第01讲 集合的概念-2026年初升高数学衔接

第01讲 集合的概念 基●础●知●识 一、元素与集合的概念及表示 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母表示. 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母表示. 3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的. 二、元素的特性 1、确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了简记为“确定性”. 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合. 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等 2、互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 简记为“互异性”. 利用集合中元素的特异性求参数： （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的（确定性），且是互不相同的（互异性），书写时可以不考虑先后顺序（无序性）. （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用. 3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的简记为“无序性”. 三、元素与集合的关系 1、属于与不属于概念： （1）属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作. （2）不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作. 2、元素与集合关系的判断方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 四、常用的数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 五、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}’括起来表示集合的方法叫做列举法. 【注意】 （1）元素与元素之间必须用“，"隔开. （2）集合中的元素必须是明确的. （3）集合中的元素不能重复. （4）集合中的元素可以是任何事物. 六描述法 1、定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法有时也用冒号或分号代替竖线. 2、用描述法表示集合 （1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型. 一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示. （2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围. （3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内. 题●型●破●译 题型01 判断元素能否构成集合 【典例01】下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【变式01】下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【变式02】下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 题型02 判断是否为同一集合 【典例01】下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式01】下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式02】下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 题型03 元素与集合的关系 【典例01】若集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式01】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式02】若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04 常用数集关系 【典例01】下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式01】给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式02】给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型05 集合互异性应用 【典例01】已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【变式01】已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【变式02】已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 题型06 集合描述 【典例01】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式01】集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型07 集合相等计算 【典例01】已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式01】若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【变式02】已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 题型08 集合个数求参数 【典例01】已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式01】已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式02】已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 题●型●巩●固 1.下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 2.（多选）下面能组成一个集合的是（    ） A．炳辉中学高一年级聪明的学生 B．较小的实数 C．所有的偶数 D．地球上的四大洋 3.（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 4.下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 5.已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． 6.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7.已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 8.含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 9.将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 10.集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 11.集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 12.下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 13.下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 14.已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 15.已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 16.集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 17.定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18.设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 19.已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念 基●础●知●识 一、元素与集合的概念及表示 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母表示. 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母表示. 3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的. 二、元素的特性 1、确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了简记为“确定性”. 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合. 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等 2、互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 简记为“互异性”. 利用集合中元素的特异性求参数： （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的（确定性），且是互不相同的（互异性），书写时可以不考虑先后顺序（无序性）. （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用. 3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的简记为“无序性”. 三、元素与集合的关系 1、属于与不属于概念： （1）属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作. （2）不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作. 2、元素与集合关系的判断方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 四、常用的数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 五、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}’括起来表示集合的方法叫做列举法. 【注意】 （1）元素与元素之间必须用“，"隔开. （2）集合中的元素必须是明确的. （3）集合中的元素不能重复. （4）集合中的元素可以是任何事物. 六描述法 1、定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法有时也用冒号或分号代替竖线. 2、用描述法表示集合 （1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型. 一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示. （2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围. （3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内. 题●型●破●译 题型01 判断元素能否构成集合 【典例01】下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【答案】C 【分析】根据集合元素的特点判断即可． 【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 【变式01】下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 【变式02】下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C 题型02 判断是否为同一集合 【典例01】下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 【变式01】下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 【变式02】下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 题型03 元素与集合的关系 【典例01】若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得集合，再根据元素与集合关系即可求解． 【详解】由题可知，， 所以，故A正确；，故B错误； 因为集合中元素为，而非集合，故CD错误． 【变式01】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，，. 【变式02】若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求得集合，由此确定正确答案. 【详解】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C 题型04 常用数集关系 【典例01】下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 【变式01】给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 【变式02】给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①：是实数，是实数集，所以，①正确； 对于②：是整数，是整数集，所以，②正确； 对于③：是负整数，是正整数集，所以，③正确； 对于④：是无理数，是有理数集，所以，④错误. 故选：C. 题型05 集合互异性应用 【典例01】已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【分析】分和讨论即可. 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 【变式01】已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 【变式02】已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【详解】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 题型06 集合描述 【典例01】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，进而求解即可. 【详解】由，得，解得， 则不等式的解集为. 故选：B 【变式01】集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可. 【详解】由题意可得：集合. 故选：B． 【变式02】已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 题型07 集合相等计算 【典例01】已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 【变式01】若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 【变式02】已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】根据求得，由此求得. 【详解】由于， 所以对于集合有或. 若，则，此时符合题意，. 若，则集合不满足互异性，不符合. 所以的值为. 故选：A 题型08 集合个数求参数 【典例01】已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 【变式01】已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 【变式02】已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 题●型●巩●固 1.下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合； 对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合. 故选：D. 2.（多选）下面能组成一个集合的是（    ） A．炳辉中学高一年级聪明的学生 B．较小的实数 C．所有的偶数 D．地球上的四大洋 【答案】CD 【分析】根据集合的概念分析判断. 【详解】炳辉中学高一年级聪明的学生，较小的实数，所指元素都不满足集合元素的确定性，故AB错误； 所有的偶数，地球上的四大洋所指元素明确，故CD正确． 故选：CD 3.（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 4.下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 5.已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解. 【详解】，所以与集合的关系为， 故选项B正确，其他选项都错误. 故选：B. 6.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域求得集合，即可得结论. 【详解】∵，即， ∴， ∴. 故选：A. 7.已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 8.含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算即可. 【详解】由， 则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以. 故选：B 9.将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法求解. 【详解】因为，且， 所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示是. 故选：C. 10.集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解，即可. 【详解】由， 可得， 即，又 所以， 故选：C 11.集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题. 12.下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数集和点集的区别可判断A，根据空集的定义可判断B，根据自然数集和有理数集的定义可判断CD. 【详解】是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以，故C正确； 是有理数，故，故D错误. 故选：C 13.下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的意义逐一判断即可. 【详解】依题意，，①正确；，②错误；，③错误；，④错误， 因此正确命题的个数是1. 故选：A 14.已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【答案】C 【分析】分和两种情况进行求解，要检验是否与互异性矛盾，得到答案. 【详解】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 15.已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 【答案】C 【分析】根据或，求出，保留符合元素互异性的值即可. 【详解】 若，即时，，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，即（舍去）或时，， 故. 故选：C. 16.集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 17.定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 18.设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据和中只有一个元素，即可结合二次方程和一次方程的根求解. 【详解】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 19.已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $