专题04 充分条件与必要条件（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题04 充分条件与必要条件 1、初步理解充分条件、必要条件的含义 2、通过对初中定理的再认识，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理之间的关系 3、体会常用逻辑用语在表达数学内容中的作用，逐步提升逻辑推理的素养 1、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2、集合判断法判断充分条件、必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 3、充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 4、区间的概念 4.1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 4.2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 对点集训一：充分条件与必要条件的判断 典型例题 例题1．（24-25高三上·广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解一元二次不等式，再应用充分必要条件定义判断即可. 【详解】解不等式，得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 例题2．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】解不等式，得到或，根据推出关系得到答案. 【详解】或， 或，但或， 故“”是“”的充分而不必要条件，A正确，BCD错误. 故选：A 例题3．（2025高三下·全国·专题练习）“”是“”的 条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）． 【答案】必要不充分 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用必要不充分条件的定义即可得结果. 【详解】由可得或， 即由不一定有成立，但由能推出成立． 故“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分 精练 1．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由可得， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．（2024·广东·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式得出解集，再根据集合之间的包含关系可得出结论. 【详解】解不等式，可得或，因为是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 3．（24-25高一下·北京·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（23-24高一上·湖南·阶段练习）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、既不充分也不必要条件 【分析】由得或，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得或， 所以“”是“或”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 对点集训二：充分条件与必要条件的应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，集合. (1)当时，求； (2)设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知，是的真子集，根据集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 且， 则或，故或. （2）因为是的充分不必要条件，则是的真子集，且，， 故，即实数的取值范围是. 例题2．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）根据已知条件化简集合和，再求交集即可. （2）根据已知可得是的子集，列不等式组进而求解. 【详解】（1）解不等式，得，即， 当时，， 所以 （2）因为是的必要条件， 所以， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 例题3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知非空集合，． (1)当时，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）当时，求出，再根据集合的并集，交集的运算求解即可． （2）由条件可得且，结合可建立不等式组求解即可得答案． 【详解】（1）当时，， 又， ，． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以且 又∵， 则，， 经检验知，当时，，不合题意， 实数的取值范围． 例题4．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）设全集为实数集，集合， (1)当时，求； (2)若命题，命题，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得； （2）依题意可得集合是集合的真子集，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由可得，解得， 所以， 当时，， 所以； （2）由（1）知，而必为非空集合， 因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以（等号不同时成立），解得． 精练 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，． (1)是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、根据充要条件求参数、分式不等式 【分析】（1）先解集合，再利用充要条件即为，从而可得到的方程组，最后判断是否有解； （2）利用充分不必要条件可得，再利用集合的包含关系可求的范围即可. 【详解】（1）解集合， 若是的充要条件，则 由，可得， 又，可得，即 此时的值不能同时满足和 不存在实数使是的充要条件 （2）若是的充分不必要条件，则 分两种情况讨论： ①当时，此时，解不等式得，此时满足，所以； ②当时，此时， 解不等式，即， 解不等式，即， 综合可得， 综上所述，实数的取值范围是 2．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知集合，． (1)若集合，求此时实数的值； (2)已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）依题意、为关于的方程的两根，利用韦达定理计算可得； （2）由是的充分条件，知，分，、三种情况求出，利用集合的包含关系求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以、为关于的方程的两根， 所以，解得； （2）由，即，解得， 所以， 由命题，命题且是的充分条件， 所以， 由，可得， 当时，解得，即，所以（等号不同时取到），解得； 当时，解得，即，显然不符合题意； 当时，解得，即，所以（等号不同时取到），解得； 综上可得实数的取值范围为. 3．（24-25高一上·广东汕头·期末）设全集，集合，集合． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，代入，得到集合B根据补集与交集的运算，可得答案； （2）根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）解一元二次不等式，得或， 所以或，所以 当时， 所以 （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，又因为 所以或 解不等式组得 综上所述，实数的取值范围为 4．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知集合 (1)若，求 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据交集、补集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件得到是的真子集，结合对进行分类讨论，得到集合端点之间的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】（1）由解得， ∴，， 当，，解不等式得，， ∴. . （2）∵“”是“”的充分不必要条件 ∴是的真子集， 又 当时，，不符合题意； 当时，，； 所以，且两等号不能同时成立，解得 当时，， 所以，且两等号不能同时成立，解得. 综上，实数的取值范围为. 对点集训三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 角度1：“是”标志词 典型例题 例题1．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【知识点】充分条件的判定及性质、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据充分性和必要性的概念求解即可. 【详解】对于不等式，可解得或，所以可以推出，而不可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 例题2．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【知识点】分式不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】由，等价或，即可判断； 【详解】对于不等式，可解得或， 所以可以推出，而，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 精练 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】先求解分式不等式，再结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】因为，所以，即得， 若，则；若，则不一定满足； “”是“”的 充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知，则“”是“”的（   ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】充要条件的证明、分式不等式 【分析】先求解分式不等式，再结合充要条件定义判断即可. 【详解】解不等式，得， 由，可得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 角度2：“的”标志词 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解出一元二次不等式，再根据充分、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以解得，即不等式的解集为， 由题意可知，选项对应的集合应为的真子集. 对于选项A ，因为 ，即是的必要不充分条件，故A错误； 对于选项B，因为，即是的充要条件，故B错误； 对于选项C，因为，即是充分不必要条件，故C正确； 对于选项D，因为与不存在包含关系，即是的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：C 例题2．（多选）（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】解不等式，只需是或的真子集，得到答案. 【详解】或， 要求命题p成立的一个充分不必要条件，只需满足或的真子集即可， 其中和满足要求，其他选项不满足. 故选：AC 精练 1．（24-25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解. 【详解】由条件可知，集合是集合的真子集， 所以. 故选：D 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知，那么使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】解不等式化简命题，再利用充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得，即命题， 对于A，是成立的充要条件，A不是； 对于B，是成立的必要不充分条件，B不是； 对于C，是成立的充分不必要条件，C是； 对于D，是成立的不充分不必要条件，D不是. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）以下命题中是不等式“”成立的充分不必要条件的是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【知识点】分式不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】等价变形不等式，再利用充分不必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式且， 所以不等式“”成立的充分不必要条件的是. 故选：A 4．（多选）（24-25高一上·云南昭通·期末）使得成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由得到或，再结合充分不必要条件的概念即可求解； 【详解】由解得或， 各选项中，BCD对于的集合均为不等式解集的真子集， 所以使得成立的一个充分不必要条件有BCD三个选项， 故选：BCD. 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件、判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件； 若，显然，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．（24-25高一上·福建福州·期中），且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据必要不充分条件的定义，可得答案. 【详解】当时，，则不能推，故p是q的不充分条件； 当且时，恒成立，则可以推，故p是q的必要条件. 故选：A. 3．（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】直接利用绝对值不等式的解法以及充分性和必要性判断结果． 【详解】由于，整理得，故， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确． 故选：A. 5．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 6．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知命题，，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式、判断两个集合的包含关系 【分析】解不等式，并根据真包含关系，得到答案. 【详解】，， 因为是的真子集，所以p是q的充分不必要条件. 故选：B. 7．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】由交集的结果求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，由，得，此时成立；反之当时，不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 8．（24-25高一上·四川南充·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式求的解集，再由充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，可得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】解不等式，根据条件得到真包含关系，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，设， 或，设或， 是的充分不必要条件，故是的真子集， 故或，解得或， 故选：B 二、多选题 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】由题可得是的真子集，进而即得. 【详解】， 由“”是“”的充分不必要条件，可得：是的真子集， 所以， 故选：BCD 三、填空题 11．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，若的一个必要不充分条件是，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题命题对应集合为命题对应集合的真子集，据此可得答案. 【详解】或， 则命题对应集合为. ，则命题对应集合为. 因的一个必要不充分条件是，则命题对应集合为命题对应集合的真子集， 则. 故答案为： 12．（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据充分不必要条件的定义可得集合的包含关系，根据包含关系可求得结果. 【详解】“”是“”的充分不必要条件，是的真子集， ，，， 又，，则的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，非空集合.是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】. 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据是的充分不必要条件，可得是的真子集，进而得到不等式组，求出结果即可. 【详解】由题知，， 是的充分不必要条件， 是的真子集， 则或， 解得， 故的取值范围是. 14．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知集合，非空集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】交集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据已知条件化简集合和，再求交集即可. （2）根据已知可得是的子集，列不等式组进而求解. 【详解】（1）解不等式，得，即， 当时，集合，显然， 所以. （2）由是的充分条件，得， 则，解得，因此 所以的取值范围为. 15．（24-25高一上·江西抚州·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、充分条件的判定及性质 【分析】（1）先求得，解一元二次不等式得集合，利用并集运算求解即可. （2）由题意得，按照和分类讨论，利用子集关系列不等式组求解即可，注意最后求并集. 【详解】（1）当时，集合，所以或， ， 所以或． （2）由已知，由题意得， ①当时，，解得； ②当时，由得，解得：， 综上所述，． 16．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集，，在①；②；③；这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答. 问题：设：__________，，是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若实数存在，求的取值范围；若实数不存在，说明理由. 【答案】选①，；选②，不存在满足题意；选③， 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】解得，，根据必要不充分条件得到集合的真包含关系，选①，得到或，求出的取值范围；选②，得到或，无解；选③，得到或，求出答案. 【详解】集合， 集合中，， 故，. 设条件对应集合为，条件对应集合为， 由于是的必要不充分条件，则⫋，且， 若选①，，则需满足或， 解得或， 故存在满足题意，且的取值范围为； 若选②，，则需满足或，此时无解， 故不存在满足题意； 若选③，则，则需满足或，解得. 故存在满足题意，且的取值范围为. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 充分条件与必要条件 1、初步理解充分条件、必要条件的含义 2、通过对初中定理的再认识，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理之间的关系 3、体会常用逻辑用语在表达数学内容中的作用，逐步提升逻辑推理的素养 1、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2、集合判断法判断充分条件、必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 3、充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 4、区间的概念 4.1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 4.2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 对点集训一：充分条件与必要条件的判断 典型例题 例题1．（24-25高三上·广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3．（2025高三下·全国·专题练习）“”是“”的 条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）． 精练 1．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·广东·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·北京·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·湖南·阶段练习）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 对点集训二：充分条件与必要条件的应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，集合. (1)当时，求； (2)设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 例题2．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的必要条件，求的取值范围. 例题3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知非空集合，． (1)当时，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 例题4．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）设全集为实数集，集合， (1)当时，求； (2)若命题，命题，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围． 精练 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，． (1)是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 2．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知集合，． (1)若集合，求此时实数的值； (2)已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 3．（24-25高一上·广东汕头·期末）设全集，集合，集合． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 4．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知集合 (1)若，求 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 对点集训三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 角度1：“是”标志词 典型例题 例题1．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 例题2．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 精练 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知，则“”是“”的（   ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 角度2：“的”标志词 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 精练 1．（24-25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知，那么使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）以下命题中是不等式“”成立的充分不必要条件的是（    ） A． B． C．且 D． 4．（多选）（24-25高一上·云南昭通·期末）使得成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·福建福州·期中），且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 6．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知命题，，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一上·四川南充·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 三、填空题 11．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，若的一个必要不充分条件是，则的取值范围是 ． 12．（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 四、解答题 13．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，非空集合.是的充分不必要条件，求的取值范围. 14．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知集合，非空集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求m的取值范围. 15．（24-25高一上·江西抚州·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集，，在①；②；③；这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答. 问题：设：__________，，是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若实数存在，求的取值范围；若实数不存在，说明理由. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$