行列式、求解． 【解答】解：由题意得|m﹣1|＝2， ∴m﹣1＝±2， 解得m＝3或m＝﹣1， ∵m+1≠0，即m≠﹣1， ∴m＝3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了一元二次方程定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识和绝对值的性质进行求解． 12．（2026•南京模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　﹣7　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得出，x1+x2＝3，再整体代入到中，即可求解． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2， ∴，x1+x2＝3， ∴ ＝﹣1﹣2×3 ＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得到，x1+x2＝3． 13．（2025•海门区二模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，根据题意得到方程是 x（60﹣x）＝864　 ． 【分析】由宽和长共六十步，可得出宽为（60﹣x）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：设矩形的长为x步，根据直田积八白六十四步得： x（60﹣x）＝864． 故答案为：x（60﹣x）＝864． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准题目中的等量关系是解题的关键． 14．（2025春•海安市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．写出k的一个整数值　﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根可得Δ＝（﹣2）2﹣4k＞0，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝4﹣4k＞0， ∴k＜1 ∴k的一个整数值可以为﹣1（答案不唯一）， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式，正确记忆当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解题关键． 15．（2026•海门区模拟）对于实数a，b，定义一种运算“※”为：a※b＝ab+b．如果关于x的方程（k※x）※x＝1有两个相等的实数根，则实数k的值为　　 ． 【分析】根据新定义得到（kx+x）x+x＝1，再把方程化为一般式（k+1）x2+x﹣1＝0，然后根据根的判别式的意义得到△＝b2﹣4ac＝1﹣4×（k+1）×（﹣1）＝1+4k+4＝0，再解方程即可． 【解答】解：根据新定义得到（k+1）x2+x﹣1＝0， ∵关于x的方程（k※x）※x＝1有两个相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×（k+1）×（﹣1）＝1+4k+4＝0，且k+1≠0， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算以及根据根得情况求参数，熟练掌握该知识点是关键． 16．（2024秋•田家庵区月考）（1）已知：x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且，则k的值为 　2　 ． （2）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是 　16　 ． 【分析】（1）根据题意得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，再根据题意进行代数求值即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，得到（m+2）（n+2）＝（t+1）2+7，求出t的取值范围，再根据二次函数的性质求出最小值即可． 【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的方程 x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1， ∵， ∴， ∴， 解得k＝2或k＝5， 当k＝2时，关于x的方程 x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意， 当k＝5时，关于x的方程 x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，不符合题意， ∴k＝2， 故答案为：2； （2）∵m，n是关于x的一元二次方程 x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根， ∴（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4＝t2+2t+8＝（t+1）2+7， ∵方程有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0， ∴t≥2， ∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 三．解答题（共9小题，共98分） 17．（16分）（2025•市南区开学）用适当的方法解下列方程． （1）（6x﹣1）2﹣25＝0； （2）； （3）3x2+8x﹣3＝0（配方法）； （4）5x2＝4x﹣1（公式法）； 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）整理后，利用因式分解方法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）整理后，利用公式法解方程即可； 【解答】解：（1）（6x﹣1）2﹣25＝0， 则（6x﹣1）2＝25， ∴6x﹣1＝±5， ∴6x﹣1＝5或6x﹣1＝﹣5， 解得：x1＝1，； （2）， 则，即（2x﹣1）2＝0， ∴， 解得； （3）3x2+8x﹣3＝0， 则， ∴，即， ∴， 解得：，x2＝﹣3； （4）5x2＝4x﹣1， 则5x2﹣4x+1＝0， a＝5，b＝﹣4，c＝1， ∵Δ＝﹣42﹣4×5×1＝﹣4＜0， ∴原方程无实数根； 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 18．（10分）（2026秋•新城区期中）已知某直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）如果此直角三角形的斜边长是5，求它的两条直角边长分别是多少？ 【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2＞0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2+3，再根据勾股定理得到52，接着利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝25，则（2k+1）2﹣2（k2+3）＝25，求出k的值，进而求出两条直角边的长． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0， 解得k； （2）令其两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝1﹣2k，x1•x2＝k2+3， ∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5， ∴52， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝25， ∴（1﹣2k）2﹣2（k2+3）＝25， ∴k2﹣2k﹣15＝0， ∴k1＝5，k2＝﹣3， ∵k， ∴k＝﹣3， ∴把k＝﹣3代入原方程得到x2﹣7x+12＝0， 解得x1＝3，x2＝4， ∴直角三角形的两直角边分别为3和4． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及勾股定理的知识，解答本题的关键是根据根的判别式求出k的取值范围，解答此题还要熟练掌握因式分解法解一元二次方程，此题难度不大． 19．（10分）（2026春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程M：ax2+（a+c）x+c＝2（ac≠0）． （1）判断x＝﹣1是否是方程M的根，并说明理由； （2）现有一个关于x的一元二次方程N：cx2+（a+c）x+a＝2，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：a+c＝1； （3）若a﹣c＝1，方程M的两实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求a，c的值． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有（a﹣c）（x2﹣1）＝0，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据|x1|＝x2进行分类求解即可． 【解答】（1）解：把x＝﹣1代入原等式得0＝2，不成立， 故x＝﹣1不是方程M的根． （2）证明：由题意，得， 则（a﹣c）x2+c﹣a＝0，即（a﹣c）（x2﹣1）＝0， 当a＝c时，方程M，N完全相同，不合题意， 当a≠c时，则x2＝1，故x1＝﹣1（舍去），x2＝1， 把x＝1代入M，得a+c＝1． （3）解：，， ∵|x1|＝x2， ∴x2≥0． 当x1＝x2时，Δ＝（a+c）2﹣4a（c﹣2）＝0，可得，， ∴x1+x2＝﹣10， 此时x1＝x2＝﹣5＜0，舍去． 当x1＝﹣x2时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 20．（10分）（2026春•安吉县期中）近年来随着安吉白茶种植规模不断扩大，采茶工的需求量和工资也在不断上涨，已知某白茶基地在2024年的采茶工资为每斤25元，2026年的采茶工资为每斤36元，经市场调研发现，当青叶售价为220元时，每天能卖出100斤，每降价5元，则多卖10斤，销售中除了采摘工资的成本，还有其它运输、肥料等养护成本每斤64元． （1）求2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的平均年增长率； （2）若该基地希望2026年度日销售利润达到14400元，求每斤青叶的售价． 【分析】（1）设2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为x，根据某白茶基地在2024年的采茶工资为每斤25元，2026年的采茶工资为每斤36元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每斤青叶的售价降价y元，则每斤青叶的售价为（220﹣y）元，根据该基地希望2026年度日销售利润达到14400元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为20%； （2）设每斤青叶的售价降价y元，则每斤青叶的售价为（220﹣y）元， 根据题意得：（220﹣y﹣36﹣64]， 解得：y1＝30，y2＝40， 当x＝30时，220﹣y＝190； 当x＝40时，220﹣y＝180； 答：每斤青叶的售价为190元或180元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（10分）（2024春•崇川区月考）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【分析】（1）依据题意，列出每天销售T恤衫的利润计算即可得解； （2）依据题意，设此时每件T恤衫降价x元，从而每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050，进而计算后再由优惠最大，即可判断得解； （3）依据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，求出x的值，再由每件T恤衫的利润率不低于55%，可得100﹣x﹣60≥60×55%，得出x的范围后即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． 22．（10分）（2026•海门区模拟）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，利用乙种商品2024年每件的进价＝乙种商品2022年每件的进价×（1﹣乙种商品每件进价的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过7800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得：125（1﹣x）2＝80， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品， 根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800， 解得：y≥40， ∴y的最小值为40． 答：最少购进40件甲种商品． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 23．（8分）（2024秋•如皋市月考）已知：如图所示．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ 【分析】经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解． 【解答】解：设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2， 由题意得，Q点从B到C所用时间为7÷2＝3.5， ∴0＜x＜3.5， 此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm， 由BP•BQ＝4得（5﹣x）×2x， 整理得：x2﹣5x+4＝0， 解得：x＝1或x＝4（舍）； 答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及直角三角形面积的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于4cm2”得出等量关系是解决问题的关键． 24．（12分）（2026春•浙江期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2+3x+2＝0是否为“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值． 【分析】（1）根据所给“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“邻根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“邻根方程”的定义得出a，b的关系，再据此进行计算即可． 【解答】解：（1）由x2+3x+2＝0得， x1＝﹣2，x2＝﹣1． 因为﹣1﹣（﹣2）＝1， 所以该方程是“邻根方程”； （2）由x2﹣（m+2）x+2m＝0得， x1＝m，x2＝2． 因为该方程是“邻根方程”， 则当m＞2时，m﹣2＝1， 解得m＝3； 当m＜2时，2﹣m＝1， 解得m＝1， 综上所述，m的值为1或3； （3）由ax2+bx+2＝0得， x． 因为该方程是“邻根方程”， 所以， 整理得，b2＝a2+8a． 因为t＝12a﹣b2， 所以t＝12a﹣（a2+8a）＝﹣a2+4a， 所以当a时， t取得最大值为﹣22+4×2＝4， 所以t的最大值为4． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、解一元二次方程﹣因式分解法及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及理解所给定义是解题的关键． 25．（12分）（2026春•柯桥区期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　2　 ，x1x2＝　　 ． （2）应用探究：已知实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b，求a2b+ab2的值． （3）思维拓展：已知实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0，求的值． 【分析】（1）利用根与系数的关系，即可求出x1+x2及x1x2的值； （2）根据题意，可得出实数a，b是关于x的一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出a+b＝5，ab＝1，再将其代入a2b+ab2＝ab（a+b）中，即可求出结论； （3）根据题意，可得出m＝2n或m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根，当m＝2n时，可得出原式＝2；当m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根时，利用根与系数的关系，可得出m+2n＝﹣5，m•2n＝﹣3，再将其代入原式中，即可求出结论． 【解答】解：（1）∵一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2． 故答案为：2，； （2）∵实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b， ∴实数a，b是关于x的一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根， ∴a+b＝5，ab＝1， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝1×5＝5； （3）∵实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0， ∴m＝2n或m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根． 当m＝2n时，1+1＝2； 当m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根时，m+2n＝﹣5，m•2n＝﹣3， ∴． 综上所述，的值为的2或． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及一元二次方程的解，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是，两根之积等于”是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷1 一元二次方程能力提优单元测试卷 （时间：100分钟 满分：150分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026春•牟平区期中）下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026春•雁塔区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2026的值为（　　） A．2026 B．﹣2025 C．2025 D．﹣2026 3．（2026春•栖霞市期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　） A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 4．（2025春•哈尔滨期中）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．±1 5．5．（2025秋•南宁期末）小州与小冬在解方程x2+bx+c＝0时，小州写错了常数项，得到方程的两个根是2和﹣4，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是﹣1和3，则b与c的值分别是（　　） A．b＝2，c＝﹣8 B．b＝2，c＝﹣3 C．b＝﹣2，c＝8 D．b＝2，c＝3 6．（2026•东莞市一模）2026年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 7．（2024•阿城区三模）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 8．（2026春•寿县月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），系数a，b，c满足9a+3b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3 9．（2025•江油市二模）关于x的方程kx2+x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且k≠0 B． C． D． 10．（2026•东昌府区校级模拟）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根； ③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 其中正确的（　　） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 二．填空题（共6小题，第11-12每题3分，13-16每题4分，共22分） 11．（2024春•启东市月考）若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　 ． 12．（2026•南京模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　 　 ． 13．（2025•海门区二模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，根据题意得到方程是 　 ． 14．（2025春•海安市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．写出k的一个整数值　 　 ． 15．（2026•海门区模拟）对于实数a，b，定义一种运算“※”为：a※b＝ab+b．如果关于x的方程（k※x）※x＝1有两个相等的实数根，则实数k的值为　 ． 16．（2024秋•田家庵区月考）（1）已知：x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且，则k的值为 　 ． （2）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共9小题，共98分） 17．（16分）（2025•市南区开学）用适当的方法解下列方程． （1）（6x﹣1）2﹣25＝0； （2）； （3）3x2+8x﹣3＝0（配方法）； （4）5x2＝4x﹣1（公式法）； 18．（10分）（2026秋•新城区期中）已知某直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）如果此直角三角形的斜边长是5，求它的两条直角边长分别是多少？ 19．（10分）（2026春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程M：ax2+（a+c）x+c＝2（ac≠0）． （1）判断x＝﹣1是否是方程M的根，并说明理由； （2）现有一个关于x的一元二次方程N：cx2+（a+c）x+a＝2，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：a+c＝1； （3）若a﹣c＝1，方程M的两实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求a，c的值． 20．（10分）（2026春•安吉县期中）近年来随着安吉白茶种植规模不断扩大，采茶工的需求量和工资也在不断上涨，已知某白茶基地在2024年的采茶工资为每斤25元，2026年的采茶工资为每斤36元，经市场调研发现，当青叶售价为220元时，每天能卖出100斤，每降价5元，则多卖10斤，销售中除了采摘工资的成本，还有其它运输、肥料等养护成本每斤64元． （1）求2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的平均年增长率； （2）若该基地希望2026年度日销售利润达到14400元，求每斤青叶的售价． 21．（10分）（2024春•崇川区月考）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 22．（10分）（2026•海门区模拟）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 23．（8分）（2024秋•如皋市月考）已知：如图所示．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ 24．（12分）（2026春•浙江期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2+3x+2＝0是否为“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值． 25．（12分）（2026春•柯桥区期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ，x1x2＝　 ． （2）应用探究：已知实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b，求a2b+ab2的值． （3）思维拓展：已知实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $