精品解析：新疆乌鲁木齐市第六十八中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

乌鲁木齐市第六十八中2025-2026学年度高二年级第二学期 6月阶段性检测数学(问卷) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 为坐标原点，角θ的终边经过点，且，则的单位向量为（ ） A. B. C. D. 7. 复数是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 10. 已知正数x，y满足，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且当时， 则（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. 当时， D. 方程的解为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数.若，则______. 13. 向量夹角的正弦值为____________ 14. 已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知复数，其中为虚数单位，. （1）若在复平面内复数位于第二象限，求实数的取值范围； （2）当时，是方程的一个根，求和的值. 16. 你的一家水果店门店，近日采购了一批石榴，共有100个（每个石榴质量相当），根据石榴的等级分类标准得到的数据如下表所示： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 （1）求的值，并计算“礼品果”所占的比例； （2）用样本估计总体，假定这批石榴有N.现有两种销售方案可参考：方案一：不分类卖出，售价为20元/；方案二：分类卖出，分类后的水果售价如下表： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价/（元/） 16 18 22 24 计算方案二的平均售价，并请以此作为决策依据，选择获利最多的销售方案； （3）今天，你朋友Sam到店采购，打算买4个石榴､他先用分层抽样的方法从“优质果”､“礼品果”中选出了5个石榴，再从这5个石榴中随机选择4个石榴.请问，Sam买到的石榴中，恰好有2个优质果和2个礼品果的概率是多少？ 17. 某市“创全国文明城市”(简称“创文”)活动中，市教育局对本市A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了200人，将调查情况进行整理后制成下表： 学校 A B C D 抽查人数 10 15 100 75 “创文”活动中参与的人数 6 14 80 49 假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的. （1）根据上表中 A，B两校的数据，补全下面的2×2列联表(将序号处的数据填写完整)： 学校 参与 未参与 合计 A 6 ① 10 B 14 ② 15 合计 20 ③ ④ （2）根据小概率值的独立性检验，分析A，B两校参与“创文”活动与学校是否有关? （3）在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评(满分为100分)，得到如上的频率分布直方图，其中.求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数. 参考数据： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x (千件)有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 56 31.5 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5 根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用指数函数模型和反比例函数模型 分别对两个变量的关系进行拟合. 已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 与x的相关系数 （1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好，并用其估计产量为10千件时，每件产品的非原料成本； （3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布 ，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在( )之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因? 参考数据(其中 0.34 0.1156 1.53. 184 5752.56 92.82 30.33 13.79 参考公式：对于一组数据， 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 相关系数 19. 设一正方形纸片ABCD边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计)，图中，O为正四棱锥底面中心. （1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的表面积； （2）设等腰三角形的底角为x，试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数，并求S的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第六十八中2025-2026学年度高二年级第二学期 6月阶段性检测数学(问卷) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断. 【详解】且，则；且，则，所以. 故选：A 2. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐项判断作答. 【详解】对于A，若，，则，A是真命题； 对于B，若，，则，B是真命题； 对于C，若，，则，C是真命题； 对于D，取，满足，，而，D是假命题. 故选：D 3. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最值，进而得到值域． 【详解】解：函数，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增，，， 即函数的值域为． 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的值域，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基础题． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先比较的大小，再以0为中间量，将与进行大小比较，进而可得出答案. 【详解】易知， 又，， 所以， 故选：C. 5. 我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，计算出，，计算出两个扇形面积，相减后得到答案. 【详解】延长交于点， 根据题意，则，，则， 设扇形的面积为，扇形的面积为， 所以扇面的面积． 故选：C． 6. 为坐标原点，角θ的终边经过点，且，则的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设点到原点的距离为，则， 由任意角的正弦函数定义，得， 又已知，故. 因为，解得，则得，故向量， 则，故的单位向量为. 7. 复数是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据纯虚数的概念，得到，再利用齐次式法化简求值，将变形为，再分子分母同除以，再代入，求得答案. 【详解】由于是纯虚数，所以， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查了纯虚数的理解与应用，齐次式法化简求值，属于中档题. 8. 如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱侧面积为可求得圆柱母线长，又因为ABCD是圆柱的轴截面，可知与圆柱的上下底面垂直，且是下底面圆的直径，根据勾股定理计算可得，即可得出. 【详解】如下图所示： 设圆柱的母线长为l，由圆柱的侧面积为可得，得， 连接AE，则， 连接BE，则，故， 故. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据解一元二次方程的方法，结合子集的性质进行求解即可. 【详解】， 当时，，显然，符合题意； 当时，，显然，符合题意； 当且时，，要想，只需， 综上所述：选项ABC满足， 故选：ABC 10. 已知正数x，y满足，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式求出；B选项，求出；C选项，在A选项基础上得到；D选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】A选项，正数x，y满足，由基本不等式得， 解得，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，，故， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为2，B错误； C选项，由A选项知，，故， 当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为2，C错误； D选项，由于正数x，y满足， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：AD 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且当时， 则（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. 当时， D. 方程的解为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先判断函数的对称性和周期性，再根据的解析式，判断选项. 【详解】因为为奇函数，所以， 即，所以关于对称， 即， 又因为为偶函数，所以， 所以，得， 所以，所以是周期为4的函数， 因为时， ，，， 因为，所以， ，所以， 所以，故A正确； 因为，且，所以， 所以关于对称，故B错误； 设，则，因为是偶函数，所以， 所以时，， 设，则，因为函数关于对称， 所以， 即，故C正确； 当时，， 方程结合，可得， 解方程可知其解为所有奇数， ， 因此，解得 ，该解集可表示为所有奇数， 。 所以满足方程的解为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数.若，则______. 【答案】2或5 【解析】 【分析】分m≤3和m＞3两种情况求解即可． 【详解】(i)当m≤3时，f(m)，解得m＝4(舍)或m＝2； (ii)当m＞3时，f(m)，解得m＝5． 综上，m＝2或5． 故答案为：2或5． 13. 向量夹角的正弦值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角的坐标表示，先求出夹角余弦值，再由同角三角函数基本关系，即可求出结果. 【详解】因为，， 所以， 因此， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求向量夹角的正弦值，熟记向量夹角公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于基础题型. 14. 已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】由，再利用数量积运算求解. 【详解】解：， ， . 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知复数，其中为虚数单位，. （1）若在复平面内复数位于第二象限，求实数的取值范围； （2）当时，是方程的一个根，求和的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据复数对应的点所在象限建立不等式组求解即可； （2）方程根代入方程，根据复数相等建立方程组求解即可. 【小问1详解】 由题意，得， 解得， 所以实数a的取值范围为． 【小问2详解】 当时，， 所以， 所以, 整理，得， 所以，解得， 所以． 16. 你的一家水果店门店，近日采购了一批石榴，共有100个（每个石榴质量相当），根据石榴的等级分类标准得到的数据如下表所示： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 （1）求的值，并计算“礼品果”所占的比例； （2）用样本估计总体，假定这批石榴有N.现有两种销售方案可参考：方案一：不分类卖出，售价为20元/；方案二：分类卖出，分类后的水果售价如下表： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价/（元/） 16 18 22 24 计算方案二的平均售价，并请以此作为决策依据，选择获利最多的销售方案； （3）今天，你朋友Sam到店采购，打算买4个石榴､他先用分层抽样的方法从“优质果”､“礼品果”中选出了5个石榴，再从这5个石榴中随机选择4个石榴.请问，Sam买到的石榴中，恰好有2个优质果和2个礼品果的概率是多少？ 【答案】（1）， （2），选择方案二，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目信息，由样本总量为100，可求的值，进而求出“礼品果”所占的比例； （2）平均数是反映数据的集中趋势，计算方案二的平均售价，与方案一比较即可得解. （3）利用分层抽样 “优质果”3个，“礼品果”2个，利用古典概型的概率求解. 【小问1详解】 由，可得， “礼品果”所占的比例是 【小问2详解】 方案二的平均售价为（元） 由于，从超市老板的销售利润考虑，采用方案二较好， 【小问3详解】 “优质果”与“礼品果”的比例为， 用分层抽样的方法选5个石榴，需选“优质果”3个，“礼品果”2个 记“优质果”3个为，“礼品果”2个 则从5个石榴中选4个的基本情况有5种： ，，，， 有2个优质果和2个礼品果的基本情况有3种：，， 所以恰好有2个优质果和2个礼品果的概率是 17. 某市“创全国文明城市”(简称“创文”)活动中，市教育局对本市A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了200人，将调查情况进行整理后制成下表： 学校 A B C D 抽查人数 10 15 100 75 “创文”活动中参与的人数 6 14 80 49 假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的. （1）根据上表中 A，B两校的数据，补全下面的2×2列联表(将序号处的数据填写完整)： 学校 参与 未参与 合计 A 6 ① 10 B 14 ② 15 合计 20 ③ ④ （2）根据小概率值的独立性检验，分析A，B两校参与“创文”活动与学校是否有关? （3）在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评(满分为100分)，得到如上的频率分布直方图，其中.求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数. 参考数据： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 学校 参与 未参与 合计 A 6 10 B 14 15 合计 20 （2）A，B两校参与“创文”活动与学校有关系 （3），，中位数为 【解析】 【分析】（1）由题意完善列联表即可； （2）运用卡方运算公式进行求解判断即可； （3）由频率分布直方图的面积为1构建方程，联系已知求得，由前两组的频率和小于，前三组的频率和大于，所以中位数在第三组，且在第三组中的频率恰占，求出第三组的长度加上，既得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 零假设为：A，B两校参与“创文”活动与学校无关系. 因为， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即A，B两校参与“创文”活动与学校有关系； 【小问3详解】 依题意，，所以． 又，所以，． 因为，所以中位数在第三组， 所以中位数为． 18. 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x (千件)有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 56 31.5 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5 根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用指数函数模型和反比例函数模型 分别对两个变量的关系进行拟合. 已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 与x的相关系数 （1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好，并用其估计产量为10千件时，每件产品的非原料成本； （3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布 ，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在( )之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因? 参考数据(其中 0.34 0.1156 1.53. 184 5752.56 92.82 30.33 13.79 参考公式：对于一组数据， 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 相关系数 【答案】（1） （2）反比例函数模型拟合效果更好，11 （3）需要寻找出现异样成本的原因 【解析】 【分析】（1）用反比例函数模型求关于的回归方程. （2）比较拟合效果并估计成本. （3）判断是否需要寻找异常原因. 【小问1详解】 代入参考数据： ，， ， ， ， 反比例函数模型的回归方程为：. 【小问2详解】 计算 假设经计算 ，则反比例函数模型拟合效果更好. 利用反比例模型估计时的成本： 答：每件产品的非原料成本估计为11元. 【小问3详解】 样本均值 （已算出）. 样本方差 . 样本标准差 . 区间为： 检查数据： 原始数据值：56，31.5，22.75，17.8，15.95，14.5，13，12.5. 观察发现：56>37.74. 第一个数据落在了之外. 答：由于存在异样成本（56元），需要寻找出现异样成本的原因. 19. 设一正方形纸片ABCD边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计)，图中，O为正四棱锥底面中心. （1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的表面积； （2）设等腰三角形的底角为x，试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数，并求S的范围. 【答案】（1） （2），； 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，建立正四棱锥棱长的等式，即可求解； （2）利用三角函数表示面积，再根据单调性求最值. 【小问1详解】 设，则， 且， 所以，，解得：， 正四棱锥的表面积为， 所以表面积为平方厘米. 【小问2详解】 设，侧面积等于4个侧面三角形的面积：， 即 ， 由 ，得， ，. 令，则， 函数在区间单调递增，，， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $